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Cours De Suites géométriques

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Chapitre 01 Suites géométriques CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Suites géométriques. Reconnaître et exploiter une suite géométrique dans une situation donnée. Connaître la formule donnant 1 + q + . + q n avec q ≠ 1 . Limite de la suite ( q n ), q étant un nombre réel strictement positif. Le tableur, les logiciels de géométrie dynamique et de calcul sont des outils adaptés à l’étude des suites, en particulier pour une approche expérimentale de la notion de limite. On détermine, sans soulever de difficulté, la limite de la somme 1+ q + . + q n quand 0 < q < 1. Le comportement lorsque n tend vers + ∞ de la somme des n premiers termes de certaines suites géométriques fournit un exemple de suite croissante n’ayant pas pour limite + ∞ . On évoque les aspects historiques et philosophiques de cette question en présentant quelques paradoxes classiques. Suites arithmético- géométriques. Déterminer la limite d’une suite géométrique de raison strictement positive. Étant donné une suite ( q n ) avec 0 < q < 1, mettre en œuvre un algorithme permettant de déterminer un seuil à partir duquel q n est inférieur à un réel a positif donné. Traduire une situation donnée à l’aide d’une suite arithmético-géométrique. Toute indication doit être donnée dans l’étude des suites arithmético-géométriques. Suites géométriques 1.1) Suites géométriques définies par récurrence Définition 1. : Soit q un nombre réel donné. On dit qu’une suite ( v n ) est une suite géométrique de raison q , lorsqu'on donne son premier terme v 0 et chaque terme s’obtient en multipliant le terme précédent par q . Autrement dit : v 0 ∈R est donné et pour tout entier naturel n : v n + 1 = v n × q = qv n . Si le terme initial est v 0 . Si la suite commence au rang 1, on commence à partir de v 1 . Exemple : La suite définie par { v v 0 n + 1 = 3 = 2 × v n est une s.g. telle que v 0 = 3 et q = 2. Calculons les 2 termes suivants : Le 2ème terme : v 1 = v 0 x q = 3 x 2 = 6 . Le troisième terme v 2 = v 1 x q = 6 x 2= 12 . Term.ES – Suites géométriques © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 1/11 Comment démontrer qu'une suite est géométrique ? Il suffit de calculer et de montrer que le quotient v n + 1 v n = Constante (càd indépendante de n ). Cette constante est la raison de la suite géométrique ( v n ). 1.2) Définition explicite d'une suite géométrique Théorème : Soit q un nombre réel donné. Soit ( v n ) une suite géométrique de raison q . (P 1 ) : pour tout entier n ⩾ 0 : v n = v 0 × q n = v 0 q n (P 2 ) : pour tout entier n ⩾ 1 : v n = v 1 × q ( n − 1 ) = v 1 q n − 1 (P 3 ) : pour tous entiers n ⩾ 0 et : p ⩾ 0 : v n = v p × q ( n − p ) = v p q n − p Exemple : La suite définie par { v 0 = 0,5 v n + 1 = 2 × v n est une suite géométrique de premier terme v 0 = 0,5 et de raison q = 2. Calculons v 10 et v 15 : Cette suite commence au rang 0. On utilise la formule v n = v 0 q . Donc : v 10 = v 0 x q 10 = 0,5 x 2 10 = 0,5 x 1024 = 512 et v 15 = v 0 x q 15 = 0,5 x 2 15 = 16384 . 1.3) Sens de variation et représentation graphique On peut calculer la différence : v n+1 – v n = v 0 q n+1 – v 0 q n = v 0 q n (q– 1). Donc le sens de variation d'une suite géométrique ( v n ) dépend du signe de q et de la position de q par rapport à 1. Théorème 1: Soit q un nombre réel donné. Alors le sens de variation de la suite géométrique ( q n ) de raison q et de premier terme 1 est donné par : La suite ( q n ) est constante si et seulement si : q = 1 . La suite ( q n ) est croissante si et seulement si : q > 1 . La suite ( q n ) est décroissante si et seulement si : 0 < q < 1 . La suite ( q n ) n'est ni croissante , ni décroissante si et seulement si : q < 0 . Dans les trois cas, la représentation graphique de la suite est un ensemble de points d'ordonnée à l'origine v 0 . Si le 1er terme est positif, – Lorsqu'on multiplie par un nombre q supérieur à 1 , on obtient un agrandissement. => Suite croissante – Si q est compris entre 0 et 1 , on obtient une réduction => Suite décroissante – Si on multiplie par un nombre négatif, on change de signe, et si on recommence, on rechange de signe, La suite alterne « terme positif, terme Term.ES – Suites géométriques © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 2/11 négatif » => Suite ni croissante, ni décroissante. Théorème 2 : Soit ( v n ) une suite géométrique de raison q et de premier terme v 0 . Alors v n = v 0 q n : Si v 0 > 0 , alors la suite ( v n ) varie dans le même sens que la suite ( q n ). Si v 0 < 0 , alors la suite ( v n ) varie dans le sens contraire que la suite ( q n ). Exemple : Étudier le sens de variation de la suite (un) définie par : { v 0 = 0,5 v n + 1 = 2 v n et la représenter dans un repère (O ; I ; J). Tout d'abord, il s'agit d'une suite géométrique de premier terme v 0 = 0,5 et de raison q = 2. Le premier terme v 0 = 0,5 est positif et la raison q > 1, donc la suite est strictement croissante. Sa représentation graphique est est l'ensemble de points de la figure ci- contre. 1.4) Application Exemple 1 : En 2010, Vincent dépose 3500 euros à la Caisse d'Épargne à un taux d' intérêts composés de 5% par an. [ Chaque année, les intérêts obtenus s'ajoutent au capital et engendrent d'autres intérêts l'année suivante ]. Calculer le montant dont il disposera après un an, deux ans et au bout de 8 ans. On appelle C n le capital disponible à la fin de la n ème année. Chaque année, les intérêts sont calculés sur le montant du capital disponible. C 1 = C 0 + 5% C 0 = (1 + 0,05) x C 0 = 1,05 x 3500 = 3675 € en 2011. C 2 = C 1 + 5% C 1 = (1 + 0,05) x C 1 = 1,05 x 3675 = 3858,75 € en 2012. C 3 = C 2 + 5% C 2 = (1 + 0,05) x C 2 = 1,05 x 3858,75 = 4051,69 € en 2013. ... Le montant du capital disponible définit une suite géométrique ( C n ) de premier terme C 0 = 3500 et de raison q = 1,05. Donc, pour tout entier n , on a C n + 1 = 1,05 x C n . Donc on peut utiliser la formule (P 1 ) pour trouver l'expression explicite de C n en fonction de n . C n = C 0 q n = C 0 x (1,05) n Pour la 8ème année, n = 8, on a : C 8 = C 0 q 8 = 3500 x (1,05) 8 = 5171,10 € Conclusion : En 2018, Vincent disposera d'un montant de 5171,10 euros. Exemple 2 : M. DAUTO a acheté une voiture en 2003 pour un montant de 18 000 Term.ES – Suites géométriques © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 3/11 euros. La valeur d'un véhicule diminue de 15% par an. [ Chaque année, le prix moyen des véhicules de la même année, diminue de 15% ]. Calculer la valeur résiduelle de la voiture de Vincent en 2012. On appelle V n la valeur de la voiture la n ème année. Chaque année, la valeur du véhicule diminue de 15%. Donc V 1 = V 0 – 15% V 0 = (1 – 0,15) x V 0 = 0,85 x 18 000 = 15 300 € en 2004. V 2 = V 1 – 15% V 1 = (1 – 0,15) x V 1 = 0,85 x 15 300 = 13 005 € en 2005. ... Le montant la valeur de la voiture définit une suite géométrique ( V n ) de premier terme V 0 = 18000 et de raison q = 0,85. Donc, pour tout entier n , on a V n + 1 = 0,85 x V n . Donc on peut utiliser la formule (P 1 ) pour trouver l'expression explicite de C n en fonction de n . V n = V 0 q n = V 0 x (0,85) n En 2012, n = 9, et V 9 = V 0 q 9 = 18 000 x (0,85) 9 = 4169 € Conclusion : En 2012, la valeur résiduelle de la voiture de M. DAUTO est de 4169 euros. 1.5) Somme des termes d'une suite géométrique Propriété La somme des puissances successives d'un nombre réel q ≠ 1 s'écrit sous la forme : (P 4 ) : 1 + q + q 2 +⋯+ q n = 1 − q n + 1 1 − q Démonstration : Soit q un nombre réel ( q ≠ 1 ) . On pose S n = 1 + q + q 2 +⋯+ q n , alors S n est la somme des ( n +1) premiers termes d'une suite géométrique ( v n ) de premier terme v 0 =1 et de raison q. On a alors S n = 1 + q + q 2 +⋯+ q n et, en multipliant par q : qS n = q + q 2 +⋯+ q n + q n + 1 On retrouve (presque) les mêmes termes, mais décalés. On soustrait membre à membre et on obtient : S n − qS n = 1 − q n + 1 Donc : ( 1 − q ) S n = 1 − q n + 1 Et comme ( q ≠ 1 ) , on a : S n = 1 − q n + 1 1 − q ou encore Term.ES – Suites géométriques © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 4/11 S n = 1 − q nombre 1 − q de termes Exemple 1 : Calculer la somme S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +⋯+ 256 . Tout d'abord, on constate que S est la sommes des puissances de 2 jusqu'à 2 8 = 256. Donc : S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +⋯+ 2 8 , avec q = 2. Il y a 9 termes ! D'après la formule de la somme des termes d'une suite géométrique, on a : S = 1 − 2 1 − 2 9 = 1 − 512 − 1 = 511 . Cas général : Propriété Soit ( v n ) une suite géométrique de raison q ≠ 1 et de premier terme v 0 . Alors pour tout n : v n = v 0 q n . La somme des (n+1) premiers termes de la suite ( v n ) s'écrit sous la forme : (P 5 ) : S n = v 0 + v 1 + v 2 +⋯+ v n = v 0 ×( 1 − q 1 − q n + 1 ) Démonstration : Soit q un nombre réel ( q ≠ 1 ) On met en facteur v 0 . Donc : S . n = v On 0 pose + v 0 q + v S n = v 0 q 2 +⋯+ v 0 + v 1 + v 0 q 2 n = v +⋯+ v 0 ( 1 + q + q n . 2 +⋯+ q n ) D'où le résultat. Exemple 2 : Calculer la somme S = 5 + 5 2 + 5 4 +⋯+ 64 5 . On S = remarque 2 5 0 + 2 5 1 + que 2 5 2 +⋯+ les dénominateurs 2 5 6 = 5 ( 2 1 0 + 2 1 sont 1 + 2 1 des 2 +⋯+ puissances 2 1 6 ) = 5 [ ( de 2 ) 1 2. 0 Donc + ( 2 ) 1: 1 + ( 2 ) 1 2 +⋯+ ( 2 ) 1 6 ] Il y a 7 termes. Donc : S = 1 − 2 1 7 1 − 1 2 = 1 − 128 1 1 2 = 2 × 127 128 = 127 64 . Limites de suites géométriques 2.1) Théorèmes (admis) et définitions Soit q un nombre réel donné. 1°) Si q > 1, alors multiplier par un nombre supérieur à 1 correspond à un agrandissement. Donc, les termes de la suite géométrique ( q n ) augmentent indéfiniment lorsque n tend vers +∞ et dépassent tout nombre choisi au départ à partir d'un certain rang . On écrit : lim n →+∞ q n =+∞ Term.ES – Suites géométriques © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 5/11 On dit que « la limite de q n lorsque n tend vers +∞ , est égale à +∞ ». Remarques : - Si on multiplie par un premier terme v 0 > 0 , on obtient la même limite +∞ . - Par contre, si on multiplie par un premier terme v 0 < 0 , la limite est égale à −∞ . - Si q = 1 , la suite est constante . Sa limite est aussi égale à 1. 2°) Si 0 < q < 1, alors multiplier par un nombre compris entre 0 et 1 correspond à une réduction. Donc, les termes de la suite géométrique ( q n ) diminuent indéfiniment lorsque n tend vers +∞ et deviennent plus petits que n'importe quel nombre positif choisi au départ, aussi petit soit-il . On dit que « la limite de q n lorsque n tend vers +∞ , est égale à 0 ». On écrit : lim n →+∞ q n = 0 Si on multiplie par un premier terme v 0 , quel que soit son signe, on obtient la même limite 0 . Définition : Soit ( u n ) une suite de nombres réels. Si ( u n ) tend vers une limite finie , on dit qu'elle est convergente . Si ( u n ) tend vers l'infini ou n'admet pas de limite , on dit qu'elle est divergente . Exemples 1 : Déterminer les limites lorsqu'elles existent, des suites suivantes : 1°) u n + 1 = 0,99 u n avec u 0 = –5 2°) v n = 5 ×( 1,9 ) n 3°) w n = − 3 n + 1 2 n 4°) s n = 5 −( 0,7 ) n ----- 1°) u n + 1 = 0,99 u n et u 0 = 5 . ( u n ) est une suite géométrique de premier terme u 0 = 5 et de raison q = 0,99. Comme 0 < q < 1, la suite (0,99) n tend vers 0. En multipliant par tous les termes par 5, la limite ne change pas. Conclusion : La suite ( u n ) est convergente et lim n →+∞ q n = 0 . 2°) v n = 5 ×( 1,9 ) n ( v n ) est une suite géométrique de premier terme v 0 = 5 et de raison q = 1,9. Comme q > 1, la suite (1,9) n tend vers +∞ . lim n →+∞ ( 1,9 ) n =+∞ En multipliant par tous les termes par 5 > 0, la limite ne change pas de signe. Conclusion : La suite ( v n ) est divergente et lim n →+∞ 5 ×( 1,9 ) n =+∞ 3°) w n = − 3 n + 1 2 n . Le terme général de la suite ( w n ) peut s'écrire : w n = − 3 × 3 n 2 n =− 3 × ( 3 2 ) n ( w n ) est une suite géométrique de premier terme w 0 =− 3 et de raison q = 3 2 Comme q > 1, la suite ( 3 2 ) n tend vers +∞ . lim n →+∞ ( 3 2 ) n =+∞ En multipliant par tous les termes par – 3, la limite change de signe. Term.ES – Suites géométriques © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 6/11 Conclusion : La suite ( w n ) est divergente et lim n →+∞ − 5 ×( 1,9 ) n =−∞ 4°) s n = 5 −( 0,7 ) n ( s n ) est la somme d'un terme constant et d' une une suite géométrique de premier terme –1 et de raison q = 0,7 . Le terme constant (est indépendant de n , donc) ne varie pas, donc sa limite est égale à lui-même. D'autre part, comme 0 < q < 1, la suite (0,7) n tend vers 0 . Donc : lim n →+∞ −( 0,7 ) n = 0. Par conséquent, on a lim n →+∞ [ 5 −( 0,7 ) n ] = 5. Conclusion : La suite ( s n ) est convergente et lim n →+∞ s n = 5 − 0 = 5. Exemple 2 : La compagnie Mineral SA exploite un gisement de fer depuis 1990. La première année, la compagnie a extrait 100 000 tonnes de fer. Vu les difficultés d'extraction, l'exploitation du gisement diminue de 1% chaque année. On appelle u n le nombre de tonnes de fer extraites l'année (1990 + n ). 1°) Montrer que u 1 = 99000 puis calculer u 2 . 2°) Quelle est la nature de la suite ( u n ). Justifier votre réponse. 3°) Donner l'expression explicite de u n en fonction de n . 4°) Calculer le nombre de tonnes de fer extraites en 2011 arrondi à l'unité. 5°) Montrer que la quantité totale de fer extraite entre 1990 et l'année (1990 + n ) est donnée par la formule : S n = ( 1 − 0,99 n + 1 ) × 10 7 6°) Calculer en millions de tonnes la quantité de fer que cette compagnie pourra extraire si l'exploitation continue indéfiniment dans ces mêmes conditions. --------------------------- 1°) On appelle u n le nombre de tonnes de fer extraites l'année (1990 + n ). Donc u 1 = u 0 – 1% u 0 = (1 – 0,01) x u 0 = 0,99 x 100 000 = 99000 en 1991. u 2 = u 1 – 1% u 1 = (1 – 0,01) x u 1 = 0,99 x 99 000 = 98010 en 1992. et ainsi de suite... 2°) Le nombre de tonnes de fer u n+ 1 extraites l'année (1990 + n + 1) s'obtient à partir de u n en diminuant cette quantité de 1%, donc en multipliant par 0,99. Ainsi, la suite ( u n ) définit une suite géométrique de premier terme u 0 = 100 000 et de raison q = 0,99. Donc, pour tout entier n , on a : u n + 1 = 0,99 x u n . 3°) D'après les propriétés des suites géométriques, on peut utiliser la formule (P 1 ) pour trouver l'expression explicite de u n en fonction de n . u n = u 0 q n u n = 100 000 x (0,99) n 4°) Pour calculer le nombre de tonnes de fer extraites en 2011, il faut d'abord calculer n : On a : 1990 + n = 2011, donc n = 2011 – 1990. D'où : n = 21. Maintenant, on calcule u 21 . D'après la formule explicite de ( u n ) on a : u 21 = 100 000 x (0,99) 21 = 80 972,78... Conclusion : En 2011, la compagnie a extrait 80 973 tonnes de fer. 5°) De 1990 à 1990 + n , il y a ( n +1) années. Il faut calculer la quantité totale de fer extraite pendant ces ( n +1) années. Donc, il faut calculer la somme S n des ( n +1) premiers termes de la Term.ES – Suites géométriques © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 7/11 suite géométrique ( u n ). D'après le cours, on sait que S n = u 0 + u 1 + u 2 +⋯+ u n S n = u 0 ×( 1 − q 1 − q n + 1 ) S n = 100000 ×( 1 − 0,99 1 − 0,99 n + 1 ) S n = 100000 ×( 1 − 0,99 0,01 n + 1 ) S n = 100000 ×( 1 − 0,99 n + 1 )× 100 Donc : S n =( 1 − 0,99 n + 1 )× 10000000 Par conséquent : S n =( 1 − 0,99 n + 1 )× 10 7 . 6°) Pour calculer la quantité totale de fer que cette compagnie pourra extraire si l'exploitation continue indéfiniment dans ces mêmes conditions, il faut chercher la limite de S n lorsque n tend vers +∞ . Or, 0 < 0,99 < 1 donc la suite géométrique (0,99 n ) tend vers 0 lorsque n tend vers +∞ . On a donc : lim n →+∞ 0,99 n = 0 Donc : lim n →+∞ 0,99 × 0,99 n = 0 Ce qui donne : lim n →+∞ 0,99 n + 1 = 0 Donc : lim n →+∞ ( 1 − 0,99 n + 1 ) = 1 En multipliant par 10 7 , on a : lim n →+∞ ( 1 − 0,99 n + 1 ) × 10 7 = 10 7 Conclusion : Si l'exploitation continue indéfiniment dans les mêmes conditions, la compagnie pourra extraire 10 7 = 10 millions de tonnes de fer de ce gisement. Suites arithmético-géométriques 3.1) Définition Soient a et b deux nombres réels donnés. On définit une suite arithmético-géométrique ( u n ) par la donnée de son premier terme u 0 ∈R On écrit : et par la relation { u u 0 n + 1 ∈R = a u de est récurrence n + b donné : u n + 1 = a u n + b pour tout entier n . La fonction associée à cette suite arithmético-géométrique est une fonction affine définie sur R par : f ( x )= a x + b . Cas particuliers 1 Si a = 0 , alors la suite ( u n ) est constante et égale à b . 2 Si a = 1 , alors la suite ( u n ) est arithmétique de raison r = b . 3 Si b = 0 , alors la suite ( u n ) est géométrique de raison q = a . Exemple : La suite définie par { u u 0 n + 1 = 10 = 1 2 u n + 2 est une suite arithmético-géométrique. Term.ES – Suites géométriques © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 8/11 La fonction associée à cette suite arithmético-géométrique est une fonction affine définie sur R par : f ( x )= 1 2 x + 2 . Calcul des premières valeurs. u 0 = 10 , u 1 = f ( u 0 )= 1 2 × 10 + 2 = 7 u 2 = f ( u 1 )= 1 2 × 7 + 2 = 11 2 = 5,5 ; u 3 = f ( u 2 )= 1 2 × 11 2 + 2 = 19 4 = 4,75 ; ... 3.2) Représentation graphique On se place dans un repère orthonormé (O ; I ; J) et on suit les étapes suivantes : 1ère étape : On construit la droite d, représentation graphique de la fonction affine f. Pour cela, il suffit de calculer les coordonnées de deux points : – Pour x = 0, y = 2, donc le point A ( 0 ; 2 )∈ d ; – Pour x = 4, y = 4, donc le point B ( 4 ; 4 )∈ d . De même, on construit la droite Δ d'équation « y = x » qu'on appelle aussi la première bissectrice du repère. 2ème étape : On place u 0 sur l'axe des abscisses, puis u 1 = f ( u 0 ) sur l'axe des ordonnées. 3ème étape : Afin de placer l'image de u 1 , il faut replacer u 1 sur l'axe des abscisses. Pour cela, on construit le symétrique de u 1 par rapport à la première bissectrice Δ . Puis on recommence avec u 1 , pour placer u 2 , puis u 3 ,...etc. Term.ES – Suites géométriques © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 9/11 Conjectures : Par lecture graphique : Conjeture n°1 . Il semble que la suite ( u n ) est strictement décroissante et bornée. Tous les termes sont compris entre 4 et 10. Conjeture n°2 . Il semble que la suite ( u n ) est convergente et a pour limite 4, l'abscisse du point d'intersection de la droite d avec la première bissectrice. 3.2) Étude de la suite (u n ) Nous allons utiliser une nouvelle suite, dite « suite auxiliaire », ( v n ) définie pour tout entier n , de la manière suivante : v n = u n − 4 (1) Qu'on peut traduire immédiatement, pour tout entier n , par : u n = v n + 4 (2) 1ère étape :Montrer que la suite (v n ) est géométrique . Pour tout entier n , on a v n + 1 = u n + 1 − 4 d'après la relation (1) Donc v n + 1 = 1 2 u n + 2 − 4 d'après la relation de récurrence de ( u n ) Donc v n + 1 = 1 2 u n − 2 je calcule 2 – 4 Donc v n + 1 = 1 2 ( v n + 4 ) − 2 d'après la relation (2) Donc v n + 1 = 1 2 v n + 2 − 2 je distribue Donc v n + 1 = 1 2 v n je barre +2 et –2. De plus, le premier terme de la suite ( v n ) est donné par : v 0 = u 0 – 4 = 10 – 4 = 6 . Conclusion : La suite ( v n ) est une suite géométrique de premier terme v 0 = 6 et de raison q = 1 2 . 2ème étape :Déterminer une expression explicite de (v n ) et de (u n ) en fonction de n . ( v n ) est une suite géométrique de premier terme v 0 = 6 et de raison q = 1 2 . Donc Pour tout entier n , on a : v n = v 0 q n donc v n = 6 × ( 1 2 ) n ou encore v n = 6 × ( 0,5 ) n D'autre part, d'après la relation (2), on a : u n = v n + 4 Donc u n = 6 × ( 0,5 ) n + 4 Conclusion : Pour tout entier n , on a : v n = 6 × ( 0,5 ) n et u n = 6 × ( 0,5 ) n + 4 . Term.ES – Suites géométriques © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 10/11 3ème étape : Étudier le sens de variation des deux suites (v n ) et (u n ) La suite ( v n ) est géométrique de premier terme v 0 = 6 > 0 et de raison q = 0,5. Comme q est compris entre 0 et 1 et v 0 > 0, la suite (v n ) est strictement décroissante . Et comme pour tout entier n , u n = v n + 4 , les deux suites ( u n ) et ( v n ) ont le même sens de variation. Donc, la suite (u n ) est aussi strictement décroissante . 4ème étape : Déterminer les limites des deux suites (v n ) et (u n ). La suite ( v n ) est géométrique de premier terme v 0 = 6 et de raison q = 0,5. Comme 0 < q < 1, la suite ( v n ) est convergente et lim n →+∞ v n = 0 . De plus, d'après la relation (2), pour tout entier n , u n = v n + 4 , donc la suite ( u n ) est convergente et lim n →+∞ u n = 4 , abscisse du point d'intersection de la droite d et la première bissectrice. 5ème étape : Déterminer la sommes des (n+1) premiers termes des deux suites (v n ) et (u n ) et déterminer leurs limites La suite ( v n ) est géométrique de premier terme v 0 = 6 et de raison q = 0,5. Donc : S n ' = v 0 + v 1 + v 2 +⋯+ v n Donc : S n ' = v 0 ×( 1 − q n + 1 ) 1 − q Donc : S n ' = 4 ×( 1 −( 0,5 ) n + 1 ) 1 − 0,5 Donc : S n ' = 4 ×( 1 −( 0,5 ) n + 1 ) 0,5 Par conséquent : S n ' = 8 × [ 1 −( 0,5 ) n + 1 ] D'autre part, lim n →+∞ ( 0,5 ) n = 0 donc lim n →+∞ [ 1 −( 0,5 ) n ] = 1 . et en multipliant par 8 : lim n →+∞ S n ' = 8 Par ailleurs, d'après la relation (2), pour tout entier n , u n = v n + 4 , donc S n = u 0 + u 1 + u 2 +⋯+ u n S n =( v 0 + 4 )+( v 1 + 4 )+( v 2 + 4 )+⋯+( v n + 4 ) S n = ( v 0 + v 1 + v 2 +⋯+ v n ) + 4 ×( n + 1 ) il y a (n+1) termes S n = S n ' + 4 ×( n + 1 ) Par conséquent : S n = 8 × [ 1 −( 0,5 ) n + 1 ] + 4 ( n + 1 ) D'autre part, lim n →+∞ S n ' = 8 et lim n →+∞ 4 ( n + 1 )=+∞ . Donc : lim n →+∞ S n =+∞ OUF ! Term.ES – Suites géométriques © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 11/11 télécharger gratuitement Cours De Suites géométriques

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Chapitre 01 Suites géométriques CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Suites géométriques. Reconnaître et exploiter une suite géométrique dans une situation donnée. Connaître la formule donnant 1 + q + . + q n avec q ≠ 1 . Limite de la suite ( q n ), q étant un nombre réel strictement positif. Le tableur, les logiciels de géométrie dynamique et de calcul sont des outils adaptés à l’étude des suites, en particulier pour une approche expérimentale de la notion de limite. On détermine, sans soulever de difficulté, la limite de la somme 1+ q + . + q n quand 0 < q < 1. Le comportement lorsque n tend vers + ∞ de la somme des n premiers termes de certaines suites géométriques fournit un exemple de suite croissante n’ayant pas pour limite + ∞ . On évoque les aspects historiques et philosophiques de cette question en présentant quelques paradoxes classiques. Suites arithmético- géométriques. Déterminer la limite d’une suite géométrique de raison strictement positive. Étant donné une suite ( q n ) avec 0 < q < 1, mettre en œuvre un algorithme permettant de déterminer un seuil à partir duquel q n est inférieur à un réel a positif donné. Traduire une situation donnée à l’aide d’une suite arithmético-géométrique. Toute indication doit être donnée dans l’étude des suites arithmético-géométriques. Suites géométriques 1.1) Suites géométriques définies par récurrence Définition 1. : Soit q un nombre réel donné. On dit qu’une suite ( v n ) est une suite géométrique de raison q , lorsqu'on donne son premier terme v 0 et chaque terme s’obtient en multipliant le terme précédent par q . Autrement dit : v 0 ∈R est donné et pour tout entier naturel n : v n + 1 = v n × q = qv n . Si le terme initial est v 0 . Si la suite commence au rang 1, on commence à partir de v 1 . Exemple : La suite définie par { v v 0 n + 1 = 3 = 2 × v n est une s.g. telle que v 0 = 3 et q = 2. Calculons les 2 termes suivants : Le 2ème terme : v 1 = v 0 x q = 3 x 2 = 6 . Le troisième terme v 2 = v 1 x q = 6 x 2= 12 . Term.ES – Suites géométriques © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 1/11 Comment démontrer qu'une suite est géométrique ? Il suffit de calculer et de montrer que le quotient v n + 1 v n = Constante (càd indépendante de n ). Cette constante est la raison de la suite géométrique ( v n ). 1.2) Définition explicite d'une suite géométrique Théorème : Soit q un nombre réel donné. Soit ( v n ) une suite géométrique de raison q . (P 1 ) : pour tout entier n ⩾ 0 : v n = v 0 × q n = v 0 q n (P 2 ) : pour tout entier n ⩾ 1 : v n = v 1 × q ( n − 1 ) = v 1 q n − 1 (P 3 ) : pour tous entiers n ⩾ 0 et : p ⩾ 0 : v n = v p × q ( n − p ) = v p q n − p Exemple : La suite définie par { v 0 = 0,5 v n + 1 = 2 × v n est une suite géométrique de premier terme v 0 = 0,5 et de raison q = 2. Calculons v 10 et v 15 : Cette suite commence au rang 0. On utilise la formule v n = v 0 q . Donc : v 10 = v 0 x q 10 = 0,5 x 2 10 = 0,5 x 1024 = 512 et v 15 = v 0 x q 15 = 0,5 x 2 15 = 16384 . 1.3) Sens de variation et représentation graphique On peut calculer la différence : v n+1 – v n = v 0 q n+1 – v 0 q n = v 0 q n (q– 1). Donc le sens de variation d'une suite géométrique ( v n ) dépend du signe de q et de la position de q par rapport à 1. Théorème 1: Soit q un nombre réel donné. Alors le sens de variation de la suite géométrique ( q n ) de raison q et de premier terme 1 est donné par : La suite ( q n ) est constante si et seulement si : q = 1 . La suite ( q n ) est croissante si et seulement si : q > 1 . La suite ( q n ) est décroissante si et seulement si : 0 < q < 1 . La suite ( q n ) n'est ni croissante , ni décroissante si et seulement si : q < 0 . Dans les trois cas, la représentation graphique de la suite est un ensemble de points d'ordonnée à l'origine v 0 . Si le 1er terme est positif, – Lorsqu'on multiplie par un nombre q supérieur à 1 , on obtient un agrandissement. => Suite croissante – Si q est compris entre 0 et 1 , on obtient une réduction => Suite décroissante – Si on multiplie par un nombre négatif, on change de signe, et si on recommence, on rechange de signe, La suite alterne « terme positif, terme Term.ES – Suites géométriques © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 2/11 négatif » => Suite ni croissante, ni décroissante. Théorème 2 : Soit ( v n ) une suite géométrique de raison q et de premier terme v 0 . Alors v n = v 0 q n : Si v 0 > 0 , alors la suite ( v n ) varie dans le même sens que la suite ( q n ). Si v 0 < 0 , alors la suite ( v n ) varie dans le sens contraire que la suite ( q n ). Exemple : Étudier le sens de variation de la suite (un) définie par : { v 0 = 0,5 v n + 1 = 2 v n et la représenter dans un repère (O ; I ; J). Tout d'abord, il s'agit d'une suite géométrique de premier terme v 0 = 0,5 et de raison q = 2. Le premier terme v 0 = 0,5 est positif et la raison q > 1, donc la suite est strictement croissante. Sa représentation graphique est est l'ensemble de points de la figure ci- contre. 1.4) Application Exemple 1 : En 2010, Vincent dépose 3500 euros à la Caisse d'Épargne à un taux d' intérêts composés de 5% par an. [ Chaque année, les intérêts obtenus s'ajoutent au capital et engendrent d'autres intérêts l'année suivante ]. Calculer le montant dont il disposera après un an, deux ans et au bout de 8 ans. On appelle C n le capital disponible à la fin de la n ème année. Chaque année, les intérêts sont calculés sur le montant du capital disponible. C 1 = C 0 + 5% C 0 = (1 + 0,05) x C 0 = 1,05 x 3500 = 3675 € en 2011. C 2 = C 1 + 5% C 1 = (1 + 0,05) x C 1 = 1,05 x 3675 = 3858,75 € en 2012. C 3 = C 2 + 5% C 2 = (1 + 0,05) x C 2 = 1,05 x 3858,75 = 4051,69 € en 2013. ... Le montant du capital disponible définit une suite géométrique ( C n ) de premier terme C 0 = 3500 et de raison q = 1,05. Donc, pour tout entier n , on a C n + 1 = 1,05 x C n . Donc on peut utiliser la formule (P 1 ) pour trouver l'expression explicite de C n en fonction de n . C n = C 0 q n = C 0 x (1,05) n Pour la 8ème année, n = 8, on a : C 8 = C 0 q 8 = 3500 x (1,05) 8 = 5171,10 € Conclusion : En 2018, Vincent disposera d'un montant de 5171,10 euros. Exemple 2 : M. DAUTO a acheté une voiture en 2003 pour un montant de 18 000 Term.ES – Suites géométriques © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 3/11 euros. La valeur d'un véhicule diminue de 15% par an. [ Chaque année, le prix moyen des véhicules de la même année, diminue de 15% ]. Calculer la valeur résiduelle de la voiture de Vincent en 2012. On appelle V n la valeur de la voiture la n ème année. Chaque année, la valeur du véhicule diminue de 15%. Donc V 1 = V 0 – 15% V 0 = (1 – 0,15) x V 0 = 0,85 x 18 000 = 15 300 € en 2004. V 2 = V 1 – 15% V 1 = (1 – 0,15) x V 1 = 0,85 x 15 300 = 13 005 € en 2005. ... Le montant la valeur de la voiture définit une suite géométrique ( V n ) de premier terme V 0 = 18000 et de raison q = 0,85. Donc, pour tout entier n , on a V n + 1 = 0,85 x V n . Donc on peut utiliser la formule (P 1 ) pour trouver l'expression explicite de C n en fonction de n . V n = V 0 q n = V 0 x (0,85) n En 2012, n = 9, et V 9 = V 0 q 9 = 18 000 x (0,85) 9 = 4169 € Conclusion : En 2012, la valeur résiduelle de la voiture de M. DAUTO est de 4169 euros. 1.5) Somme des termes d'une suite géométrique Propriété La somme des puissances successives d'un nombre réel q ≠ 1 s'écrit sous la forme : (P 4 ) : 1 + q + q 2 +⋯+ q n = 1 − q n + 1 1 − q Démonstration : Soit q un nombre réel ( q ≠ 1 ) . On pose S n = 1 + q + q 2 +⋯+ q n , alors S n est la somme des ( n +1) premiers termes d'une suite géométrique ( v n ) de premier terme v 0 =1 et de raison q. On a alors S n = 1 + q + q 2 +⋯+ q n et, en multipliant par q : qS n = q + q 2 +⋯+ q n + q n + 1 On retrouve (presque) les mêmes termes, mais décalés. On soustrait membre à membre et on obtient : S n − qS n = 1 − q n + 1 Donc : ( 1 − q ) S n = 1 − q n + 1 Et comme ( q ≠ 1 ) , on a : S n = 1 − q n + 1 1 − q ou encore Term.ES – Suites géométriques © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 4/11 S n = 1 − q nombre 1 − q de termes Exemple 1 : Calculer la somme S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +⋯+ 256 . Tout d'abord, on constate que S est la sommes des puissances de 2 jusqu'à 2 8 = 256. Donc : S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +⋯+ 2 8 , avec q = 2. Il y a 9 termes ! D'après la formule de la somme des termes d'une suite géométrique, on a : S = 1 − 2 1 − 2 9 = 1 − 512 − 1 = 511 . Cas général : Propriété Soit ( v n ) une suite géométrique de raison q ≠ 1 et de premier terme v 0 . Alors pour tout n : v n = v 0 q n . La somme des (n+1) premiers termes de la suite ( v n ) s'écrit sous la forme : (P 5 ) : S n = v 0 + v 1 + v 2 +⋯+ v n = v 0 ×( 1 − q 1 − q n + 1 ) Démonstration : Soit q un nombre réel ( q ≠ 1 ) On met en facteur v 0 . Donc : S . n = v On 0 pose + v 0 q + v S n = v 0 q 2 +⋯+ v 0 + v 1 + v 0 q 2 n = v +⋯+ v 0 ( 1 + q + q n . 2 +⋯+ q n ) D'où le résultat. Exemple 2 : Calculer la somme S = 5 + 5 2 + 5 4 +⋯+ 64 5 . On S = remarque 2 5 0 + 2 5 1 + que 2 5 2 +⋯+ les dénominateurs 2 5 6 = 5 ( 2 1 0 + 2 1 sont 1 + 2 1 des 2 +⋯+ puissances 2 1 6 ) = 5 [ ( de 2 ) 1 2. 0 Donc + ( 2 ) 1: 1 + ( 2 ) 1 2 +⋯+ ( 2 ) 1 6 ] Il y a 7 termes. Donc : S = 1 − 2 1 7 1 − 1 2 = 1 − 128 1 1 2 = 2 × 127 128 = 127 64 . Limites de suites géométriques 2.1) Théorèmes (admis) et définitions Soit q un nombre réel donné. 1°) Si q > 1, alors multiplier par un nombre supérieur à 1 correspond à un agrandissement. Donc, les termes de la suite géométrique ( q n ) augmentent indéfiniment lorsque n tend vers +∞ et dépassent tout nombre choisi au départ à partir d'un certain rang . On écrit : lim n →+∞ q n =+∞ Term.ES – Suites géométriques © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 5/11 On dit que « la limite de q n lorsque n tend vers +∞ , est égale à +∞ ». Remarques : - Si on multiplie par un premier terme v 0 > 0 , on obtient la même limite +∞ . - Par contre, si on multiplie par un premier terme v 0 < 0 , la limite est égale à −∞ . - Si q = 1 , la suite est constante . Sa limite est aussi égale à 1. 2°) Si 0 < q < 1, alors multiplier par un nombre compris entre 0 et 1 correspond à une réduction. Donc, les termes de la suite géométrique ( q n ) diminuent indéfiniment lorsque n tend vers +∞ et deviennent plus petits que n'importe quel nombre positif choisi au départ, aussi petit soit-il . On dit que « la limite de q n lorsque n tend vers +∞ , est égale à 0 ». On écrit : lim n →+∞ q n = 0 Si on multiplie par un premier terme v 0 , quel que soit son signe, on obtient la même limite 0 . Définition : Soit ( u n ) une suite de nombres réels. Si ( u n ) tend vers une limite finie , on dit qu'elle est convergente . Si ( u n ) tend vers l'infini ou n'admet pas de limite , on dit qu'elle est divergente . Exemples 1 : Déterminer les limites lorsqu'elles existent, des suites suivantes : 1°) u n + 1 = 0,99 u n avec u 0 = –5 2°) v n = 5 ×( 1,9 ) n 3°) w n = − 3 n + 1 2 n 4°) s n = 5 −( 0,7 ) n ----- 1°) u n + 1 = 0,99 u n et u 0 = 5 . ( u n ) est une suite géométrique de premier terme u 0 = 5 et de raison q = 0,99. Comme 0 < q < 1, la suite (0,99) n tend vers 0. En multipliant par tous les termes par 5, la limite ne change pas. Conclusion : La suite ( u n ) est convergente et lim n →+∞ q n = 0 . 2°) v n = 5 ×( 1,9 ) n ( v n ) est une suite géométrique de premier terme v 0 = 5 et de raison q = 1,9. Comme q > 1, la suite (1,9) n tend vers +∞ . lim n →+∞ ( 1,9 ) n =+∞ En multipliant par tous les termes par 5 > 0, la limite ne change pas de signe. Conclusion : La suite ( v n ) est divergente et lim n →+∞ 5 ×( 1,9 ) n =+∞ 3°) w n = − 3 n + 1 2 n . Le terme général de la suite ( w n ) peut s'écrire : w n = − 3 × 3 n 2 n =− 3 × ( 3 2 ) n ( w n ) est une suite géométrique de premier terme w 0 =− 3 et de raison q = 3 2 Comme q > 1, la suite ( 3 2 ) n tend vers +∞ . lim n →+∞ ( 3 2 ) n =+∞ En multipliant par tous les termes par – 3, la limite change de signe. Term.ES – Suites géométriques © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 6/11 Conclusion : La suite ( w n ) est divergente et lim n →+∞ − 5 ×( 1,9 ) n =−∞ 4°) s n = 5 −( 0,7 ) n ( s n ) est la somme d'un terme constant et d' une une suite géométrique de premier terme –1 et de raison q = 0,7 . Le terme constant (est indépendant de n , donc) ne varie pas, donc sa limite est égale à lui-même. D'autre part, comme 0 < q < 1, la suite (0,7) n tend vers 0 . Donc : lim n →+∞ −( 0,7 ) n = 0. Par conséquent, on a lim n →+∞ [ 5 −( 0,7 ) n ] = 5. Conclusion : La suite ( s n ) est convergente et lim n →+∞ s n = 5 − 0 = 5. Exemple 2 : La compagnie Mineral SA exploite un gisement de fer depuis 1990. La première année, la compagnie a extrait 100 000 tonnes de fer. Vu les difficultés d'extraction, l'exploitation du gisement diminue de 1% chaque année. On appelle u n le nombre de tonnes de fer extraites l'année (1990 + n ). 1°) Montrer que u 1 = 99000 puis calculer u 2 . 2°) Quelle est la nature de la suite ( u n ). Justifier votre réponse. 3°) Donner l'expression explicite de u n en fonction de n . 4°) Calculer le nombre de tonnes de fer extraites en 2011 arrondi à l'unité. 5°) Montrer que la quantité totale de fer extraite entre 1990 et l'année (1990 + n ) est donnée par la formule : S n = ( 1 − 0,99 n + 1 ) × 10 7 6°) Calculer en millions de tonnes la quantité de fer que cette compagnie pourra extraire si l'exploitation continue indéfiniment dans ces mêmes conditions. --------------------------- 1°) On appelle u n le nombre de tonnes de fer extraites l'année (1990 + n ). Donc u 1 = u 0 – 1% u 0 = (1 – 0,01) x u 0 = 0,99 x 100 000 = 99000 en 1991. u 2 = u 1 – 1% u 1 = (1 – 0,01) x u 1 = 0,99 x 99 000 = 98010 en 1992. et ainsi de suite... 2°) Le nombre de tonnes de fer u n+ 1 extraites l'année (1990 + n + 1) s'obtient à partir de u n en diminuant cette quantité de 1%, donc en multipliant par 0,99. Ainsi, la suite ( u n ) définit une suite géométrique de premier terme u 0 = 100 000 et de raison q = 0,99. Donc, pour tout entier n , on a : u n + 1 = 0,99 x u n . 3°) D'après les propriétés des suites géométriques, on peut utiliser la formule (P 1 ) pour trouver l'expression explicite de u n en fonction de n . u n = u 0 q n u n = 100 000 x (0,99) n 4°) Pour calculer le nombre de tonnes de fer extraites en 2011, il faut d'abord calculer n : On a : 1990 + n = 2011, donc n = 2011 – 1990. D'où : n = 21. Maintenant, on calcule u 21 . D'après la formule explicite de ( u n ) on a : u 21 = 100 000 x (0,99) 21 = 80 972,78... Conclusion : En 2011, la compagnie a extrait 80 973 tonnes de fer. 5°) De 1990 à 1990 + n , il y a ( n +1) années. Il faut calculer la quantité totale de fer extraite pendant ces ( n +1) années. Donc, il faut calculer la somme S n des ( n +1) premiers termes de la Term.ES – Suites géométriques © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 7/11 suite géométrique ( u n ). D'après le cours, on sait que S n = u 0 + u 1 + u 2 +⋯+ u n S n = u 0 ×( 1 − q 1 − q n + 1 ) S n = 100000 ×( 1 − 0,99 1 − 0,99 n + 1 ) S n = 100000 ×( 1 − 0,99 0,01 n + 1 ) S n = 100000 ×( 1 − 0,99 n + 1 )× 100 Donc : S n =( 1 − 0,99 n + 1 )× 10000000 Par conséquent : S n =( 1 − 0,99 n + 1 )× 10 7 . 6°) Pour calculer la quantité totale de fer que cette compagnie pourra extraire si l'exploitation continue indéfiniment dans ces mêmes conditions, il faut chercher la limite de S n lorsque n tend vers +∞ . Or, 0 < 0,99 < 1 donc la suite géométrique (0,99 n ) tend vers 0 lorsque n tend vers +∞ . On a donc : lim n →+∞ 0,99 n = 0 Donc : lim n →+∞ 0,99 × 0,99 n = 0 Ce qui donne : lim n →+∞ 0,99 n + 1 = 0 Donc : lim n →+∞ ( 1 − 0,99 n + 1 ) = 1 En multipliant par 10 7 , on a : lim n →+∞ ( 1 − 0,99 n + 1 ) × 10 7 = 10 7 Conclusion : Si l'exploitation continue indéfiniment dans les mêmes conditions, la compagnie pourra extraire 10 7 = 10 millions de tonnes de fer de ce gisement. Suites arithmético-géométriques 3.1) Définition Soient a et b deux nombres réels donnés. On définit une suite arithmético-géométrique ( u n ) par la donnée de son premier terme u 0 ∈R On écrit : et par la relation { u u 0 n + 1 ∈R = a u de est récurrence n + b donné : u n + 1 = a u n + b pour tout entier n . La fonction associée à cette suite arithmético-géométrique est une fonction affine définie sur R par : f ( x )= a x + b . Cas particuliers 1 Si a = 0 , alors la suite ( u n ) est constante et égale à b . 2 Si a = 1 , alors la suite ( u n ) est arithmétique de raison r = b . 3 Si b = 0 , alors la suite ( u n ) est géométrique de raison q = a . Exemple : La suite définie par { u u 0 n + 1 = 10 = 1 2 u n + 2 est une suite arithmético-géométrique. Term.ES – Suites géométriques © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 8/11 La fonction associée à cette suite arithmético-géométrique est une fonction affine définie sur R par : f ( x )= 1 2 x + 2 . Calcul des premières valeurs. u 0 = 10 , u 1 = f ( u 0 )= 1 2 × 10 + 2 = 7 u 2 = f ( u 1 )= 1 2 × 7 + 2 = 11 2 = 5,5 ; u 3 = f ( u 2 )= 1 2 × 11 2 + 2 = 19 4 = 4,75 ; ... 3.2) Représentation graphique On se place dans un repère orthonormé (O ; I ; J) et on suit les étapes suivantes : 1ère étape : On construit la droite d, représentation graphique de la fonction affine f. Pour cela, il suffit de calculer les coordonnées de deux points : – Pour x = 0, y = 2, donc le point A ( 0 ; 2 )∈ d ; – Pour x = 4, y = 4, donc le point B ( 4 ; 4 )∈ d . De même, on construit la droite Δ d'équation « y = x » qu'on appelle aussi la première bissectrice du repère. 2ème étape : On place u 0 sur l'axe des abscisses, puis u 1 = f ( u 0 ) sur l'axe des ordonnées. 3ème étape : Afin de placer l'image de u 1 , il faut replacer u 1 sur l'axe des abscisses. Pour cela, on construit le symétrique de u 1 par rapport à la première bissectrice Δ . Puis on recommence avec u 1 , pour placer u 2 , puis u 3 ,...etc. Term.ES – Suites géométriques © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 9/11 Conjectures : Par lecture graphique : Conjeture n°1 . Il semble que la suite ( u n ) est strictement décroissante et bornée. Tous les termes sont compris entre 4 et 10. Conjeture n°2 . Il semble que la suite ( u n ) est convergente et a pour limite 4, l'abscisse du point d'intersection de la droite d avec la première bissectrice. 3.2) Étude de la suite (u n ) Nous allons utiliser une nouvelle suite, dite « suite auxiliaire », ( v n ) définie pour tout entier n , de la manière suivante : v n = u n − 4 (1) Qu'on peut traduire immédiatement, pour tout entier n , par : u n = v n + 4 (2) 1ère étape :Montrer que la suite (v n ) est géométrique . Pour tout entier n , on a v n + 1 = u n + 1 − 4 d'après la relation (1) Donc v n + 1 = 1 2 u n + 2 − 4 d'après la relation de récurrence de ( u n ) Donc v n + 1 = 1 2 u n − 2 je calcule 2 – 4 Donc v n + 1 = 1 2 ( v n + 4 ) − 2 d'après la relation (2) Donc v n + 1 = 1 2 v n + 2 − 2 je distribue Donc v n + 1 = 1 2 v n je barre +2 et –2. De plus, le premier terme de la suite ( v n ) est donné par : v 0 = u 0 – 4 = 10 – 4 = 6 . Conclusion : La suite ( v n ) est une suite géométrique de premier terme v 0 = 6 et de raison q = 1 2 . 2ème étape :Déterminer une expression explicite de (v n ) et de (u n ) en fonction de n . ( v n ) est une suite géométrique de premier terme v 0 = 6 et de raison q = 1 2 . Donc Pour tout entier n , on a : v n = v 0 q n donc v n = 6 × ( 1 2 ) n ou encore v n = 6 × ( 0,5 ) n D'autre part, d'après la relation (2), on a : u n = v n + 4 Donc u n = 6 × ( 0,5 ) n + 4 Conclusion : Pour tout entier n , on a : v n = 6 × ( 0,5 ) n et u n = 6 × ( 0,5 ) n + 4 . Term.ES – Suites géométriques © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 10/11 3ème étape : Étudier le sens de variation des deux suites (v n ) et (u n ) La suite ( v n ) est géométrique de premier terme v 0 = 6 > 0 et de raison q = 0,5. Comme q est compris entre 0 et 1 et v 0 > 0, la suite (v n ) est strictement décroissante . Et comme pour tout entier n , u n = v n + 4 , les deux suites ( u n ) et ( v n ) ont le même sens de variation. Donc, la suite (u n ) est aussi strictement décroissante . 4ème étape : Déterminer les limites des deux suites (v n ) et (u n ). La suite ( v n ) est géométrique de premier terme v 0 = 6 et de raison q = 0,5. Comme 0 < q < 1, la suite ( v n ) est convergente et lim n →+∞ v n = 0 . De plus, d'après la relation (2), pour tout entier n , u n = v n + 4 , donc la suite ( u n ) est convergente et lim n →+∞ u n = 4 , abscisse du point d'intersection de la droite d et la première bissectrice. 5ème étape : Déterminer la sommes des (n+1) premiers termes des deux suites (v n ) et (u n ) et déterminer leurs limites La suite ( v n ) est géométrique de premier terme v 0 = 6 et de raison q = 0,5. Donc : S n ' = v 0 + v 1 + v 2 +⋯+ v n Donc : S n ' = v 0 ×( 1 − q n + 1 ) 1 − q Donc : S n ' = 4 ×( 1 −( 0,5 ) n + 1 ) 1 − 0,5 Donc : S n ' = 4 ×( 1 −( 0,5 ) n + 1 ) 0,5 Par conséquent : S n ' = 8 × [ 1 −( 0,5 ) n + 1 ] D'autre part, lim n →+∞ ( 0,5 ) n = 0 donc lim n →+∞ [ 1 −( 0,5 ) n ] = 1 . et en multipliant par 8 : lim n →+∞ S n ' = 8 Par ailleurs, d'après la relation (2), pour tout entier n , u n = v n + 4 , donc S n = u 0 + u 1 + u 2 +⋯+ u n S n =( v 0 + 4 )+( v 1 + 4 )+( v 2 + 4 )+⋯+( v n + 4 ) S n = ( v 0 + v 1 + v 2 +⋯+ v n ) + 4 ×( n + 1 ) il y a (n+1) termes S n = S n ' + 4 ×( n + 1 ) Par conséquent : S n = 8 × [ 1 −( 0,5 ) n + 1 ] + 4 ( n + 1 ) D'autre part, lim n →+∞ S n ' = 8 et lim n →+∞ 4 ( n + 1 )=+∞ . Donc : lim n →+∞ S n =+∞ OUF ! Term.ES – Suites géométriques © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 11/11 télécharger gratuitement Cours De Suites géométriques