Sommaire
I- Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.
2.
3.
4.
Rappel sur les images réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Loi d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
II- Couples de variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.
2.
3.
4.
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Loi conjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
III- Indépendance de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.
2.
Couple de variables indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Famille finie de variables mutuellement indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
IV- Espérance, variance, covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.
Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
SOMMAIRE
A.U : 19/20
2.
Variance et écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
V- Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Loi certaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Loi Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
VI- Fonctions génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.
2.
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
VII-Convergence et approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.
2.
Approximation d’une loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Variables aléatoires
2/35
MP2
SOMMAIRE
I- Variables aléatoires discrètes
I- Variables aléatoires discrètes
1. Rappel sur les images réciproques
Définition
Soit X une application de Ω vers E et B une partie de E, on appelle image réciproque
de B par X l’ensemble définie par
La notation de X −1(B) ne sous-entend aucunement la bijectivité de X.
X −1(B) = {ω ∈ Ω / f (ω) ∈ B} ⊂ Ω.
Proposition
Soit X une application définie par : X : Ω −→ E, on a les propriétés suivantes :
• X −1(E) = Ω ; X −1(∅) = ∅
• X −1(X(Ω)) = Ω ;
• ∀B ∈ E, X −1(cid:0)B(cid:1) = X −1(cid:0)B(cid:1), B désigne le complémentaire de B dans E.
• X −1(B) = X −1(B ∩ E).
• Soit (Bn)n∈N une suite de partie de E alors on a
X −1(cid:0) +∞
(cid:83)
n=0
X −1(cid:0) +∞
(cid:84)
n=0
(cid:1) =
Bn
(cid:1) =
Bn
+∞
(cid:83)
n=0
+∞
(cid:84)
n=0
X −1(cid:0)Bn
(cid:1)
X −1(cid:0)Bn
(cid:1).
Notation
Soit X : Ω → E, B une partie de X et x ∈ E, on note :
• (X = x) = X −1(cid:0) {x} (cid:1) = {ω ∈ Ω / X(ω) = x} ;
• (X ∈ B) = X −1(cid:0)B(cid:1) = {ω ∈ Ω / X(ω) ∈ B}.
Si X est une application de Ω vers R, x, y ∈ R tels que x (cid:54) y on note aussi :
• (X (cid:54) x) = X −1(] − ∞, x]) = {ω ∈ Ω / X(ω) (cid:54) x} ;
• (X < x) = X −1(] − ∞, x[) = {ω ∈ Ω / X(ω) < x} ;
• (X (cid:62) x) = X −1([x, +∞[) = {ω ∈ Ω / X(ω) (cid:62) x} ;
• (X > x) = X −1(]x, +∞[) = {ω ∈ Ω / X(ω) > x} ;
• (x (cid:54) X (cid:54) y) = X −1([x, y]) = {ω ∈ Ω / x (cid:54) X(ω) (cid:54) y} ;
Variables aléatoires
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MP2
I- Variables aléatoires discrètes
A.U : 19/20
2. Définitions
Définition
Une variable aléatoire discrète sur l’espace probabilisable (Ω, A) est une application
de Ω dans un ensemble quelconque E telle que :
• X(Ω) est un ensemble fini ou dénombrable (on dit qu’il est au plus dénombrable).
• Si x ∈ X(Ω) alors X −1(cid:0) {x} (cid:1) est un événement, c’est-à-dire :
∀x ∈ X(Ω), X −1(cid:0) {x} (cid:1) ∈ A
Remarque
• Si E = R on dit que X est une variable aléatoire discrète réelle.
• Si X(cid:0)Ω(cid:1) est finie, on dit que X est une variable aléatoire finie et on note
X(Ω) = {x1, x2, . . . , xn} avec les xi sont distincts deux à deux.
• Si X(Ω) est dénombrable, on peut noter X(Ω) = {xn, n ∈ N} avec les xi sont dis-
tincts deux à deux.
Exemple :
1. On lance simultanément deux dés discernables et on choisit comme univers Ω = [[1, 6]]2,
que l’on munit de la probabilité uniforme. Notons alors X la somme des valeurs des
dés et Y le maximum des deux valeurs.
On peut voir X et Y comme des fonctions
X : Ω −→ R
ω (cid:55)−→ ω1 + ω2
;
Y : Ω −→ R
ω (cid:55)−→ max(ω1, ω2)
avec ω = (ω1, w2)
• On peut alors écrire X(Ω) = [[2, 12]] et Y (Ω) = [[1, 6]].
• (X > 10) = {(5, 6), (6, 5), (6, 6)}, (Y (cid:54) 2) = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
2. On fait des lancers indéfiniment d’une pièce de monnaie et on note X le rang du pre-
mier lancer qui donne pile alors X(Ω) = N∗.
3. On tire avec remise n boules dans une urne contenant des boules blanches et rouges en
proportion p et q = 1 − p.
On note X le nombre de boules blanches obtenues dans un tirage, X est une variable
aléatoire discrète à valeurs dans [[0, n]].
Variables aléatoires
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MP2
SOMMAIRE
Proposition
I- Variables aléatoires discrètes
Soient (Ω, A) un espace probabilisable et X une variable aléatoire discrète de Ω vers
E. Soit B un sous-ensemble quelconque de E.
L’ensemble X −1(B), noté (X ∈ B), est un événement c-à-d (X ∈ B) ∈ A.
Démonstration :
Tout d’abord, remarquons que X −1(B) = X −1(B ∩ X(Ω)) car :
X −1(B) = {ω ∈ Ω / X(ω) ∈ B} = {ω ∈ Ω / X(ω) ∈ B ∩ X(Ω)}
Comme B ∩ X(Ω)) est au plus dénombrable donc B ∩ X(Ω)) =
(cid:83)
{x}
Ainsi,
x∈B∩X(Ω))
(X ∈ B) = X −1(cid:0)
(cid:83)
{x} (cid:1)
x∈B∩X(Ω))
=
(cid:83)
X −1({x}) =
(cid:83)
(X = x).
x∈B∩X(Ω))
x∈B∩X(Ω))
(X ∈ B) est donc la réunion dénombrable d’événements
(par définition d’une variable aléatoire), c’est donc un événement.
Théorème
Soient (Ω, A) un espace probabilisable et X une variable aléatoire discrète infini sur
cet espace tel que X(Ω) = {xn, n ∈ N} avec les xn distincts deux à deux. Alors
La famille ((X = xn))n∈N est un système complet d’événements.
Démonstration :
• Par définition, (cid:0)X = xn
• Si xn et xn(cid:48) sont deux éléments de X(cid:0)Ω(cid:1), distincts, les événements {X = xn} et (cid:0)X = x(cid:48)
(cid:1) est un événement pour tout xn ∈ X(cid:0)Ω(cid:1).
n
(cid:1)
sont incompatibles, car pour tout ω ∈ Ω, ω ∈ {X = xn} équivaut à X(ω) = xn.
• On a enfin :
(cid:0)X = xn
car tour élément ω de Ω appartient à (cid:0)X = xn
(cid:1) = Ω
(cid:1) avec xn = X(ω).
+∞
(cid:83)
n=0
Remarque
Soient (Ω, A) un espace probabilisable et X une variable aléatoire finie sur Ω, notons
X(Ω) = {x1, x2, . . . , xn}, avec les xi sont distincts deux à deux alors ((X = xi)1(cid:54)i(cid:54)n
est un système complet d’événements
Variables aléatoires
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I- Variables aléatoires discrètes
A.U : 19/20
3. Loi d’une variable aléatoire
Définition
Soit X une variable aléatoire discrète sur un espace probabilisé (Ω, A, P).
On appelle loi de probabilité de X (ou plus simplement loi de X ) et on note PX
l’application :
PX : P(cid:0)X(cid:0)Ω(cid:1)(cid:1) −→ [0, 1]
A (cid:55)−→ P(cid:0)X ∈ A(cid:1)
c-à-d
PX(A) = P(cid:0)X −1(cid:0)A(cid:1)(cid:1).
P(X(Ω) désigne l’ensemble des parties de X(Ω).
Remarque
• L’ensemble X(Ω) étant dénombrable, il n’y a aucun inconvénient à le munir de la
tribu P(X(Ω)).
• Cette probabilité est la probabilité image de P par l’application X.
• Il peut arriver qu’on ne connaisse pas exactement X(Ω), mais qu’on sache seule-
Publicité
ment a priori qu’il existe un ensemble E dénombrable tel que X(Ω) ⊂ E. Alors la
loi de X apparaîtra comme une probabilité sur (E, P(X(Ω)))
telle que PX(ω) = 0 si ω ∈ E \ X(Ω).
définit
une
probabilité
sur
l’espace
probabilisable
Théorème
PX
l’application
(cid:0)X(cid:0)Ω(cid:1), P(cid:0)X(cid:0)Ω(cid:1)(cid:1)(cid:1)
Démonstration :
• PX(X(Ω)) = P(X −1(X(Ω)) = P(Ω) = 1.
• Soit (An)n∈N une suite de parties deux à deux disjointes de X(Ω).
Les événements (X ∈ An) sont deux à deux disjoints et
(cid:83)
n∈N
(X ∈ An) = (X ∈ (cid:83)
n∈N
An)
On en déduit
PX( (cid:83)
n∈N
An) =
+∞
(cid:88)
n=0
P(X ∈ An) =
+∞
(cid:88)
n=0
PX(An)
Variables aléatoires
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MP2
SOMMAIRE
Proposition
I- Variables aléatoires discrètes
Si X est une variable aléatoire discrète infinie sur l’espace probabilisé (Ω, A, P), avec
X = {xn, n ∈ N} avec les xn sont deux distincts, on a alors
+∞
(cid:88)
P(X = xn) = 1.
n=0
Démonstration :
Supposons X est dénombrable X = {xn, n ∈ N}, les xn sont distincts deux à deux.
La famille (X = xn)n∈N est un système d’événement complet
+∞
(cid:83)
n=0
(cid:0)X = xn
(cid:1) = Ω
1 = P(Ω) =: P(cid:0) +∞
(cid:83)
n=0
(X = xn)(cid:1) =
+∞
(cid:88)
n=0
P(X = xn).
et par suite
Remarque
Si X(Ω) est finie donc X(Ω) = {x1, . . . , xn} avec les xi sont distincts deux à deux
1 = P(Ω) = P((cid:0) n
(cid:83)
i=1
(X = xi)(cid:1) =
n
(cid:88)
i=1
P(X = xi).
Corollaire
Si X est une variable aléatoire sur un espace probabilisé (Ω, A, P).
La loi de X est déterminée de manière unique par la donnée, pour tout x ∈ X(Ω),
de :
Plus précisément, on a pour tout A ⊂ X(cid:0)Ω(cid:1) :
PX
(cid:0) {x} (cid:1) = P(X = x).
PX(B) =
(cid:88)
P(cid:0)X = x(cid:1)
x∈B
Proposition
Si X prend ses valeurs dans E = {xn; n (cid:62) 0}, les xn étant distincts deux à deux, et si
pn converge car pn (cid:62) 0 et
(pn)n∈N est une suite de réels positifs sommable c-à-d
(cid:88)
vérifiant
+∞
(cid:88)
pn = 1.
n=0
Alors il existe un espace probabilisé (Ω, A, P) est une variable aléatoire X sur cet
espace probabilisé tels que
X(cid:0)Ω(cid:1) = E et
∀n ∈ N P(X = xn) = pn.
Variables aléatoires
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I- Variables aléatoires discrètes
A.U : 19/20
Démonstration :
On pourra choisir (cid:0)Ω, A(cid:1) = (E, P(E)) et X = idE.
Exemple :
La loi d’une variable aléatoire X à valeurs dans N est donc une probabilité sur (N, P(N))
(cid:88)
pn à termes positifs convergente de somme
. Elle est définie par la donnée d’une série
1.
n(cid:62)0
Définition
On dit que deux variables aléatoires discrètes X et Y sur (Ω, A, P) et ont même loi
si PX = PY . On note alors X ∼ Y.
Si X est une variable aléatoire et une loi usuellement notée L, on note alors X (cid:44)→ L
le fait que la loi de X est L.
Définition
Soit X une variable aléatoire sur (Ω, A, P) et f une application définie sur X(Ω).
Alors f ◦ X est une variable aléatoire discrète, noté f (X), dont la loi est donnée
par :∀y ∈ f (cid:0)X(cid:0)Ω(cid:1)(cid:1), on a :
P(f (X) = y) = PX
(cid:0)f −1 {y} (cid:1) =
(cid:88)
P(X = x).
x∈f −1{y}
4. Fonction de répartition
Définition
Soit X une variable aléatoire discrète réelle sur un espace probabilisé (Ω, A, P).
On appelle fonction de répartition de X et on note FX l’application :
FX : : R −→ [0, 1]
x (cid:55)−→ P(cid:0)X (cid:54) x(cid:1)
.
Proposition
Soit X une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé (Ω, A, P) .
• Une fonction de répartition est une fonction croissante.
• lim
x→−∞
FX(x) = 0
lim
x→+∞
FX(x) = 1.
Démonstration :
• Soit x (cid:54) y. On a (cid:0)X (cid:54) x(cid:1) ⊂ (cid:0)X (cid:54) y(cid:1) d’où FX(x) = P(X (cid:54) x) (cid:54) P(X (cid:54) y) = FX(y).
• Considérons An = (cid:0)X (cid:54) −n(cid:1). (An)n∈N est décroissante pour l’inclusion.
Variables aléatoires
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SOMMAIRE
I- Variables aléatoires discrètes
Montrons que
+∞
(cid:84)
n=0
An = ∅.
Soit x ∈
+∞
(cid:84)
n=0
An donc ∀n ∈ N, on a x (cid:54) −n, ce qui est impossible
+∞
(cid:84)
p=0
P(cid:0)X (cid:54) −n(cid:1) = lim
n→+∞
FX(−n) = lim
n→+∞
P(An) = P(
lim
n→+∞
Ap) = P(∅) = 0.
Comme FX est croissante minorée (par 0), elle admet une limites finie en −∞.
D’après la caractérisation séquentielle de la limite lim
x→−∞
Fx(x) = lim
n→+∞
• Considérons Bn = (cid:0)X (cid:54) n(cid:1). (Bn)n∈N est croissante pour l’inclusion.
FX(−n) = 0.
On remarque que
+∞
(cid:83)
p=0
Bp = Ω.
D’après le théorème de continuité croissante, on a
lim
n→+∞
FX(n) = lim
n→+∞
P(Bn) = P(
+∞
(cid:83)
p=0
Bp) = P(Ω) = 1.
Comme FX est croissante majorée (par 1), elle admet une limites finie en +∞.
D’après la caractérisation séquentielle de la limite lim
x→+∞
Fx(x) = lim
n→+∞
FX(n) = 0.
Théorème: Lien entre fonction de répartition et loi de probabilité
Soit X une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé (Ω, A, P). On pose
X(Ω) = {xn, n ∈ N} où l’on suppose les xi ordonnés dans le sens croissant. Alors,
(i) P(X = x0) = FX(x0).
(ii) ∀n ∈ N∗, P(X = xn) = FX(xn) − FX(xn−1).
Démonstration :
Remarquons simplement que pour n ∈ N∗,
(X (cid:54) xn) = (X < xn) ∪ (X = xn) = (X (cid:54) xn−1) ∪ (X = xn)
Donc,
P(X = xn) = P(X (cid:54) xn) − P(X (cid:54) xn−1) = FX(xn) − FX(xn−1)
De plus, P(X = x0) = P(X (cid:54) x0) = FX(x0).
Variables aléatoires
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II- Couples de variables aléatoires discrètes
A.U : 19/20
II- Couples de variables aléatoires discrètes
1. Définitions
Définition
Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes définies sur le même espace probabi-
lisé (Ω, A, P), à valeurs respectivement dans des ensembles E et F , l’application
Z = (X, Y ) : Ω −→ E × F
ω (cid:55)−→ (X(ω), Y (ω))
est appelée couple de variables aléatoires discrètes sur (Ω, A, P).
On note (X, Y ) ce couple de variable aléatoires
Si E = F = R, alors (X, Y ) est appelé un couple de variables aléatoires réelles
discrètes
Proposition
• Si X et Y sont deux variables aléatoires discrètes sur l’espace probabilisable
(Ω, A, P), à valeurs respectivement dans E et F , le couple (X, Y ) est une variable
aléatoire discrète dans E × F.
• Réciproquement, toute variable aléatoire discrète sur l’espace probabilisable
(Ω, A, P) à valeurs dans E × F peut s’écrire (X, Y ) où X et Y sont des variables
aléatoires discrètes à valeurs respectivement dans E et F
Proposition
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires discrètes sur l’espace probabilisables
(Ω, A, P) avec X(Ω) et Y (Ω) au plus dénombrables alors la famille d’événements
(cid:0)(cid:0)X = xi
(cid:1) ∩ (cid:0)Y = yj
(cid:1)(cid:1)
(xi, yj )∈X(Ω)×Y (Ω)
est un système complet d’événements de Ω appelé système complet d’événements
associé au couple (X, Y ).
Remarque
Il découle immédiatement de cette proposition que si (X, Y ) est un couple de va-
riables aléatoires sur l’espace probabilisé (Ω, A, P), alors : on a :
(cid:1) ∩ (cid:0)Y = yj
P(cid:0)X = xi,Y = yj
P(cid:0)X = xi
(cid:1) = 1.
(cid:1) =
(cid:88)
(cid:88)
(xi,yj )∈X(Ω)×Y (Ω)
(xi,yj )∈X(Ω)×Y (Ω)
Variables aléatoires
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MP2
SOMMAIRE
Proposition
II- Couples de variables aléatoires discrètes
L’ensemble des variables aléatoires réelles discrètes sur l’espace probabilisable
(Ω, A) est un espace vectoriel réel.
De plus, le produit de deux variables aléatoires réelles discrètes sur (Ω, A) est une
variable aléatoire réelle discrète.
Démonstration :
• La fonction nulle est une variable aléatoire discrètes.
• Si X et Y sont des variables aléatoires réelles sur (Ω, A) et λ un réel, posons Z = (X, Y ).
Alors Z est une variable aléatoire discrète à valeurs dans R2 et λX + Y = f (Z), où f est
l’application (x, y) (cid:55)→ λx + y, donc λX + Y est une variable aléatoire réelle discrète.
Ainsi, l’ensemble des variables aléatoires réelles discrètes sur (Ω, A) est un sous-espace
vectoriel de l’ensemble des applications de Ω dans R
• En gardant les mêmes notations, on a XY = g(Z), où g est l’application (x, y) (cid:55)→ xy,
donc XY est une variable aléatoire réelle.
2. Loi conjointe
Définition
Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes sur l’espace probabilisé (Ω, A, P) à
valeurs dans E et F respectivement, alors la loi conjointe de X et Y est la loi du
couple (X, Y ).
Remarque
Déterminer la loi conjointe (X, Y ) revient à calculer
pi,j = P(X = xi, Y = yj) avec xi ∈ X(Ω) et yj ∈ Y (Ω).
Exemple : Une urne comporte 2 boules blanches, 1 rouge et 1 noire.
On tire simultanément deux boules de cette urne et l’on note X le nombre de boules
blanches et Y le nombre de boules noires tirées.
Y = 0
Y = 1
3. Lois marginales
Définition
X = 0 X = 1 X = 2
0
1/6
1/3
1/3
1/6
0
Pour tout couple (X, Y ) de variables aléatoires discrètes, la loi de X est appelée
première loi marginale du couple (X, Y ) et celle de Y est appelée deuxième loi
marginale du couple .
Variables aléatoires
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MP2
II- Couples de variables aléatoires discrètes
A.U : 19/20
Théorème
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires discrètes sur l’espace probabilisé
(Ω, A, P),avec toujours X(Ω) et Y (Ω) au plus dénombrables.
On dispose des égalités suivantes :
∀x ∈ X(cid:0)Ω(cid:1), P(X = x) =
(cid:88)
P(cid:0)(cid:0)X = x(cid:1) ∩ (cid:0)Y = y(cid:1)(cid:1)
=
∀y ∈ Y (Ω), P(Y = y) =
=
y∈Y
(cid:0)
(cid:1)
Ω
(cid:88)
P(cid:0)X = x, Y = y(cid:1)
y∈Y (Ω)
(cid:88)
x∈X(Ω)
(cid:88)
y∈Y (Ω)
P(cid:0)(cid:0)X = x(cid:1) ∩ (cid:0)Y = y(cid:1)(cid:1)
P(cid:0)X = x, Y = y(cid:1)
Démonstration :
Ces égalités résultent de ce que (cid:0)(cid:0)X = xi
complet d’événements de Ω
Exemple : On reprend l’urne urne comporte 2 boules blanches, 1 rouge et 1 noire.
On tire simultanément deux boules de cette urne et l’on note X le nombre de boules
blanches et Y le nombre de boules noires tirées.
(xi, yj )∈X(Ω)×Y (Ω) est un système
(cid:1) ∩ (cid:0)Y = yj
(cid:1)(cid:1)
Y = 0
Y = 1
PX
Remarque
X = 0 X = 1 X = 2 PY
0
1/6
1/6
1/3
1/3
2/3
1/6
0
1/6
1/2
1/2
En revanche, les lois marginales ne suffisent pas à déterminer la loi conjointe.
Par exemple, les deux tableaux ci-dessous correspondent à de mêmes lois marginales pour
des lois conjointes différentes
Y \X X = 0 X = 1 PY
Y = 0
Y = 1
PX
0
1/2
1/2
1/2
0
1/2
1/2
1/2
et
Y \X X = 0 X = 1 PY
Y = 0
Y = 1
PX
0
1/2
1/2
1/2
0
1/2
1/2
1/2
Variables aléatoires
12/35
MP2
SOMMAIRE
II- Couples de variables aléatoires discrètes
Exercice
Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans N∗, telles que :
P(cid:0)(X = i) ∩ (Y = j)(cid:1) =
a
2i+j , pour tous i, j de N∗.
1. Calculer a.
2. Déterminer les lois marginales de X et Y .
3. X et Y sont-elles indépendantes ?
Réponse
1. Il est d’abord nécessaire que a (cid:62) 0. On a ensuite :
+∞
(cid:88)
+∞
(cid:88)
+∞
(cid:88)
a
2i+j = 1 ⇐⇒
a
2i = 1 ⇐⇒ a = 1.
i=1
j=1
i=1
2. Pour i ∈ N∗, on a :
P(X = i) =
+∞
(cid:88)
P(cid:0)(X = i) ∩ (Y = j)(cid:1)
j=1
+∞
(cid:88)
1
2i+j =
X suit donc une loi géométrique de paramètre 1/2. Par raison de symétrie, il en
est de même pour Y .
1
2i−1 .
1
2i =
1
2
j=1
Publicité
=
3. On a :
P(X = i) × P(Y = j) =
1
Les variables aléatoires sont indépendantes.
2i+j = P(cid:0)(X = i) ∩ (Y = j)(cid:1).
4. Lois conditionnelles
Définition
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires discrètes sur un espace probabilisé
(Ω, A, P)
Pour tout y de Y (Ω) tel que P(Y = y) (cid:54)= 0, la loi conditionnelle de X sachant (Y = y)
est la loi de X dans l’espace probabilisé (cid:0)Ω, A, PY =y
Elle est donc déterminée par la donnée, pour tout x ∈ X(Ω) :
(cid:1).
PY =y
(cid:0)X = x(cid:1) = P(cid:0)X = x|Y = y(cid:1).
De même, pour tout x de X(Ω), la loi conditionnelle de Y sachant (X = x) est la
loi de Y dans l’espace probabilisé (cid:0)Ω, A, PX=x
(cid:1).
Variables aléatoires
13/35
MP2
II- Couples de variables aléatoires discrètes
A.U : 19/20
Remarque
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires discrètes sur un espace probabilisé
(Ω, A, P) et y de Y (Ω) tel que P(Y = y) = 0, on pose pour tout x ∈ X(Ω),
P(cid:0)X = x|Y = y)(cid:1) = 0.
De même si P(X = x) = 0, on pose pour tout y ∈ Y (Ω), P(cid:0)Y = y|X = x(cid:1) = 0.
Théorème
Soit (X, Y ) un couple de variables discrètes sur (Ω, A, P).
On suppose que, pour tout (x, y) ∈ X(Ω) × Y (Ω), on P(X = x) (cid:54)= 0 et P(Y = y) (cid:54)= 0.
Alors, pour tout (x, y) ∈ X(Ω) × Y (Ω) :
P(cid:0)(cid:0)X = x(cid:1) ∩ (cid:0)Y = y(cid:1)(cid:1) = P(cid:0)Y = y(cid:1)P(cid:0)X = x|Y = y(cid:1)
= P(cid:0)X = x(cid:1)P(cid:0)Y = y|X = x(cid:1)
P(cid:0)X = x(cid:1) =
(cid:88)
P(cid:0)Y = y(cid:1)P(cid:0)X = x|Y = y(cid:1)
P(cid:0)Y = y(cid:1) =
y∈Y (Ω)
(cid:88)
x∈X(Ω)
P(cid:0)X = x(cid:1)P(cid:0)Y = y|X = x(cid:1)
Démonstration :
Les premières égalités résultent de la définition des probabilités conditionnelles,
les deux dernières de formule des probabilités totales appliquée aux systèmes complets
d’événement (cid:0)Y = y(cid:1)
.
Exemple :
Supposons X et Y variables aléatoires de loi conjointe donnée par
y∈Y (Ω) et (cid:0)X = x(cid:1)
x∈X(Ω)
Y = 0
Y = 1
La loi de Y sachant X = x est alors
X = 0 X = 1 X = 2
0
1/6
1/3
1/3
1/6
0
P(Y = 0|X = x)
P(Y = 1|X = x)
Définition
X = 0 X = 1 X = 2
0
1
1/2
1/2
1
0
Plus généralement, si A est une partie de X(Ω), on peut définir la loi de Y sachant
X ∈ A
(cid:40) P(X ∈ A, Y = y)
P(Y = y|X ∈ A) =
Variables aléatoires
P(X ∈ A)
0
14/35
si P(X ∈ A) > 0
sinon
MP2
SOMMAIRE
III- Indépendance de variables aléatoires
III- Indépendance de variables aléatoires
1. Couple de variables indépendantes
Définition
Deux variables aléatoires X et Y discrètes définies sur un espace probabilisé
(Ω, A, P) sont dites indépendantes si, pour tout (x, y) ∈ X × Y ,
P(cid:0)X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y).
Si
Proposition
Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes sont indépendantes alors pour tout
A ⊂ X(Ω) et B ⊂ Y (Ω),
les événements (X ∈ A) et (Y ∈ B) sont indépendants c-à-d
P(cid:0)X ∈ A, Y ∈ B(cid:1) = P(cid:0)X ∈ A(cid:1)P(cid:0)Y ∈ B(cid:1).
Exemple :
1. On lance deux dés discernables. X détermine la valeur du premier et Y celle du second.
Il est usuel de modéliser X et Y en tant que variables indépendantes.
2. Une première urne contient 2 boules blanches et 3 boules noires et une seconde l’in-
verse. On jette une pièce et si l’on obtient « face », on tire une boule dans la première
urne, sinon, on tire cette boule dans la seconde urne.
On note X la valeur du lancer de la pièce et Y la couleur de la boule tirée.
Les variables X et Y ne sont pas indépendantes.
Remarque
Si X et Y sont indépendantes, la loi de Y sachant X ∈ A se résume à la loi de Y .
Exemple : Supposons X et Y variables aléatoires de loi conjointe donnée par
Y = 0
Y = 1
X = 0 X = 1
1/12
3/12
2/12
6/12
La loi de Y sachant X = x est alors
P(Y = 0|X = x)
P(Y = 1|X = x)
X = 0 X = 1
1/4
3/4
1/4
3/4
Les variables X et Y sont indépendantes.
Variables aléatoires
15/35
MP2
III- Indépendance de variables aléatoires
A.U : 19/20
Théorème
Si X et Y sont deux variables indépendantes alors pour toutes fonctions f, g défi-
nies sur les domaines de valeurs de X et Y , les variables f (X) et g(Y ) sont indépen-
dantes.
Définition
Soit n ∈ N∗. Si X1, . . ., Xn sont des variables aléatoires discrètes sur l’espace proba-
bilisable (Ω, A), à valeurs respectivement dans E1 , . . ., En , alors l’application :
Ω −→ E1 × . . . × En
ω (cid:55)−→ (X1(ω), . . . , Xn(ω))
est appelée n-uplet de variables aléatoires sur Ω.
On le noté (X1, . . . , Xn).
Définition
Soit X1, . . ., Xn sont des variables aléatoires discrètes sur l’espace probabilisé
(Ω, A, P)
• La loi conjointe de X1, . . ., Xn est la loi du n-uplet (X1, . . . , Xn).
• Les lois marginales du n-uplet (X1, . . . , Xn) sont les lois des variables aléatoires
X1, . . ., Xn.
Théorème
Soit (X1, . . . , Xn) un n-uplet de variables aléatoires sur l’espace probabilisé (Ω, A, P)
Pour tout k ∈ [[1, n]] et tout xk ∈ Xk(Ω), on a :
P(X = xk) =
(cid:88)
P(X1 = x1, . . . , Xn = xn)
x1∈X1(Ω),...,xk−1∈[X]k−1(Ω)
xk+1∈[X]k−1(Ω),...,xn∈[X]n(Ω)
Variables aléatoires
16/35
MP2
SOMMAIRE
Remarque
III- Indépendance de variables aléatoires
• En particulier, si P est une loi de probabilité discrète, il existe un espace proba-
bilisé (Ω, A, P) et une suite (Xn) de variables aléatoires discrètes, indépendantes
sur (Ω, A, P) telle que, pour tout n ∈ N, la loi de Xn soit P.
On parle alors de suites de variables indépendantes identiquement distribuées.
Une telle suite modélise une suite d’épreuves identiques aux résultats indépen-
dants.
• Si P est la loi de Bernoulli de paramètre p, on obtient une modélisation du jeu
de pile ou face. Pour tout n ∈ N, Xn = 1 et Xn = 0 sont des événements, qu’on
appelle respectivement obtenir pile et face ou succès et échec à la nième épreuve ;
les variables Xn étant indépendantes, les événements Xn = 1, pour n ∈ N, sont
indépendants et de probabilité p.
2. Famille finie de variables mutuellement indépendantes
Définition
On a équivalence entre :
(i) les variables aléatoires X1, . . . , Xn sont mutuellement indépendantes ;
(ii) ∀(x1, . . . , xn) ∈ X1(Ω) × · · · × Xn(Ω),
P(X1 = x1, . . . , Xn = xn) = P(X1 = x1) . . . P(X = xn)
Remarque
Si X1, X2, . . . ,Xn sont des variables aléatoires mutuellement indépendantes, alors
pour tout m compris entre 1 et n et toutes fonctions f et g , les variables f (X1, ..., Xm)
et g(Xm+1, . . . , Xn) sont indépendantes.
Attention
(cid:33) L’indépendance mutuelle ne doit pas être confondues avec l’indépendance deux
à deux.
Si on lance deux dés discernables que l’on note X et Y les partiés de chaque dé et Z
la partié de la somme alors les variables X, Y, Z sont deux à deux indépendantes,
mais pas mutuellement indépendantes.
Variables aléatoires
17/35
MP2
IV- Espérance, variance, covariance
A.U : 19/20
IV- Espérance, variance, covariance
1. Espérance
Définition
Soit X une variable aléatoire discrète réelle. On dit que X est d’espérance finie si la
famille (P(X = x)x)x∈X(Ω)) est sommable.
Dans ce cas, l’espérance de X, notée E(X), est la somme de cette famille :
(cid:88)
xP(X = x).
x∈X(Ω)
E(X) =
Remarque
• Si X(Ω) = {xn, n ∈ N} avec les xn ∈ R sont distincts deux à deux alors
E(X) existe si et seulement si la série numérique
(cid:88)
• Si la série numérique
xnP(cid:0)X = x(cid:1) ne converge pas absolument on dit que X
(cid:88)
xnP(X = xn) converge absolument.
n∈N
n’admet pas d’espérance.
• Si la série
Publicité
(cid:88)
xnP(X = xn) converge absolument alors la somme
ne dépend pas de l’ordre d’énumération.
+∞
(cid:88)
n=0
xnP(X = xn)
• Si X(Ω) est fini, la variable aléatoire X est d’espérance finie et la définition de
l’espérance coïncide avec celle qui a été donnée en première année.
• La différence essentielle entre le cas infini et le cas fini est que dans le cas discret
l’espérance n’est pas toujours définie.
Définition
Toute variable aléatoire réelle discrète d’espérance nulle est dite centrée.
Variables aléatoires
18/35
MP2
SOMMAIRE
IV- Espérance, variance, covariance
Théorème: Théorème du transfert
Soit X une variable aléatoire discrète sur l’espace probabilisé (Ω, A, P) et f une fonc-
tion à valeurs réelles définie sur X(Ω) si, la famille (f (x)P(X = x))x∈[X](Ω) est som-
mable. On a alors :
E(f (X)) =
(cid:88)
f (x)P(X = x).
x∈[X](Ω)
si X est une variable aléatoire et f une application à valeurs réelles définie sur
l’image E = {xn, n ∈ N} de X, alors f (X) est d’espérance finie si et seulement si
la série
(cid:88)
P(X = xn)f (xn) converge absolument. Dans ce cas, on a :
n∈N
E(f (X)) =
+∞
(cid:88)
n=0
f (xn)P(X = xn)
Théorème: Propriétés de l’espérance
Soient X et Y sont deux variables aléatoires discrètes d’espérances finies sur
(Ω, A, P)
(i) Linéarité de l’espérance :
Pour tout α, β ∈ R αX + βY est d’espérance finie et
E(αX + βY ) = α E(X) + β E(Y ).
(ii) Positivité de l’espérance :
Si X (cid:62) 0, c’est-à-dire si X(ω) (cid:62) 0 pour tout ω ∈ Ω, alors E(X) (cid:62) 0.
(iii) Croissance de l’espérance
Si X (cid:62) Y , c’est-à-dire si X(ω) (cid:54) Y (ω) pour tout ω ∈ Ω, alors E(X) (cid:54) E(Y ).
Démonstration : On suppose que X(Ω) = {xn|n ∈ N} avec les xn sont distincts deux à
deux.
(i) On sait que si les séries numériques
(cid:88)
xnP(X = xn) et
(cid:88)
(cid:88)
ynP(Y = yn) convergent
αxnP(X = xn) + βP(Y = yn)
absolument il est de même pour la série numérique
converge aussi absolument et on a :
E(αX + βY ) =
(αxnP(X = xn) + βynP(Y = yn))
+∞
(cid:88)
n=0
= α
+∞
(cid:88)
n=0
xnP(X = xn) + β
+∞
(cid:88)
n=0
ynP(Y = yn)
= α E(X) + β E(Y ).
Variables aléatoires
19/35
MP2
IV- Espérance, variance, covariance
A.U : 19/20
(ii) Comme X(Ω) = {xn|n ∈ N} ⊂ R+, il vient E(X) =
+∞
(cid:88)
n=0
xn · P(X = xn), qui est la
somme d’une
série à termes positifs donc positive.
(iii) Y − X est une variable discrète à valeurs positives et d’espérance
E(Y − X) = E(Y ) − E(X) donc E(Y ) − E(X) (cid:62) 0 d’où E(Y ) (cid:62) E(X).
Théorème
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. Si X admet une espérance finie, alors :
+∞
(cid:88)
E(X) =
P(X (cid:62) n).
n=1
Démonstration :
Comme X est à valeurs dans N, (X (cid:62) n) = (X = n) ∪ (X (cid:62) n + 1) pour tout n ∈ N. Fixons
p ∈ N∗.
p
(cid:88)
p
(cid:88)
n · P(X = n) =
n · [P(X (cid:62) n) − P(X (cid:62) n + 1)]
n=0
Ainsi,
Par ailleurs,
n=0
p
(cid:88)
n=0
p
(cid:88)
n=0
=
=
nP(X (cid:62) n) −
p
(cid:88)
(n + 1)P(X (cid:62) n + 1) +
n=0
p
(cid:88)
n=0
P(X (cid:62) n + 1)
P(X (cid:62) n + 1) − (p + 1)P(X (cid:62) p + 1) (télescopage)
p
(cid:88)
n=0
n · P(X = n) =
0 (cid:54) pP(X (cid:62) p + 1) =
p
(cid:88)
n=1
+∞
(cid:88)
P(X (cid:62) n) − pP(X (cid:62) p + 1).
pP(X = n) (cid:54)
+∞
(cid:88)
n=p+1
nP(X = n)
n=p+1
et cette dernière quantité tend vers 0 comme reste d’une série convergente (la variable
aléatoire étant d’espérance finie).
Bref, pP(X (cid:62) p + 1) −−−−→
p→+∞
Variables aléatoires
0 donc en faisant tendre p vers +∞, il vient
P(X (cid:62) n).
E(X) =
+∞
(cid:88)
n=1
20/35
MP2
SOMMAIRE
Exercice
IV- Espérance, variance, covariance
Soit p ∈]0, 1[.
On dispose d’une pièce amenant "pile" avec la probabilité p.
On lance cette pièce jusqu’à obtenir pour la deuxième fois "pile". Soit X le nombre
de "face" obtenus au cours de cette expérience.
1. Déterminons la loi de X.
2. Montrons que X admet une espérance, et la calculer.
Réponse
1. Soit ninN L’événement (X = n + 2) correspond au déroulement suivant :
« on a obtenu un et un seul pile lors des n + 1 premiers tirages, et le n + 2ième tirage
donne un pile. »
Il y a donc n + 1 choix pour le premier pile. Ceci choisi, l’événement élémentaire a une
probabilité qui vaut p2(1 − p)n. On a donc :
P(X = n) = (n + 1)p2(1 − p)n.
2. La série définissant E(X) est évidemment convergente, et sa sommation est facile (si
elle vous semble difficile, il faut réviser comment faire, par exemple en utilisant les
séries entières). On trouve :
E(X) =
+∞
(cid:88)
n=1
nP(X = n) =
2(1 − p)
p
.
Théorème
Si les variables X et Y sont indépendantes et admettent une espérance alors XY
admet une espérance et
E(XY ) = E(X)E(Y )
Remarque
La réciproque est fausse : on peut avoir E(XY ) = E(X)E(Y ) sans pour autant
indépendance de X et Y .
Corollaire
Si f (X) et g(Y ) admettent des espérances avec X et Y variables indépendantes alors
E(f (X)g(Y )) = E(f (X))E(g(Y ))
Variables aléatoires
21/35
MP2
IV- Espérance, variance, covariance
A.U : 19/20
2. Variance et écart-type
Définition: Moment d’ordre p
Soit X une variable aléatoire discrète et p ∈ N∗
Si X p admet une espérance finie, alors on appelle moment d’ordre p de X le réel
E(X p).
Théorème et définition: Variance
Soit X une variable aléatoire réelle discrète sur un espace probabilisé (Ω, A, P)
admettant un moment d’ordre 2.
On suppose que X(Ω) = {xn, n ∈ N} avec les xi sont distincts deux à deux.
Alors (X − E(X))2 est d’espérance finie.
(i) On appelle variance de X et on note V(X) le réel positif :
V(X) = E(cid:0)X − E(X)(cid:1)2 =
(xn − E(X))2P(X = xn)
+∞
(cid:88)
(ii) On appelle écart typ...