Théorie des nombres réels et fonctions : limites, dérivées, intégrales

73

Coniques 1re année

VIII

Partie 1

Analyse dans (cid:2)

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Nombres réels

1

1re année

1.

Premières propriétés

1.1 Corps ordonné On dit que l'ensemble R des nombres réels est • un corps pour dire qu'il est muni de deux opérations + et ×, avec toutes les

propriétés dont vous avez l'habitude ;

• un corps ordonné pour dire que la relation d'ordre (cid:1) est compatible avec +

et ×, c'est-à-dire :

∀a ∈ R ∀b ∈ R ∀c ∈ R ∀a ∈ R ∀b ∈ R ∀c (cid:2) 0

a (cid:1) b (cid:6)⇒ a + c (cid:1) b + c a (cid:1) b (cid:6)⇒ ac (cid:1) bc

1.2 Règles de calcul (cid:4)

(cid:3)

n(cid:2)

(x + y)n = (cid:6)

k=0

=

n! k!(n − k)!

(cid:5)

n k

où

n k

x k yn−k

(formule du binôme)

x n − yn = (x − y)

n−1(cid:2)

k=0

x n−k−1 yk .

1.3 Valeur absolue • La valeur absolue d'un réel a, notée |a|, est définie par : si a (cid:2) 0

|a| = −a

|a| = a

;

si a (cid:1) 0 .

• Propriétés

∀a ∈ R ∀b ∈ R

|a| (cid:2) 0 ;

|a| = 0 ⇐⇒ a = 0 ; (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:1) |a − b| (cid:7) |a| − |b|

;

|ab| = |a| |b|

|a + b| (cid:1) |a| + |b|

1.4 Propriété d'Archimède Soit a ∈ R et b > 0. Alors il existe k ∈ N tel que bk > a.

2

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Nombres réels 1

2.

Intervalles

2.1 Définitions Pour a (cid:1) b, le segment [a,b] est défini par :

[a,b] = {x ∈ R ;

a (cid:1) x (cid:1) b}

On utilise souvent la propriété :

c ∈ [a,b] ⇐⇒ ∃t ∈ [0,1]

c = ta + (1 − t)b

On définit de même les autres types d'intervalles : ]a,b[, [a,b[, ]a,b], ]a,+∞[, [a,+∞[, ] − ∞,b[, ] − ∞,b], ] − ∞,+∞[= R .

2.2 Propriété caractéristique Une partie A de R est un intervalle si, et seulement si : ∀a ∈ A ∀b ∈ A

a < c < b (cid:6)⇒ c ∈ A.

2.3 Voisinage d'un point Soit a ∈ R. Une partie V de R est un voisinage de a si elle contient un intervalle ouvert centré sur a.

2.4 Densité de Q dans R Tout intervalle ]a,b[ non vide contient au moins un rationnel et un irrationnel. On dit que Q et son complémentaire R \ Q sont denses dans R.

3.

Ordre dans R 3.1 Majoration, minoration

• Définitions Soit A une partie de R. On dit que a est un majorant de A si x (cid:1) a pour tout x de A. Si, en plus, a ∈ A, alors a est le plus grand élément de A, noté max A. Si A admet un majorant, on dit que A est majorée.

On définit de même : minorant, plus petit élément, partie minorée.

• Unicité Si une partie non vide de R admet un plus grand élément, ou un plus petit élément, il est unique. Mais il peut ne pas exister.

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Nombres réels

Surveillez votre vocabulaire : un majorant, le plus grand élément.

• Cas particulier des entiers naturels Toute partie non vide de N admet un plus petit élément. Toute partie non vide majorée de N admet un plus grand élément.

3.2 Borne supérieure, inférieure

• Définitions La borne supérieure de A est le plus petit élément (s'il existe) de l'ensemble des majorants de A. La borne inférieure de A est le plus grand élément (s'il existe) de l'ensemble des minorants de A. • Caractérisation M est la borne supérieure de A si, et seulement si, on a, à la fois :

∀x ∈ A x (cid:1) M , c'est-à-dire que M est un majorant ; ∀ε > 0 ∃ x ∈ A M − ε < x, c'est-à-dire que M − ε n'est pas un majorant.

m est la borne inférieure de A si, et seulement si, on a, à la fois :

∀x ∈ A m (cid:1) x , c'est-à-dire que m est un minorant ; ∀ε > 0 ∃ x ∈ A x < m + ε, c'est-à-dire que m + ε n'est pas un minorant.

• Remarque Si A admet un plus grand élément, alors c'est la borne supérieure de A. Si A admet un plus petit élément, alors c'est la borne inférieure de A.

• Théorème d'existence Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de R admet une borne supérieure (resp. inférieure).

3.3 Droite numérique achevée

Pour ne pas avoir de restriction dans le théorème précédent, on considère un nou- vel ensemble noté R obtenu à partir de R par l'adjonction de deux éléments notés −∞ et +∞ . On prolonge à R la relation d'ordre en posant pour tout a ∈ R :

−∞ < a < +∞ .

4

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Nombres réels 1

On définit ainsi la droite numérique achevée dont le plus grand élément est +∞ , le plus petit élément −∞ . Et le théorème précédent se généralise : Toute partie non vide de R admet une borne supérieure et une borne inférieure dans R.

4.

Approximations décimales

4.1 Valeurs approchées Soit a ∈ R, b ∈ R, ε > 0 . On dit que b est une valeur approchée de a à ε près si |a − b| < ε, c'est-à-dire si b ∈]a − ε,a + ε[. On parle de valeur approchée par excès si b > a et par défaut si b < a.

4.2 Partie entière Étant donné un nombre réel x, il existe un plus grand entier relatif, noté E(x) ou [x], tel que E(x) (cid:1) x. On l'appelle E(x) (cid:1) x < E(x) + 1 .

la partie entière de x. On a donc, par définition :

Attention à ne pas confondre avec la suppression de la partie déci- male quand x < 0 ; par exemple E(−4,3) = −5.

4.3 Valeurs décimales approchées Soit x ∈ R et n ∈ N. Il existe un entier d unique tel que d × 10−n (cid:1) x < (d + 1) × 10−n .

d est la partie entière de 10n x . d × 10−n s'appelle la valeur décimale approchée de x à 10−n près par défaut, et (d + 1) × 10−n celle par excès.

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Fonctions numériques

2

1re année

1.

Définitions

Fonction numérique

1.1 Définir une fonction numérique f sur une partie non vide E de R, c'est indiquer comment faire correspondre au plus un réel y à tout x de E. Le réel y est l'image de x par f et s'écrit f (x) . On note :

f : E −→ R

x

(cid:4)→ f (x).

L'ensemble des réels qui ont effectivement une image par f est l'ensemble de défi- nition de f. Il est noté D f, ou D s'il n'y a pas d'ambiguité.

1.2 Représentation graphique

(cid:3) −→ −→ i , j Le plan étant rapporté à un repère (cid:2) est l'ensemble C f des points de coordonnées

O,

(cid:2)

(cid:3) x, f (x)

avec x ∈ D f .

, la représentation graphique de f

Images et images réciproques d'ensembles

1.3 Soit A ⊂ D f. L'image de A par f est l'ensemble :

f (A) = { f (x) ; x ∈ A} .

Soit B ⊂ R . L'image réciproque de B par f est l'ensemble :

−1 f (B) = {x ∈ D f ; f (x) ∈ B} .

Attention à ne pas confondre avec la réciproque d'une bijection. Ici, on ne suppose rien sur f.

1.4 Restriction, prolongement Soit f une fonction définie sur I et g une fonction définie sur J. Si I ⊂ J et si f (x) = g(x) pour tout x de I , on dit que f est une restriction de g, ou que g est un prolongement de f.

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Fonctions numériques 2

2.

Premières propriétés

2.1 Parité

• f est paire si

∀x ∈ D f

(−x) ∈ D f

et f (−x) = f (x).

Son graphe est symétrique par rapport à (Oy). • f est impaire si

∀x ∈ D f

(−x) ∈ D f

et f (−x) = − f (x) .

Son graphe est symétrique par rapport à O.

2.2 Périodicité

f est périodique, de période T (ou T-périodique), si

∀x ∈ D f

(x + T ) ∈ D f

et f (x + T ) = f (x) .

Son graphe est invariant par les translations de vecteurs kT

−→ i avec k ∈ Z.

2.3 Sens de variation • f est croissante sur I si I ⊂ D f et ∀x1 ∈ I • f est décroissante sur I si I ⊂ D f et ∀x1 ∈ I

∀x2 ∈ I

∀x2 ∈ I

x1 < x2 (cid:12)⇒ f (x1) (cid:1) f (x2) .

x1 < x2 (cid:12)⇒ f (x1) (cid:2) f (x2) .

• f est monotone sur I si elle est croissante sur I , ou décroissante sur I .

• Avec des inégalités strictes, on définit : f strictement croissante, strictement

décroissante, strictement monotone, sur D f.

2.4

Extremum

• f admet un maximum (resp. minimum) global en x0 si :

∀x ∈ D f

f (x) (cid:1) f (x0)

(resp. f (x) (cid:2) f (x0)).

• f admet un maximum (resp. minimum) local en x0 ∈ D f, s'il existe un intervalle ouvert I ⊂ D f, tel que : ∀x ∈ I

(resp. f (x) (cid:2) f (x0)).

f (x) (cid:1) f (x0)

Un maximum ou un minimum local est dit extremum local en x0. Un extremum est un maximum ou un minimum.

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2

Fonctions numériques

Fonction lipschitzienne

2.5 f est une fonction lipschitzienne de rapport k, ou k−lipschitzienne, si :

∀x ∈ D ∀y ∈ D

| f (x) − f (y)| (cid:1) k |x − y| .

Lorsque k < 1, f est dite contractante.

3.

Relation d'ordre

3.1 Comparaison de fonctions

f et g étant deux fonctions, à valeurs réelles, définies sur le même ensemble de définition D, on note f (cid:1) g (resp. f (cid:2) g) si :

∀x ∈ D f (x) (cid:1) g(x)

(resp. f (x) (cid:2) g(x) ).

Si f (cid:2) 0, f est dite positive.

3.2 Majorant, minorant Si l'ensemble des images f (D) est majoré, ou minoré, ou borné, on dit que f est majorée, ou minorée, ou bornée. Si l'image f (I ) de I admet une borne supérieure, ou une borne inférieure, on parle de borne supérieure, de borne inférieure, de f sur I et on note :

3.3 Propriétés

f (x)

sup x∈I

; inf x∈I

f (x).

inf x∈I

f (x) = − sup x∈I

(cid:2)

(cid:3) − f (x)

.

Si, pour tout x ∈ I, on a f (x) (cid:1) g(x) , alors sup x∈I

f (x) (cid:1) sup x∈I

g(x) .

Si I ⊂ J , on a sup x∈I

f (x) (cid:1) sup x∈J

f (x).

4.

Opérations sur les fonctions

4.1 Valeur absolue d'une fonction f étant définie sur D, la fonction | f | est définie sur D par x (cid:4)→ | f (x)|. On définit aussi f + et f − sur D par :

f +(x) = sup ( f (x),0)

;

f −(x) = sup (− f (x),0) .

On a alors f = f + − f − et | f | = f + + f −.

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Fonctions numériques 2

4.2 Opérations algébriques

Soit f et g deux fonctions numériques et λ un réel.

La fonction λ f est définie sur D f par :

(λ f ) (x) = λ f (x).

La fonction f + g est définie sur D f ∩ Dg par :

( f + g) (x) = f (x) + g(x) .

La fonction f g est définie sur D f ∩ Dg par :

( f g) (x) = f (x) g(x) .

La fonction

f g

est définie sur D f ∩ Dg \ {x ; g(x) = 0} par :

f g

(x) = f (x) g(x)

·

4.3 Composition

On appelle composée de f par g la fonction, notée g ◦ f , définie sur D f ∩ par :

(cid:2)

(cid:3) f (x)

.

(g ◦ f ) (x) = g

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−1 f (Dg)

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Limites : généralités

3

1re année

Limites

1. Soit f une fonction, à valeurs réelles, définie sur un intervalle I contenant au moins deux points.

1.1

Limite d'une fonction en x0

Soit x0 un point appartenant à I , ou extrémité de I . On dit que f admet une limite finie l en x0, et on note lim x→x0

f (x) = l , si :

∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ I

|x − x0| (cid:1) δ (cid:9)⇒ | f (x) − l| (cid:1) ε .

Cette limite peut exister même si f n'est pas définie en x0. Mais si f est définie en x0 et si lim x→x0

f (x) existe, alors lim x→x0

f (x) = f (x0) .

Si une fonction admet une limite l en x0, cette limite est unique.

Limite à gauche, limite à droite

1.2 • f admet une limite à droite l en x0 si la restriction de f à I ∩ ]x0,+∞[ admet

pour limite l en x0. On note :

lim x→x + 0

f (x) = l .

• f admet une limite à gauche l en x0 si la restriction de f à I ∩ ] − ∞,x0[ admet

pour limite l en x0. On note :

lim x→x − 0

f (x) = l .

• Si f est définie sur un intervalle de la forme ]x0 − a,x0 + a[, sauf en x0, alors :

lim x→x0

f (x) = l ⇐⇒ lim x→x − 0

f (x) = lim x→x + 0

f (x) = l .

Si f est définie en x0, ces deux limites doivent aussi être égales à f (x0).

Limite infinie en x0

1.3 • On dit que f tend vers +∞ quand x tend vers x0 si :

∀A > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ I

|x − x0| (cid:1) δ (cid:9)⇒ f (x) (cid:2) A .

On note : lim x→x0

f (x) = +∞ .

• On dit que f tend vers −∞ quand x tend vers x0 si :

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Limites : généralités 3

∀A > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ I

|x − x0| (cid:1) δ (cid:9)⇒ f (x) (cid:1) −A .

On note : lim x→x0

f (x) = −∞ .

1.4

Limite de f lorsque x tend vers +∞ ou −∞

• On dit que f a pour limite l quand x tend vers +∞ si :

∀ε > 0 ∃B > 0 ∀x ∈ I

x (cid:2) B (cid:9)⇒ | f (x) − l| (cid:1) ε .

On note :

lim x→+∞

f (x) = l .

On définit de manière analogue lim

x→−∞

f (x) = l .

• On dit que f tend vers +∞ quand x tend vers +∞ si :

∀A > 0 ∃B > 0 ∀x ∈ I

x (cid:2) B (cid:9)⇒ f (x) (cid:2) A .

On note :

lim x→+∞

f (x) = +∞ .

On définit de manière analogue lim

x→−∞

f (x) = +∞ . . .

2.

Propriétés des limites

2.1 Propriétés liées à l'ordre

• Si f admet une limite finie en x0, alors f est bornée au voisinage de x0. • Si f admet une limite finie l > 0 en x0, alors il existe a > 0 tel que f (cid:2) a au

voisinage de x0.

• Si f est positive au voisinage de x0 et admet une limite finie l en x0, alors l (cid:2) 0. g(x) = m , alors l (cid:1) m. • Si f (cid:1) g au voisinage de x0, et si lim x→x0

f (x) = l et lim x→x0

• Théorème d'encadrement (ou des gendarmes, ou sandwich) Soit f, g et h trois fonctions définies au voisinage de x0, et vérifiant f (cid:1) g (cid:1) h au voisinage de x0. Si f et h ont la même limite l (finie ou infinie) en x0, alors g a pour limite l en x0. • Soit f et g deux fonctions définies au voisinage de x0, et vérifiant f (cid:1) g au voi- sinage de x0. Si lim x→x0

f (x) = +∞ , alors lim x→x0

g(x) = +∞ .

Si lim x→x0

g(x) = −∞ , alors lim x→x0

f (x) = −∞ .

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Limites : généralités

2.2 Opérations algébriques

Soit f et g deux fonctions définies au voisinage de x0 et admettant des limites l et m en x0, et λ un réel. Alors les fonctions f + g, λ f et f g admettent respectivement pour limites en x0 : l + m, λ f et lm.

Si de plus m =/ 0 ,

1 g

a pour limite

·

1 m

2.3

Fonction composée

• Soit f une fonction définie au voisinage de x0 avec lim x→x0

au voisinage de u0 telle que lim u→u0

g(u) = v .

f (x) = u0 et g définie

Alors g ◦ f est définie au voisinage de x0 et lim x→x0

g( f (x)) = v .

• Image d'une suite convergente

Soit f définie sur un intervalle I et a un point de I . f a pour limite l au point a si, et seulement si, pour toute suite (xn) convergeant vers a, la suite converge vers l, finie ou non.

(cid:3) f (xn)

(cid:2)

Pour démontrer qu'une fonction f n'a pas de limite lorsque x tend vers a, il suffit de fournir un exemple de suite (xn) qui tende vers a et telle que

soit divergente.

(cid:3) f (xn)

(cid:2)

2.4 Cas des fonctions monotones Soit f une fonction monotone sur ]a,b[. Elle admet en tout point x0 de ]a,b[ une limite à droite et une limite à gauche. Lorsque f est croissante, si elle est majorée, elle admet en b une limite à gauche finie, si elle n'est pas majorée, elle tend vers +∞ quand x tend vers b−. Pour f décroissante, on a la propriété analogue en a.

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Limites : comparaisons locales

4

1re année

1.

Comparaison au voisinage d'un point

Soit f et g deux fonctions définies sur I , et x0 un point, fini ou infini, appartenant à I , ou extrémité de I .

1.1 Définitions • On dit que f est dominée par g au voisinage de x0 s'il existe A > 0 tel que

| f (x)| (cid:1) A |g(x)| pour tout x d'un voisinage J de x0.

notation :

f = O(g) .

Si g ne s'annule pas sur J, cela signifie que

f g

est bornée sur J.

• On dit que f est négligeable devant g, ou que g est prépondérant devant f, au voisinage de x0 si, pour tout ε > 0 , il existe un voisinage J de x0 tel que l'on ait | f (x)| (cid:1) ε |g(x)| pour tout x de J.

notation :

f = o(g).

Si g ne s'annule pas au voisinage de x0, cela signifie :

(cid:2)

(cid:3)

f (x) g(x)

lim x→x0

= 0 .

• On dit que f et g sont équivalentes au voisinage de x0, si on a f − g = o(g).

Si g ne s'annule pas au voisinage de x0, cela signifie :

(cid:2)

(cid:3)

f (x) g(x)

lim x→x0

= 1 .

notation :

f ∼ g ou f ∼ x0

g .

La relation ∼ x0

est transitive. Si on sait que f ∼ x0

g et g ∼ x0

h, on en déduit que f ∼ x0

h.

1.2

Exemples fondamentaux

Au voisinage de +∞ , on a :

(ln x)α = o(x β)

et

x β = o(eγx )

où α > 0 , β > 0 ,

γ > 0.

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Limites : comparaisons locales

Au voisinage de 0, on a :

|ln x|α = o(x β)

où α > 0

et

β < 0 .

1.3 Propriétés des fonctions équivalentes

Si f1 ∼ x0 Si f ∼ x0

g1 et f2 ∼ x0

g2, alors f1 f2 ∼ x0

g1g2 et

g et si lim x→x0

g(x) = l , alors lim x→x0

·

f1 g1 ∼ f2 g2 x0 f (x) = l .

Des deux théorèmes précédents, il résulte que, lorsque l'on a à cher- cher la limite d'un produit ou d'un quotient, on peut remplacer cha- cune des fonctions par une fonction équivalente, choisie pour sim- plifier le calcul. Mais attention à ne pas effectuer un tel remplacement dans une somme, ni dans une fonction composée.

1.4

Équivalents classiques

ex − 1 ∼ 0

x

ln(1 + x) ∼ 0

x

;

;

x

sin x ∼ 0 tan x ∼ 0

x

;

;

2.

Branche infinie d'une courbe

1 − cos x ∼ 0

x 2 2 (1 + x)α − 1 ∼ 0

;

αx.

2.1 Définition La courbe représentative C f d'une fonction f admet une branche infinie lorsque O M tend vers l'infini avec M ∈ C f.

2.2 Asymptote

f (x) = l (resp. lim x→−∞

f (x) = l ), la droite y = l est une asymptote hori-

Si lim x→+∞ zontale de C f. Si lim x→x0 tote verticale de C f. (cid:4)

f (x) = +∞ (resp. lim x→x0

f (x) = −∞ ), la droite x = x0 est une asymp-

(cid:5) f (x) − (ax + b)

lim x→+∞

lim Si x→−∞ y = ax + b est une asymptote oblique de C f.

= 0 (resp.

(cid:4)

(cid:5) f (x) − (ax + b)

= 0 ), la droite

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Limites : comparaisons locales 4

2.3 Branche parabolique Soit f admettant une limite infinie en +∞ (resp. −∞ ).

Si

f (x) x

branche parabolique verticale.

admet une limite infinie en +∞ (resp. −∞ ), la courbe C f présente une

f (x) x

admet une limite finie a lorsque x tend vers +∞ (resp. −∞ ) et si Si f (x) − ax a une limite infinie, la courbe C f présente une branche parabolique de pente a.

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Continuité

5

1re année

1.

Continuité en un point

• f est continue en x0 si elle est définie en x0 et si lim x→x0

f (x) = f (x0) .

• f est continue à droite (resp. à gauche) en x0 si lim x→x + 0

f (x) = f (x0) ).

lim x→x − 0

f (x) = f (x0) (resp.

• Prolongement par continuité Soit f une fonction définie sur I et x0 /∈ I. Si lim x→x0

f (x) = l , la fonction ˜f définie

sur I ∪ {x0} par ˜f (x0) = l et ˜f (x) = f (x) pour x ∈ I, est la seule fonction conti- nue en x0 dont la restriction à I soit f. On l'appelle le prolongement par conti- nuité de f en x0.

2.

Continuité sur un intervalle

• Soit E un ensemble qui soit un intervalle ou une réunion d'intervalles. Une fonction f, définie sur E, est dite continue sur E, si f est continue en tout point de E.

• L'ensemble C(I ) des fonctions continues sur I constitue une algèbre, c'est-à- dire que, si f et g sont des éléments de C(I ) et λ un réel, les fonctions f + g, f g et λ f appartiennent à C(I ), et les opérations ainsi définies possèdent toutes les propriétés algébriques qui caractérisent la structure que l'on appelle une algèbre (cf. fiche. 44).

3.

Image d'un intervalle

Théorème des valeurs intermédiaires

3.1 Si f est continue sur un intervalle I , alors f (I ) est un intervalle.

Image d'un intervalle fermé

3.2 Si f est continue sur un intervalle fermé I , alors f (I ) est un intervalle fermé. En particulier, si une fonction f est continue sur [a,b], et si f (a) et f (b) sont de signe contraire, l'équation f (x) = 0 admet au moins une solution dans [a,b].

16

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Continuité 5

3.3 Cas d'une fonction strictement monotone

Soit f une fonction continue et strictement croissante (resp. décroissante) sur un intervalle I . f est une bijection de I sur f (I ), et sa bijection réciproque f −1 est continue et strictement croissante (resp. décroissante) sur l'intervalle f (I ). Dans un repère orthonormé, les graphes de f et de f −1 sont symétriques par rap- port à la première bissectrice des axes.

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Fonctions dérivables

6

1re année

1.

Définitions

1.1 Dérivée en un point

Soit f une fonction définie sur D et x0 un élément de D tel que f soit définie au voisinage de x0. On appelle dérivée de f au point x0 le nombre (lorsqu'il existe) :

lim x→x0

f (x) − f (x0) x − x0

= lim h→0

f (x0 + h) − f (x0) h

= f (cid:6)(x0) .

On dit alors que f est dérivable en x0.

Si lim x→x + 0

f (x) − f (x0) x − x0

existe, f est dite dérivable à droite en x0, et cette limite est

appelée dérivée à droite de f en x0, et notée f (cid:6) d On définit de même la dérivée à gauche en x0, notée f (cid:6) g

(x0).

(x0).

f est dérivable en x0 si, et seulement si, f admet en x0 une dérivée à droite et une dérivée à gauche égales.

1.2

Fonction dérivée

f est dite dérivable sur E, si elle dérivable en tout point de E. On appelle fonction dérivée de f sur E, la fonction, notée f (cid:6), définie sur E par : x (cid:7)→ f (cid:6)(x).

1.3 Dérivées successives Soit f dérivable sur E. Si f (cid:6) est dérivable sur E, on note sa fonction dérivée f (cid:6)(cid:6) ou f (2). On l'appelle dérivée seconde de f. Pour n entier, on définit par récurrence la dérivée n-ième, ou dérivée d'ordre n, de f en posant f (0) = f, puis f (n) = ( f (n−1))(cid:6), lorsque f (n−1) est dérivable sur E. f est dite de classe Cn sur E si f (n) existe sur E, et est continue sur E. f est dite de classe C∞, ou indéfiniment dérivable, si f admet des dérivées de tous ordres.

18

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Fonctions dérivables 6

1.4

Interprétation graphique

f dérivable en x0 signifie que le graphe de f admet au point d'abscisse x0 une tan- gente de pente f (cid:6)(x0). Son équation est :

y − f (x0) = f (cid:6)(x0) (x − x0).

Si lim x→x0

f (x) − f (x0) x − x0

= ±∞ , f n'est pas dérivable en x0, mais le graphe de f

admet au point d'abscisse x0 une tangente parallèle à Oy.

1.5 Dérivabilité et continuité

Toute fonction dérivable en x0 est continue en x0.

Attention, la réciproque est fausse. Par exemple, la fonction x (cid:7)→ |x| est continue, et non dérivable, en 0, car elle admet une dérivée à gau- che et une dérivée à droite différentes.

2.

Opérations sur les fonctions dérivables

2.1 Opérations algébriques

Si f et g sont dérivables en x0, il en est de même de f + g, de f g, et de g(x0) =/ 0 ; et on a :

f g

si

( f + g)(cid:6)(x0) = f (cid:6)(x0) + g(cid:6)(x0) ( f g)(cid:6)(x0) = f (cid:6)(x0)g(x0) + f (x0)g(cid:6)(x0) (cid:3)(cid:6)(x0) = f (cid:6)(x0)g(x0) − f (x0)g(cid:6)(x0) (cid:2) f g

g2(x0)

·

2.2

Fonction composée

Soit f une fonction dérivable en x0 et g une fonction dérivable en f (x0), alors g ◦ f est dérivable en x0, et

(g ◦ f )(cid:6)(x0) = g(cid:6)( f (x0)) × f (cid:6)(x0) .

2.3 Dérivée d'une fonction réciproque

Soit f une fonction continue strictement monotone sur un intervalle I . On suppose que f est dérivable en f (x0) et que f (cid:6)(x0) =/ 0 . Alors, la fonction réciproque f −1 est dérivable en f (x0) et

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6

Fonctions dérivables

( f −1)(cid:6)( f (x0)) = 1

f (cid:6)(x0)

·

2.4

Formule de Leibniz

Si f et g admettent des dérivées d'ordre n en x0, alors il en est de même de f g ; et on a :

( f g)(n)(x0) =

n(cid:4)

(cid:5)

k=0

(cid:6)

n k

f (k)(x0)g(n−k)(x0) .

20

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Étude globale des fonctions dérivables

7

1re année

1.

Théorème de Rolle et des accroissements finis

1.1 Condition nécessaire d'extremum local Si f admet un extremum local en x0 et si f est dérivable, alors f (cid:2)(x0) = 0.

Théorème de Rolle

1.2 Soit f une fonction continue sur [a,b], f (a) = f (b) . Alors il existe au moins un point c ∈]a,b[ tel que f (cid:2)(c) = 0.

dérivable sur ]a,b[, et telle que

Autre énoncé

Si f est dérivable, entre deux valeurs qui annulent f, il existe au moins une valeur qui annule f (cid:2).

Égalité des accroissements finis

1.3 Soit f une fonction continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[. Alors il existe au moins un point c ∈]a,b[ tel que :

f (b) − f (a) = (b − a) f (cid:2)(c) .

Cette égalité, valable pour les fonctions de R dans R, ne se généra- lise pas, ainsi que le théorème de Rolle.

Inégalité des accroissements finis

1.4 Soit f une fonction continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[. Si m (cid:1) f (cid:2) (cid:1) M, alors :

m (b − a) (cid:1) f (b) − f (a) (cid:1) M (b − a) .

En particulier, si | f | (cid:1) M , alors | f (b) − f (a)| (cid:1) M(b − a) .

Limite de la dérivée

1.5 Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[, et si f (cid:2) a une limite finie l en a, alors f est dérivable à droite en a et f (cid:2) d

(a) = l.

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7

Étude globale des fonctions dérivables

Attention, il s'agit d'une condition suffisante de dérivabilité, mais elle n'est pas nécessaire. Il peut arriver que f (cid:2) (a) existe sans que f (cid:2) d ait une limite en a.

2.

Variations d'une fonction dérivable

Théorème

2.1 Si, pour tout x ∈ I, f (cid:2)(x) = 0 alors f est constante sur I . Si, pour tout x ∈ I, f (cid:2)(x) (cid:2) 0 alors f est croissante sur I . Si, pour tout x ∈ I, f (cid:2)(x) > 0 alors f est strictement croissante sur I . Ce dernier résultat est encore valable si f (cid:2) s'annule en des point isolés, c'est-à-dire tels que leur ensemble ne contienne pas d'intervalle.

2.2 Condition suffisante d'extremum local

f (cid:2) et f (cid:2)(cid:2) étant continues sur ]a,b[, si en x0 ∈ ]a,b[ , on a f (cid:2)(x0) = 0 et

f, f (cid:2)(cid:2)(x0) =/ 0 , la fonction f présente un extremum local en x0. C'est un maximum si f (cid:2)(cid:2)(x0) < 0 , un minimum si f (cid:2)(cid:2)(x0) > 0 .

3.

Convexité

3.1 Partie convexe, fonction convexe

Une partie du plan est dite convexe si, dès qu'elle contient deux points A et B, elle contient tout le segment [AB]. Une fonction f, définie sur un intervalle I , est convexe sur I si la partie du plan située au-dessus de la courbe est convexe ; c'est-à-dire si tout arc de sa courbe représentative est situé au-dessous de la corde correspondante. Cette définition se traduit par : ∀x1 ∈ I ∀x2 ∈ I ∀k ∈ [0,1]

f [kx1 + (1 − k)x2] (cid:1) k f (x1) + (1 − k) f (x2).

Si − f est convexe, f est dite concave.

Inégalité de convexité

3.2 f étant convexe sur I , si x1,. . . ,xn appartiennent à I , si λ1,. . . ,λn sont des réels

n(cid:2)

λi = 1 , alors

positifs tels que

i=1

22

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Étude globale des fonctions dérivables 7

(cid:3)

n(cid:2)

f

i=1

(cid:4)

λi xi

(cid:1)

n(cid:2)

i=1

λi f (xi ) .

3.3 Propriété des sécantes

Soit f une fonction convexe sur I , et x0 un point fixé dans I . La fonction ϕ défi- nie sur I par :

ϕ(x) = pente (M0 M) = f (x) − f (x0)

x − x0

est croissante.

Fonctions convexes dérivables

3.4 Soit f une fonction dérivable sur I . f est convexe sur I si, et seulement si, f (cid:2) est croissante. Si f est deux fois dérivable, cela correspond à f (cid:2)(cid:2) positive. Le graphique de toute fonction convexe dérivable est au-dessus de chacune de ses tangentes.

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8

1re année

Logarithmes, exponentielles et puissances

1.

Fonction logarithme népérien

1.1 Définition et graphe Elle est définie pour x > 0 par : (cid:2)

ln 1 = 0 ;

∀x > 0

(ln x)(cid:5) = 1 x

·

Elle est strictement croissante.

y

1

0

1

x

x→0+ ln x = −∞ ; lim

lim x→+∞

ln x = +∞.

L'unique solution de l'équation ln x = 1 est notée e (e ≈ 2,718 ).

1.2 Propriétés algébriques ∀a > 0 ∀b > 0 ∀r ∈ Q

ln (ab) = ln a + ln b

;

ln (ar ) = rln a

;

1.3 Convexité

(cid:4)

(cid:3) a b

ln

= ln a − ln b .

La fonction ln est concave sur ]0,+∞[, ce qui entraîne : ln (1 + x) (cid:1) x .

∀x > −1 La dérivée en x = 1 étant égale à 1, on a aussi : ln (1 + x) ∼ 0

x.

2.

Fonction exponentielle

2.1

Fonction exponentielle

C'est la fonction réciproque de la fonction ln. Elle est définie sur R, à valeurs dans ]0,+∞[, strictement croissante. Elle est notée exp, ou x (cid:14)→ ex. (cid:4)(cid:5) = ex ; ∀x ∈ R lim x→−∞

(cid:3) ex ex = 0 ;

ex = +∞ .

lim x→+∞

y

1

0

1

x

24

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Logarithmes, exponentielles et puissances 8

2.2 Propriétés algébriques ∀a ∈ R ∀b ∈ R ∀r ∈ Q

ea+b = ea × eb

;

era = (ea)r

;

e−a = 1 ea

;

ea−b = ea eb

·

2.3 Convexité La fonction x (cid:14)→ ex est convexe sur R, ce qui entraîne :

∀x ∈ R

1 + x (cid:1) ex .

La dérivée en x = 0 étant égale à 1, on a aussi : ex − 1 ∼ 0

x.

3.

Logarithme et exponentielle de base a

Logarithme de base a

3.1 La fonction logarithme de base a (a > 0 ; a =/ 1 ), est la fonction définie par :

∀x > 0

loga

(x) = ln x ln a

·

Sa dérivée est :

(loga x)(cid:5) = 1 ln a

× 1 x

·

Ses propriétés algébriques sont les mêmes que celles de la fonction ln. Si a = 10, loga est le logarithme décimal. On le note log.

Expon