M1 BADS
Analyse multidimensionnelle
Devoir
On se propose d’étudier les données concernant des denrées alimentaires et les catégories socio-professionnelles. On vous donne le tableau initial (Individus, variables) :
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| | PAO | PAA | VIO | VIA | POT | LEC | RAI | PLP |
| AGRI | 167 | 1 | 163 | 23 | 41 | 8 | 6 | 6 |
| SAAG | 162 | 2 | 141 | 12 | 40 | 12 | 4 | 15 |
| PRIN | 119 | 6 | 69 | 56 | 39 | 5 | 13 | 41 |
| CSUP | 87 | 11 | 63 | 111 | 27 | 3 | 18 | 39 |
| CMOY | 103 | 5 | 68 | 77 | 32 | 4 | 11 | 30 |
| EMPL | 111 | 4 | 72 | 66 | 34 | 6 | 10 | 28 |
| OUVR | 130 | 3 | 76 | 52 | 43 | 7 | 7 | 16 |
| INAC | 138 | 7 | 117 | 74 | 53 | 8 | 12 | 20 |
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| AGRI = Exploitants agricoles SAAG= Salariés agricoles PRIN = Professions indépendantes CSUP = Cadres supérieurs CMOY= Cadres moyens EMPL= Employés OUVR = Ouvriers INAC = Inactifs | PAO = Pain ordinaire PAA = Autre pain VIO = jus ordinaire VIA=Autre jus POT= Pommes de terre LEC=Légumes secs RAI=Raisin de tables PLP= Plats préparés |
Les résultats de l’ACP sont les suivants :
Extrait de la matrice de corrélation
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| Matrice de corrélation | | | | | | | | | |
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| | | Pain ordinaire | Autre pain | jus ordinaire | Autre jus | Pommes de terre | Légumes secs | Raisin de tables | |
| Corrélation | PAO = Pain ordinaire | 1,000 | -,774 | ,926 | -,906 | ,656 | ,889 | -,833 | 56 |
| PAA = Autre pain | -,774 | 1,000 | -,604 | ,904 | -,333 | -,673 | ,959 | ,771 |
| VIO = jus ordinaire | ,926 | -,604 | 1,000 | -,750 | ,517 | ,792 | -,669 | -,828 |
| VIA=Autre jus | -,906 | ,904 | -,750 | 1,000 | -,419 | -,839 | ,924 | ,720 |
| POT= Pommes de terre | ,656 | -,333 | ,517 | -,419 | 1,000 | ,603 | -,410 | -,554 |
| LEC=Légumes secs | ,889 | -,673 | ,792 | -,839 | ,603 | 1,000 | -,824 | -,751 |
| RAI=Raisin de tables | -,833 | ,959 | -,669 | ,924 | -,410 | -,824 | 1,000 | ,834 |
| PLP= Plats préparés | -,856 | ,771 | -,828 | ,720 | -,554 | -,751 | ,834 | 1,000 |
| | | | | | --- | --- | --- | | Qualités de représentation | | | | | Initiales | Extraction | | PAO = Pain ordinaire | 1,000 | ,967 | | PAA = Autre pain | 1,000 | ,925 | | VIO = jus ordinaire | 1,000 | ,793 | | VIA=Autre jus | 1,000 | ,926 | | POT= Pommes de terre | 1,000 | ,864 | | LEC=Légumes secs | 1,000 | ,841 | | RAI=Raisin de tables | 1,000 | ,957 | | PLP= Plats préparés | 1,000 | ,814 | | Méthode d'extraction : Analyse en composantes principales. | | | | | | | | | | | | |
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| Variance totale expliquée | | | | | | | | | |
| Composante | Valeurs propres initiales | | | Sommes extraites du carré des chargements | | | Sommes de rotation du carré des chargements | | |
| Total | % de la variance | % cumulé | Total | % de la variance | % cumulé | Total | % de la variance | % cumulé |
| 1 | 6,208 | 77,599 | 77,599 | 6,208 | 77,599 | 77,599 | 4,484 | 56,054 | 56,054 |
| 2 | ,880 | 10,996 | 88,595 | ,880 | 10,996 | 88,595 | 2,603 | 32,541 | 88,595 |
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| 3 | ,416 | 5,200 | 93,795 | | | | | | |
| 4 | ,306 | 3,831 | 97,626 | | | | | | |
| 5 | ,168 | 2,106 | 99,731 | | | | | | |
| 6 | ,018 | ,226 | 99,957 | | | | | | |
| 7 | ,003 | ,043 | 100,000 | | | | | | |
| 8 | 2,403E-16 | 3,004E-15 | 100,000 | | | | | | |
| Méthode d'extraction : Analyse en composantes principales. | | | | | | | | | |
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| Rotation de la matrice des composantesa | | |
| | Composante | |
| 1 | 2 |
| PAO = Pain ordinaire | -,728 | ,661 |
| PAA = Autre pain | ,950 | -,154 |
| VIO = jus ordinaire | -,608 | ,650 |
| VIA=Autre jus | ,905 | -,329 |
| POT= Pommes de terre | -,108 | ,923 |
| LEC=Légumes secs | -,679 | ,616 |
| RAI=Raisin de tables | ,938 | -,277 |
| PLP= Plats préparés | ,714 | -,551 |
| Méthode d'extraction : Analyse en composantes principales. Méthode de rotation : Varimax avec normalisation Kaiser. | | |
| a. Convergence de la rotation dans 3 itérations. | | |
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Travail demandé :
1. Décrire brièvement la matrice de corrélation. Donner le couple de variables les plus corrélées et le couple de variables les moins corrélées.
La matrice de corrélation C de terme général Cij donne le coefficient de corrélation de Pearson entre les variables i et j. Un coefficient positif proche d e1 indique une forte corrélation (association) positive (dans le même sens). Et un coefficient négatif proche d e-1 indique une association mais dans le sens contraire. Le plus grand coefft est celui de C27. Le plus faible est C25.
1. Donner le total des valeurs propres. Quelle est la signification d’une valeur propre d’un axe i donné.
La somme des valeurs propres est toujours égal au nombre des valeurs propres soit 8 dans ce cas. Une valeur propre d’un axe i indique l’inertie de cet axe autrement dit la valeur de l’information qu’il dégage. Si on divise cette valeur propre par le total à savoir 8, on aura la contribution de l’axe à l’inertie totale.
1. Quel est le nombre d’axes factoriels à choisir si on opte pour la méthode de :
- Kaiser : une seule car on a une seule valeur propre supérieure à 1
- « Coude » : même résultat
Quelle est la méthode utilisée par l’énoncé. Justifier la réponse.
L’énoncé a utilisé deux axes factoriels afin d’avoir un plan factoriel de deux axes.
1. Commenter le positionnement des variables sur la carte factorielle. Peut-on donner un sens aux deux axes.
2. Commenter le positionnement des individus. Peut-on former des groupes.
Le 1er axe montre l'opposition entre cadres supérieurs et agriculteurs.
Le 2iéme axe est caractéristique des inactifs.
Le cercle de corrélation nous indique la répartition entre aliments ordinaires(PAO,VIO,LEC)
et aliments plus recherchés(PAA,VIA,RAI,PLP)(1er axe).
Le 2iéme axe est lié à la consommation de Pommes de Terre(POT),à relier aux inactifs(INAC)