Matrices : Définitions et opérations fondamentales en algèbre linéaire

C=

Exemple

0ija100320541M0ijannaaaD0000002211ijnI1000100013IAt301022124153134032242BetAAtAAtA)()(ijijbBetaijijijijbacoùc)(

Soient les matrices suivantes .Calculer A+B, B+M

A+B est impossible car les deux matrices ne sont pas de même type.

 Propriétés :

1. l’addition des matrices de même type est commutative et associative :

A+B=B+A

A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)

2- A+□=□+A=A

3 A+ (-A)= (-A) +A=□

2-Multiplication par un scalaire

Soient

est une matrice et

est un réel

est obtenue en

multipliant tous les éléments de la matrice A par

.

3-Multiplication de deux matrices

Le produit de deux matrices n’est possible que si le nombre de colonnes de la première

matrice est égal au nombre de lignes de la deuxième. ( Deux matrices compatibles)

Soient

matrice

est une matrice de type (n,p) et

de type (p,q). Le produit AB est la

de type (n ,q), où :

Autrement

où L est i

ligne de A et C j

colonne de B.

 Propriétés :

1- Le produit des matrices est associatif

C(BA)=(CB)A.

2-I.A=A .I=A

3-A.□=A.□=□

Exercice

Calculer AB , BC,(AB)C , A(BC) et B A.

Solution:

100320541M301022124153134032242BetA)(ijaA)(ijamatricelaestA)(ijaA)(ijbB)(ijcCpkkjikijbac1jiijCLciémejéme200112120211101,212120CBA

BC=

.BA impossible de le calculer

IV. Opérations élémentaires sur des lignes d’une matrice

Il y a trois types d’opérations élémentaires :

 Multiplier une ligne par un nombre

 Permuter deux lignes :

.

 Combinaison linéaire des lignes

.

Une matrice élémentaire de type (n,p) est une matrice obtenue à partir de

élémentaire.

par une opération

Exemple

Trouver une matrice élémentaire de A

A=

Solution

On procède par opérations élémentaires sur les lignes de la matrice et simultanément sur les

lignes de la matrice identité.

Commençons par échanger L1et L2

Remplaçons L2 par L2-3L1et L 3 par L3-4L1

2315022322211312113,33,2ccccccBA20112201111CLc)()(35124)(225332eassociativBCACABiiLL:0jiLL'ijiLLLnI2043012132043012131000100011000010102042133011400310011000710301

Multiplions par L2 par -1 et L 3 par

v

Remplaçons L2 par L2-7L3et L 1 par L1-3L3

V. Matrices carrées inversibles

A est une matrice carrée d’ordre n. On dit que A est inversible s’il existe une matrice carrée B

d’ordre n tel que AB=BA= . B est appelée matrice inverse de A et B=

.

Le produit de deux matrices inversibles est inversible et on a :

.

Exercice :

Soit A=

1- Calculer

2- Montrer que A est inversible et calculer A

VI. Rang d’une matrice

□

Définition:

C’est le nombre maximum de colonnes linéairement indépendantes.

Le rang d’une matrice est inchangé par opérations élémentaires sur les lignes. Deux matrices

lignes équivalentes ont le même rang.

A est une matrice carrée d’ordre n inversible

rang(A)=n

1011015200310011000710301101520107511103510100010001nI1A111)(ABAB0112131123233223IAAMontreretAetA1

Chapitre 2 : Matrice Déterminant 1 Semaine

I. Déterminant d’ordre 2

Soit A une matrice carrée d’ordre 2 A=

Le déterminant de A noté det(A)=

=

=

Exemple A=

det(A)= 1-5 1= -2

II. Déterminant d’ordre3 :

Soit A une matrice carrée d’ordre 3 A=

Règle de Sarrus

+ + +- - -

det(A)=

Exemple 1 : Soit A=

+ + + - -

det(A)=(3 0 2)+(-1 3 4)+(2 1 0)-(2 0 4)-(3 3 0)-(-1 1 2)=-10

Remarque

Cette méthode n’est valable que pour calculer le déterminant des matrices d’ordre3.

III. Déterminant d’ordre n 3 :

22211211aaaaA22211211aaaa12212211aaaa15133333231232221131211aaaaaaaaa323133323122212322211211131211aaaaaaaaaaaaaaa)()()()()()(332112322311312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa204301213042040130113213

1.Mineur

Soit A une matrice d’ordre n A=

On appelle mineur du terme

et on note

, le déterminant d’ordre n-1 de la matrice A

en supprimant la i

ligne et la j

colonne.

2. Cofacteur

Le cofacteur du terme

est le produit donné par

Exemple 1 : Soit A=

calculer les mineurs et les cofacteurs de la matrice A

……

3. Définition :

Le développement par rapport à la iéme ligne du développement de la matrice carrée

d’ordre n est donnée par la formule suivante :

A

Le développement par rapport à la jéme colonne du développement de la matrice carrée A

d’ordre n est donné par la formule suivante :

Pour simplifier le calcul, on a intérêt à choisir la ligne ou la colonne qui comporte le

maximum de 0.

Revenant l’exemple 1 : On choisit la colonne 2

3 -1- 2

)(ija)(ijaijémeémeijaijjiijC)1(20430121300401102431020301312111011373123330214041322423220213332312322210)1(11211C2)1(222222CnkikkiiknkikikaCaA11)1()det(nkkjjkkjnkkjkjaCaA11)1()det(

1 0 + 3

4 0 - 2

det(A)=

=-C12 =-10

Exercice : Calculer les déterminants des matrices suivantes:

A=

Remarque

Le déterminant de la forme triangulaire supérieure ou inférieure est égal au produit des

éléments de la diagonale principale

Exemple

det(M)=1 2 -1=-2

det(A)=2 4 3=24

IV. Inversion d’une matrice carrée

1 .Théorème :

Soit A une matrice carrée d’ordre n, A est inversible

où CA la co-matrice (matrice des cofacteurs) et t la transposée

( La matrice inverse de A), lorsque elle existe, elle est unique

Cette méthode est appelée la méthode de cofacteur

Revenant à l’exemple 1

det(A)=-1≠0 donc A est inversible

=

3122kkkCa2100213111021231041320011B100320541M300040002A0)det(AACtAA)det(111AACtAA)det(11ACt101

CA =

Exercice

Soit A une matrice carrée d’ordre 3 A=

Montrer que A est inversible et calculer A-1

Méthode de Gauss

La méthode de Gauss consiste à transformer la matrice (A∕ I) en une matrice (I∕A-1) en

appliquant les opérations élémentaire sur les lignes.

V. Systèmes linéaires

1 . Définitions et écritures

On appelle système linéaire toute équation de la forme AX=B où A est une matrice de type

(n,p) B une matrice colonne à n lignes et X une matrice colonne à p lignes

Un système linéaire peut se présenter sous plusieurs formes

 AX=B est la forme la plus abrégée.

 On écrit encore explicitement les matrices.

 On écrit les n équations :

101520107511103510140721032017342201001AtAC100021311npnpnnppbbbxxxaaaaaaaaa2121212222211211................................................npnpnnppbxaxaxabxaxaxa....................................................bxa...xaxa2111222221211P1P212111

2. Résolutions des systèmes :

Le nombre d’équations est égal au nombre d’inconnues .La matrice A est carrée .Deux types

de systèmes se présentent :

 A est inversible : le système admet une solution unique X=A-1B. Le système se résout

par opérations élémentaires sur les lignes d’une matrice (méthode de Pivot de Gauss)

 A n’ est pas inversible : méthode de Pivot de Gauss produit à

• deux équations contradictoires. le système n’a pas de solutions
• Certaines équations sont identiques .Le système est alors équivalent à un système à

r équations (r est le rang de A)et n inconnues (r n). En choisissant r inconnues

appelées inconnues principales .On se ramène à un système de premier type

Exercice

Résoudre par la méthode de Pivot de Gauss le système :

Solution

Adoptons l’écriture matricielle

L2-2L1→L2 et L3-L1→L3

-L2→L2 et L3+L2→L3

L2-3L3→L2 et L1-3L3→L1

020352133zyxzyxzyx001121352331121210310331121100310331112100010031

L1-3L2→L1

Le système admet l’unique solution x=1, y=-1,z=1

A faire

Résoudre par la méthode de Pivot de Gauss le système :

Remarque :

Si le detA=0 c'est-à-dire si les vecteurs colonnes (Ai) sont linéairement dépendants

(colinéaires) alors une C.N.S pour que le système ait une solution est que le vecteur de second

membre B est aussi colinéaire avec les vecteurs Ai.

Cependant si cette condition n’est pas vérifiée, le système n’admet pas de solutions.

Annexe

11110001000122223122432zyxzyxzyxzyx