PCSI
DEVOIR SURVEILL´E de MATH´EMATIQUES n◦ 9
15/06/2002
Dur´ee : 4 heures
EXERCICE 1 (deux questions ind´ependantes):
1. Dans IR3, on donne les droites D1 :
(
(
et D2 :
x = 0
z = 1
−→
u = (1, 2, 3) et rencontrant les droites D1 et D2.
. Montrer qu’il existe une
x = 1
y = 0
unique droite D, dirig´ee par le vecteur
Donner un syst`eme d’´equations cart´esiennes de D.
2. Soient a, b, c trois r´eels. Dans IR3, on donne trois plans affines par leurs ´equations cart´esiennes :
P1 : x − y + 2z = a
P2 : 2x + y − z = b
P3 : x + 5y − 8z = c
.
`A quelle condition portant sur a, b, c ces trois plans ont-ils pour intersection une droite
affine ? Donner alors un vecteur directeur de leur droite d’intersection.
EXERCICE 2 :
Dans un espace euclidien E, on appelle similitude toute transformation affine multipliant les
distances par un rapport k > 0 fix´e.
Soit E un espace euclidien orient´e de dimension 3, rapport´e a un repere orthonormal direct
−→
k ). On consid´ere l’application affine f dont les expressions analytiques
−→
j ,
−→
R = (O;
i ,
dans R sont
x0 = 2x + y + 2z − 9
y0 = −2x + 2y + z − 3
z0 = −x − 2y + 2z + 2
.
1. Montrer que f admet un unique point invariant Ω que l’on pr´ecisera.
2. Soit M la matrice, dans la base B = (
−→
k ), de l’application lin´eaire bf associ´ee `a f .
M appartienne au groupe sp´ecial orthogonal
Trouver un r´eel λ tel que la matrice A =
SO(3) (ou SO3(IR)). En d´eduire que f est une similitude directe de l’espace euclidien E.
Quel est son rapport ?
−→
j ,
1
λ
−→
i ,
3. Montrer que la similitude f se d´ecompose en f = h ◦ r = r ◦ h, o`u h est l’homoth´etie de centre
Ω et de rapport λ, et r une rotation affine dont on pr´ecisera l’axe et l’angle.
EXERCICE 3 :
On d´efinit deux suites (un)n∈IN et (vn)n∈IN par la donn´ee de u0 = a, v0 = b avec 0 < a < b
et les relations
un+1 =
∀n ∈ IN
1
2
√
(un + vn)
.
vn+1 =
1. Montrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes (on pourra montrer d’abord, par r´ecurrence,
un+1 vn
que ∀n ∈ IN vn − un > 0).
un
vn
2. On pose θn =
. ´Etablir une relation entre θn+1 et θn.
3. En d´eduire que, si l’on pose a = b · cos ϕ, avec ϕ ∈
∀n ∈ IN
θn = cos
h
(justifier), alors
i
0,
π
2
ϕ
2n .
4. Montrer que
∀n ∈ IN∗
vn = b ·
n
Y
k=1
cos
ϕ
2k = b ·
sin ϕ
2n sin
.
ϕ
2n
5. D´eterminer, en fonction de b et de ϕ, la limite commune des suites (un) et (vn).
EXERCICE 4 :
Soit E l’espace vectoriel des fonctions de classe C∞ de IR2 dans IR. Soit a un r´eel fix´e.
On note Da l’endomorphisme de E qui, `a toute fonction f de E, associe la fonction
Da(f ) =
∂f
∂x
+ a
∂f
∂y
.
1. On utilisera le changement de variables
(
u = x
v = y − ax
, c’est-`a-dire que l’on posera
f (x, y) = F (u, v) = F (x, y − ax).
∂f
∂x
Exprimer les d´eriv´ees partielles
et
∂f
∂y
en fonction de
∂F
∂u
et
∂F
∂v
.
2.a. D´eterminer le noyau de l’endomorphisme Da.
b. R´esoudre l’´equation aux d´eriv´ees partielles
∂f
∂y
∂f
∂x
+ a
= x + y .
Publicité
c. Soit λ un r´eel. D´eterminer les fonctions f de E v´erifiant
Da(f ) = λf .
a(f ) = (Da ◦ Da)(f ) = Da
3. Pour f ∈ E, exprimer D2
4. On consid`ere l’´equation aux d´eriv´ees partielles du second ordre
∂2f
∂x2 + 2
∂2f
∂y2 = 2(x − y) .
∂2f
∂x ∂y
+
(cid:0)Da(f )(cid:1).
(E)
a. R´esoudre l’´equation (E). Quel est le noyau de l’endomorphisme D2
b. Soient ϕ et ψ deux fonctions donn´ees de IR dans IR. Montrer qu’il existe une et une seule
1 ?
solution f de (E), que l’on explicitera `a l’aide de ϕ et de ψ, telle que
∀x ∈ IR
f (x, 0) = ϕ(x)
et
∂f
∂y
(x, 0) = ψ(x) .
*
CORRIG´E
*
EXERCICE 1 :
1. Soit M0 = (x0, y0, z0) un point de IR3. La droite affine D dirig´ee par
x = x0 + λ
y = y0 + 2λ
z = z0 + 3λ
M0 admet pour syst`eme d’´equations param´etriques
−→
u et passant par
. Une telle droite D
rencontre D1 si et seulement si
(
∃λ ∈ IR
x0 + λ = 0
z0 + 3λ = 1
,
c’est-`a-dire ssi (1) :
z0 = 3x0 + 1
(on “´elimine” λ entre ces deux ´equations).
De mˆeme, D rencontre D2 si et seulement si
∃λ ∈ IR
(
x0 + λ = 1
y0 + 2λ = 0
,
c’est-`a-dire ssi (2) :
y0 = 2x0 − 2 .
Le syst`eme form´e des ´equations (1) et (2) donne l’ensemble E des points M0 tels que la
−→
u rencontre les droites D1 et D2. On constate que cet ensemble E est
droite D = M0 + IR
lui-mˆeme une droite de direction
−→
u , c’est donc la droite D recherch´ee. On a donc
(
D :
y = 2 x −2
z = 3 x +1
.
2. Le systeme constitu´e des trois ´equations de plans, apres application de la m´ethode du pivot,
se ramene a
x − y + 2z = a
3y − 5z = b − 2a
.
0 = 3a − 2b + c
Ce syst`eme est donc compatible si et seulement si 3a − 2b + c = 0. Lorsque cette condition
est v´erifi´ee, l’intersection des trois plans est la droite affine D, d’´equations cart´esiennes
(
. Les param`etres a et b n’intervenant que dans le second membre,
x − y + 2z = a
3y − 5z = b − 2a
la direction de cette droite ne d´epend pas de ces param`etres : c’est la droite vectorielle D
x − y + 2z = 0
3y − 5z = 0
, dont un vecteur directeur est
−→
u = (−1, 5, 3).
(
d’´equations
EXERCICE 2 :
1. On trouve Ω(1, 2, 3).
2
1
2
−2
1
2
−1 −2 2
2. Avec M =
, on constate que les produits scalaires de deux colonnes distinctes
sont nuls, et que le carr´e scalaire de chaque colonne vaut 9, donc la matrice A =
M est
orthogonale ; on v´erifie enfin que det A = +1, donc λ = 3. L’application f est donc une
similitude directe de rapport 3.
1
3
3. Soit h l’homoth´etie de centre Ω et de rapport 3, soit r = h−1 ◦ f . Les expressions analytiques
de h−1 (homoth´etie de centre Ω et de rapport
1
3
x +
y +
) sont
2
3
4
3
z + 2
x1 =
y1 =
z1 =
1
3
1
3
1
3
et, par composition, on obtient les expressions analytiques de r :
x0
y0
z0
=
1
3
Publicité
2x + y + 2z − 7
−2x + 2y + z + 1
−x − 2y + 2z + 8
.
On sait que r est un d´eplacement de l’espace (la matrice de sa partie lin´eaire est A ∈ SO(3)).
Comme r admet (au moins) un point invariant (Ω), c’est une rotation. Son axe est la droite
affine D passant par Ω et de direction l’ensemble des vecteurs invariants par la partie lin´eaire
br : on trouve comme vecteur directeur de l’axe
−→
u (1, −1, 1) : si
−→
u = x
−→
i + y
−→
j + z
−→
k ,
−→
u ) =
br(
−→
u ⇐⇒
−x + y + 2z = 0
−2x − y + z = 0
−x − 2y − z = 0
⇐⇒ x = −y = z .
−→
i +
Soit P : x − y + z = 0 le plan vectoriel orthogonal `a l’axe, choisissons
−→
−→
v )(cid:1) =
; l’angle de la
v =
−→
u (cid:1) = −3 < 0, donc, si l’axe D est orient´e
k ; on calcule cos (cid:0)−→
−→
−→
v ),
−→
−→
v ) =
i −
. Enfin, Det (cid:0)−→
−→
j ; on obtient br(
v , br(
1
2
rotation r est donc ±
−→
−→
k , l’angle de la rotation r est −
i −
−→
u =
−→
j +
v , br(
par
π
3
−→
v ∈ P , par exemple
π
3
.
Enfin, les transformations affines h ◦ r et r ◦ h ont mˆeme partie lin´eaire (`a savoir 3br) et fixent
le point Ω, donc f = h ◦ r = r ◦ h.
Rappel : une application affine est enti`erement d´etermin´ee lorsqu’on connaˆıt sa partie lin´eaire
et l’image d’un point.
EXERCICE 3 :
1. Par une r´ecurrence imm´ediate, un et vn sont bien d´efinis pour tout n et un > 0, vn > 0.
Montrons par r´ecurrence que vn − un > 0 : la propri´et´e est vraie pour n = 0.
Si elle est vraie pour un n ∈ IN donn´e, alors
vn+1 − un+1 =
√
un+1vn − un+1 =
√
√
un+1 (
√
vn −
un+1) =
√
√
un+1
√
vn +
un+1
(vn − un+1) .
Or, vn − un+1 = vn −
vn+1 − un+1 > 0, cqfd.
un + vn
2
=
vn − un
2
> 0 (*) d’apres l’hypothese de r´ecurrence, donc
De plus, un+1 − un =
un + vn
2
− un =
vn − un
2
> 0, donc (un) croˆıt.
De mˆeme, vn+1 − vn =
un+1vn − vn =
(*) que vn > un+1, donc (vn) d´ecroˆıt.
√
√
√
vn (
un+1 −
√
vn) < 0 car on a constat´e ci-dessus
Enfin, de (*), on d´eduit
0 ≤ vn+1 − un+1 =
1
2
√
√
un+1
√
vn +
un+1
(vn − un) ≤
1
2
(vn − un)
et, par une r´ecurrence imm´ediate (si! si!), 0 ≤ vn − un ≤
lim
n→+∞
(vn − un) = 0.
1
2n (v0 − u0) =
1
2n (b − a), donc
Les suites (un) et (vn) sont donc adjacentes.
2. θn+1 =
un+1
Publicité
vn+1
=
√
un+1
un+1vn
=
r un+1
vn
=
r un + vn
2vn
r 1
2
=
(1 + θn).
3.
a
b
∈]0, 1[, or la fonction cos ´etablit une bijection (continue strictement d´ecroissante) de
vers ]0, 1[, donc ∃ϕ ∈
i
0,
h
π
2
cos ϕ =
a
b
. Cela justifie l’existence de ϕ.
On a alors θ0 = cos ϕ et, pour n ∈ IN donn´e, si θn = cos
r 1
cos2 ϕ
2
θn+1 =
1 + cos
ϕ
2n
r
=
(cid:17)
(cid:16)
ϕ
2n , alors
2n+1 = cos
ϕ
2n+1
i
0,
h
π
2
car 0 <
ϕ
2n+1 <
π
2
, donc son cosinus est positif.
L’assertion est donc prouv´ee par r´ecurrence.
4. Pour tout n ∈ IN, on a vn+1 =
√
un+1vn = pθn+1vn+1vn, donc
√
vn+1 = pθn+1vn et
vn+1 = θn+1vn = vn · cos
ϕ
2n+1 .
De v0 = b, on d´eduit par une r´ecurrence imm´ediate (d´esol´e!) que
vn = b ·
n
Y
k=1
cos
ϕ
2k .
Or, de sin 2x = 2 sin x cos x, on d´eduit, pour x 6∈ π Z, cos x =
sin 2x
2 sin x
. Ainsi,
n
Y
k=1
cos
ϕ
2k =
1
2
n
Y
k=1
sin
sin
ϕ
2k−1
ϕ
2k
=
1
2n
sin ϕ
ϕ
2n
sin
,
ce qui donne bien l’expression attendue pour vn.
5. On sait que sin x ∼ x au voisinage de z´ero ; or,
tend vers +∞. Il en r´esulte
lim
n→+∞
ϕ
2n = 0, donc sin
ϕ
2n ∼
ϕ
2n lorsque n
lim
n→+∞
un = lim
n→+∞
vn = b ·
sin ϕ
ϕ
.
EXERCICE 4 :
1.
∂f
∂x
∂f
∂y
=
=
∂F
∂u
∂F
∂u
∂u
∂x
∂u
∂y
+
+
∂F
Publicité
∂v
∂F
∂v
∂v
∂x
∂v
∂y
=
=
∂F
∂u
− a
2.a. Pour tout f ∈ E, on a Da(f ) =
∂F
∂u
ou encore Da(f )(x, y) =
∂F
∂v
∂F
∂v
∂F
∂u
.
(u, v).
Pour ˆetre plus rigoureux -une fois n’est pas coutume-, notons Φ le “changement de vari-
ables”, c’est-`a-dire l’application IR2 → IR2, (x, y) 7→ (u, v) = (x, y − ax) ; Φ est alors
un C1-diff´eomorphisme de IR2. Poser f (x, y) = F (u, v) signifie que f = F ◦ Φ. L’´egalit´e
Da(f ) =
∂F
∂u
doit s’´ecrire en toute rigueur
Da(f ) = Da(F ◦ Φ) =
∂F
∂u
◦ Φ .
Alors f ∈ Ker Da ⇐⇒ Da(f ) = 0 ⇐⇒
F (u, v) = ϕ(v) avec ϕ : IR → IR de classe C∞, soit f (x, y) = ϕ(y − ax).
= 0 ⇐⇒ F est fonction de v seulement, soit
∂F
∂u
b.
∂f
∂x
+ a
∂f
∂y
= x + y ⇐⇒ Da(f ) = x + y ⇐⇒
⇐⇒ F (u, v) = (1 + a)
⇐⇒ f (x, y) = (1 − a)
avec ϕ : IR → IR de classe C∞.
∂F
∂u
= (1 + a)u + v
+ uv + ϕ(v)
+ xy + ϕ(y − ax) ,
u2
2
x2
2
c. Da(f ) = λf ⇐⇒
∂G
= 0, o`u l’on pose G(u, v) = e−λuF (u, v).
∂u
L’´equation ´equivaut donc a G(u, v) = ψ(v), ou ψ : IR → IR est une fonction de classe C∞,
soit F (u, v) = ψ(v) eλu, ou encore f (x, y) = ψ(y − ax) eλx.
− λF = 0 ⇐⇒
∂F
∂u
(cid:19)
(cid:18) ∂f
∂x
+ a
∂f
∂y
∂
∂x
3. D2
a(f ) =
+ a2 ∂2f
∂2F
∂u2 .
4.a. En utilisant le changement de variables de la question 1. avec a = 1, on a
avec le changement de variables indiqu´e `a la question 1., D2
∂2f
∂x2 + 2a
∂2f
∂x ∂y
a(f ) =
∂f
∂y
∂
∂y
+ a
+ a
=
(cid:18) ∂f
∂x
(cid:19)
∂y2 . Mais on a aussi,
(E) ⇐⇒ D2
1(f ) = 2(x − y) ⇐⇒
∂2F
∂u2 = −2v ⇐⇒
(cid:19)
∂
∂u
(cid:18) ∂F
∂u
= −2v
⇐⇒
∂F
∂u
= −2uv + α(v)
⇐⇒ F (u, v) = −u2v + u α(v) + β(v)
⇐⇒ f (x, y) = x3 − x2y + x α(y − x) + β(y − x) ,
(*)
ou α et β sont deux fonctions de IR vers IR de classe C∞. Chaque fois que l’on “integre par
rapport a u”, c’est “a une fonction de v pr`es“.
Donc Ker D2
et β sont deux fonctions d’une variable de classe C∞.
1 est l’ensemble des fonctions de la forme (x, y) 7→ x α(y − x) + β(y − x) o`u α
b. Soit f une solution de (E), ´ecrite sous la forme (*) obtenue ci-dessus. On a alors
f (x, 0) = x3 + x α(−x) + β(−x)
et
∂f
∂y
(x, 0) = −x2 + x α0(−x) + β0(−x) .
On doit donc montrer l’existence et l’unicit´e d’un couple de fonctions (α, β) v´erifiant le
syst`eme
∀x ∈ IR
( x α(−x) + β(−x) = ϕ(x) − x3
x α0(−x) + β0(−x) = ψ(x) + x2
En d´erivant (1), on obtient α(−x) − (cid:0)x α0(−x) + β0(−x)(cid:1) = ϕ0(x) − 3x2, soit, en comparant
avec (2), puis en rempla¸cant x par −x :
(2)
(1)
.
α(x) = ϕ0(−x) + ψ(−x) − 2x2 .
En reportant dans (1) et en rempla¸cant encore x par −x, on obtient
β(x) = −x3 + ϕ(−x) + x ϕ0(−x) + x ψ(−x) .
En reportant enfin dans (*),
f (x, y) = xy2 − y3 + y ϕ0(x − y) + y ψ(x − y) + ϕ(x − y) .