Cours de systèmes logiques (1)

Base Tétrale

1110010

11011

110000000110 - 1110010 10011100 - 1110010

10101011 - 1110010

1110010

1302

123

300012

- 1302

10321 - 3210

11112

Base Octale

Base Hexadécimale

72

542

50064

- 442

366 - 350

164

2B

D78

24328

- 22F 142 - 12D 158

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5. CODAGE DE L’INFORMATION

Le codage de l’information est nécessaire pour le traitement automatique de celui-ci. Parmi les codes les plus rencontrés, autre que le code binaire naturel on cite le code DCB, le code GRAY, le code p parmi n, le code ASCII …

5.1 Les codes numériques

5.1.1 Le code binaire Naturel

C’est une représentation numérique des nombres dans la base 2

Décimal

Code Binaire Naturel

a3

a2

a1

a0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

 Ce code présente l’inconvénient de changer plus qu’un seul bit quand on passe

d’un nombre à un autre immédiatement supérieur.

5.1.2 Le code binaire réfléchi (code GRAY)

Son intérêt réside dans des applications d’incrémentation où un seul bit change d’état à chaque incrémentation.

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Décimal

Code Binaire Naturel

Code Binaire Réfléchi

a3

a2

a1

a0

a’3

a’2

a’1

a’0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0

0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0

0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0

Remarques :

 Conversion du Binaire Naturel vers le Binaire Réfléchi : il s’agit de comparer les bits bn+1 et le bit bn du binaire naturel, le résultat est br du binaire réfléchi qui vaut 0 si bn+1=bn ou 1 sinon. Le premier bit à gauche reste inchangé.

(6)10=(?)BR

(10)10=(?)BR

(6)BN = 1 1 0

(10)BN = 1 0 1 0

(6)BR = 1 0 1

(10)BR = 1 1 1 1

(6)10=(110)BN=(101)BR

(10)10=(1010)BN=(1111)BR

 Conversion du Binaire Réfléchi vers le Binaire Naturel: il s’agit de comparer le bit bn+1 du binaire naturel et le bit bn du binaire réfléchi le résultat est bn du binaire naturel qui vaut 0 si bn+1=bn ou 1 sinon. Le premier bit à gauche reste inchangé.

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(10)10=(?)BN

(13)10=(?)BN

(10)BR = 1 1 1 1

(13)BR = 1 0 1 1

(10)BN = 1 0 1 0

(13)BN = 1 1 0 1

(10)10=(1111)BR=(1010)BN

(13)10=(1011)BR=(1101)BN

5.1.2 Le code décimal codé binaire (code DCB)

Sa propriété est d’associer 4 bits représentent chaque chiffre en binaire naturel. L’application la plus courante est celle de l’affichage numérique ou chaque chiffre est associé à un groupe de 4 bits portant le code DCB.

Exemples :



(9 4 2 7)10 = (1001 0100 0010 0111)DCB



(6 8 0 1)10 = (0110 1000 0000 0001)DCB

5.1.3 Le code P parmi N

Le code P parmi N est un code à N bits dont P bits sont à 1 et (N-P) bits sont à 0. La lecture de ce code peut être associée à la vérification du nombre des 1 et des 0 dans l’information, ce qui permet de contrôler l’information lue par la détection du code erroné.

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Exemple : code 2 parmi 5

Décimal

Code 2 parmi 5

a7

a4

a2

a1

a0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 0 0 0 0 0 0 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 0 0 0

0 0 1 1 0 0 1 0 0 1

0 1 0 1 0 1 0 0 1 0

0 1 1 0 1 0 0 1 0 0

5.1.3 Le code ASCII

Le code ASII (American Standard Code for information interchange) est un code la alphanumérique, devenu une norme transmission entre ordinateurs ou entre un ordinateur et des périphériques. Sous sa forme standard, il utilise 7 bits. Ce qui permet de générer 27=128 caractères. Ce code représente les lettres alphanumériques majuscules et minuscules, les chiffres décimaux, des signes de ponctuation et des caractères de commande.

internationale.

Il est utilisé

pour

Chaque code est défini par 3 bits d’ordre supérieur b6b5b4 et 4 bits d’ordre inferieur b3b2b1b0. Ainsi le caractère "A" a pour code hexadécimal 41H

Exemple :

A  (65)ASCII  (01000001)2  (41)H

B  (66)ASCII  (01000010)2  (42)H

Z  (90)ASCII  (01011010)2  (5A)H

a  (97)ASCII  (01100001)2  (61)H

b  (98)ASCII  (01100010)2  (62)H

z  (122)ASCII  (01111010)2  (7A)H

[  (91)ASCII  (01011011)2  (5B)H

{  (123)ASCII  (01111011)2  (7B)H

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5.2 Le Transcodage

Cours de systèmes logiques (1)

Une des applications liée au codage des informations est le passage d’un code à un autre. Cette opération est appelée transcodage :

Base 10

Codage

Codage

Décodage

Décodage

Base B1

Base B2

Transcodage

 Le codage des informations se fait au moyen d’un circuit combinatoire appelé

Codeur.

 Le décodage des informations se fait au moyen d’un circuit combinatoire appelé

Décodeur.

 Un transcodeur est un Décodeur associé à un Codeur.

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Chapitre 2

Cours de systèmes logiques (1)

ALGEBRE DE BOOLE ET FONCTIONS LOGIQUES

1. OBJECTIFS

 Etudier les règles et les théorèmes de l’algèbre de Boole.  Comprendre le fonctionnement des portes logiques.

2. LES VARIABLES ET LES FONCTIONS LOGIQUES

2.1 Les variables logiques

Une variable logique est une grandeur qui ne peut prendre que deux états logiques. Nous les symbolisons par 0 ou 1.

Exemples :

Un interrupteur peut être soit fermée (1 logique), soit ouvert (0 logique). Il

possède donc 2 états possibles de fonctionnement.

Une lampe possède également 2 états possibles de fonctionnement qui sont

éteinte (0 logique) ou allumée (1 logique).

2.2 Les fonctions logiques

Une fonction logique est une variable logique dont la valeur dépend d’autres variables,

 Le fonctionnement d’un système logique est décrit par une ou plusieurs propositions logiques simples qui présentent le caractère binaire "VRAI" ou "FAUX".

 Une fonction logique qui prend les valeurs 0 ou 1 peut être considérée

comme une variable binaire pour une autre fonction logique.

 Pour décrire le fonctionnement d’un système en cherchant l’état de la sortie pour toutes les combinaisons possibles des entrées, on utilisera « La table de vérité ».

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Exemple :

c

b

a

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Circuit logique 1

F1(c, b)

F2(F1, a)= F2(c, b, a)

Circuit logique 2

3. LES OPERATIONS DE BASE DE L’ALGEBRE DE BOOLE ET

LES PROPRIETES ASSOCIEES

L’algèbre de Boole est un ensemble de variables à deux états {0 et 1} dites aussi booléennes muni de 3 operateurs élémentaires présentés dans le tableau suivant :

Opération logique

Addition OU

Multiplication ET

Notation Algébrique

A OU B=A+B

A ET B=A.B

Inversion NON

Non A=A

Table de vérité

A B 0 0 1 0 0 1 1 1

A+B 0 1 1 1

A B 0 0 1 0 0 1 1 1

A.B 0 0 0 1

A NON A 0 1

1 0

3.1 Les propriétés des opérations de base

Quelques propriétés remarquables sont à connaitre :

Fonctions

1 variable

OU A+A=A A+1=1 A+0=A

A+A=1

ET A.A=A A.0=0 A.1=A

A.A=0

Commentaires Idempotence Elément absorbant Elément Neutre

Complément

Involution

A=A

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Cours de systèmes logiques (1)

Fonctions

2 variables

3 variables

OU

ET

Commentaires

A+B=B+A

A.B=B.A

Commutativité

A+(B+C)=(A+B)+C =A+B+C

A.(B.C)=(A.B).C =A.B.C

Associativité

A+B.C=(A+B).(A+C) A.(B+C)=A.B+A.C

Distributivité

3.2 Les théorèmes de l’algèbre de Boole

Pour effectuer tout calcul Booléen, on utilise, en plus des propriétés, un ensemble de théorèmes :

Théorèmes

OU

A+B =A . B

ET

A.B=A+B

De DEMORGAN

Ce théorème peut être généralisé à plusieurs variables

A+B+ …+Z=A . B. … .Z

A.B. … .Z=A+B+ … +Z

D’absorption

A+AB=A

A.(A+B)=A

D’allègement

A+AB=A+B

A.(A+B)=A.B

A.B+AC+BC=AB+AC

4. MATERIALISATION DES OPERATEURS LOGIQUES

4.1 Les portes logiques de base

Les portes logiques sont des circuits électroniques dont les fonctions de transfert (relations entre les entrées et les sorties) matérialisant les opérations de base appliquées à des variables électriques.

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Cours de systèmes logiques (1)

4.1.1 La porte ET (AND)

Symbole logique

Equation Circuit intégré

Symbole International (CEI)

Symbole Européen (MIL)

A B

&

S

A B

S

S=A.B

TTL : 7408 CMOS : 4081

Si V0 représente le niveau BAS de tension (état 0) et V1 représente le niveau HAUT (état 1), on relève en sortie du circuit les tensions données dans la table de fonctionnement et on en déduit la table de vérité.

Table de fonctionnement

Table de vérité

VA

V0

V0

V1

V1

VB

V0

V1

V0

V1

VS

V0

V0

V0

V1

4.1.2 La porte OU (OR)

A

0

0

1

1

B

0

1

0

1

S

0

0

0

1

Symbole logique

Equation Circuit intégré

Symbole International (CEI)

Symbole Européen (MIL)

A B

1

S

A

B

S=A+B

S

TTL : 7432 CMOS : 4071

Table de fonctionnement

Table de vérité

VA

V0

V0

V1

V1

VB

V0

V1

V0

V1

VS

V0

V1

V1

V1

A

0

0

1

1

B

0

1

0

1

S

0

1

1

1

BEN AMARA M. & GAALOUL K.

Page 21

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Cours de systèmes logiques (1)

Remarque : Il existe des portes logiques OU et ET à 2, 3, 4, 8, et 13 entrées sous forme de circuit intégrés.

4.1.3 La porte NON (NOT)

C’est une porte à une seule entrée, elle matérialise l’operateur inverseur.

Symbole logique

Equation Circuit intégré

Symbole International (CEI)

Symbole Européen (MIL)

A

1

S

A

S

S=A

TTL : 7404 CMOS : 4069

Table de fonctionnement

Table de vérité

VA

V0

V1

VS

V1

V0

4.1.4 La porte OU-exclusif (XOR)

A

0

1

S

1

0

Symbole logique

Equation Circuit intégré

Symbole International (CEI)

Symbole Européen (MIL)

A B

=1

S

A

B

S=AB =AB*AB

TTL : 7486 CMOS : 4070

S

Table de fonctionnement

Table de vérité

VA

V0

V0

V1

V1

VB

V0

V1

V0

V1

VS

V0

V1

V1

V0

A

0

0

1

1

B

0

1

0

1

S

0

1

1

0

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Cours de systèmes logiques (1)

La fonction OU-exclusif vaut 1 si une seule des entrées est à l’état 1 et l’autre est

l’état 0.

Généralisations de la fonction OU-EXCLUSIF : La sortie de la fonction OU- EXCLUSIF prend l’état logique 1 si un nombre impair des variables d’entrée est à l’état logique 1.

Exemple : OU-exclusif a trois entrées

Symbole logique

Equation Circuit intégré

Symbole International (CEI)

Symbole Européen (MIL)

A B C

VA

V0

V0

V0

V0

V1

V1

V1

V1

=1

S

A B C

Table de fonctionnement

VB

V0

V0

V1

V1

V0

V0

V1

V1

VC

V0

V1

V0

V1

V0

V1

V0

V1

VS

V0

V1

V1

V0

V1

V0

V0

V1

S=ABC

TTL : 74386

S

Table de vérité

A

B

C

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

S

0

1

1

0

1

0

0

1

4.2 Les portes universelles

Autre que les portes logiques de base (ou élémentaires), il existe des portes appelées portes logique universelles (complètes) telles que les portes NON-ET et NON-OU.

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Cours de systèmes logiques (1)

4.2.1 La porte NON-ET (NAND)

Elle est équivalente à une porte suivie d’un inverseur.

Symbole logique

Equation

Circuit intégré

Symbole International (CEI)

Symbole Européen (MIL)

A B

A B

&

1

S

S

A B

A

B

S=A|B

S=A.B

S=A+B

S

S

TTL : 7400 CMOS : 4011-4093

Table de fonctionnement

Table de vérité

VA

V0

V0

V1

V1

VB

V0

V1

V0

V1

VS

V1

V1

V1

V0

A

0

0

1

1

B

0

1

0

1

S

1

1

1

0

Pour la porte NAND à trois entrées on trouve :

Symbole logique

Equation

Circuit intégré

Symbole International (CEI)

Symbole Européen (MIL)

A B C

A B B

&

1

S

S

A B C

A

B B

S=A|B|C

S=A.B.C

S=A+B+C

TTL : 7410 CMOS : 4023

S

S

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ISET de Nabeul

Cours de systèmes logiques (1)

Table de fonctionnement

VA

V0

V0

V0

V0

V1

V1

V1

V1

VB

V0

V0

V1

V1

V0

V0

V1

V1

VC

V0

V1

V0

V1

V0

V1

V0

V1

VS

V1

V1

V1

V1

V1

V1

V1

V0

4.2.2 La porte NON-OU (NOR)

Table de vérité

A

B

C

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

S

1

1

1

1

1

1

1

0

Elle est équivalente à une porte suivie d’un inverseur.

Symbole logique

Equation Circuit intégré

Symbole International (CEI)

Symbole Européen (MIL)

A B

A B

1

&

S

S

A

B

A B

S=AB

S=A+B

S=A.B

S

S

TTL : 7402 CMOS : 4001

Table de fonctionnement

Table de vérité

VA

V0

V0

V1

V1

VB

V0

V1

V0

V1

VS

V1

V0

V0

V0

A

0

0

1

1

B

0

1

0

1

S

1

0

0

0

BEN AMARA M. & GAALOUL K.

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ISET de Nabeul

Cours de systèmes logiques (1)

Pour la porte NOR à trois entrées on trouve :

Symbole logique

Equation Circuit intégré

Symbole International (CEI)

Symbole Européen (MIL)

A B C

A B C

VA

V0

V0

V0

V0

V1

V1

V1

V1

1

S

&

S

A B C

A B C

Table de fonctionnement

VB

V0

V0

V1

V1

V0

V0

V1

V1

VC

V0

V1

V0

V1

V0

V1

V0

V1

VS

V1

V0

V0

V0

V0

V0

V0

V0

S

S=ABC

S=A+B+C

S=A.B.C

TTL : 7427 CMOS : 4025

S

Table de vérité

A

B

C

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

S

1

0

0

0

0

0

0

0

4.2.3 Exercice

1) Démontrer si les foncions universelles sont associatives :

?

?

(A|B)|C=A|(B|C)= A|B|C

(AB)C=A(BC)= ABC

?

?

2) Réaliser la fonction NAND à trois entrées à l’aide des opérateurs NAND à

deux entrées.

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Réponse :

Cours de systèmes logiques (1)

1)





2)



(A|B)|C=(A.B)|C=(A+B)|C=(A+B).C=(A+B)+C=(A.B)+C

A|(B|C)= A|(B.C)=A|(B+C)=A.(B+C) =A+(B+C) =A+(B.C)

(A|B)|CA|(B|C) alors la fonction NAND n’est pas associative

(AB)C=(A+B)C=(A.B)C=(A.B)+C=(A.B).C=(A+B).C

A(BC)= A(B+C)=A(B.C)= A+(B.C)= A.(B.C)=A.(B+C)

(AB)CA(BC) alors la fonction NOR n’est pas associative

A|B|C=A.B.C=A+BC= A+BC = A.B.C=A|[(B|C)|(B|C)] A|B|C=A.B.C=A+BC= A+BC = A.B.C

B C

A

S=A|B|C

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Chapitre 3

Cours de systèmes logiques (1)

REPRESENTATION ET SIMPLIFICATION DES FONCTIONS LOGIQUES COMBINATOIRES

1. OBJECTIFS

 Etudier la représentation algébrique d’une fonction logique,  Comprendre la simplification algébrique d’une fonction logique,  Faire la synthèse des applications combinatoires.

2. REPRESENTATION D’UNE FONCTION LOGIQUE

Une fonction logique est une combinaison de variables binaires reliées par les opérateurs ET, OU et NON. Elle peut être représentée par une écriture algébrique ou une table de vérité ou un tableau de KARNAUGH ou un logigramme.

2.1 Représentation algébrique

Une fonction logique peut être représentée sous deux formes :

S. D. P : () somme des produits,

P. D. S. :  () produit des sommes,

2.1.1 Forme somme des produits (Forme disjonctive)

Elle correspond à une somme de produits logiques : F=((ei)), ou ei représente une variable logique ou son complément.

Exemple :

F1(A, B, C)=AB+BC.

Si chacun des produits contient toutes les variables d’entrée sous une forme directe ou complémentée, alors la forme est appelée : « première forme canonique » ou forme « canonique disjonctive ». Chacun des produits est appelé minterme.

Exemple :

F1(A, B, C)=ABC+ABC+ABC+ABC.

2.1.2 Forme Produit de sommes (Forme conjonctive)

Elle correspond à un produit de sommes logiques : F=((ei)), ou ei représente une variable logique ou son complément.

BEN AMARA M. & GAALOUL K.

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ISET de Nabeul

Cours de systèmes logiques (1)

Exemple :

F2(A, B, C)=(A+B).(A+B+C).

Si chacune des sommes contient toutes les variables d’entrée sous une forme directe ou complémentée, alors la forme est appelée : « deuxième forme canonique » ou forme « canonique conjonctive ». Chacun des produits est appelé maxterme.

Exemple :

F2(A, B, C)=(A+B+C).(A+B+C).(A+B+C)

2.2 Table de vérité

Une fonction logique peut être représentée par une table de vérité qui donne les valeurs que peut prendre la fonction pour chaque combinaison de variables d’entrées.

2.2.1 Fonction complètement définie

C’est une fonction logique dont la valeur est connue pour toutes les combinaisons possibles des variables.

Exemple : La fonction « Majorité de 3 variables » : MAJ(A, B, C)

La fonction MAJ vaut 1 si la majorité (2 ou 3) des variables sont à l’état 1.

Table de vérité

Combinaison

A

B

C

S=MAJ(A, B, C)

0

1

2

3

4

5

6 7

0

0

0

0

1

1

1 1

0

0

1

1

0

0

1 1

0

1

0

1

0

1

0 1

0

0

0

1

0

1

1 1

2.2.2 Fonction incomplètement définie

Il s’agit d’une fonction dont sa valeur est non spécifiée pour certaines combinaisons de variables. On l’indique le symbole X ou  ; c’est-à-dire la fonction est indifférente pour certaines combinaisons de variables d’entrées correspondants à des situations qui soient :

Ne peuvent jamais suivent dans le système, Ne changent pas le comportement du système.

BEN AMARA M. & GAALOUL K.

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ISET de Nabeul

Cours de systèmes logiques (1)

Exemple : Soit un clavier qui comporte 3 boutons poussoirs P1, P2 et P3 qui commandent une machine et qui possèdent un verrouillage mécanique tel que 2 boutons adjacents ne peuvent pas être enfoncés simultanément :

P1

Marche manuelle

P2

Arrêt

P3

Augmenter la vitesse

On suppose que Pi appuyé vaut 1 et relâché vaut 0. D’où la table de vérité de la fonction « clavier » qui détecte au moins un poussoir déclenché :

Table de vérité

Combinaison

A

B

C

Clavier

0

1

2

3

4

5

6

7

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

 1

1





2.2.3 Equivalence entre la table de vérité et les formes canonique

Pour établir l’expression canonique disjonctive (la somme canonique) de la fonction : il suffit d’effectuer la somme logique (ou réunion) des mintermes associées aux états pour lesquels la fonction vaut « 1 ».

Pour établir l’expression canonique conjonctive (le produit canonique) de la intersection) des

fonction : il suffit d’effectuer le produit logique (ou maxtermes associées aux états pour lesquels la fonction vaut « 0 ».

BEN AMARA M. & GAALOUL K.

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ISET de Nabeul

Cours de systèmes logiques (1)

Exemple : La fonction « Majorité de 3 variables » : MAJ(A, B, C)

Combinaison A

B

C

S=MAJ(A, B, C) Minterme

Maxterme

Table de vérité

0

1

2

3 4

5

6

7

0

0

0

0 1

1

1

1

0

0

1

1 0

0

1

1

0

1

0

1 0

1

0

1

0

0

0

1 0

1

1

1

A B C

A B C

A B C

A B C A B C

A B C

A B C

A B C

A+B+C

A+B+C

A+B+C

A+B+C A+B+C

A+B+C

A+B+C

A+B+C

On remarque que MAJ(A,B,C)=1 pour les combinaisons 3, 5, 6, 7. On écrit la fonction ainsi spécifiée sous une forme dite numérique : MAJ= R(3,5,6,7), Réunion des états 3, 5, 6, 7. La première forme canonique de la