République Tunisienne Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie
Université El Manar
رﺎﻨﻤﻟﺎﺑ ﺔﻴﺳﺪﻨﻬﻟا تﺎﺳارﺪﻠﻟ يﺮﻴﻀﺤﺘﻟا ﺪﻬﻌﻤﻟا
Institut Préparatoire aux Etudes d’Ingénieurs – El Manar
Kamel MEHDI & Sihem ZAGHDOUDI
Cours et Exercices de
Résistance des
Matériaux
Classes Préparatoires aux Etudes d’Ingénieurs
2èmes années PT
Janvier 2011
Avant-propos
Ce support de cours et ces applications sont destinés aux étudiants des 2èmes années du cycle préparatoire aux études d’ingénieurs. Ils sont élaborés conformément au programme officiel fixé par le Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie (République Tunisienne).
Les bases théoriques de ce support figurent dans de nombreux ouvrages de Résistance des Matériaux.
Une sélection d’exercices est fournie à la fin de ce document. Ces exercices constituent des sujets
d’examen et des devoirs surveillés que nous avons proposés aux étudiants l’I.P.E.I. El Manar (2002-2010)
Kamel MEHDI & Sihem ZAGHDOUDI
Cours et Exercices de Résistance des Matériaux
i
K. MEHDI & S. ZAGHDOUDI janvier 2011
TABLE DES MATIERES
II.
III.
III.1.
I.2.1.
I. LES HYPOTHESES DE LA RESISTANCE DES MATERIAUX........................................................... 1 I.1. BUT DE LA RESISTANCE DES MATERIAUX ................................................................................................. 1 I.2. HYPOTHESES GENERALES ........................................................................................................................ 1 Hypothèses sur les matériaux.......................................................................................................... 1 GENERALITES SUR LES POUTRES .................................................................................................. 1 II.1. DEFINITION D’UNE POUTRE ...................................................................................................................... 1 II.2. HYPOTHESE SUR LES POUTRES ................................................................................................................. 2 II.3. PARAMETRAGE DE LA POUTRE ................................................................................................................. 2 II.4. HYPOTHESES SUR LES EFFORTS EXTERIEURS............................................................................................ 3 II.5. DOMAINE DE VALIDITE DE LA RESISTANCE DES MATERIAUX .................................................................... 3 PROPRIETES GEOMETRIQUES D’UNE SECTION DROITE........................................................ 3 CENTRE DE SURFACE OU CENTRE DE GRAVITE D’UNE SURFACE PLANE................................................. 3 Définition : .................................................................................................................................. 3 Définition .................................................................................................................................... 4 III.2. MOMENT QUADRATIQUE D’UNE SURFACE PLANE PAR RAPPORT A UN AXE........................................... 4 Définition .................................................................................................................................... 4 III.3. MOMENT QUADRATIQUE POLAIRE....................................................................................................... 5 IV. TORSEUR DES EFFORTS INTERIEURS ........................................................................................... 6 DEFINITION DU TORSEUR DES EFFORTS INTERIEURS ............................................................................. 6 COMPOSANTES DES ELEMENTS DE REDUCTION EN G DU TORSEUR DES EFFORTS DE COHESION............. 7 IV.2.1. Définition du repère local lié à la section droite (S)....................................................................... 7 IV.2.2. Composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de cohésion dans le repère local . 7 RELATION ENTRE EFFORT TRANCHANT ET MOMENT DE FLEXION.......................................................... 9 DEFINITION DES SOLLICITATIONS SIMPLES ......................................................................................... 10 NOTIONS SUR LES CONTRAINTES ................................................................................................ 11
III.1.1. III.1.2.
IV.1. IV.2.
IV.3. IV.4.
III.2.1.
V.
I. DEFINITION .............................................................................................................................................. 12
II.
ESSAI DE TRACTION .......................................................................................................................... 13 II.1. ÉTUDE EXPERIMENTALE : COURBE CONTRAINTE - DEFORMATION ........................................................ 13 II.2. CARACTERISTIQUES MECANIQUES ......................................................................................................... 13 III. ETUDE DES DEFORMATIONS .......................................................................................................... 14
IV. CONTRAINTE DANS UNE SECTION DROITE............................................................................... 14
V.
CONDITION DE RESISTANCE .......................................................................................................... 14
VI. ALLONGEMENT (OU RACCOURCISSEMENT) ∆L D’UNE POUTRE DE LONGUEUR L.... 15
VII. NOTION DE CONCENTRATION DE CONTRAINTES .................................................................. 15
I. DEFINITION .............................................................................................................................................. 16
II.
ETUDE DES DEFORMATIONS .......................................................................................................... 16
III. ETUDE DES CONTRAINTES.............................................................................................................. 17
IV. CONDITION DE RESISTANCE .......................................................................................................... 17
Cours et Exercices de Résistance des Matériaux
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K. MEHDI & S. ZAGHDOUDI janvier 2011
IV.1. IV.2.
CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX EN CISAILLEMENT.................................................................... 17 CONDITION DE RESISTANCE ............................................................................................................... 18 I. DEFINITION .............................................................................................................................................. 19
II.
ESSAI DE TORSION SIMPLE............................................................................................................. 20
III. ETUDE DES DEFORMATIONS .......................................................................................................... 20
IV. ETUDE DES CONTRAINTES.............................................................................................................. 21
V.
CONDITION DE RESISTANCE .......................................................................................................... 22 V.1. RELATION ENTRE CONTRAINTE ET MOMENT DE TORSION : ..................................................................... 22 V.2. CONDITION DE RESISTANCE : ................................................................................................................. 22 V.3. CONCENTRATION DE CONTRAINTES : ..................................................................................................... 22 VI. CONDITION DE RIGIDITE................................................................................................................. 23
I. DEFINITION .............................................................................................................................................. 24
II.
III.1. III.2.
ETUDE DES DEFORMATIONS .......................................................................................................... 25 II.1. ESSAI DE FLEXION ........................................................................................................................... 25 III. ETUDE DES CONTRAINTES.............................................................................................................. 26 CONTRAINTES NORMALES ........................................................................................................ 26 CONTRAINTES TANGENTIELLES .............................................................................................. 26 IV. CONDITION DE RESISTANCE .......................................................................................................... 27 CONTRAINTES NORMALES ........................................................................................................ 27 CONTRAINTES TANGENTIELLES .............................................................................................. 27 DEFORMATION DE LA POUTRE ..................................................................................................... 27 V.1. EQUATION DE LA DEFORMEE ....................................................................................................... 27 V.2. CONDITIONS AUX LIMITES ............................................................................................................ 28 VI. CONDITION DE RIGIDITE................................................................................................................. 28
IV.1. IV.2.
V.
I. TD-1 : TORSEUR DE COHESION .......................................................................................................... 29
II.
TD-2 : EXTENSION – COMPRESSION ............................................................................................. 32
III. TD-3 COMPRESSION - CISAILLEMENT – TORSION .................................................................. 34
IV. TD-4 : EXTENSION & FLEXION PLANE......................................................................................... 36
V.
TD-5 : TORSION SIMPLE.................................................................................................................... 41
Cours et Exercices de Résistance des Matériaux
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K. MEHDI & S. ZAGHDOUDI janvier 2011
Chapitre I Généralités sur la RdM
CHAPITRE I GENERALITES SUR LA RDM
CHAPITRE I GENERALITES SUR LA RDM
I.
Les hypothèses de la résistance des matériaux
I.1. But de la résistance des matériaux
La résistance des matériaux (RdM) étudie le comportement du solide déformable. Elle s’intéresse particulièrement au calcul des dimensions des systèmes mécaniques pour qu’ils soient en mesure de supporter les efforts qui leur sont appliqués pendant leur service dans les conditions de sécurité requise.
I.2. Hypothèses générales
Ces hypothèses concernent essentiellement les matériaux utilisés, la forme des solides
étudiés et le type d’action mécanique exercée.
I.2.1. Hypothèses sur les matériaux
• Continuité de la matière : Nous considérons que la matière est continue et que le matériau est homogène et isotrope. (Voir cours de technologie de production de 1ère année)
• Caractéristiques mécaniques des matériaux : Le comportement des matériaux est déterminé expérimentalement par des essais standard permettant de qualifier et de mesurer les paramètres du comportement. Exemple : essai de traction.
II. Généralités sur les poutres
II.1. Définition d’une poutre
Nous appelons poutre un solide dont une des dimensions est grande vis-à-vis de deux
autres et qui est soumis à un système de sollicitation qui le fait fléchir ou le déformé.
Cours et Exercices de Résistance des Matériaux
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K. MEHDI & S. ZAGHDOUDI janvier 2011
Chapitre I Généralités sur la RdM
Nous considérons dans cette partie que les poutres à plan moyen. C’est-à-dire qu’on
admet un plan de symétrie dans le sens de la longueur.
Une poutre est en général un solide engendré par une aire plane (Σ) dont le centre de
gravité (G) décrit une courbe (Γ). Le plan de l’aire (Σ) reste normal à la courbe (Γ).
Σ
G
Fibre ou ligne moyenne Γ
Fibre
• L’aire de la section (Σ) est appelée section droite ou section normale de la poutre.
• La courbe (Γ) est appelée fibre moyenne de la poutre.
• Si la fibre moyenne est une droite, la poutre est dite droite.
II.2. Hypothèse sur les poutres
• Les dimensions transversales de la poutre considérée sont petites par rapport à sa longueur. Pour une poutre droite, le rapport de la hauteur sur la longueur doit être compris entre 1/5 et 1/30.
1 30
≤
h L
≤
1 5
(valeur courante de 1/10 à 1/15)
Pour les poutres courbes, ce rapport peut s’abaisser à 1/50 et même à 1/100.
• Le rayon de courbure de la fibre moyenne est suffisamment grand par rapport à la dimension transversale de la poutre. En général, ce rayon doit être supérieur à 5 fois la hauteur de la section.
• Dans le cas où la poutre est de section variable, la variation de la section doit être
lente et progressive.
0
0
,
,
,
(cid:71)
(cid:71)
II.3. Paramétrage de la poutre (cid:71) ( Soit R O x y z
un repère lié à 0 la poutre. Ce repère est choisi tel que ( 0 soit porté par la ligne moyenne de la poutre. Ce repère est appelé repère de position. Il est utilisé pour :
(cid:71) )O x ,
)
0
(cid:71) y 0
O
(cid:71) z0
G
x
(cid:71) x 0
• L’étude de l’équilibre de la poutre (E) et la détermination des actions mécaniques
extérieures qu’elle supporte.
Cours et Exercices de Résistance des Matériaux
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K. MEHDI & S. ZAGHDOUDI janvier 2011
Chapitre I Généralités sur la RdM
• Repérer la section droite (S) de la poutre (E) dans laquelle nous cherchons les
contraintes.
(cid:71) Dans le repère R0, on a : OG x x
=
→
0
II.4. Hypothèses sur les efforts extérieurs
Toute action mécanique est représentée par un torseur en un point. Ces actions peuvent
être concentrées ou réparties, exercées à distance ou en contact.
Les efforts extérieurs sont situés dans le plan de symétrie de la poutre ou disposés
symétriquement par rapport à ce plan.
II.5. Domaine de validité de la résistance des matériaux
Hypothèse de Navier-Bernoulli : Les sections planes normales aux fibres avant la déformation restent planes et normales aux fibres après la déformation.
Hypothèse de Barré de Saint Venant : Les résultats de la RdM ne s’appliquent qu’à une distance suffisante de la zone d’application des efforts concentrés (problème de concentration de contraintes).
Domaine d’élasticité : Dans le cadre de la RdM, les pièces qui constituent un système mécanique ne doivent pas entrer dans le domaine des déformations plastiques.
III. Propriétés géométriques d’une section droite
III.1. Centre de surface ou centre de gravité d’une surface plane
III.1.1. Définition :
On considère une surface plane (S) du plan (cid:71) (cid:71) O x y , , )
.
π(
Nous appelons centre de surface de la
surface plane (S), le point G tel que : → (cid:71) 0 ou encore OG
→ GP ds
=
=
∫
P S ∈
1 S
→ OP ds
∫
P S ∈
(cid:71) y
y
→ avec OP
(cid:71)
(cid:71) x x y y +
=
→
(cid:71) et OG x x y y
+
=
(cid:71)
G
G
⇒ x
G
=
1 S
x ds
et y
=
G
∫
P S ∈
1 S
y ds
O
∫
P S ∈
Surface plane (S)
∆
H
r
P
x
(cid:71) x
(cid:71) , )O y
(cid:71) , )O x
x ds
appelé moment statique de la surface (S) par rapport à l’axe (
y ds
appelé moment statique de la surface (S) par rapport à l’axe (
•
•
P S∈
∫
∫
P S∈
Cours et Exercices de Résistance des Matériaux
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K. MEHDI & S. ZAGHDOUDI janvier 2011
Chapitre I Généralités sur la RdM
III.1.2. Définition
On considère une surface plane (S) et ∆ une droite de son plan. Soit H, le point projeté
orthogonal d’un point P de (S) sur ∆.
Nous appelons moment statique de la surface plane (S) par rapport à la droite ∆ de son
plan le scalaire défini par :
m ( ) S
/
∆
=
PH ds
;
PH doit être affecté de signe (+) ou (-) selon que
∫
P S ∈
l’élément de surface ds et d’un coté ou de l’autre de la droite ∆.
Remarques
• Si le point G est confondu avec l’origine du repère O, alors : m m
= ∫
= ∫
dsy
dsx
)( S
)( S
et
=
=
0
0
(cid:71) , yO
(cid:71) , xO
/(
/(
)
)
∈SP
∈SP
• D’une manière générale, si le centre de gravité G est un point de la droite ∆, alors
• Soit ∆‘ une droite parallèle à ∆ et distant de d de celui-ci. On vérifie facilement que
S
m ( ) m
S ( )
= 0 .
/
∆
m
=
/
' ∆
S ( )
/
∆
+
S d .
.
d doit être affecté de signe (+) ou (-) selon la position respective de ∆ et ∆‘ par
rapport à la surface (S).
• Le moment statique d’une surface par rapport à un axe de symétrie est nul.
(Puisque cette axe passe par le centre G).
b
a
∆
d
R
∆
d
∆'
)( S
/
∆ m
=
'
m
)( S
/
∆
+
. dS
=
.. dba
m
)( S
/
∆'
∆ m
=
'
)( S
/
∆
Publicité
+
. dS
2 . . dR π=
III.2. Moment Quadratique d’une surface plane par rapport à un axe
(par analogie avec le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe)
III.2.1. Définition
Nous appelons moment quadratique d’une surface plane (S), par rapport à une droite ∆
de son plan, le scalaire positif défini par :
I S ( )
=
/∆
2 PH ds
=
∫
P S ∈
2 r ds
avec r
→ PH=
et H est le point projeté orthogonal du
∫
P S ∈
point P sur ∆.
Remarques
Cours et Exercices de Résistance des Matériaux
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K. MEHDI & S. ZAGHDOUDI janvier 2011
Chapitre I Généralités sur la RdM
• On considère les deux droites parallèles ∆(
distant de d. On
(cid:71) , )G n 2 (Théorème de HUYGHENS).
(cid:71) , )M n
et ∆'(
( ) vérifie que I S
=
( ) I S
/
∆
+
. S d
/
'∆
• Le moment quadratique est homogène à une longueur à la puissance 4. Il s’exprime
en m4 ou en cm4 ou en mm4.
III.3. Moment Quadratique Polaire
Le moment quadratique polaire d’une surface plane (S) par rapport à un point O de son plan est le scalaire positif défini par :
I S O
( ) =
∫ 2 r ds
P S ∈
→ avec r OP
=
Dans le plan (
(cid:71) (cid:71) , ) O x y ,
on a :
I S ( )
(cid:71) = O x , )
/
∆
(
∫ 2 y ds
P S ∈
,
I S ( )
(cid:71) = O y , )
/
∆
(
∫ 2 x ds
P S ∈
Surface plane (S)
r
(cid:71) y
y
O
P
x
( ) I S O
=
∫
( P S ∈
2
x
2
+
y
)
ds
=
( ) I S
(cid:71) , ) O x
/
∆
(
+
( ) I S
(cid:71) . , ) O y
/
∆
(
(cid:71) x
Cours et Exercices de Résistance des Matériaux
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K. MEHDI & S. ZAGHDOUDI janvier 2011
Chapitre I Généralités sur la RdM
IV. Torseur des efforts intérieurs
IV.1. Définition du torseur des efforts intérieurs
On considère une poutre (E), en repère rapport , sous l’effet des actions le milieu
équilibre, par (cid:71) (cid:71) (cid:71) R O x y z ) , , , 0 0 0 mécaniques exercées par extérieur noté ( E ).
au
(
0
Imaginons
qui un décompose la poutre en deux parties (E1) et (E2).
plan
(π)
On désigne par commune à (E1) et (E2).
(S)
la section
(cid:71) y 0
(E1)
π
(E2)
O
(cid:71) z0
G
x
(S)
(cid:71) x 0
• L’équilibre de la poutre (E) se traduit en tout point par : { Au point G, centre de gravité de la section (S), la relation précédente entraîne :
} { }0
=→ E )
(cid:71)
Eτ
(
(cid:71) ER (
→
E
)
(cid:71) Em ( G
→
E
)
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
(cid:71) ⎧ 0 ⎪ (cid:71) ⎨ ⎪⎩ 0
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
=
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
G
• L’équilibre du tronçon (E1) de la poutre (E), se traduit par : { )E1 le milieu extérieur pour (E1) qui comprend :
avec (
– le milieu extérieur ( E ),
– le tronçon (E2).
τ(
E
1
→
E
1
} )
=
(cid:71) { } 0
Les actions mécaniques exercées par le tronçon (E2) sur (E1) à travers la section (S) sont extérieures pour (E1), mais intérieures pour la poutre (E). La connaissance des actions dites de cohésion ou actions élastiques et leur répartition à travers la section (S) constitue l’un des buts de la résistance des matériaux.
2
(
)
(
)
(cid:71)
=
E
E
→
E 1
E +→ 1
} { }0
τ } {
Par conséquent, l’équilibre du tronçon (E1) de la poutre (E), se traduit par : τ τ { ⇒ { Définition Le torseur { }τcoh
}) sera appelé torseur des actions de cohésion ou torseur des actions élastiques qu’exerce le tronçon (E2) sur le tronçon (E1) à travers la section (S). On le note par {
→ τ } {
E →τ
})
−=
E 1
E 1
E 1
→
.
E
E
(
(
)
(
2
2
Les éléments de réduction en G du torseur {
}cohτ sont alors :
τ {
coh
}
G
=
(cid:71) ER (
→
E 1
)
2
(cid:71) Em ( G
2
→
E 1
)
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ G
−=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
(cid:71) ER (
→
E 1
)
(cid:71) Em ( G
→
E 1
)
Cours et Exercices de Résistance des Matériaux
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ G
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K. MEHDI & S. ZAGHDOUDI janvier 2011
Chapitre I Généralités sur la RdM
Notation :
Dans le but de simplifier l’écriture des équations, nous désignons les éléments de réduction au point G, du torseur des efforts de cohésion dans la poutre exercés par le tronçon (E2) sur le tronçon (E1), par (cid:71) ER (
(cid:71) R et
(cid:71) mG .
(cid:71) R
→
)
τ {
coh
}
G
=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ GG
(cid:71) m
−=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
E 1
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ G
(cid:71) Em ( G
→
E 1
)
(1)
Remarque • Les éléments de réduction en G du torseur { du centre de surface G de la section (S).
}τcoh
sont des fonctions de l’abscisse x
(cid:71) • Comme la poutre (E) est en équilibre par rapport au repère R O x y z
(cid:71)
(cid:71)
(
,
,
,
E
} { }0 Par conséquent, les éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion
E +→ 1
E ) =→
→
E
E
E
=
)
)
2
(cid:71)
τ } {
(
τ } {
(
)
, alors
τ {
(
0
0
0
0
pourront être également exprimés comme suit :
τ {
coh
}
G
=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
(cid:71) R
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ GG
(cid:71) m
(cid:71) ( ER
→
E
2
)
(cid:71) ( Em G
→
E
2
)
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ G
+=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
Publicité
(2)
Pour effectuer les calculs pratiques de
(cid:71) (cid:71) mG on pourra utiliser, soit la relation R et donnée par (1), soit la relation donnée par (2). Le choix dépendra uniquement de la difficulté de leur expression.
IV.2. Composantes des éléments de réduction en G du torseur des efforts de
cohésion
IV.2.1. Définition du repère local lié à la section droite (S)
(cid:71) y 0
(cid:71) y 0
On considère le tronçon (E) de la poutre (E) en équilibre, par rapport au (cid:71) repère R O x y z ) ( 0
.
(cid:71)
(cid:71)
,
,
,
0
0
0
(cid:71) On désigne par R G x y z le repère local orthonormé direct, lié à la
G (
(cid:71)
(cid:71)
)
,
,
,
0
0
0
(cid:71) )G x , 0
(cid:71) section (S) d’abscisse x ( OG x x 0 ), tel que ( soit confondu avec la normale extérieure en (G) à (S) (dirigée vers l’extérieur de la matière).
=
→
(cid:71) z0
O
(cid:71) z0
G
(S)
(E1)
x
(cid:71) T
(cid:71) N
(cid:71) M f
(cid:71) R
(cid:71) M t
(cid:71) x 0
(cid:71) mG
IV.2.2. Composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de
cohésion dans le repère local
Supposons que les éléments de réduction au point G du torseur des efforts de cohésion
Cours et Exercices de Résistance des Matériaux
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Chapitre I Généralités sur la RdM
.
τ sont connus : {
coh
}
G
=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
(cid:71) R
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ GG
(cid:71) m
et
(cid:71) En projection sur les axes du repère R G x y z
(cid:71) mG se notent conventionnellement comme suit : (cid:71) R sur la normale extérieure (
• La projection de
G (
(cid:71)
(cid:71)
,
,
,
0
0
)
, les composantes des vecteurs
0
(cid:71) R
(cid:71) )G x , 0
est notée par N, appelée effort
normal.
• La projection de
suivant (
(cid:71) )G y , 0
.
• La projection de
suivant (
(cid:71) )G z , 0
.
(cid:71) R sur l’axe (
(cid:71) )G y , 0
(cid:71) R sur l’axe (
(cid:71) )G z , 0
est notée par Ty, appelée effort tranchant
est notée par Tz, appelée effort tranchant
• La projection de
(cid:71) mG sur la normale extérieure (
(cid:71) )G x , 0
est notée par Mt, appelée
moment de torsion. (cid:71) mG sur l’axe (
• La projection de .
suivant (
(cid:71) )G y , 0
(cid:71) )G y , 0
est notée par Mfy, appelée moment de flexion
• La projection de .
suivant (
(cid:71) )G z , 0
(cid:71) mG sur l’axe (
(cid:71) )G z , 0
est notée par Mfz, appelée moment de flexion
Par conséquent :
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
(cid:71) (cid:71) xNR = 0 (cid:71) = 0
t
(cid:71) m G
+ +
(cid:71) yT y
0 (cid:71) zMyMxM 0 fy
fz
0
+ (cid:71)
(cid:71) zT 0 z +
(cid:71) T
(cid:71) yT 0 y
(cid:71) On pose : zT z 0 (cid:71) (cid:71) (cid:71) M M y M z
=
=
+
+0
fy
fz
f
; appelé effort tranchant.
0 ; appelé moment de flexion.
Nous rappelons que les composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de
cohésion sont des fonctions de l’abscisse x du centre de gravité de la section (S).
Ainsi : {
=τ }
coh
G
xN )(
⎧ ⎪ ⎪ ⎪⎪ xT )( ⎨ y ⎪ ⎪ ⎪ xT )( ⎪ ⎩ z
G
xM )( t
xM )( fy
xM )( fz
⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ (cid:71)⎪ ⎭ ( x
;
(cid:71) y
0
(cid:71) z
,
)
0
,
0
La représentation graphique de ces fonctions donne les diagrammes de composantes algébriques des éléments de réduction. Ces graphes sont appelés diagrammes de l’état de sollicitation de la poutre.
Cours et Exercices de Résistance des Matériaux
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K. MEHDI & S. ZAGHDOUDI janvier 2011
Chapitre I Généralités sur la RdM
IV.3. Relation entre effort tranchant et moment de flexion
la
On considère
répartition de charge, d’équation p(x) sur une poutre (E) ou sur un tronçon de la poutre. Afin de simplifier le calcul, nous supposons que la charge est uniformément répartie définie par sa densité linéique p parallèle à la direction du vecteur
(cid:71) y0 .
On considère un élément de la poutre de longueur ∆x , délimité par les sections droites (S) et (S’) de centre de gravité respectivement G et G’.
(cid:71) y 0
p
G (S)
(cid:71) z0
(cid:71) z0
∆x
(cid:71) x 0
G’
(S’)
On suppose qu’entre (S) et (S’) aucune charge concentrée n’est appliquée (voir fig. )
Les composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de cohésion au centre
de gravité de la section (S) d’abscisse x sont :
}τcoh
{
G
=
(cid:71) ( ) R x (cid:71) ( ) m x G
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
=
⎧ N x ( ) ⎪ T x ( ) ⎨ y ⎪ ( ) T x ⎩ z
(cid:71) ( ) T x
=
G (cid:71) ( ) T x y
(cid:71) ( ) T x z
+0
soient
y l’effort tranchant et le moment de flexion en G.
z
f
;
⎫ M x ( ) t ⎪ ( ) M x ⎬ fy ⎪ ( ) ( M x ⎭ fz (cid:71) (cid:71) M x M x y M x z ( )
(cid:71) (cid:71) (cid:71) , x y z
( )
( )
=
(cid:71)
)
0
0
0
,
+0
fy
fz
0 et
0 respectivement
Les composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de cohésion au centre x+ ∆ sont :
de gravité G’ de la section (S’) d’abscisse x
}τcoh
{
=
G
'
(cid:71) R x ( ) x + ∆ (cid:71) x m x ( + ∆ G '
⎧ ⎨ ⎩
=
⎫ ⎬ ⎭
)
⎧ ( N x ⎪ T x ( ⎨ y ⎪ ( T x ⎩ z
+ + +
x ) ∆ x ) ∆ x ) ∆
G
'
( M x t M x ( fy ( M x fz
+ + +
) x ∆ x ) ∆ x ) ∆
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
(
;
)
0
(cid:71) (cid:71) (cid:71) x y z ,
,
0
0
(cid:71) ( T x
+
x ∆
)
=
( T x y
+
∆
(cid:71) ) x y
+
( T x z
+
∆
0
(cid:71) ) x z
0 et
+
∆
x M x
=
(
)
fy
+
∆
(cid:71)
x y M x +
)
(
fz
0
(cid:71) ) x z
+
∆
0 respectivement l’effort tranchant et le
moment de flexion en G’.
Évaluons les éléments de réduction du torseur des efforts de cohésion au point G’ : (cid:71) ( R x
∆ avec ∆
(cid:71) p x y ∆
(cid:71) ( ) R x
x ) ∆
= −
(cid:71) R
(cid:71) R
+
=
+
0
(cid:71) '( m x G
+
(cid:71) ( ) x m x
=
)
∆
G
(cid:71) R x GG p
( )
→
∧
+
'
+
(
∆ 2 ) x 2
→ avec GG
Publicité
'
(cid:71) z
0
(cid:71) x x
= ∆
0
On pose :
(cid:71) R
∆
(cid:71) p x y ∆
0
= −
(cid:71) (cid:71) '( m m x
=
G
∆
+
(cid:71) ( ) x m x
−
)
∆
G
(cid:71) R x GG p
( )
→
∧
+
'
=
)2
(
x ∆ 2
(cid:71) z
0
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soient (cid:71) ( M x f
Chapitre I Généralités sur la RdM
En remplaçant les vecteurs par leur expression respective et en faisant la projection sur
(cid:71) les trois axes du repère R O x y z
(cid:71)
(cid:71)
(
,
,
,
0
0
0
)
, les relations deviennent :
0
∆
T y
=
( T x y
+
x ∆
)
−
( ) T x y
= −
p x ∆
⇒
∆
T y = − p x ∆
∆
M
fy
=
( M x fy
+
∆
( ) x M x
−
)
fy
∆
M M x =
(
fz
fz
+
∆
( ) x M x
−
)
fz
=
T x ∆ z
⇒
∆
M
fy x ∆
T z=
= −
T x p ∆
+
y
) 2
(
x ∆ 2
⇒
M ∆ fz x ∆
= −
T y
+
p
x ∆ 2
Au passage à la limite (en remplace ∆ par d), et en faisant tendre ∆x vers zéro, nous
obtenons :
dT
dx
y = − ;
p
dM
fy dx
T z=
; et
dM fz dx
T = − y
Ces relations restent valable même lorsque p n’est pas constante.
Nous démontrons que, pour une répartition de charge donnée, la relation suivante :
dM dx
f = − , où T désigne la valeur algébrique de l’effort tranchant et Mf la valeur
T
algébrique du moment de flexion.
IV.4. Définition des sollicitations simples
Une sollicitation est dite simple lorsque toutes les composantes du torseur des efforts de
cohésion sont nulles sauf une.
Désignation
Flexion plane simple
Torsion
Torseur τ } {
coh
(cid:71) (cid:71) (cid:71) x y z , ) ,
(
G
G
0
⎧ ⎪ ⎪⎪ T ⎨ y ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
0
0 ⎧ ⎪ ⎪⎪ 0 ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎩
G
0
0
M
fz
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
tM
0
0
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
Désignation
Traction
(N>0)
Compression
(N<0)
Cisaillement
Flexion pure
Torseur τ } {
coh
(cid:71) (cid:71) (cid:71) x y z , ) ,
(
G
⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
G
G
N x( )
0
0
0
⎧ ⎪ ⎪⎪ T ⎨ y ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
T z
0
0
0
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
0 ⎫ ⎪ ⎪⎪ 0 ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎭
0 ⎧ ⎪ ⎪⎪ 0 ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎩
G
0
0
fzM
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
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Chapitre I Généralités sur la RdM
V. Notions sur les contraintes
Considérons une poutre (E) en équilibre sous l’effet de l’action des forces extérieures
(cid:71) par rapport au repère R O x y z
(cid:71)
(cid:71)
(
,
,
,
0
0
0
)
.
0
Imaginons un plan (π) qui décompose la poutre en deux tronçons (E1) et (E2). On
désigne par (S) la section commune à (E1) et (E2).
Nous admettons que l’action exercée par le tronçon (E2) sur le tronçons (E1) est la
suivante :
Sur chaque élément de surface ds de la section (S), (E2) exerce sur (E1) une force dite
élastique
(cid:71) (cid:71) f C ds
=
appliquée au centre de l’élément ds.
Par définition,
(cid:71) C est le vecteur contrainte relatif à l’élément de surface ds. Le vecteur
(cid:71) C dont la direction est quelconque dans l’espace peut être décomposé en :
(cid:71) – Une projection normale à l’élément ds suivant n . C’est la contrainte (cid:71) (cid:71) Cn ou σ ; Elle peut être une compression ou une (cid:71) C par rapport à la normale extérieure. (S’ils sont
normale ou pression traction suivant le sens de de même sens « traction », s’ils sont de sens contraire « compression »).
– Une projection sur le plan tangent à l’élément ds. C’est la contrainte
tangentielle
(cid:71) Ct ou
(cid:71) τ .
La dimension d’une contrainte est celle d’une force par unité de surface (1MPa =
1N/mm2).
L’ensemble des forces
(cid:71) f appliquées à la surface (S) forme un système équivalent aux
système de forces extérieures directement appliquées au tronçon (E1) ou au tronçon (E2). → (cid:71) GP C ds ∧
(cid:71) C ds
(cid:71) ( m G
et
(cid:71) R
=
)
E
2
E 1→
= ∫
P S ∈
E
2
E 1→
∫
P S ∈
La statique élémentaire ne permet pas de déterminer les contraintes en tout point. Il faut faire appel pour cela à d’autres hypothèses résultant de l’étude expérimentale permettant l’étude de la déformation des corps sous l’action des forces extérieures.
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Chapitre II Extension - Compression
CHAPITRE II EXTENSION - COMPRESSION
CHAPITRE II EXTENSION - COMPRESSION
Ces deux sollicitations simples sont distinctes et un certain nombre de matériaux ont un comportement différent en traction et en compression (fonte :σe = 20 MPa et σec = 150 MPa). Cependant dans les deux cas nous avons les mêmes relations entres contraintes et déformations.
I.
DEFINITION
On dit qu’une poutre (E) travaille en extension simple (ou en compression simple) quand elle est soumise à deux forces axiales directement opposées, appliquées au centre de surface des sections extrêmes qui tendent à l’allonger (ou à la raccourcir).
(cid:71) A ( F
1 →
E
)
A
E
(cid:71) B ( F
2 →
E
)
B
G (
Dans
le repère de définition des (cid:71) (cid:71) (cid:71) sollicitations R G x y z lié à la section , ) , droite (S), les éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion s’expriment par :
,
{ cohT
} G
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
(cid:71) R (cid:71) m
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭ G F
G
{ cohT
}
G
=
N
⎧ ⎪ 0 ⎨ ⎪ 0 ⎩
0
0
0
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
G
=
⎧ ⎪ 0 ⎨ ⎪ 0 ⎩
=
- ⎧ - ⎨ ⎩
(cid:71) xF. (cid:71) 0
⎫ ⎬ ⎭
G
0
0
0
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ G
(cid:71) y 0
A
(cid:71) A ( F
1 →
E
)
(cid:71) z0
(cid:71) y
(cid:71) N
(S)
(cid:71) x
(cid:71) x 0