E c o l e P o l y t e c h n i q u e U n i v e r s i t a i r e d e P a r i s
S p c i a l i t E l e c t r o n i q u e I n f o r m a t i q u e E L I , 3 m e A n n e
Cours de traitement
du
signal
S E C O N D E P A R T I E
Z A R A D E R J . L
2 0 0 8 / 2 0 0 9
2
S O M M A I R E
V I I T R A N S F O R M E E E N Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 ) D E F I N I T I O N S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 ) P R O P R I E T E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 ) T R A N S F O R M E E E N Z I N V E R S E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 ) R E L A T I O N S E N T R E L A T Z E T L E S A U T R E S T R A N S F O R M E E S . . . . . . . . . . . . . . . 1 3
V I I I A N A L Y S E D E S F I L T R E S N U M E R I Q U E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6
1 ) S Y S T E M E S N U M E R I Q U E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6
2 ) C L A S S I F I C A T I O N D E S F I L T R E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9
3 ) R E A L I S A T I O N D E F I L T R E S N U M E R I Q U E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3
4 ) A N A L Y S E D E S F I L T R E S N U M E R I Q U E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9
I X S Y N T H E S E D E F I L T R E S N U M E R I Q U E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0
2 ) S Y N T H E S E D E F I L T R E P A R T R A N S F O R M A T I O N D E P E N Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9
. . . . . . . . . . . . . . . . 5 1
5 ) B R U I T D E T R A I T E M E N T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5
4 ) S Y N T H E S E D E F I L T R E P A R I N V A R I A N C E F R E Q U E N T I E L L E .
3 ) S Y N T H E S E D E F I L T R E P A R I N V A R I A N C E T E M P O R E L L E .
1 ) R A P P E L S S U R L E S F I L T R E S A N A L O G I Q U E S .
3
V I I T r a n s f o r m e e n Z
1 ) D f i n i t i o n s
L a t r a n s f o r m e d e F o u r i e r e s t u n o u t i l p r c i e u x d ' a n a l y s e e t
d e t r a i t e m e n t d e s s i g n a u x . C e p e n d a n t , d a n s c e r t a i n s p r o b l m e s
( c o m m e l e f i l t r a g e n u m r i q u e ) , l e s l i m i t e s d e l a T F s o n t v i t e
a t t e i n t e s . L a
s i g n a u x
d i s c r e t s , g n r a l i s e l a T F e t p e r m e t d e d p a s s e r c e s l i m i t e s . C e t t e
t r a n s f o r m a t i o n e s t c o m p a r a b l e
l a T r a n s f o r m e d e L a p l a c e
b i l a t r a l e q u i g n r a l i s e l a T F d a n s l e c a s d e s y s t m e s c o n t i n u s .
t r a n s f o r m e e n Z , q u i
s ' a p p l i q u e a u x
S o i t x ( k ) u n s i g n a l d i s c r e t . S a t r a n s f o r m e e n Z e s t d o n n e
p a r :
TZ x(k) = Z x(k) = X(Z) =
{
}
[
]
+
k = -
x(k) Z - k
o Z e s t u n e v a r i a b l e c o m p l e x e .
E x i s t e n c e d e l a T Z : L ' e x i s t e n c e d e l a T Z e s t o b t e n u e g r c e a u
c r i t r e d e C A U C H Y q u i a f f i r m e q u e l a s r i e
lim
k
+
u
k
1
k
< 1
+
k =
0
u k
c o n v e r g e s i :
E n a p p l i q u a n t c e c r i t r e , o n d m o n t r e q u e X ( Z ) e x i s t e s i :
(R , R
x +
x -
)
2
R tel que 0
d
R
<
Z < R
x +
x -
avec
R < R et
x +
x -
D e m :
X Z(
) =
+
k = -
- k
x(k) Z =
(
X Z
)
= S
1
(
Z
)
+ S
(
Z
)
2
1
k = -
x(k) Z
- k
+
+
k =
0
R = lim x(k)
k
+
x -
1
k
1
lim x(-k)
k
+
1
k
R =
x +
x(k) Z
- k
S2 (
)Z c o n v e r g e , d ' a p r s C A U C H Y , s i lim x(k) Z
k
+
- k
1
k
< 1
C ' e s t d i r e s i R x
= lim x(k)
+
k
1
k
< Z
4
D e m m e S Z1(
) c o n v e r g e s i
1
k = -
- k
x(k) Z =
+
k =
1
x(-k) Z
k
c o n v e r g e .
C ' e s t d i r e s i lim x(-k) Z
k
+
1
k
k
< 1
o u e n c o r e : Z
<
1
lim x(-k)
k
+
1
k
< 1
= R
x +
E n c o n c l u s i o n X ( Z ) c o n v e r g e s i Z s e t r o u v e d a n s l a c o u r o n n e
d e c o n v e r g e n c e .
Im(Z)
Couronne
de
Convergence
R
x-
R x+
Re(Z)
R x+ e t R x- s o n t l e s r a y o n s d e c o n v e r g e n c e e x t r i e u r e t i n t r i e u r .
E x e m p l e : C o n s i d r o n s l e s i g n a l x ( k ) d f i n i p a r x k( ) = a u(k)
e s t u n r e l p o s i t i f e t u ( k ) l ' c h e l o n u n i t .
k
, o a
x(k)
( a < 1 )
5
1
a
10
(a Z
-1
k
)
k
X ( Z ) s ' c r i t :
X Z
)
(
=
+
k = -
- k
x(k) Z =
+
k = 0
C ' e s t u n e s r i e g o m t r i q u e d e r a i s o n a Z-1 :
(
X Z
) =
1
aZ
1
1 si aZ
- 1
<
1
a
<
Z
Rappel : S(r) =
n -1
k = 0
k
(r) =
n
1 - r
1 - r
X ( Z ) e s t d f i n i e p o u r s i a <
Z
< +
.
O n p e u t v r i f i e r q u e l e s r a y o n s d e c o n v e r g e n c e R x+ e t R x s o n t :
R x
+
=
e t :
R x
=
1
lim x(-k)
+
k
1
k
=
1
{ }
lim 0
+
k
= +
lim x(k)
+
k
1
k
=
{ }
lim a = a
+
k
Q u e l q u e s T Z i m p o r t a n t e s
- x ( k ) = u ( k ) = c h e l o n
( )Z
X =
1
1 - Z
- 1
; 1 < Z < +
- x ( k ) = a k u ( k )
( )Z
X =
- x ( k ) = d ( k ) ( = 1 s i k = 0 )
1
1 - a Z
X(Z) = 1;
- 1
; a < Z < +
- x(k) =
N
k -
N
2
X =
)Z
(
1 - Z
1 - Z
-N
; 0 < Z < +
-1
R e m a r q u e : P o u r u n s i g n a l d u r e l i m i t e , X ( Z ) e s t d f i n i e p o u r
t o u t e s l e s v a l e u r s d e Z . E n e f f e t :
x(k) Z- k
d ' o R x = 0 e t R x+
= + .
1
6
Publicité
k
2
k = k
X Z(
) =
2 ) P r o p r i t s
a ) L i n a r i t : S o i e n t X ( Z ) e t Y ( Z ) l e s T Z d e s s u i t e s x ( k ) e t y ( k ) .
L a T Z e s t l i n a i r e .
C
x(k) + y(k)
T. Z
X(Z) + Y(Z)
L e s r a y o n s d e c o n v e r g e n c e R + e t R s o n t :
R + = min(R , R
x +
y +
)
)
; R = max(R , R
x -
y -
-
b ) R e t a r d : S i x ( k ) a p o u r t r a n s f o r m e X ( Z ) a l o r s :
[
(
Z x k
- k
0
)
]
=
d ' o :
+
k = -
(
x k
- k
- k Z =
)
0
+
k = -
( )
x k
Z
- (k + k 0
)
[
Z x k(
- k
0
]
)
-k 0
= Z X(Z)
C e t t e p r o p r i t e s t e s s e n t i e l l e p o u r
n u m r i q u e s . O n
u n i t Z-1 p a r :
r e p r s e n t e s c h m a t i q u e m e n t
l a
r a l i s a t i o n d e
l ' o p r a t e u r
f i l t r e s
r e t a r d
x(k)
-1
Z
x(k-1)
L e s r a y o n s d e c o n v e r g e n c e r e s t e n t R x+ e t R x .
c ) C h a n g e m e n t d ' c h e l l e :
S i X ( Z ) = T Z [ x ( k ) ] e t y ( k ) = a k x ( k ) a l o r s :
+
k = -
Y Z( ) =
s o i t :
k
a x(k) Z =
- k
+
k = -
x(k)
-k
Z
a
a v e c R
<
x
Z
a
<
R
x
+
Y Z(
) = X
Z
a
L a c o u r o n n e d e c o n v e r g e n c e d e Y ( Z ) e s t d o n n e p a r :
R
= a R et
x
= a R
R
+
+
y
x
y
d ) D r i v a t i o n d e l a T Z :
L a d r i v e d e X ( Z ) p a r r a p p o r t a Z s ' c r i t :
- k x(k) Z
- k -1
}
-1
= - Z TZ k x(k)
{
7
+
k = -
d X(Z)
d Z
=
d ' o :
e ) C o n v o l u t i o n :
k x(k)
T. Z
- Z
d X(Z)
d Z
S o i t y ( k ) l e p r o d u i t d e c o n v o l u t i o n d e s s i g n a u x x ( k ) e t h ( k ) :
y ( k ) = x ( k ) * h ( k ) =
+
i =
x(i) h(k - i)
P a r t r a n s f o r m e e n Z o n t r o u v e :
Y ( Z ) =
+
+
=
=
i
k
x(i) h(k - i) Z - k
s o i t e n c o r e :
(
Y Z
) =
i
+
=
x(i)
+
k
=
h(k - i) Z
- k
e n r e m p l a a n t k - i p a r m o n o b t i e n t :
Y Z
( ) =
i
s o i t :
+
=
x(i)
+
m
=
h(m) Z
- m
- i
Z
Y Z H Z X Z
=
(
)
)
(
(
)
avec
R
R
= max(R , R )
h -
x -
y
= min(R , R )
h +
x +
y
+
f ) C o r r l a t i o n d e s i g n a u x r e l s :
C o n s i d r o n s l e s d e u x s i g n a u x r e l s x ( k ) e t y ( k ) . S o i t S
d e l ' i n t e r c o r r l a t i o n C kxy ( ) :
Zxy (
) l a T Z
( )
S Z
xy
{
= TZ C
xy
}
( )
k
=
+
+
=
i
k = -
x(i) y
*
(
i
- k) Z
- k
E n p o s a n t i - k = m e t s a c h a n t q u e y ( k ) e s t r e l , o n p e u t c r i r e :
+
i = -
x(i)
S Zxy
( ) =
o u e n c o r e :
+
m
=
y(m) Z Zm
- i
S Zxy ( ) =
s o i t :
+
i = -
8
x(i) Y
1
Z
- i
Z = X(Z) Y
1
Z
)
S Zxy (
= X(Z) Y(Z-1
)
L a r g i o n d e c o n v e r g e n c e d e Y(Z-1) e s t d o n n e p a r
1
R
y
+
< Z <
1
R
y
.
Sxy (
)Z e s t d f i n i e s i :
max R
,
x
1
R
y
+
< Z <
min R
,
x
+
1
R
y
g ) V a l e u r i n i t i a l e :
S i x ( k ) u n s i g n a l c a u s a l :
lim
Z
+
{
}
X(Z) =
lim
Z
+
x(0) +
x(1)
Z
+
x(1)
2
Z
+ . . .
= x(0)
3 ) T r a n s f o r m e e n Z i n v e r s e
Publicité
a ) D f i n i t i o n :
T Z 1 e s t
L ' e x p r e s s i o n d e
l a
)
t h o r m e d e C A U C H Y , q u i m o n t r e q u e
o b t e n u e p a r t i r d u
l ' i n t g r a l e d e Zm1, s u r u n c o n t o u r f e r m e n t o u r a n t l ' o r i g i n e d e s
Z e t s i t u d a n s l a c o u r o n n e d e c o n v e r g e n c e , v a u t :
t r a n s f o r m e e n Z
i n v e r s e
(
I =
1
2 j
Z
+
m - 1
dZ =
1 si m = 0
0 si m
0
`
Im(Z)
9
Re(Z)
E n m u l t i p l i a n t X ( Z ) p a r
m1
Z
2
e t e n i n t g r a n t s u r u n c o n t o u r f e r m
j
, o n t r o u v e :
1
j
2
+
X(Z) Z
m -1
dZ
=
+
k = -
x(k)
1
j
2
Z
+
- k + m -1
dZ
L ' i n t g r a l e e n t r e c r o c h e t s v a u t 1 s i k = m e t 0 p o u r t o u t e s l e s
a u t r e s v a l e u r s d e k , d ' o :
(
x m
) =
1
j
2
+
X(Z) Z m -1
dZ
L e c a l c u l d e c e t t e
c a l c u l e r x ( m ) d e p l u s i e u r s f a o n s .
i n t g r a l e e s t d l i c a t . O n p e u t c e p e n d a n t
b ) M t h o d e d e s r s i d u s :
L e t h o r m e d e C A U C H Y p e r m e t d ' c r i r e q u e , s i G ( Z ) e s t
d f i n i e p a r :
G Z( ) = X(Z) Z k -1
a l o r s :
x k
( ) =
1
2
j
+
G(Z)
dZ
=
d e s r s i d u s d e G ( Z )
o e s t u n c o n t o u r f e r m q u i e n t o u r e l e s p l e s d e G ( Z ) .
S i G ( Z ) a u n p l e d ' o r d r e q e n Z = a , l e r s i d u Re sa
q a s s o c i
c e p l e e s t d o n n e p a r :
Re sa
q = lim
Z
a
1
(q - 1) !
q -1
q -1
d
dZ
1 0
[
q
G(Z) (Z - a)
]
R e m a r q u e : P o u r k
1e l e s p l e s d e G ( Z ) e t X ( Z ) s o n t i d e n t i q u e s .
S i k < 1 , G ( Z ) a l e s m m e s p l e s q u e X ( Z ) p l u s u n p l e e n 0
d ' o r d r e 1 - k .
E x e m p l e
S i X Z( ) =
1
1 - Z
-1
=
Z
Z - 1
a l o r s G Z( ) = X(Z) Z
k - 1
=
k
Z
Z - 1
1 ) S i k
0e
, G ( Z ) n ' a q u ' u n s e u l p l e e n Z = 1 :
x ( k ) =
Re s1
1 = lim
1
Z
1
0!
0
d
dZ
0
[
G(Z) (Z - 1)
]
{
= lim Z = 1
}
k
Z
1
2 ) S i k < 0 , G ( Z ) a u n p l e d ' o r d r e 1 e n Z = 1 e t u n p l e d ' o r d r e -
k e n Z = 0 .
x k
=
( )
a v e c :
Re
k
s
0
+
Re
s
1
1
= 0
Re s1
1 = 1 e t Re s k
0
= lim
Z
0
1
(-k - 1)!
-k - 1
- k - 1
d
dZ
1
Z - 1
= - 1
d ' o :
x ( k ) = 0
F i n a l e m e n t , k
Z , x ( k ) = u ( k ) = c h e l o n .
c ) D v e l o p p e m e n t e n s r i e e n t i r e :
O n p e u t , p a r
i d e n t i f i c a t i o n ,
t r o u v e r x ( k ) p a r t i r d e
l a
d c o m p o s i t i o n e n s r i e d e X ( Z ) .
E x e m p l e : S i X ( Z ) = exp
(Z-1 a l o r s :
)
X Z(
) = 1 +
-1
Z
1!
+
-2
Z
2!
+ . . . =
+
k = 0
1
k!
- k
Z
e t :
X Z(
) =
d ' o :
+
k=-
x(k) Z -k
x k( ) =
1
k!
u(k).
d ) D i v i s i o n p o l y n o m i a l e :
S i X ( Z ) s e p r s e n t e s o u s l a f o r m e d ' u n e f r a c t i o n r a t i o n n e l l e ,
l e s
p o l y n o m i a l e
d i r e c t e m e n t
d i v i s i o n
r e s t i t u e
l a
a l o r s
c h a n t i l l o n s x ( k ) .
1 1
X Z(
) =
N(Z)
D(Z)
E x e m p l e
P r e n o n s , p a r e x e m p l e , X Z(
) =
1
1 - a Z
- 1
E n e f f e c t u a n t l a d i v i s i o n p o l y n o m i a l e o n t r o u v e :
1
-1
a Z
-2
2a Z
3
a
-3
Z
-1
1
a Z-
1
+
a Z
-1
2
a
+
Z
-2
+
-3
3a Z + ....
P a r r c u r r e n c e o n o b t i e n t :
x(k) = a u(k)
k
e ) D c o m p o s i t i o n e n l m e n t s s i m p l e s :
S o i t X ( Z ) u n e f r a c t i o n r a t i o n n e l l e q u i s ' c r i t :
X(Z) =
N(Z)
D(Z)
=
n
i = 1
a
i
Z - Z
i
O n r e t r o u v e x ( k ) p a r T Z i n v e r s e d e s l m e n t s
a
i
Z - Z
i
:
1
TZ
Z
i
a
Z
i
=
k
a Z u(k)
i
i
E x e m p l e
1
Z - 3Z + 2
2
=
1
(Z - 1)(Z - 2)
=
1
Z - 2
-
1
Z - 1
X(Z) =
d ' o
-1
X(Z) = Z
1
1 - 2Z
-
-1
1
1 - Z
-1
}
{
= Z TZ 2 u(k) - u(k)
-1
k
[
]
Z-1 e s t l ' o p r a t e u r r e t a r d d ' o
[
x(k) = 2
k - 1
- 1 u(k - 1)
]
f ) R e l a t i o n d e P a r s e v a l :
S o i t X ( Z ) l a T Z d u s i g n a l r e l x ( k ) . O n p e u t m o n t r e r q u e , s i
x ( k ) e s t d e c a r r s o m m a b l e :
1 2
+
k = -
2
x(k) =
1
+
2 j
)
X(Z) X(Z
-1
dZ
Z
D e m :
+
Publicité
k = -
2
x(k) =
+
k = -
x(k)
1
2 j
X(Z) Z dZ
k -1
+
s o i t e n c o r e :
+
k = -
2
x(k) =
1
2 j
X(Z)
+
o u :
+
k = -
x(k) Z
k
dZ
Z
+
k = -
2
x(k)
=
1
2 j
+
X(Z) X(Z )
-1
dZ
Z
g ) R e p r s e n t a t i o n d ' u n s i g n a l p a r s e s p l e s e t z r o s :
L a t r a n s f o r m e e n z f o u r n i t , p a r t i r d e s p l e s e t d e s z r o s
s i g n a l x ( k ) . C e t t e
l a
d e X ( Z ) , u n e
r e p r s e n t a t i o n
r e p r s e n t a t i o n e s t p a r t i c u l i r e m e n t u t i l e p o u r
s t a b i l i t d e s f i l t r e s n u m r i q u e s .
l ' t u d e d e
s i m p l e d u
( )
E x e m p l e : S o i t x k
= 2
k + 2
( )
u k
- u(k)
. O n a :
X z
( )
[
= TZ 2
k + 2
u k
( )
]
X z
( )
=
4
1 - 2 Z
-1
]
[
- TZ u(k)
1
1 - Z
-1
-
X z
( )
=
-1
3 - 2 z
-1
1
)(
- Z
(1 - 2 Z
-1
)
X ( Z ) c o n t i e n t u n z r o z0 e t d e u x p l e s p0 e t p1
Z0 =
2
3
, p0= 2 , p1= 1
Im(Z)
1
1 3
-1
Z
0
(cid:122)
p
1
p0
1
2
Re(Z)
-1
T o u s s i g n a l x ( k ) d o n t l a t r a n s f o r m e e n Z e s t r a t i o n n e l l e
p e u t t r e r e p r s e n t d a n s l e p l a n d e s Z .
4 ) R e l a t i o n s e n t r e l a T Z e t l e s a u t r e s t r a n s f o r m e s
a ) R e l a t i o n T F - T Z .
S o i t x ( t ) u n s i g n a l d i s c r e t d f i n i n o n - n u l a u x i n s t a n t s kTe :
x t
( )
=
+
k = -
x(
kTe
)
(t - kT
e
)
O n e n d d u i t :
X f( )
{
= TF x(t) =
}
+
k = -
x(kT ee
)
- 2 jfkT
e
o u e n c o r e :
( 1 ) X f
( )
=
+
k = -
x(kT (e
e
)
2 jfT
e
k
)
S o i t X ( Z ) l a T Z d e l a s u i t e x(kTe ) o n a :
( 2 ) X Z
)
(
=
+
k = -
x(kT
)
e
Z k
E n c o m p a r a n t l e s q u a t i o n s ( 1 ) e t ( 2 ) , o n t r o u v e :
X f( ) = X(Z)
Z = e2 jfTe
L a T F e s t d o n c o b t e n u e e n p a r c o u r a n t l a T Z s u r l e c e r c l e u n i t .
R e m a r q u e : E n
p o s a n t
Z
=
e
2
(
j f
+
1
T
e
)
T
e
,
o n
r e t r o u v e
l a
r e l a t i o n
(
X f
+
1
Te
)
= X(f) .
b ) R e l a t i o n T L - T Z .
L a T r a n s f o r m e d e L a p l a c e b i l a t r a l e ( T L ) d u s i g n a l d i s c r e t
x ( t ) e s t d o n n e p a r .
1 4
X p( ) = TL x(t) =
{
}
+
+
-
x(t) e
- pt
dt
o p e s t u n e v a r i a b l e c o m p l e x e q u i s ' c r i t p =
+ j2 f
E n r e m p l a a n t x ( t ) :
( )
X p
=
( )
X p
=
( )
X p
=
+
+
+
k = -
-
x(kT (t - kT e
)
)
- pt
dt
e
e
+
k = -
x(kT
)
e
+
+
(t - kT e
)
e
- pt
dt
+
k
=
x(kT
e
k
(
)
e
pT
e
)
e n c o m p a r a n t e n t r e X ( p ) e t X ( Z ) o n o b t i e n t :
X p( ) = X(Z)
Z = epTe
L a r e l a t i o n e n t r e Z e t p e s t : Z = e
pT
e
= e
T
e
e
j2 fT
e
f
1
e
Im(Z)
1
2
1
0
R
2
R
1
R
0
Re(Z)
L e s e g m e n t d e d r o i t e d f i n i p a r 0 = 0 e t
p r o j e t t e d a n s l e p l a n d e s Z s u r l e c e r c l e d e r a y o n R
D e m m e l e s e g m e n t d f i n i p a r
Z s u r l e c e r c l e d e r a y o n R
Te
1 = e 1
s e
.
1
= 1 s e p r o j e t t e d a n s l e p l a n d e s
0 , 1/ Te
Te
e
0 =
f
=
0
A i n s i , l a b a n d e d f i n i e p a r < 0 e t f
s e p r o j e t t e s u r
( R1< 1 c a r 1< 0 ) .
0 , 1/ Te
l e d i s q u e u n i t .
2 f
1
Te
1 5
Im(f)
Re(Z)
1
L a r e l a t i o n i n v e r s e e s t :
p
=
p
=
=
[
]
ln Z
T
e
[
ln Z
T
e
]
]
[
ln Z
Publicité
T
e
d ' o
[
ln Z
e
(
j Z
)
]
=
T
e
(Z)
T
e
=
+ 2 jf
+ j
, f =
(Z)
2 T
e
: L a
R e m a r q u e
t r a n s f o r m e d e F o u r i e r , q u i e s t o b t e n u e e n
p a r c o u r a n t l e s Z s u r l e c e r c l e u n i t , c o r r e s p o n d l a t r a n s f o r m e
d e L a p l a c e b i l a t r a l e p o u r = 0 .
X p
( )
=
0
=
+
-
+
f
x(t) e
-
t
e
2
jft
dt
= X(f)
=
0
Im(Z)
1
Z = exp(2 j f T )
0 e
0
f = 1/2Te
f = 0
f = 1/Te
Re(Z)
e1/
1/2
e
f 0
0
1 6
V I I I A n a l y s e d e s f i l t r e s n u m r i q u e s
1 ) S y s t m e s N u m r i q u e s
a ) D f i n i t i o n s .
U n s y s t m e o u f i l t r e n u m r i q u e S ,
t r a n s f o r m e u n s i g n a l
d ' e n t r e ( o u e x c i t a t i o n ) x ( k ) e n u n s i g n a l d e s o r t i e ( o u r p o n s e )
y ( k ) :
y(k) = S
x(k)
S
y(k)
U n s y s t m e e s t
s ' a p p l i q u e . C ' e s t d i r e s i :
l i n a i r e s i
l e p r i n c i p e d e s u p e r p o s i t i o n
[
C , S
x
1
k
( )
+ x
k
( )
2
]
=
[
S x
1
k
( )
]
[
+ S x
2
k
( )
]
E x e m p l e s :
A m p l i f i c a t e u r d e g a i n K : S [ x ( k ) ] = K x ( k ) ( L i n a i r e )
O p r a t e u r q u a d r a t i q u e : S [ x ( k ) ] = x k2 ( ) ( N o n - L i n a i r e )
U n s y s t m e e s t
t o u t
a p p l i q u l ' e n t r e , l a s o r t i e e s t r e t a r d e d e k 0 :
i n v a r i a n t s i p o u r
r e t a r d e n t i e r k 0
[
(
S x k
k
0
]
)
=
(
y k
k
0
)
b ) S y s t m e l i n a i r e i n v a r i a n t ( S . L . I ) .
C o n s i d r o n s l e s y s t m e l i n a i r e i n v a r i a n t c a r a c t r i s p a r l a
f o n c t i o n h ( k ) . L a r e l a t i o n q u i l i e l ' e n t r e x ( k ) e t l a s o r t i e y ( k )
e s t :
y k( ) =
+
i = -
h(i) x(k - i) =
+
i = -
h(k - i) x(i)
h ( k ) c o r r e s p o n d
d f i n i e p a r :
l a r p o n s e d u s y s t m e
l ' i m p u l s i o n u n i t
d n( ) =
1 si n = 0
0 si n
0`
L a r p o n s e y
imp ( ) s ' c r i t :
y
imp ( ) =
k
h(i) d(k - i) = h(k)
k
+
i = -
h ( k ) e s t a p p e l e r p o n s e i m p u l s i o n n e l l e .
1 7
A t t e n t i o n : L a r p o n s e i m p u l s i o n n e l l e , d a n s l e c a s n u m r i q u e ,
c o r r e s p o n d
l ' i m p u l s i o n u n i t e t n o n p a s
l ' i m p u l s i o n d e D i r a c .
r p o n s e
l a
R e m a r q u e : L a r p o n s e i n d i c i e l l e y
d e l a r p o n s e i m p u l s i o n n e l l e :
ind ( ) e s t o b t e n u e p a r s o m m a t i o n
k
y
ind ( ) =
k
+
i = -
h(i) u(k - i) =
k
i = -
h(i)
U n s y s t m e e s t c a u s a l s i
l ' e f f e t ( l a r p o n s e ) n e p r c d e
j a m a i s l a c a u s e ( l ' e n t r e ) . C ' e s t d i r e s i :
k < k , x(k) = 0
0
y(k) = 0 .
L ' i m p u l s i o n u n i t t a n t n u l l e p o u r k < 0 , u n s y s t m e l i n a i r e
i n v a r i a n t e s t c a u s a l s i e t s e u l e m e n t s i k < 0, h ( k ) = 0 . D a n s c e c a s
y ( k ) s ' c r i t :
y k( ) =
+
i = 0
h(i) x(k - i)
U n s y s t m e e s t s t a b l e s i p o u r t o u t e e n t r e b o r n e x ( k ) , l a
s o r t i e r e s t e b o r n e . C ' e s t d i r e s i :
k
R, x(k) < M
y(k) < N a v e c ( M , N ) R 2+
O n p e u t m o n t r e r q u ' u n S . L . I e s t s t a b l e s i e t s e u l e m e n t s i :
+
i
=
h(i) < + .
D e m :
S o i t x ( k ) u n s i g n a l b o r n : x k( ) < M ,
k
R
- S i
i
+
=
h(i) < + alors y(k) =
+
i = -
h(i) x(k - i)
a l o r s y k
( )
d
+
i = -
h(i)
(
x k
i
)
d
M
+
i = -
h(i)
d o n c y k( ) < + .
L a s o r t i e e s t b o r n e d o n c l e s y s t m e e s t s t a b l e .
- R c i p r o q u e m e n t , s i y k( ) < + p o u r t o u t e e n t r e x ( k ) a l o r s , d a n s
l e c a s p a r t i c u l i e r :
x k( ) =
- 1 si h(-k) < 0
= sign(h(-k))
1 si h(-k)
0
e
1 8
o n t r o u v e :
y k( ) =
+
i = -
h(i) x(k - i)
d ' o , p o u r k = 0 :
y( )0 =
y( )0 =
+
i = -
+
i = -
+
i = -
h(i) x(-i) =
h(i)
h(i) sign(h(i))
o r y( )0 < + d ' o
E x e m p l e s
+
i = -
h(i) < +
- S o i t h ( k ) l a r p o n s e i m p u l s i o n n e l l e d ' u n f i l t r e n u m r i q u e :
( )
h k
=
k
1
2
( )
u k
o u ( k ) e s t l ' c h e l o n .
+
k
=
h(k) =
+
k = 0
k
1
2
=
1
1
1
2
= 2 < +
(cid:122)
1
h(k)
(cid:122)
(cid:122)
(cid:122) (cid:122) (cid:122)
L e f i l t r e e s t s t a b l e
( )
- S i h k
= (2) k
( )
u k
a l o r s .
+
k =
h(k) =
+
k = 0
d i v e r g e
2 k
h(k)
1
(cid:122)
(cid:122)
(cid:122)
(cid:122) (cid:122) (cid:122)
k
k
L e f i l t r e e s t i n s t a b l e .
U n f i l t r e n u m r i q u e e s t s t a b l e s i e t s e u l e m e n t s i s a f o n c t i o n
d e t r a n s f e r t ( o u t r a n s m i t t a n c e ) H ( Z ) a s e s p l e s l ' i n t r i e u r d u
c e r c l e u n i t .
e...