Henri BROCH

Professeur émérite de Physique et de Zététique

Université Nice Sophia Antipolis

Cours

Mécanique des Fluides

Hémisphère de Magdebourg, XVIIe siècle ?... Non. Bol de moine Kung-fu Shaolin, XXIe siècle !

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Licence "Sciences de la Vie"

Pr. Henri Broch

Université Nice Sophia Antipolis

C o u r s d e M é c a n i q u e d e s F l u i d e s

--------------------- STATIQUE DES FLUIDES ----------------------

Introduction: solide, liquide, gaz; qu'est-ce qu'un fluide ?
Propriétés du fluide parfait en équilibre
Théorème fondamental de la statique des fluides
Applications-observations: surface libre; surface de séparation de liquides non

miscibles; vases communicants; pression atmosphérique; variation avec

l'altitude; transmission des pressions; paradoxe hydrostatique

Théorème d'Archimède
Applications-observations: mélange; plumes/Pb; ballons-sondes; iceberg,...
Pression osmotique; phénomène d'osmose; évaluation; solutions diluées; sève;

saccharose et NaCl

----------- TENSION SUPERFICIELLE, CAPILLARITÉ -----------

Notion de tension superficielle
Loi de Laplace
Application-observations: bulles; force de rappel; extrémité de tube
Angle de raccordement (trois phases en contact), ménisques
Ascension et dépression capillaire (Loi de Jurin)
Mesure des tensions superficielles
Applications-observations: aiguille; gerris; basilic; flottation; lotus; surfactant pulmonaire
Cohésion d'un liquide (montée de la sève dans les grands arbres)
Situation idéalisée et "réalité"

------------- DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS --------------

Conservation du débit.
Equation de Bernoulli
Applications-observations: orientation du tube
Tube de Pitot
Effet Venturi; trompe à eau; sténose vasculaire; martinet de Contes
Force associée à la dissymétrie,
Limites d'application (variation brusque de section)
Extension aux cas des gaz

------------- DYNAMIQUE DES FLUIDES VISQUEUX -------------

Viscosité: phénomène macroscopique i.e. résistance au mouvement,

chute, sédimentation, Stokes; valeurs de viscosité; faibles / grandes vitesses

Viscosité: phénomène microscopique, loi fondamentale des fluides visqueux
Loi de Poiseuille, profil de vitesse
Débit, vitesse moyenne
Applications-observations: arrosage; transfusion sanguine,...
Notion de régime turbulent et nombre de Reynolds

Et pour ce qui concerne la démarche zététique, base de toute démarche scientifique : https://www.book-e-book.com/

S T A T I Q U E D E S F L U I D E S

...

SOLIDE... LIQUIDE... GAZ

Solide et liquide: états condensés de la matière i.e. relativement denses et de masses volumiques

comparables (celles des liquides en général plus faibles que celles des solides, mais du même ordre de

grandeur : 10% d'écart pour un corps donné).

Etat gazeux: complètement différent

...

Solide: molécules astreintes à vibrer autour de

positions moyennes fixes.

Liquide ou gaz: molécules libres de se déplacer au

hasard.

Seule coupure "franche" entre 2 classes d'état :

structure ordonnée (solides)

structure désordonnée (liquides et gaz)

Etat liquide: le désordre prédomine à longue

distance.

Gaz (c.n.): pratiquement pas d'interaction entre

molécules

Diagramme de phase d'une substance ordinaire

(Diagramme et classification schématiques)

...

Il existe des états intermédiaires :

verre*, cristaux liquides (phase

nématique; phase cholestérique;

phase smectique),...

Le verre est tout de même macroscopiquement

un "solide"...

Qu'est-ce qu'un fluide ?

Fluide parfait ou idéal : ...

Etat gazeux : pas de surface libre

(gaz parfait, PV = nRT)

Etat liquide : surface libre de séparation entre liquide et milieu ambiant

Un fluide est capable d'exercer une force sur un solide

Pression =

norme de la force pressante perpendiculaire

surface sur laquelle elle s'exerce

P =

|| df ||

unité: le pascal (Pa) = 1 N.m-2

1 bar = 105 Pa

Po (en moyenne, niveau de la mer) = 1013 millibars

PROPRIÉTÉS DU FLUIDE PARFAIT EN ÉQUILIBRE

Fluide en équilibre, masse volumique ρ, petit élément de volume cylindrique (limité par une surface

imaginaire) de longueur dl, de section droite dS, terminé par dS1 et dS2 d'orientation quelconque.

dSi se découpe en petites bandes rectangulaires.

Projection sur axe ⊥ axe du cylindre, composantes de dF2 et

dF1 compensées par les Fpression sur les parties de cylindre

"supplémentaires" par rapport à la section droite.

...

F" latérales. perpendiculaires.à.l ' axe

= 0

...

La pression en un point d'un fluide en équilibre est indépendante

de l'orientation du disque qui sert à sa définition.

Principe de Pascal : Si l'on ne tient pas compte du poids, la pression à l'intérieur d'un fluide est la même

en tout point et dans toute direction.

THÉORÈME FONDAMENTAL

En tenant compte du poids (et en supposant le

champ de pesanteur uniforme et constant):

...

La différence de pression entre deux points

quelconques d'un fluide en équilibre est égale au

poids d'un cylindre de fluide de section unité et

ayant pour hauteur la

dénivellation entre les deux points.

ΔP = ρ.g.h

axe Oz vertical ascendant

(ou

p2 - p1 = ρ.g.(z1- z2)

dp = -ρ.g.dz

r g )

d p = -ρ.

gra

APPLICATIONS

1) surface libre d'un liquide (dans un champ de pesanteur uniforme)

ΔP = ρgh = 0 d'où h = 0

La surface libre d'un liquide au repos est plane et horizontale

2) surface de séparation de deux liquides non miscibles

dans le fluide I,

dans le fluide II,

PB -PA = ρ1gh

PB -PA = ρ2gh

d'où ρ1gh = ρ2gh

or g ≠ 0 et (ρ1 - ρ2) ≠ 0

==> gh(ρ1 - ρ2) = 0

==>

h = 0

La surface de séparation de deux liquides non miscibles au repos

est horizontale

3) vases communicants contenant plusieurs liquides non miscibles :

PB -PA = ρ1gh1

PB -PC = ρ2gh2

Or PA = PC = P0

d'où ρ1gh1 = ρ2gh2

Les dénivellations de deux liquides non miscibles dans des vases communicants

sont en rapport inverse de leurs masses volumiques.

Si ρ1 = ρ2 Un fluide est à la même hauteur dans deux vases communicants.

4) mesure de la pression atmosphérique (Torricelli, ~ 1643)

...

PB - PC = ρHg.g.h = PB = PA = P0

==> P0 = 13.596(kg.m-3). 9,806(m.s-2). 0,76(m)

Hauteur de la colonne d'eau équivalente :

heau = hHg.ρHg / ρeau => heau = 10,33 m

La pression atmosphérique (au niveau de la mer) vaut :

P0 = 1,013.105 Pa (i.e. 1013 mbars)

Soit 76 cm de mercure

ou ~ 10 m d'eau

ou ~ 1 kgf / cm2

verre plein renversé sur une feuille,...
articulation de la hanche,...

Ci-dessous, deux cas concrets d'utilisation de l'équivalence "1 kgf/cm2" (avec une unité certes "prohibée"

le poids à Paris du "kg international" - mais beaucoup plus "parlante" au point de vue intensité)

pour "mesurer" un ordre de grandeur.

(A l'exemple du physicien Otto von Guericke, bourgmestre de Magdebourg, Allemagne, qui en 1654 a fait la démonstration spectaculaire

des effets de la pression avec deux hémisphères de cuivre et deux - astucieux ! - attelages de 8 chevaux)

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--- a) Les secrets des moines Kung-fu Shaolins...

(cf. "Gourous, sorciers et savants", éd. O. Jacob 2006, page 139-155)

...

PV = nRT

variation de V ==> ...

...

Surface = …

…

Soit une composante horizontale de... plus de 100 kgf !

--- b) Les pouvoirs de psychokinèse d'un

"sujet-psi" sur portes et fenêtres...

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...

... PV = nRT = Cte

ΔV ....

==> ΔV /V ...

==> ΔP ...

...

==> ~ 500 gf sur une porte !

La poubelle psychokinétique, © H. Broch, "Gourous, sorciers et

savants" 2006, p. 54

Et pour tout ce qui concerne les "pouvoirs" psi et autres mystères, cf :

https://www.book-e-book.com/livres/9-au-coeur-de-l-extra-ordinaire-9782915312096.html

5) variation de la pression atmosphérique avec l'altitude (sur une grande hauteur)

H) Cylindre, t° constante ; air = gaz parfait.

==> pV = nRT

(R = 8,314)

p.S.dz =

".S.dz

M molaire

RT ==> p =

M mol

Or dp = - ρ.g.dz

D'où

= .......

==> log p = ......

La variation (conditions isothermes et g constant) de la

pression avec l'altitude s'écrit : p = p0 e

M .g

6) Transmission des pressions (principe de Pascal)

Points A et B fixes, fluide incompressible : PB - PA = ρgh = Cte

Si PA → PA + dp invariance de (PB - PA) ⇒ PB → PB + dp

Une variation de pression en un point d'un fluide incompressible

est transmise intégralement en tout autre point

--- Presse hydraulique, ...

--- Frein de voiture, ...

...

Surpression p = F1/S1 transmise en tout point

==> F2 = p.S2 = (F1/S1). S2

!p =

".g.h

Or S2 >> S1

==> F2 >> F1

--- Expérience du crève-tonneau de Pascal,...

Tonneau, hauteur 1 m

Surface du fond 0,2 m2,

Mince tube de 9 mètres de haut

...

7) "Paradoxe" hydrostatique

F = S.!p

H.B. sch. tonneau Pascal

...

A surface de fond identique (et même hauteur de

liquide), la force de pression exercée par un liquide

sur le fond du récipient est indépendante

de la forme du récipient.

THÉORÈME D'ARCHIMÈDE

Parallélépipède rectangle immergé dans un fluide de masse volumique ρf.

V: volume du parallélépipède (solide)

.../...

F = F2 - F1 = (P2 - P1).ac = ρf.g.b.ac = ρf.g.V

Un corps solide complètement immergé dans un fluide

subit de la part de celui-ci une poussée verticale dirigée

de bas en haut et égale au poids du fluide déplacé.

π A = ρ fluide.g.Vcorps

S: surface d'une boule virtuelle B tracée dans un fluide parfait en équilibre.

F k

Sur chaque surface dSk s'exerce d

" d

F k (s'applique au "centre de poussée")

Résultante R =

B en équilibre, donc R opposé à P.

Si B ne contient plus de fluide mais un solide de même

bord S, les forces de pression demeurent les mêmes.

Conclusion : Ce solide plongé dans le fluide subit la

force R précédente correspondant au poids en fluide

du volume occupé par le solide.

-------------

Le théorème se généralise au cas d'un solide plongé

dans un système de fluides en équilibre statique

APPLICATIONS

La détection d'un mélange

ou "l'orfèvre indélicat"

.../...

Kilogramme de plumes, kilogramme de plomb

Eh oui, un kg de plomb... pèse plus qu'un kg de plumes !

(Sur Terre, lorsque l'on pèse, on est généralement...dans l'air)

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Ballons-sondes

!Archimède

due au

volume

d’air déplacé

1 m3

mhélium

0,18 kg

volume d’air déplacé

1 m3 d’air

m = 1,29 kg

H.B. sch. ballon-sonde

Un iceberg flotte-t-il sur l'eau ?

L'exactitude (...ce n'est pas la précision) des mots utilisés est importante :

https://www.book-e-book.com/livres/8-l-art-du-doute-9782915312119.html

...

Vimmergé = (ρglace/ρeau ).V = 0,89 Vtotal

La réponse est donc... non !

PRESSION OSMOTIQUE

Le phénomène d'osmose

Solutions diluées : apparition du phénomène d'osmose dû à la différence de concentration des deux

côtés d'une membrane.

Seules les molécules d'eau passent à travers la membrane, les

ions Na+ et Cl- sont arrêtés. Flux d'eau à travers la membrane

s'arrête lorsque pressions d'eau intérieure et extérieure identique.

La pression osmotique est la différence de pression à

l'équilibre, des deux côtés de la paroi semi-perméable.

π = Pi - Pe = Pi(NaCl) - Pe(NaCl)

La dilatation ou la contraction de la cellule n'est pas due aux

molécules d'eau mais uniquement aux molécules de NaCl.

Milieu hypertonique ...

cellule "plasmolysée"

En milieu hypotonique ...

cellule turgescente

Evaluation de la pression osmotique

A l'équilibre: dénivellé h

P(C) = P(A) + ρsol g (h + l)

P(D) = P(E) P(E) = P(F) + ρeau g l

P(F) = P(A) = Po

π = P(C) - P(D) ~ ρsol g h

car solution diluée et l peut être rendu arbitrairement

petit

La pression osmotique a pour valeur

π = ρ solution.g.h

Attention ! h différence de hauteur entre 2 surfaces libres de 2 milieux

différents (≠ h entre deux points quelconques dans 1 seul et même fluide).

Solutions diluées et gaz parfaits

Solutions diluées obéissent à loi analogue à celle des gaz parfaits.

Loi de Van t'Hoff

La pression osmotique d'une solution diluée est égale à la pression d'un gaz

composé de la substance dissoute qui occuperait le même volume, à la même

température: π = cRT ou, avec n nombre de "moles" de soluté, π.V = n.R.T

Attention ! Dissociation du soluté. Nombre de molécules non dissociées + nombre d'ions positifs + nombre d'ions négatifs.

APPLICATIONS

Montée de la sève dans les érables au printemps (Mmole = 342 g ; C = 29 moles.m-3)

h ≈ 7,2 m

C) ne suffit pas à expliquer totalement la montée de sève dans les arbres

Une eau très salée ne désaltère pas,...

...

Saccharose et NaCl

Une cuve de section carrée de 10 cm de côté et de capacité 10 l est séparée en 2 compartiments

égaux par une cloison, perméable seulement à l'eau, pouvant être mobile et glisser sans

frottement le long de la cuve.

1) La cloison étant d'abord maintenue fixe, on remplit un compartiment d'une solution aqueuse

de saccharose à 10 g.l-1 et l'autre d'une solution aqueuse de NaCl (non dissocié) à 20 g.l-1

Calculer la pression osmotique dans chaque compartiment, sachant que T = 300°K.

2) La cloison étant ensuite laissée libre de se mouvoir, dans quel sens et de combien va-t-elle se

déplacer ?

Masses molaires (en grammes) : saccharose = 342 chlore = 35,5 sodium = 23

----------------------

1) πsaccharose = 75.103 Pa ~ 0,7 P0 πNaCl = 853.103 Pa ~ 8,4 P0 2) --> saccharose, 42 cm.

TENSION SUPERFICIELLE, CAPILLARITÉ

NOTIONS DE TENSION SUPERFICIELLE

Mise en défaut des lois de la statique des fluides :

...

gouttelettes...

ménisques...

ascension dans les tubes...

insectes sur l'eau...

...

Phénomènes dus aux interfaces du type

liquide-vapeur, liquide-solide et solide-

vapeur.

Echelle macroscopique: pas de

mouvements d'ensemble du liquide.

Gaz

Echelle microscopique: molécules

situées à l'interface: subissent une

force résultante dirigée vers le liquide

La couche superficielle d'un liquide est

soumise à une force qui tend à réduire

cette surface

Interface

Liquide

Résultante

des forces

R = 0

H.B. sch. interface liquide-gaz

Fente L de longueur l ; tractions T

σ =

| T |

= tension superficielle (unité: N.m-1)

(ou idem J.m-2 énergie par unité de surface)

H.B. sch. tension superf.

Un liquide avec une surface libre possède une énergie superficielle

proportionnelle à l'aire de cette surface

Es = σ.S

σ dépend de la nature du liquide, de l'interface et de la température.

Valeurs / air :

Eau....

σ( 0°C) ≈ 7,6.10-2 N.m-1

σ(20°C) ≈ 7,3 10-2 N.m-1

σ(37°C) ≈ 7,0 10-2 N.m-1

Plasma sanguin

σ(37°C) ≈ 7,3 10-2 N.m-1

Mercure

σ(20°C) ≈ 43,6 10-2 N.m-1

LOI DE LAPLACE

Surface S (séparation

fluide A / fluide B) limitée

par côtés dl1 et dl2, arcs de

cercle de centre O1 et O2,

de rayon R1 et R2

...

En O existe donc une force

contrebalançant

résultante verticale des

forces

tension

superficielle.

...

Δp.S = Δp.dl1.dl2

...

f1 = σ.dl2 et f2 = σ.dl1

Δp = 2σ

cos"1

dl1

cos"2

dl2

2σ

...

-- Loi de Laplace --

A la traversée de la surface de séparation de deux fluides, la pression subit

un accroissement, de la face convexe vers la face concave, égal à la tension

superficielle de l'interface multipliée par la courbure moyenne :

Δp = σ (

)

APPLICATIONS

• Bulles de savon

Δp = σ (

Rext.1

Rext.2

) + σ (

Rint .1

Rint .2

)

Si...

.../...

Où est la plus importante surpression ?

• Pellicule savonneuse, force de rappel

...

La "force de rappel" des forces de tension

superficielle n'est pas proportionnelle

à l'allongement (l'analogie "feuille

élastique" a des limites)

• Extrémité de tube

Une goutte de liquide, masse volumique ρ et tension superficielle σ, est

en équilibre à l'extrémité d'un tube capillaire vertical en verre.

Les deux ménisques sont supposés hémisphériques, de rayons respectifs

intérieur R et extérieur 2R.

1) Déterminer H, distance séparant les deux ménisques suivant l'axe Oz.

2) Tracer la pression en fonction de z et déterminer la position h du

point E dans la goutte qui est à la pression atmosphérique P0.

--------------------

!P2

E ?

H =

h =

#.g.R

"P1

#.g

#.g.R

!P1

H.B. sch. tube + goutte

ANGLE DE RACCORDEMENT, PHASES EN CONTACT

3 corps au contact

goutte d'huile sur de

l'eau, au contact de l'air.

...

F ha = 0

F he + d

F ea + d

...

a) verre parfaitement propre

b) verre sale

c) verre très sale

L'état de surface des diverses phases est essentiel dans la détermination des conditions d'équilibre.

H.B. équilibre 3 phases

Tsolide-gaz

gaz

solide

Tliquide-gaz

liquide

verre

Tsolide-liquide

Condition d'équilibre de trois phases au contact :

| σ liq.gaz.cosθ + σ sol.liq. | = σ sol.gaz

...

ASCENSION (OU DÉPRESSION) CAPILLAIRE

Surface verticale :

phénomènes de tension

interfaciale également.

...

e) 2 lames à peu de

distance

Les réactions aux

forces de tension

compensent le poids de

liquide soulevé entre les

deux plaques :

2σ.l = ρ. l.d.h. g

==> h =

#.g.d

"Ascension capillaire"

Si les lames forment un petit angle dièdre :

...

h =

#g.$

⇒ h = C

Tube :

...

Capillarité, Loi de Jurin

Tube fin ; interface liquide-air assimilée à calotte sphérique

θ aigu (figure 1)

loi de Laplace entre A et B

...

loi de Laplace entre D et E

...

principe fondamental de la statique entre B, C et D

...

θ obtus (figure 2)

...

Raisonnement identique (attention au signe !)

-- Loi de Jurin --

Par capillarité, un liquide monte (ou descend) dans un tube fin (de rayon r,

plongé verticalement dans le liquide) d'une hauteur :

h =

2".cos#

$.g.r

mouillage parfait : θ = 0

liquides θ > π/2 ⇒ h <0 (dépression)

MESURE DES TENSIONS SUPERFICIELLES

Rupture d'équilibre entre poids de la partie située sous le rétrécissement et forces

de tension superficielle s'exerçant le long de ce rétrécissement :

T = σ . 2πr = k.2πR.σ

…

C) Toutes

compte-gouttes ont la même masse.

les gouttes formées par un

H.B. sch. tensiomètre

Techniques de mesure :

Stalagmométrie --->

<--- Méthode "d'arrachement"

F = mg + 2πr.σ + 2πR.σ

APPLICATIONS

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Aiguille d'acier sur l'eau

Araignée d'eau

Un gerris peut se déplacer sur l'eau à ~ 1 m.s-1

Et le Basilic qui court sur l'eau ?...

NHPA Sunset S&V N° 945

Le lézard basilic atteint 12 km/h mais sa "tenue" sur l'eau

vient principalement de l'effet de rame de ses pattes

postérieures + la minimisation des forces de "retenue" de

l'eau via les cavités "d'air" (vapeur d'eau, gaz) qu'il crée

(plus, à un moindre degré, des impulsions verticales résultant des "gifles"

données par les pattes sur l'eau).

Les forces de

tension superficielles n'interviennent

quasiment pas (excepté peut-être pour la queue à des moments

spécifiques de la course du basilic).

https://www.book-e-book.com/livres/11-comment-dejouer-les-pieges-de-linformation-ou-les-regles-dor-de-la-zetetique-2915312126.html

Fleur de lotus, eau boueuse et pureté… https://www.book-e-book.com/

(cf. également force électrique et effet Lotus in cours de Zététique : Méthodologie Scientifique)

H.C. Von Baeyer, "The sciences" (NY Acad. Sc.), janvier-février 2000

Surface de Lotus blanc, Nelumbo nucifera (x1200)

Goutte de mercure sur une feuille (x 470) : poussières ramassées !

Enrichissement des minerais par flottation

peinture de façade "Lotusan", peinture de voiture,…

Fonction respiratoire chez les êtres vivants, en milieu aérien

...

Homme: surface de peau ~ 2 m2

surface alvéoles (N > 108) pulmonaires ~ 100 m2

Paroi interne des alvéoles :

"surfactant pulmonaire" fait varier σ

(entre 5.10-3 et 45.10-3 N.m-1).

...

Cette propriété de σ - limite la variation de surpression dans les alvéoles, - empêche les petites alvéoles

de se vider dans les grandes, - réalise l'égalité de pression dans toutes les alvéoles pulmonaires pouvant

ainsi fonctionner simultanément, - diminue le travail nécessaire au cycle respiratoire.

σeau-air 37°C

< σ(eau+surfactant)-air 37°C >

70.10-3 N.m-1

25.10-3 N.m-1

COHÉSION D'UN LIQUIDE

ou montée de la sève dans les grands arbres...

Pression atmosphérique

Po au niveau du sol et des

superficielles peut faire monter la sève à:

#.g

h =

max. ~10 m

racines

Ascension capillaire

Tubes fins de xylème, rayon 20 à 200 µm,

permet élévation (avec θ = 0°):

h =

#.g.r

max. ~0,7 m

Pression osmotique

Pour concentration en sucres élevée (~ 20 à

30 g/l avec Mmol. ~ 350)

c.R.T

".g

max. ~20 m

h =

a + b + c ==> au mieux environ 30 m. Et

pourtant des arbres de 50 m et plus poussent

sans problème...

Cohésion d'un liquide

Forces intermoléculaires ne s'exercent que

sur distances très courtes, ≈ dizaine de fois la taille des molécules.

H) sève = eau, force constante sur 2 nm :

ΔW = 2σ.S = F.l

d'où

2.73.10"3

2.10"9 = 73.106 Pa

L'eau peut résister à des pressions négatives d'environ 700 fois la

pression atmosphérique sans se fractionner.

L'évaporation au niveau des feuilles produit une aspiration de la sève

qui se déplace "en bloc" du fait de sa cohésion.

La cohésion moléculaire explique pourquoi, contrairement à ce qui est souvent affirmé, un siphon fonctionne dans le vide.

Situation "idéalisée" et "réalité"...

Pesanteur (essentielle pour les gouttes de liquide dans un gaz)

et poussée d'Archimède (essentielle pour les bulles de gaz dans un liquide) https://www.book-e-book.com/

s'ajoutent aux forces de tension superficielle ; d'où déformation des volumes considérés.

...

DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

CONSERVATION DU DÉBIT

-- Fluide parfait,

-- Fluide incompressible,

-- Régime permanent, stationnaire.

Tube de courant : engendré par les lignes de

courant s'appuyant sur 2 surfaces fermées S1 et S2.

...

Dans un fluide parfait incompressible, le débit est conservé S.v = Cte

EQUATION DE BERNOULLI

Tout point de Si à hauteur hi et même vitesse vi.

Volumes AA' et BB' : même quantité Δm de matière.

Théorème de l'énergie cinétique :

"La variation d'énergie cinétique est égale au travail des

forces extérieures appliquées au système"

...

Δ Ecin. =

Δm(vB

2 - vA

2) = Wf.ext.

= Wpoids + Wf.pression

Wpoids = Δm.(-g).(hB-hA) = Δm.g.(hA-hB)

Wf.press. = FA.lA - FB.lB = pA.ΔV - pB.ΔV

.../...

Δm.vA

2 + Δm.g.hA + pA.ΔV =

Δm.vB

2 + Δm.g.hB + pB.ΔV

Quantité (

ρv2 + ρgh + p) identique en 2 points A et B choisis de façon quelconque ; donc...

En tout point d'une ligne de courant :

ρ.v2 + ρ.g.h + p = Cte

Conservation de l'énergie par unité de volume

v = 0 ⇒ ρ.g.h + p = Cte ⇒

p1 - p2 = ρ.g.h2 - ρ.g.h1 = ρ.g(h2 - h1)

i.e. dp = - ρ.g.dh (principe fondamental de la statique des fluides)

APPLICATIONS

--- Orientation de l'ouverture

du tube

Vitesse = f(p,h, g, ρ)

⇒ détermination possible via la

mesure de la pression.

vA' = v (vitesse générale)

vB = 0

...

fluide

immobile,

ligne de courant ne

éq. de Bernoulli applicable le

long d'une ligne de courant.

Or en B,

aucune

passe.

B', voisinage immédiat de B ;

pression

discontinuité

brutale en B

==> éq. de Bernoulli entre A et B (en toute rigueur entre A' et B').

sans

...

⇒

v =

2g.(h2 " h1)

--- Tube de Pitot

VB nulle

Surpression donne dénivellation

hC - hD = h dans le manomètre

Résolution caractéristique via l'exemple du tube de Pitot

Points initial et final identiques (B et A) mais via deux chemins 1) et 2) différents

--- 1) Dynamique (Bernoulli)

ρ1.vA

2 + ρ1.g.hA + pA = ρ1.g.hB + pB

⇒ pB - pA =

ρ1.vA

2 + ρ1.g.hA - ρ1.g.hB =

ρ1.vA

2 + ρ1.g.(hA - hB)

(1)

--- 2) Statique (th. fondamental ou Bernoulli avec v = 0)

pB - pA = pB - pD + pD - pC + pC - pA

= ρ1.g.(hD - hB) + ρ2.g.(hC - hD) + ρ1.g.(hA - hC)

= ρ1.g.(hD - hB + hA - hC) + ρ2.g.(hC - hD)

(2)

(1) = (2)

⇒

ρ1.vA

2 = ρ1.g.(hD - hC) + ρ2.g.(hC - hD) = - ρ1.g.h + ρ2.g.h = g.h.(ρ2 - ρ1)

⇒ vA =

2g.h

"2 # "1

Si ρ2 >> ρ1 (liquide 2 choisi en conséquence) v =

2g.h

)

--- Effet Venturi

Changement de section

du tube.

Equation de continuité

S.v = Cte

⇒ v varie

==> pour A et B sur un même

plan horizontal,

PA ≠ PB

.../...

.../

pA - pB =

ρ.vA

2 ([

]2 - 1) > 0

pA - pB = ρ.g.(ΔhA - ΔhB) = ρ.g.Δh

Mnémotechnique : file d'attente au restaurant universitaire. Etudiants compressés dans la partie large

à écoulement faible puis étudiants "à l'aise" dans la partie étroite à écoulement plus rapide.

Effet Venturi, base d'un grand nombre d'applications pratiques ;

compréhension de nombreux phénomènes,...

--- Trompe à eau

.../...

--- Carburateur, vaporisateur,...

.../...

--- Phénomène de sténose vasculaire

--- Une application peu banale visible dans les A.-M. : le Martinet de Contes (à visiter !)

Forge d'origine médiévale.

Le système d'alimentation en air du feu de cette

forge ne fait appel à aucun soufflet ; il repose

sur... une trompe à eau !

Conservation du débit

Effet Venturi

...

ρ.g.hA + P0 = (1/2)ρ.vD

2 + ρ.g.hD + pD

...

Dépression au point D = ...

...

Force associée à une dissymétrie : balle avec effet,...

Mouvement a)

décomposé en

b) translation

c) rotation

(d = cas complet = b + c)

N.B.: c nécessite un frottement

...

Il existe une force

associée à une

dissymétrie des lignes

de courant d'un fluide

autour d'un objet.

Force obtenue par

rotation de l'objet (bateau à "voiles" cylindriques tournantes), ou
modelage précis et orientation ("angle d'attaque") dans le fluide de déplacement (aile d'avion, aileron de voiture,... )

(Heindrich Gustav Magnus ~ 1850) https://www.book-e-book.com/

Balle sur jet d'eau,...

...

Autres exemples :

sèche-cheveux + balle de tennis de table
"jupe" et bas de caisse de voiture…
appareil pour soulever des pièces de tissu,...
toit emporté,…
camion/voiture,…

LIMITES D'APPLICATION (variation brusque de section)

"Théorème" des qtés de mouvement

"Axe quelconque: projecti...

Cours de Mécanique des Fluides

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