Problèmes de Mathématiques

Déterminants de Hankel

Énoncé

Déterminants de Hankel

Comme d’habitude, IK désigne IR ou lC.

Soit (un) une suite de IK.

Pour tous entiers n et p, on note : M (n, p) =







un+1

un+2

...

un+1

...

un+p un+p+1

un+p

. . .

. . . un+p+1

...

. . .

...

un+2p







M (n, p) appartient donc à Mp+1(IK).

Par exemple, pour tout n de IN,

M (n, 0) = ( un ), M (n, 1) =

(cid:18) un

un+1

un+1 un+2

(cid:19)

, M (n, 2) =

On note ∆(n, p) = det M (n, p).





un+1 un+2

un+1 un+2 un+3

un+2 un+3 un+4





Pour tout entier p ≥ 0, on note Sp l’ensemble des suites (un) de IK telles que le déterminant

∆(n, p) soit nul pour tout entier n.

L’objet de ce problème est d’étudier les suites (un) de Sp.

Partie I

Soit A une matrice carrée d’ordre n à coefficients dans IK, avec n ≥ 2.

On note Com A la comatrice de A.

1. Rappeler la valeur du produit (TCom A)A. [ S ]

2. Montrer successivement que :

(a) Si rg A = n, alors rg Com A = n. [ S ]

(b) Si rg A = n − 1, alors rg Com A = 1 (utiliser des applications linéaires.) [ S ]

3. Si on note Aij le cofacteur d’indice (i, j) de la matrice A, montrer que :

det A = 0 ⇒ ∀(i, j, k, l) ∈ {1, . . . , n}4, AikAjl − AilAjk = 0. [ S ]

Partie II

1. Identifier S0. [ S ]

2. Montrer que S1 est l’ensemble des suites géométriques. [ S ]

3. On suppose qu’il existe p + 1 scalaires non tous nuls a0, a1, . . . , ap tels que, pour tout

entier n, a0un + a1un+1 + · · · + apun+p = 0.

Montrer alors que la suite (un) est élément de Sp. [ S ]

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Jean-Michel Ferrard

Problèmes de Mathématiques

Déterminants de Hankel

Énoncé

Partie III

Dans cette partie, p est un entier fixé supérieur ou égal à 1.

On suppose que la suite (un) est un élément de Sp. On suppose qu’il existe un entier n0

strictement positif tel que le déterminant ∆(n0, p − 1) soit non nul.

1. Montrer que pour tout n de IN : ∆(n + 2, p − 1)∆(n, p − 1) − ∆2(n + 1, p − 1) = 0. [ S ]

2. En déduire la nature de la suite n → ∆(n, p − 1), et montrer que pour tout entier naturel

n le déterminant ∆(n, p − 1) est non nul. [ S ]

3. Montrer que pour entier n de IN, la matrice Com M (n, p) est de rang 1. Montrer également

que sa premiere et sa derniere lignes sont non identiquement nulles. [ S ]

4. Montrer que pour tout k de {1, . . . , n}, la dernière ligne de Com M (k, p) est égale ou

opposée a la premiere ligne de Com M (k − 1, p). [ S ]

5. En déduire que la premiere ligne de Com M (n, p) est un multiple non nul de la derniere

ligne de Com M (0, p). [ S ]

6. En développant ∆(n, p), montrer qu’il existe p + 1 scalaires a0, a1, . . . , ap, avec a0 6= 0 et

ap 6= 0, tels que : ∀n ∈ IN, a0un + a1un+1 + · · · + apun+p = 0. [ S ]

Partie IV

1. Déterminer les suites (un) telles que pour tout n de IN :

avec u0 = 2, u1 = 1, u2 = 3, u3 = 4. [ S ]

2. Pour tous entiers n et p, calculer le déterminant

(cid:12)

un+1 un+2

un+1 un+2 un+3

un+2 un+3 un+4

(cid:12)

= 0,

D(n, p) =

(cid:12)

(n + 1)2

...

(n + p)2

(n + 1)2

(n + 2)2

...

(n + p + 1)2

. . .

...

. . .

(n + p)2

(n + p + 1)2

...

(n + 2p)2

(cid:12)

[ S ]

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Problèmes de Mathématiques

Déterminants de Hankel

Corrigé

Corrigé du problème

Partie I

1. C’est du cours : (TCom A)A = (det A)In. [ Q ]

(a) L’égalité précédente donne det(TCom A) · det A = (det A)n.

Ainsi det Com A = (det A)n−1 puisque det A 6= 0.

[ Q ]

La comatrice de A, de déterminant non nul, est donc de rang n (inversible.)

(b) On munit IKn de sa base canonique (e).

TCom A et A sont alors les matrices des endomorphismes respectifs g et f .

L’égalité (TCom A)A = (det A)In = 0n s’écrit g ◦ f = 0.

Cette égalité exprime l’inclusion Im f ⊂ Ker g.

Par hypothèse rg f = n − 1, et donc dim Ker g ≥ n − 1.

Puisque le rang de f (c’est-a-dire celui de A, c’est-a-dire l’ordre du plus grand

déterminant extrait non nul de A) est égal à n − 1, l’un au moins des cofacteurs

de A est non nul. Autrement dit Com A 6= 0, et donc g 6= 0.

L’inégalité dim Ker g ≥ n−1 est donc une égalité. Ainsi rg g = n−dim Ker g = 1. [ Q ]

La comatrice de A est donc nulle : rg Com A = 0.

[ Q ]

3. Si det A = 0, on sait maintenant que Com A est de rang inférieur ou égal à 1.

En particulier, tous ses déterminants extraits d’ordre 2 sont nuls.

Autrement dit, pour tous indices i, j, k, l avec i 6= j et k 6= l, on a :

(cid:12)

Aik Ail

Ajk Ajl

(cid:12)

= AikAjl − AilAjk = 0

Si i = j ou si k = l, ce résultat est encore vrai (il est même évident.) [ Q ]

Partie II

1. S0 est l’ensemble des suites (un) de IK telles que ∆(n, 0) = 0 pour tout entier n.

Or ∆(n, 0) = un : l’ensemble S0 se réduit donc à la suite nulle.

(cid:12)

un+1

un+1 un+2

2. Pour tout entier n, ∆(n, 1) =

= unun+2 − u2

n+1.

(cid:12)

[ Q ]

S1 est donc l’ensemble des suites (un) de IK telles que unun+2 = u2

[ Q ]

On sait que cette égalité caractérise les suites géométriques.

3. Si on écrit cette égalité aux rangs n, n + 1, . . . , n + p, on obtient :

n+1 pour tout entier n.













un+1

...

un+p

+ a1







un+1

un+2

...

un+p+1







+ · · · + ap







un+p

un+p+1

...

un+2p







= 0

Cette égalité exprime que les colonnes du déterminant ∆(n, p) sont liées.

Ainsi ∆(n, p) = 0 pour tout n, ce qui signifie que la suite (un) est dans Sp.

[ Q ]

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Déterminants de Hankel

Corrigé

Partie III

1. Notons Aij le cofacteur d’indice (i, j) de la matrice M (n, p).

un+2

...

un+p+1

. . . un+p+1

. . .

Il est clair que : A11 =

= ∆n+2,p−1

(cid:12)

et que : Ap+1,p+1 =

= ∆n,p−1

(cid:12)

...

un+p−1

(cid:12)

un+p−1

...

un+2p

(cid:12)

. . .

(cid:12)

. . .

(cid:12)

. . . un+2p−2

un+1

...

un+p

(cid:12)

D’autre part A1,p+1 = Ap+1,1 = (−1)p

un+p

...

. . .

. . . un+2p−1

(cid:12)

= (−1)p∆n+1,p−1

Par hypothèse la matrice M (n, p) est non inversible. On peut donc appliquer la question

(I.3) qui donne en particulier : A11Ap+1,p+1 − A1,p+1Ap+1,1 = 0.

Compte tenu ce qui précède, cette relation s’écrit :

∆(n + 2, p − 1)∆(n, p − 1) − ∆2(n + 1, p − 1) = 0.

[ Q ]

2. Le résultat précédent exprime que la suite de terme général δn = ∆(n, p − 1) vérifie, pour

n+1 : on reconnait la caractérisation des suites géométriques.

tout entier n, δn+2δn = δ2

La suite n → ∆(n, p − 1) est donc géométrique, et son terme d’indice n0 ≥ 1 est non nul.

Cela implique à la fois que le premier terme et que la raison de cette suite sont non nuls :

il en est alors ainsi de tous les termes.

Ainsi, pour tout entier naturel n, le déterminant ∆(n, p − 1) est non nul.

[ Q ]

3. Pour entier n de IN, la matrice M (n, p) (qui est carrée d’ordre p + 1) est de rang p : en

effet son déterminant est nul, mais certains de ses déterminants extraits d’ordre p sont

non nuls (par exemple ∆(n + 1, p − 1) qui est le mineur du coefficient d’indice (1, 1).)

En utilisant la partie I, on en déduit que la comatrice de M (n, p) est de rang 1.

Le premier coefficient de la première ligne de Com M (n, p) est ∆(n + 1, p − 1), qui est

non nul.

Le dernier coefficient de la dernière ligne de Com M (n, p) est ∆(n, p − 1), qui est non nul.

La premiere et la derniere lignes de Com M (n, p) sont donc non identiquement nulles.

[ Q ]

4. Soit k un entier compris entre 1 et n.

Les deux matrices suivantes sont carrées d’ordre p + 1 :

M (k, p) =







...

uk+p−1

uk+p



M (k − 1, p) =





uk+1

...

uk+p

uk+p+1

uk+p

...

. . .

...

. . . uk+2p−1

uk+2p

. . .







uk−1

...

uk+1

...

uk+p−1 uk+p

uk+p−1

uk+p

...

. . .

...

. . . uk+2p−1







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Déterminants de Hankel

Corrigé

On voit que les lignes 1, 2, . . . , p de M (k, p) sont les lignes 2, 3, . . . , p + 1 de M (k − 1, p).

Ainsi pour tout j de {1, . . . , p + 1}, le mineur d’indice (p + 1, j) de M (k, p) est égal au

mineur d’indice (1, j) de M (k − 1, p).

On passe des mineurs aux cofacteurs en multipliant par (−1)i, où i est l’indice de ligne.

Pour tout j de {1, . . . , p + 1}, le cofacteur d’indice (p + 1, j) de M (k, p) est donc égal au

produit par (−1)p du cofacteur d’indice (1, j) de M (k − 1, p).

Autrement dit : la dernière ligne de Com M (k, p) est égale au produit par (−1)p de la

première ligne de Com M (k − 1, p).

[ Q ]

5. Pour tout entier naturel k, la matrice Com M (k, p) est de rang 1. En particulier sa

premiere et sa derniere ligne sont proportionnelles. Mais on sait que ces deux lignes

sont non nulles.

Ainsi la premiere ligne de Com M (k, p) est un multiple non nul de la derniere ligne de

Com M (k, p), elle même égale ou opposée a la premiere ligne de Com M (k − 1, p) si k ≥ 1.

Par une récurrence finie descendante, on voit donc que la première ligne de Com M (n, p)

est un multiple non nul de la la première ligne de Com M (0, p), qui est elle-même un

multiple non nul de la dernière ligne de Com M (0, p) : c’est ce qu’il fallait démontrer.

[ Q ]

6. Notons A1,1, A1,2, . . . , A1,p+1 les cofacteurs des coefficients de la première ligne de M (n, p) :

ils forment la première ligne de Com M (n, p).

Le développement de ∆(n, p) (dont la valeur est 0) par rapport a la premiere ligne s’écrit :

A1,1un + A1,2un+1 + · · · + A1,p+1un+p = 0

Mais on sait que la première ligne (A1,1, A1,2, . . . , A1,p+1) de Com M (n, p) est un multiple

par un coefficient λ non nul de la dernière ligne de Com M (0, p), que nous noterons ici

(a0, a1, . . . , ap).

L’égalité précédente s’écrit donc (après simplification par λ) :

a0un + a1un+1 + · · · + apun+p = 0

L’intérêt de ce résultat est que les coefficients a0, a1, . . . , ap ne dépendent pas de n.

L’égalité précédente traduit donc une relation de récurrence (indépendante de n), linéaire

et “de pas p + 1” c’est-à-dire reliant p + 1 termes successifs quelconques de la suite (u).

Il reste a vérifier que cette relation est réellement de pas p + 1, ce qui revient a prouver

que les coefficients extrêmes a0 et ap sont non nuls.

En effet la matrice M (0, p) s’écrit







...

up+1

...

up−1

...







...

. . .

...

. . . u2p−1

u2p

. . .

(cid:12)

On en déduit a0 = (−1)p

(cid:12)

Ainsi a0 = (−1)p∆1,p−1 et ap = (−1)p∆0,p−1 : ces coefficients sont donc non nuls. [ Q ]

. . .

. . . u2p−1

. . .

. . . u2p−2

...

up−1

et ap = (−1)p

up−1

...

(cid:12)

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Déterminants de Hankel

Corrigé

Partie IV

1. Par hypothèse, on a donc ∆(n, 2) = 0, pour tout entier naturel n.

On remarque d’autre part que ∆(1, 1) =

(cid:12)

u1 u2

u2 u3

(cid:12)

1 3

3 4

(cid:12)

= −5 6= 0.

On est donc dans les conditions du début de la partie III : il existe trois coefficients

a0, a1, a2, avec a0 6= 0 et a2 6= 0 tels que, pour tout entier n : a0un + a1un+1 + a2un+2 = 0.

En divisant par a2, on voit qu’il existe α, β tels que, pour tout n de IN, un+2 = αun+1+βun.

Avec n = 0 et n = 1, on trouve

(cid:26) α + 2β = 3

3α + β = 4

Donc les suites cherchées vérifient, pour tout n de IN : un+2 − un+1 − un = 0.

Réciproquement, si une telle relation est vérifiée pour tout n, alors les ∆(n, 2) sont nuls.

(cid:26) α = 1

β = 1

, c’est-à-dire

√

L’équation caractéristique est t2 −t−1 = 0 et ses racines sont r =

Il existe donc λ et µ tels que, pour tout n : un = λrn + µsn.

1 −

et s =

1 −

Avec n = 0 et n = 1, on obtient

(cid:26) λ + µ = 2

λr + µs = 1

c’est-à-dire

(cid:26) λ + µ = 2

λ − µ = 0

, puis

(cid:26) λ = 1

µ = 1

Conclusion : Il existe une suite unique (un) satisfaisant aux hypothèses indiquées.

(cid:16) 1 +

Elle est définie par un =

(cid:16) 1 −

[ Q ]

(cid:17)n

√

2. On constate que D(n, p) = ∆(n, p), avec un = n2.

Cette suite vérifie :

un+3 − un = (n + 3)2 − n2 = 3(2n + 3), et un+2 − un+1 = (n + 2)2 − (n + 1)2 = 2n + 3.

Elle satisfait donc à la relation de récurrence linéaire : un+3 − 3un+2 + 3un+1 − un = 0.

Cette suite est donc dans Sp pour tout p ≥ 2.

Les déterminants D(n, p) sont donc nuls si p ≥ 2.

Enfin D(n, 0) = n2 et D(n, 1) =

= −(2n2 + 4n + 1).

(cid:12)

(n + 1)2

(n + 2)2

(cid:12)

Remarque : il n’est pas vraiment nécessaire d’avoir fait tout ce qui précède pour com-

prendre pourquoi le déterminant D(n, p) est nul quand p ≥ 2.

En effet, les colonnes de D(n, p) s’écrivent :







(n + j)2

(n + 1 + j)2

...

(n + p + j)2













(n + 1)2

...

(n + p)2







+ 2j







n + 1

...

n + p







+ j2













...

Les colonnes de D(n, p), qui sont donc combinaisons linéaires de trois colonnes constantes,

sont nécessairement liées si l’ordre du p + 1 du déterminant est au moins égal à 3.

On retrouve ainsi que le déterminant D(n, p) est nul quand p ≥ 2.

[ Q ]

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