Devoir de maison - Mathématiques de l’Ingénieur

1/ Déterminer pour la transformée de Fourier de .

2/ En déduire la valeur des intégrales :

Exercice 2 :

Calculer le produit de convolution :

Problème :

et

Soit f une fonction à bande limitée c’est-à-dire telle que sa transformée de Fourier est à

support borné. On suppose que ce support est l’intervalle

.

On désigne par la fonction définie par

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Ecole Nationale des Sciences de l’Informatique

Module : Mathématiques pour l’ingénieur

Classes : II1

AU : 2012/2013

1/ Ecrire le développement en série de Fourier complexe de G. Montrer que ses coefficients de Fourier

sont reliés à des valeurs particulières de la fonction (on posera

).

2 / En déduire que

Ce résultat constitue le théorème de Shannon, qui montre qu’une fonction à spectre limité est

complètement connue à partir d’un ensemble discret de ses valeurs (échantillons).

3/ Déterminer la transformée de Fourier de (fonction triangulaire).

Déduire la transformée de Fourier de

.

4/ A partir des résultats précédents, établir l’identité :

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