Cours de Mathématiques
Espaces vectoriels normés
Sommaire
Espaces vectoriels normés
Sommaire
I
II
I.1
I.2
I.3
I.4
II.1
II.2
II.3
II.4
II.5
Espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Norme sur un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distance associée à une norme
Equivalence des normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ouverts et fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Suites dans un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . . . . .
Généralités
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Suites convergentes et adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
Parties compactes d’un espace vectoriel normé
III Continuité dans un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
3
4
6
6
7
8
8
8
10
. . . . . . . . . . . . . . . . . 10
III.1
III.2 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
III.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
III.4 Continuité dans un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . . . . 12
III.5 Propriétés des applications continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
14
IV.1 Applications lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
IV.2 Applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
IV.3 Applications bilinéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
IV Applications continues particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Limites dans un espace vectoriel normé
Limites et suites
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Espaces vectoriels normés
Partie I : Espaces vectoriels normés
I Espaces vectoriels normés
I.1 Norme sur un espace vectoriel
Définition
et N (u) = 0 ⇔ u = 0.
Soit E un espace vectoriel sur IK. Une application N : E → IR est une norme si :
– ∀u ∈ E, N (u) ≥ 0,
– ∀u ∈ E, ∀λ ∈ IK, N (λu) = |λ|N (u).
– ∀(u, v) ∈ E2, N (u + v) ≤ N (u) + N (v) (inégalité triangulaire)
On note en général kuk plutôt que N (u).
L’espace E, muni de la norme u 7→ kuk est appelé un espace vectoriel normé.
Définition
Si E est une algèbre munie d’une norme et si pour tout vecteurs u et v on a kuvk ≤ kuk kvk,
alors on dit que E est une algèbre normée.
Exemples de normes usuelles
– Dans IKn, on pose, pour tout vecteur u = (x1, x2, . . . , xn) :
kuk1 = |x1| + |x2| + · · · + |xn|
q
|x1|2 + |x2|2 + · · · + |xn|2
kuk0 =
kuk∞ = max {|x1| , |x2| , . . . , |xn|}
– Ces définitions s’étendent à un espace vectoriel E muni d’une base (e) = e1, e2, . . . , en.
– Un espace préhilbertien E, c’est-à-dire muni d’un produit scalaire < ·, · >, est un espace
vectoriel normé avec la norme déduite de son produit scalaire : ∀u ∈ E, kuk =
< u, u >.
√
Remarque
Dans un espace vectoriel normé E, et pour tout vecteurs u et v : |kuk − kvk| ≤ ku ± vk.
Ce résultat complète l’inégalité triangulaire.
I.2 Distance associée à une norme
Définition (Distance associée à une norme)
Soit E un espace vectoriel normé. Pour tous vecteur u, v de E on pose d(u, v) = kv − uk.
Cette application est une distance sur E car elle vérifie les propriétés suivantes :
– ∀(u, v) ∈ E2, d(u, v) ≥ 0 et d(u, v) = 0 ⇔ u = v.
– ∀(u, v) ∈ E2, d(u, v) = d(v, u).
– ∀(u, v, w) ∈ E3, d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v).
On l’appelle distance induite par la norme u 7→ kuk sur E.
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Partie I : Espaces vectoriels normés
Propriétés
– Pour tous vecteurs u, v, w de E, |d(u, v) − d(v, w)| ≤ d(u, w).
– La distance d est invariante par translation : ∀(u, v, w) ∈ E3, d(u, v) = d(u + w, v + w).
Définition (Distance d’un point à une partie de E)
Soit a un élément de l’espace vectoriel normé E, et X une partie non vide de E.
On appelle distance de a à X la quantité d(a, X) = inf{d(a, u), u ∈ X}.
Définition (Boules et sphères)
Soit a un vecteur de E et r un réel strictement positif.
– B(a, r) = {u ∈ E, d(a, u) < r} est la boule ouverte de centre a et de rayon r.
– ¯B(a, r) = {u ∈ E, d(a, u) ≤ r} est la boule fermée de centre a et de rayon r.
– S(a, r) = {u ∈ E, d(a, u) = r} est la sphère de centre a et de rayon r.
Cas particulier : si a = 0 et r = 1, on parle de boule unité ou de sphère unité.
Définition (Parties bornées)
Une partie A de E est dite bornée s’il existe r > 0 tel que A ⊂ B(0, r).
Remarques
– Soit X une partie bornée et non vide de E.
La quantité ∆(X) = sup{d(u, v), u ∈ X, v ∈ X} est finie. On l’appelle le diamètre de X.
– Toute boule de rayon r est une partie bornée de diamètre 2r.
I.3 Equivalence des normes
Définition (Normes équivalentes)
Deux normes N et N 0 sur l’espace vectoriel normé E sont dites équivalentes s’il existe deux
réels strictement positifs α et β tels que : ∀u ∈ E, αN (u) ≤ N 0(u) ≤ βN (u).
Remarques
– La définition précédente est symétrique par rapport a N et a N 0. En effet :
αN (u) ≤ N 0(u) ≤ βN (u) ⇔ β0N 0(u) ≤ N (u) ≤ α0N 0(u) avec α0 =
1
α
et β0 =
1
β
.
De même, si N et N 0 sont équivalentes, ainsi que N 0 et N 00, alors N et N 00 sont équivalentes.
– Deux normes N et N 0 sont équivalentes ⇔ pour tout a de E, toute boule de centre a pour
N (resp. pour N 0) contient une boule de centre a pour N 0 (resp. N ).
Théorème ( Équivalence des normes en dimension finie)
Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes
(admis).
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Partie I : Espaces vectoriels normés
I.4 Ouverts et fermés
Dans tout ce paragraphe, E désigne un espace vectoriel normé sur IK.
Définition (Point intérieur)
Soit A une partie de E. Un point a de E est dit intérieur à A s’il existe r > 0 tel que la
boule ouverte B(a, r) soit incluse dans A.
Un point intérieur à A est évidemment un point de A.
Définition (Ensemble ouvert)
Soit A une partie de E.
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On dit que A est un ouvert si tous ses points sont intérieurs à A.
Propriétés
– E et ∅ sont des ouverts de E.
– Si E = IR, et pour les intervalles, les deux notions d’ouvert co¨ıncident.
– Une boule ouverte est un ouvert.
– Une réunion quelconque d’ouverts est un ouvert.
– Une intersection finie d’ouverts est un ouvert.
Définition (Point adhérent)
Soit A une partie de E.
Un point a de E est dit adhérent à A si, pour tout r > 0 l’intersection de A et de la boule
ouverte B(a, r) est non vide.
Tout point de A est évidemment adhérent à A.
Définition (Ensemble fermé)
Soit A une partie de E.
On dit que A est un fermé s’il contient tous ses points adhérents.
Propriétés
– E et ∅ sont des fermés de E.
– A est fermé dans E ⇔ son complémentaire dans E est ouvert.
– Si E = IR, et pour les intervalles, les deux notions de fermé co¨ıncident.
– Les boules fermées sont des fermés.
– Les sphères sont des fermés.
– Les unions finies de fermés sont des fermés.
– Les intersections quelconques de fermés sont des fermés.
– Les points, et plus généralement les ensembles finis, sont des fermés.
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Partie I : Espaces vectoriels normés
Remarque
Deux normes équivalentes définissent la même topologie, c’est-à-dire les mêmes ouverts et les
mêmes fermés.
Définition
On note Ao et on appelle intérieur de A l’ensemble des points de A qui intérieurs à A.
On note ¯A et on appelle adhérence de A l’ensemble des points de E qui sont adhérents à
A.
Propriétés.Soit A une partie de E.
– On a Ao ⊂ A ⊂ ¯A
– A est ouvert ⇔ Ao = A ; A est fermé ⇔ ¯A = A.
– Ao est le plus grand ouvert contenu dans A.
– ¯A est le plus petit fermé contenant A.
Définition (Parties denses dans un evn)
Soit A une partie de E.
On dit que A est dense dans E si ¯A = E, c’est-a-dire si tout point de E est adhérent a A.
Exemple
lQ et son complémentaire sont denses dans IR.
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Partie II : Suites dans un espace vectoriel normé
II Suites dans un espace vectoriel normé
Dans cette partie, E est un espace vectoriel normé sur IK.
II.1 Généralités
Définition
Une suite de E est une application u : IN → E.
L’image u(n) d’un entier n est appelée le terme d’indice n de la suite u et est noté un.
La suite u elle-même est alors notée (un)n≥0.
Si E = IK, on dit que u est une suite numérique (une suite réelle si IK = IR, et une suite
complexe si IK = lC.)
Définition (Suite stationnaire)
Une suite u de E est dite stationnaire si : ∃a ∈ E, ∃n0 ∈ IN, ∀n ≥ n0, un = un0.
Si n0 = 0, c’est-à-dire si pour tout n, un = u0, alors on dit que la suite u est constante.
Définition (Suite bornée)
La suite u est dite bornée si l’ensemble image {un, n ∈ IN} est une partie bornée de E,
c’est-à-dire s’il existe un réel positif M tel que : ∀n ∈ IN, kunk ≤ M .
Définition (Suites extraites)
On dit que la suite v est une suite extraite ou une sous-suite de la suite u s’il existe une
application ϕ : IN → IN, strictement croissante, telle que : ∀n ∈ IN, vn = uϕ(n).
Remarques
– Avec les notations ci-dessus, on vérifie que : ∀n ∈ IN, ϕ(n) ≥ n.
– Comme cas particulier de suite extraite, on peut définir la suite des termes d’indices pairs
(ϕ(n) = 2n) ou la suite des termes d’indices impairs (ϕ(n) = 2n + 1.)
– On peut également considérer ϕ : n 7→ n + k, où k est fixé.
La suite extraite v, définie par v0 = uk, v1 = uk+1, v2 = uk+2, . . . est alors notée (un)n≥k.
Définition (Opérations sur les suites)
L’ensemble de suites d’éléments de E est noté F(IN, E), ou EIN.
Cet ensemble est un espace vectoriel sur IK quand on le munit des opérations suivantes :
– Addition : (un)n≥0 + (vn)n≥0 = (un + vn)n≥0.
Le neutre est la suite nulle, définie par ∀n ∈ IN, un = 0.
– Produit par un scalaire : λ(un)n≥0 = (λun)n≥0.
Si E est une algebre de neutre 1, EIN est une algebre avec : (un)n≥0(vn)n≥0 = (unvn)n≥0.
Le neutre pour ce produit est la suite constante définie par : ∀n ∈ IN, un = 1.
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Partie II : Suites dans un espace vectoriel normé
II.2 Suites convergentes
Définition
La suite u de E est dite convergente (CV) s’il existe un élément ‘ de E tel que :
∀ε > 0, ∃n0 ∈ IN, ∀n ≥ n0, kun − ‘k ≤ ε.
Remarques
– Dans la définition précédente, on peut remplacer kun − ‘k ≤ ε par kun − ‘k < ε.
De même, kun − ‘k ≤ ε s’écrit aussi un ∈ ¯B(‘, ε) ou d(un, ‘) ≤ ε.
– Une suite non convergente est dite divergente (DV).
Propriétés immédiates
– Si la suite u est convergente, l’élément ‘ de la définition est unique.
On l’appelle limite de la suite u et on note ‘ = lim
n→∞
un.
– Toute suite stationnaire est convergente vers la valeur où elle stationne.
– Si la suite u est convergente, ses suites extraites sont convergentes, avec la même limite.
Conséquence : Si une suite extraite de u est divergente, la suite u est divergente.
Même conclusion si deux suites extraites de u ont des limites différentes.
– Toute suite convergente est bornée, mais la réciproque est fausse.
– Si la suite u converge vers ‘, la suite n 7→ kunk converge vers klk.
– La suite u converge vers ‘ ⇔ la suite n 7→ kun − ‘k converge vers 0 dans IR.
Proposition (Opérations sur les suites convergentes)
Soient u et v deux suites convergentes de E. Soient α et β deux scalaires.
La suite de terme général wn = αun + βvn est convergente.
(αun + βvn) = α lim
De plus on a :
n→∞
lim
n→∞
vn.
un + β lim
n→∞
un lim
n→∞
(unvn) = lim
n→∞
vn.
lim
n→∞
Si E est une algèbre normée :
Proposition (Indépendance par rapport à la norme utilisée)
Soit E un espace vectoriel et N et N 0 deux normes équivalentes sur E (ce qui est automa-
tiquement le cas si on est en dimension finie).
Une suite u de E est convergente au sens de la norme N ⇔ elle l’est au sens de la norme
N 0, et dans ce cas les deux limites sont égales.
Proposition (Utilisation des composantes en dimension finie)
Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie p, muni d’une base (e) = e1, . . . , ep.
Soit u une suite de E, de terme général u(n).
Pour tout entier n, posons u(n) = u(n)
1 e1 +u(n)
2 e2 +· · ·+u(n)
p ep =
p
X
k=1
u(n)
k ek. Soit ‘ =
p
X
k=1
‘k ek.
Alors lim
n→∞
u(n) = ‘ ⇐⇒ ∀k ∈ {1, . . . , p},
lim
n→∞
u(n)
k = ‘k.
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Partie II : Suites dans un espace vectoriel normé
Exemples
– Soit z une suite à valeurs complexes. Pour tout n, soit un = Re (zn) et vn = Im (zn).
La suite z converge vers le nombre complexe ‘ ⇔ les suites réeles u et v convergent respec-
tivement vers Re (‘) et Im (‘).
– Soit n 7→ An une suite de matrices, à valeurs dans Mp,q(IK).
Pour tout entier n, soit a(n)
i,j
le terme d’indice (i, j) de An.
La suite n 7→ An converge vers M (de terme général mi,j) ⇔, pour tous indices i et j, la
suite numérique n 7→ a(n)
i,j converge vers mi,j.
II.3 Suites convergentes et adhérence
Proposition
Si la suite u converge vers ‘, alors ‘ est adhérent à {un, n ∈ IN}.
Proposition (Caractérisation de l’adhérence par les suites)
Le point a de E est adhérent à la partie A de E ⇔ il existe une suite de A qui converge
vers a. Par conséquent A est fermé ⇔ la limite de toute suite convergente de A est dans A.
II.4 Suites de Cauchy
Définition (Suites de Cauchy)
Une suite u de E est dite de Cauchy si ∀ε > 0, ∃n0 ∈ IN, ∀n ≥ n0, ∀m ≥ n0, kun − umk ≤ ε.
Remarques et propiétés
– Cette définition peut s’écrire : ∀ε > 0, ∃n0 ∈ IN, ∀n ≥ n0, ∀p ≥ 0, kun+p − unk ≤ ε.
– Toute suite de Cauchy est bornée.
– Toute suite convergente est de Cauchy.
Théorème
Toute suite de Cauchy de IR est convergente.
Plus généralement, toute suite de Cauchy d’un espace vectoriel normé de dimension finie
est convergente.
II.5 Parties compactes d’un espace vectoriel normé
Définition (Parties compactes)
Une partie non vide A de E est dite compacte si de toute suite de A, on peut extraire une
sous-suite convergente.
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Partie II : Suites dans un espace vectoriel normé
Théorème (Caractérisation des compacts en dimension finie)
Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie.
Les parties compactes de E sont les fermés bornés de E.
Conséquence
De toute suite bornée d’un espace vectoriel normé de dimension finie, on peut extraire une
suite convergente.
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Espaces vectoriels normés
Partie III : Continuité dans un espace vectoriel normé
III Continuité dans un espace vectoriel normé
Dans cette partie, E, F, G sont des espaces vectoriels normés sur IK.
Les normes sur E, F, G sont toutes notées u 7→ kuk.
III.1 Limites dans un espace vectoriel normé
Définition
Soit f une application définie sur une partie D de E, à valeurs dans F .
Soit a un point adhérent à D. Soit ‘ un élément de F .
On dit que f admet pour limite ‘ en a si :
∀ε > 0, ∃δ > 0 tel que
x ∈ D
kx − ak ≤ δ
On note alors lim
x→a
f (x) = ‘.
(cid:27)
⇒ kf (x) − ‘k ≤ ε.
Propriétés et exemples
– La limite de f en a, si elle existe, est unique.
– L’existence d’une limite, et la valeur de cette limite, sont des notions qui ne dépendent pas
des normes utilisées si on remplace une norme par une norme équivalente, ce qui est toujours
le cas en dimension finie.
– Dans le cas particulier ou a appartient a D, la limite ne peut être que f (a).
– L’ existence et la valeur de la limite de f en a ne changent pas si on remplace D par D∩B(a, r)
où r > 0. On exprime cette propriété en disant que la notion de limite est une notion locale.
– Si E = IR et avec D =] − ∞, a[ ou D =]a, +∞[, on obtient les notions de limite à gauche et
limite à droite.
Proposition (Limite et composantes)
On suppose que F est un espace vectoriel normé de dimension finie n muni d’une base (e).
Soient f1, . . . , fn les applications composantes de f , et ‘1, . . . , ‘n les composantes de ‘.
Alors la limite de f en a est égale à ‘ ⇔ pour tout entier k de {1, . . . , n}, la limite de fk
en a est égale à lk.
Exemple
Si F = lC, c’est-a-dire si f est a valeurs complexes, et si on note f = g + ih (g et h à valeurs
réelles), alors la limite de f en a est égale à ‘ ⇔ :
– La limite de g en a est égale à Re (‘).
– La limite de h en a est égale à Im (‘)
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Partie III : Continuité dans un espace vectoriel normé
III.2 Opérations sur les limites
Proposition
Soient f et g deux applications définies sur D ⊂ E, à valeurs dans F .
Soient α et β deux applications définies sur D ⊂ E, à valeurs dans IK.
On suppose que les limites de f, g, α, β en a existent et valent respectivement ‘, ‘0, ρ, ρ0.
– La limite de αf + βg, en a existe et vaut : ρ‘ + ρ0‘0.
– Si F est une algebre normée alors la limite de f g en a est égale a ‘‘0.
– Si F = IK et si ‘ 6= 0, alors la limite de
1
f
en a est
1
‘
.
Proposition (Limites numériques et inégalités)
On reprend les notations précédentes, mais avec F = IK.
– Si f (u) ≤ λ sur D, alors lim
x→a
f (x) ≤ λ (même chose avec ≥.)
– Si f (u) ≤ g(u) sur D, alors lim
x→a
f (x) ≤ lim
x→a
g(x).
– Corollaire (Principe des gendarmes) :
Si f ≤ h ≤ g sur D et si lim
x→a
f (x) = lim
x→a
g(x) = ‘, alors lim
x→a
h(x) = ‘.
III.3 Limites et suites
Proposition (Caractérisation séquentielle de l’existence d’une limite)
Soit f : D ⊂ E → F . On suppose que la limite de f en a est ‘.
– Le vecteur ‘ est adhérent à f (D).
– Soit u une suite de D qui converge vers a.
Alors la suite de terme général f (un) converge vers ‘.
– Réciproquement, supposons que pour toute suite u de D convergente vers a, la suite de
terme général f (un) soit convergente dans F . Alors cette dernière limite est indépendante
de la suite u choisie. Si on la note ‘, alors la limite de f en a existe et vaut ‘.
Proposition (Critère de Cauchy d’existence d’une limite)
Soit f : D ⊂ E → F . On suppose ici que F est de dimension finie.
Soit a un vecteur de E adhérent à D. La limite de f en a existe si et seulement si :
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀(x, y) ∈ D2,
kx − ak ≤ δ
ky − ak ≤ δ
(cid:27)
⇒ kf (x) − f (y)k ≤ ε.
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Partie III : Continuité dans un espace vectoriel normé
III.4 Continuité dans un espace vectoriel normé
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Définition (Continuité en un point)
Soit f une application définie sur une partie D de E, à valeurs dans F .
Soit a un point du domaine D de f .
On dit que f est continue en a si la limite de f en a est f (a).
Cela équivaut à dire :
∀ε > 0, ∃δ > 0 tel que
x ∈ D
kx − ak ≤ δ
Remarque
(cid:27)
⇒ kf (x) − f (a)k ≤ ε.
La définition précédente est inchangée si on remplace une norme par une norme équivalente,
ce qui est toujours le cas si E et F sont de dimension finie.
Proposition (Caractérisation séquentielle de la continuité)
L’application f : D ⊂ E → F est continue au point a de D ⇔ pour toute suite u de D
convergeant vers a, la suite de terme général f (un) converge vers f (a).
Définition (Continuité sur le domaine)
L’application f : D ⊂ E → F est dite continue sur D si elle est continue en tout point de
D.
On note souvent C(D, F ) l’ensemble des applications continues de D ⊂ E vers F .
Exemples
– Une application constante D ⊂ E → F est continue.
– L’application identité de E dans E est continue.
III.5 Propriétés des applications continues
Proposition (Opérations sur les applications continues)
Soient f et g deux applications définies sur D ⊂ E, à valeurs dans F .
Soient α et β deux applications définies sur D, à valeurs dans IK.
– Si f, g, α, β sont continues en a (respectivement sur le domaine D), alors αf + βg est
continue en a (respectivement sur D).
– En particulier C(D, F ) est un espace vectoriel sur IK.
– Si F est une algèbre normée et si f, g sont continues en a (resp. sur D) il en est de même
de l’application produit f g.
C(D, F ) est donc a son tour muni d’une structure d’algebre
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Espaces vectoriels normés
Partie III : Continuité dans un espace vectoriel normé
Proposition (Composition d’applications continues)
Soit f une application définie sur une partie D de E, à valeurs dans F .
Soit g une application définie sur une partie D0 de F , à valeurs dans G.
On suppose que f (D) ⊂ D0. De cette manière, g ◦ f est définie sur D.
Si f continue en a et si g est continue en b = f (a), alors g ◦ f est continue en a.
Si f continue sur D et si g est continue sur D0, alors g ◦ f est continue sur D.
Proposition (Images réciproques d’ouverts ou de fermés par une application continue)
Soit f : D ⊂ E → F une application continue.
– Pour tout ouvert V de F , f −1(V ) s’écrit D ∩ U , où U est un ouvert de E.
– Pour tout fermé V de F , f −1(V ) s’écrit D ∩ U , où U est un fermé de E.
En particulier, si f est continue de E dans F :
– L’image réciproque par f d’un ouvert de F est un ouvert de E.
– L’image réciproque par f d’un fermé de F est un fermé de E.
Proposition (Utilisation des composantes en dimension finie)
On suppose que dim F = n et que F est muni d’une base (e) = e1, . . . , en.
Soient fl, . . . , fn les applications composantes de f : D ⊂ E → F .
f est continue en a (resp. sur D) ⇔ toutes ses composantes fk sont continues en a (resp.
sur D).
Proposition
Si f et g, définies sur E et à valeurs dans F sont continues, alors l’ensemble des points x
de E tels que f (x) = g(x) est un fermé de E.
En particulier si f et g sont égales sur une partie dense de E, alors f et g sont égales sur
E.
Proposition (Image continue d’un compact)
Si f est continue de D ⊂ E dans F et si D est un compact de E, alors f (D) est compact
de F (autrement dit, l’image d’un compact par une application continue est encore un
compact).
Conséquences
– Si F = IR : toute application numérique continue sur un compact est bornée et atteint ses
bornes.
– Si E = F = IR : l’image continue d’un segment est un segment.
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Espaces vectoriels normés
Partie IV : Applications continues particulières
IV Applications continues particulières
E, F, G sont des espaces vectoriels normés sur IK.
IV.1 Applications lipschitziennes
Définition
Soit f une application définie sur une partie D de E, à valeurs dans F .
Soit λ > 0. L’application f est dite λ-lipschitzienne ou encore lipschitzienne de rapport λ
si : ∀(x, y) ∈ D2, kf (x) − f (y)k ≤ λ kx − yk. Si k < 1, on dit que f est contractante.
Propriétés et exemples
– Si on remplace une norme par une norme équivalente, f reste lipschitzienne (mais pas avec
le même λ.)
– Si f est λ-lipschitzienne, et si λ < µ, f est encore µ-lipschitzienne.
– Toute application lipschitzienne est continue.
– Les isométries de E dans F (∀(x, y) ∈ E2, kf (x) − f (y)k = kx − yk) sont 1-lipschitziennes
donc continues.
– L’application norme de E dans IR est lipschitzienne donc continue.
En effet : ∀(x, y) ∈ E2, |kxk − kyk| ≤ kx − yk.
– On suppose que E est de dimension n ≥ 1 et est rapporté à une base (e).
On munit par exemple E de la norme définie par kxk = max {|xj| , 1 ≤ j ≤ n}.
Pour tout k de {1, . . . , n}, soit πk l’application qui à x associe sa composante xk sur ek.
L’application πk (dite k-ième application coordonnée) est lipschitzienne donc continue.
En effet, pour tous vecteurs x et y de E : |πk(y) − πk(x)| = |yk − xk| ≤ ky − xk
– Toute application polynômiale IKn → IK, c’est-à-dire de la forme : u = (x1, x2, . . . , xn) 7→
P (u) = P αm xm1
En effet cette application est obtenue à partir des applications coordonnées x 7→ xk par des
opérations (sommes, produits) qui préservent la continuité.
est continue (mais en général non lipschitzienne).
1 xm2
· · · xmn
n
2
IV.2 Applications linéaires continues
Important : dans ce paragraphe, on suppose que E est de dimension finie.
Proposition et définition
Soit f une application linéaire de E dans F . Les quantités suivantes sont finies et égales :
supkxk≤1 kf (x)k
supkxk=1 kf (x)k
supx6=0
kf (x)k
kxk
Leur valeur commune est appelée norme de f et est notée kf k.
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Espaces vectoriels normés
Partie IV : Applications continues particulières
Définition équivalente
Avec ces notations kf k est le réel k minimum tel que : ∀x ∈ E, kf (x)k ≤ k kxk.
Conséquence
Toute application linéaire de E (avec dim E < +∞) dans F est continue, et elle est même
lipschitzienne.
Remarques et propriétés
– La valeur de kf k dépend des normes qui ont été choisies sur E et F .
– Muni de l’application f 7→ kf k, l’espace vectoriel L(E, F ) de toutes les applications linéaires
de E dans F est lui-même un espace vectoriel normé.
– On suppose que E et F sont tous deux de dimension finie.
Soit f une application linéaire de E dans F et g une application linéaire de F dans G.
Alors kg ◦ f k ≤ kgk kf k.
En particulier l’ensemble L(E) de tous les endomorphismes de E est une algèbre normée.
IV.3 Applications bilinéaires continues
Important : dans les deux énoncés suivants, on suppose que E et F sont de dimension finie.
Définition
Soit f une application bilinéaire de E × F dans G.
Alors il existe un réel positif k tel que : ∀(x, y) ∈ E × F, kf (x, y)k ≤ k kxk kyk
Conséquence
Toute application bilinéaire de E × F dans G est continue.
Exemples d’applications bilinéaires continues
Dans ces exemples, il n’est pas nécessaire que E soit de dimension finie.
– L’application de E × E dans E, qui à (u, v) associe u + v, est continue.
– Si E est un espace préhilbertien, l’application (u, v) 7→< u, v > est continue.
C’est une conséquence de l’inégalité de Cauchy-Schwarz : |< u, v >| ≤ kuk kvk
– L’application de IK × E vers E définie par (λ, u) 7→ λu est continue.
– Si E est une algèbre normée, l’application (u, v) 7→ uv est continue.
En particulier, l’application (f, g) 7→ f ◦ g est continue sur L(E) × L(E).
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