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Problème : Décomposition polaire
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Dans ce problème, n désigne un entier naturel non nul :
• On(R) le groupe des matrices orthogonales de Mn(R)
• GLn(R) le groupe des matrices inversibles de Mn(R)
• Sn l’espace vectoriel des matrices symétriques de Mn(R)
On munit l’espace vectoriel Mn,1(R) du produit scalaire canonique défini par
∀X =
, Y =
x1
...
xn
y1
...
yn
∈ Mn,1(R), < X, Y >= tX.Y =
n
(cid:88)
k=1
xkyk
• Soit A ∈ Sn,
(cid:73) On dit que A est positive si ∀X ∈ Mn,1(R), < X, AX >= tXAX ≥ 0
On note S+
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n l’ensemble des matrices symétriques positives de Mn(R)
(cid:73) On dit que A est définie positive si ∀X ∈ Mn,1(R) \ {0}, < X, AX >= tXAX > 0
On note S++
n
l’ensemble des matrices symétriques définies positives de Mn(R)
Questions préliminaires
(cid:172) Énoncer la version matricielle du théorème spectral
(cid:173) Soit A ∈ Sn(R).
(a) Démontrer que : A ∈ S+
(b) Démontrer que : A ∈ S++
n ⇐⇒ sp(A) ⊂ R+.
n ⇐⇒ sp(A) ⊂ R∗+.
(cid:174) Soit B ∈ Mn(R).
(a) Démontrer que : B ∈ S+
(b) Démontrer que : B ∈ S++
n ⇐⇒ ∃M ∈ Mn(R), B = tMM .
n ⇐⇒ ∃M ∈ GLn(R), B = tMM .
Partie I : Racine carrée d’une matrice symétrique réelle positive
Soit A ∈ S +
que A = S2. Une telle matrice est appelée la racine carrée de A.
n (R). Le but de cette partie est d’établir l’existence et l’unicité d’une matrice S ∈ S +
n (R) telle
(cid:172) Soit A ∈ S +
n (R).
(a) Justifier qu’il existe une matrice P orthogonale et λ1, · · · , λn ≥ 0 non nécessairement distincts tel que
A = P D tP avec D = diag(λ1, · · · , λr).
(b) En déduire l’existence d’une matrice S ∈ S +
n (R) telle que A = S2.
n telle que S2 = A.
(cid:173) Dans cette question on se propose de montrer que la matrice S est unique.
Soit S ∈ S+
On considere f (resp. g) l’endomorphisme de Rn canoniquement associé a A (resp. S).
On note λ1, · · · , λr les valeurs propres deux a deux distincts de f et Ei l’espace propre de f associé a la
valeur propre λi.
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(a) Montrer que f ◦ g = g ◦ f et en déduire que, pour tout i ∈ [[1, r]], g laisse stable Ei.
On note pour i ∈ [[1, r]], gi l’endomorphisme de Ei induit par g sur Ei.
(b) Montrer que gi est diagonalisable et que ses valeurs propres µ1 . . . , µdi sont positives.
(c) Montrer que g2
i = λi · idEi et en déduire que µ1 = µ2 = . . . = µdi =
λi, puis que gi =
√
√
λiidEi .
(d) En déduire que g est unique puis conclure.
Partie II : Décomposition polaire dans GLn(R)
Le but de cette partie est de démontrer:
∀M ∈ GLn(R), ∃!(O, S) ∈ On(R) × S ++
n (R), M = O.S
Cette décomposition est appelée la décomposition polaire de M .
(cid:172) Soit M une matrice inversible d’ordre n à coefficients dans R.
(a) On note S la racine carrée de tM.M . Justifier que S est inversible.
On pose alors O = M S−1.
(b) Montrer que O est une matrice orthogonale et que M = OS.
(cid:173) Soit O, O(cid:48) deux matrices orthogonales et S et S(cid:48) deux matrices symétriques définies positives telles que
M = OS = O(cid:48)S(cid:48).
(a) Calculer tM.M de deux manières différentes.
(b) En déduire que S = S(cid:48) et O = O(cid:48).
Partie III : Compacité et propriété de maximalisé de On(R)
Le but de cette partie est de montrer que On(R) est une partie compacte de Mn(R) et maximale pour cette
propriété parmi les sous groupes de GLn(R), c’est à dire si G est un sous groupe compact contenant On(R)
et contenu dans GLn(R), alors On(R) = G.
(cid:172) Questions préliminaires
Pour toute matrice A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ Mn(R), on pose N (A) = max
i,j∈[[1,n]]
|ai,j|.
(a) Montrer que N est une norme sur Mn(R).
(b) Soient (Ap)p une suite de matrices et A une matrice à coefficients réels. On note Ap =
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et A = (ai,j)i,j .
Montrer que la suite (Ap)p converge vers A si, et seulement si ∀(i, j) ∈ [1, n]2,
ai,j.
(cid:17)
(cid:16)
a(p)
i,j
p
(cid:17)
(cid:16)
a(p)
i,j
1≤i,j≤n
converge vers
(c) Montrer que l’application A (cid:55)−→t A.A est continue sur Mn(R).
(cid:173) Compacité de On(R).
(a) Montrer que On(R) est une partie fermée de Mn(R).
(b) Montrer que : ∀A ∈ On(R), N (A) ≤ 1.
(c) En déduire que On(R) est une partie compacte de Mn(R).
(d) Montrer que GLn(R) est dense dans Mn(R) et S+
n est une partie fermée de Mn(R).
(e) En déduire que
(cid:174) Propriété de maximalisé
∀A ∈ Mn(R), ∃(Q, R) ∈ On(R) × S +
n (R), A = QR
Soit G un sous groupe du groupe linéaire GLn(R) compact contenant On(R).
Soit M un élément de G tel que M = OS est sa décomposition polaire.
(a) D’apres le théoreme spectral il existe une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D =
diag (λ1, . . . , λn) telles que S = P.D.tP. Montrer que S et D appartiennent à G puis que ∀p ∈ N, Dp ∈ G.
(b) En déduire que ∀k ∈ [[1, n]], λk = 1.
(c) En déduire que G = On(R)
Fin de l’énoncé
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