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Problème : Décomposition polaire
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Dans ce probl`eme, n d´esigne un entier naturel non nul :
• On(R) le groupe des matrices orthogonales de Mn(R)
• GLn(R) le groupe des matrices inversibles de Mn(R)
• Sn l’espace vectoriel des matrices sym´etriques de Mn(R)
On munit l’espace vectoriel Mn,1(R) du produit scalaire canonique d´efini par
∀X =
, Y =
x1
...
xn
y1
...
yn
∈ Mn,1(R), < X, Y >= tX.Y =
n
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(cid:88)
k=1
xkyk
• Soit A ∈ Sn,
(cid:73) On dit que A est positive si ∀X ∈ Mn,1(R), < X, AX >= tXAX ≥ 0
On note S+
n l’ensemble des matrices sym´etriques positives de Mn(R)
(cid:73) On dit que A est d´efinie positive si ∀X ∈ Mn,1(R) \ {0}, < X, AX >= tXAX > 0
On note S++
n
l’ensemble des matrices sym´etriques d´efinies positives de Mn(R)
Questions pr´eliminaires
(cid:172) ´Enoncer la version matricielle du th´eor`eme spectral
(cid:173) Soit A ∈ Sn(R).
(a) D´emontrer que : A ∈ S+
(b) D´emontrer que : A ∈ S++
n ⇐⇒ sp(A) ⊂ R+.
n ⇐⇒ sp(A) ⊂ R∗+.
(cid:174) Soit B ∈ Mn(R).
(a) D´emontrer que : B ∈ S+
(b) D´emontrer que : B ∈ S++
n ⇐⇒ ∃M ∈ Mn(R), B = tMM .
n ⇐⇒ ∃M ∈ GLn(R), B = tMM .
Partie I : Racine carr´ee d’une matrice sym´etrique r´eelle positive
Soit A ∈ S +
que A = S2. Une telle matrice est appel´ee la racine carr´ee de A.
n (R). Le but de cette partie est d’´etablir l’existence et l’unicit´e d’une matrice S ∈ S +
n (R) telle
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(cid:172) Soit A ∈ S +
n (R).
(a) Justifier qu’il existe une matrice P orthogonale et λ1, · · · , λn ≥ 0 non n´ecessairement distincts tel que
A = P D tP avec D = diag(λ1, · · · , λr).
(b) En d´eduire l’existence d’une matrice S ∈ S +
n (R) telle que A = S2.
n telle que S2 = A.
(cid:173) Dans cette question on se propose de montrer que la matrice S est unique.
Soit S ∈ S+
On considere f (resp. g) l’endomorphisme de Rn canoniquement associ´e a A (resp. S).
On note λ1, · · · , λr les valeurs propres deux a deux distincts de f et Ei l’espace propre de f associ´e a la
valeur propre λi.
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(a) Montrer que f ◦ g = g ◦ f et en d´eduire que, pour tout i ∈ [[1, r]], g laisse stable Ei.
On note pour i ∈ [[1, r]], gi l’endomorphisme de Ei induit par g sur Ei.
(b) Montrer que gi est diagonalisable et que ses valeurs propres µ1 . . . , µdi sont positives.
(c) Montrer que g2
i = λi · idEi et en d´eduire que µ1 = µ2 = . . . = µdi =
λi, puis que gi =
√
√
λiidEi .
(d) En d´eduire que g est unique puis conclure.
Partie II : D´ecomposition polaire dans GLn(R)
Le but de cette partie est de d´emontrer:
∀M ∈ GLn(R), ∃!(O, S) ∈ On(R) × S ++
n (R), M = O.S
Cette d´ecomposition est appel´ee la d´ecomposition polaire de M .
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(cid:172) Soit M une matrice inversible d’ordre n `a coefficients dans R.
(a) On note S la racine carr´ee de tM.M . Justifier que S est inversible.
On pose alors O = M S−1.
(b) Montrer que O est une matrice orthogonale et que M = OS.
(cid:173) Soit O, O(cid:48) deux matrices orthogonales et S et S(cid:48) deux matrices sym´etriques d´efinies positives telles que
M = OS = O(cid:48)S(cid:48).
(a) Calculer tM.M de deux mani`eres diff´erentes.
(b) En d´eduire que S = S(cid:48) et O = O(cid:48).
Partie III : Compacit´e et propri´et´e de maximalis´e de On(R)
Le but de cette partie est de montrer que On(R) est une partie compacte de Mn(R) et maximale pour cette
propri´et´e parmi les sous groupes de GLn(R), c’est `a dire si G est un sous groupe compact contenant On(R)
et contenu dans GLn(R), alors On(R) = G.
(cid:172) Questions pr´eliminaires
Pour toute matrice A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ Mn(R), on pose N (A) = max
i,j∈[[1,n]]
|ai,j|.
(a) Montrer que N est une norme sur Mn(R).
(b) Soient (Ap)p une suite de matrices et A une matrice `a coefficients r´eels. On note Ap =
et A = (ai,j)i,j .
Montrer que la suite (Ap)p converge vers A si, et seulement si ∀(i, j) ∈ [1, n]2,
ai,j.
(cid:17)
(cid:16)
a(p)
i,j
p
(cid:17)
(cid:16)
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a(p)
i,j
1≤i,j≤n
converge vers
(c) Montrer que l’application A (cid:55)−→t A.A est continue sur Mn(R).
(cid:173) Compacit´e de On(R).
(a) Montrer que On(R) est une partie ferm´ee de Mn(R).
(b) Montrer que : ∀A ∈ On(R), N (A) ≤ 1.
(c) En d´eduire que On(R) est une partie compacte de Mn(R).
(d) Montrer que GLn(R) est dense dans Mn(R) et S+
n est une partie ferm´ee de Mn(R).
(e) En d´eduire que
(cid:174) Propri´et´e de maximalis´e
∀A ∈ Mn(R), ∃(Q, R) ∈ On(R) × S +
n (R), A = QR
Soit G un sous groupe du groupe lin´eaire GLn(R) compact contenant On(R).
Soit M un ´el´ement de G tel que M = OS est sa d´ecomposition polaire.
(a) D’apres le th´eoreme spectral il existe une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D =
diag (λ1, . . . , λn) telles que S = P.D.tP. Montrer que S et D appartiennent `a G puis que ∀p ∈ N, Dp ∈ G.
(b) En d´eduire que ∀k ∈ [[1, n]], λk = 1.
(c) En d´eduire que G = On(R)
Fin de l’´enonc´e
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