Cours de Math´ematiques
Espaces vectoriels norm´es
Sommaire
Espaces vectoriels norm´es
Sommaire
I
II
I.1
I.2
I.3
I.4
II.1
II.2
II.3
II.4
II.5
Espaces vectoriels norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Norme sur un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distance associ´ee `a une norme
Equivalence des normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ouverts et ferm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Suites dans un espace vectoriel norm´e . . . . . . . . . . . . . . . . .
G´en´eralit´es
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Suites convergentes et adh´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
Parties compactes d’un espace vectoriel norm´e
III Continuit´e dans un espace vectoriel norm´e . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
3
4
6
6
7
8
8
8
10
. . . . . . . . . . . . . . . . . 10
III.1
III.2 Op´erations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
III.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
III.4 Continuit´e dans un espace vectoriel norm´e . . . . . . . . . . . . . . . . 12
III.5 Propri´et´es des applications continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
14
IV.1 Applications lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
IV.2 Applications lin´eaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
IV.3 Applications bilin´eaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
IV Applications continues particuli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Limites dans un espace vectoriel norm´e
Limites et suites
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Espaces vectoriels norm´es
Partie I : Espaces vectoriels norm´es
I Espaces vectoriels norm´es
I.1 Norme sur un espace vectoriel
D´efinition
et N (u) = 0 ⇔ u = 0.
Soit E un espace vectoriel sur IK. Une application N : E → IR est une norme si :
– ∀u ∈ E, N (u) ≥ 0,
– ∀u ∈ E, ∀λ ∈ IK, N (λu) = |λ|N (u).
– ∀(u, v) ∈ E2, N (u + v) ≤ N (u) + N (v) (in´egalit´e triangulaire)
On note en g´en´eral kuk plutˆot que N (u).
L’espace E, muni de la norme u 7→ kuk est appel´e un espace vectoriel norm´e.
D´efinition
Si E est une alg`ebre munie d’une norme et si pour tout vecteurs u et v on a kuvk ≤ kuk kvk,
alors on dit que E est une alg`ebre norm´ee.
Exemples de normes usuelles
– Dans IKn, on pose, pour tout vecteur u = (x1, x2, . . . , xn) :
kuk1 = |x1| + |x2| + · · · + |xn|
q
|x1|2 + |x2|2 + · · · + |xn|2
kuk0 =
kuk∞ = max {|x1| , |x2| , . . . , |xn|}
– Ces d´efinitions s’´etendent `a un espace vectoriel E muni d’une base (e) = e1, e2, . . . , en.
– Un espace pr´ehilbertien E, c’est-`a-dire muni d’un produit scalaire < ·, · >, est un espace
vectoriel norm´e avec la norme d´eduite de son produit scalaire : ∀u ∈ E, kuk =
< u, u >.
√
Remarque
Dans un espace vectoriel norm´e E, et pour tout vecteurs u et v : |kuk − kvk| ≤ ku ± vk.
Ce r´esultat compl`ete l’in´egalit´e triangulaire.
I.2 Distance associ´ee `a une norme
D´efinition (Distance associ´ee `a une norme)
Soit E un espace vectoriel norm´e. Pour tous vecteur u, v de E on pose d(u, v) = kv − uk.
Cette application est une distance sur E car elle v´erifie les propri´et´es suivantes :
– ∀(u, v) ∈ E2, d(u, v) ≥ 0 et d(u, v) = 0 ⇔ u = v.
– ∀(u, v) ∈ E2, d(u, v) = d(v, u).
– ∀(u, v, w) ∈ E3, d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v).
On l’appelle distance induite par la norme u 7→ kuk sur E.
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Espaces vectoriels norm´es
Partie I : Espaces vectoriels norm´es
Propri´et´es
– Pour tous vecteurs u, v, w de E, |d(u, v) − d(v, w)| ≤ d(u, w).
– La distance d est invariante par translation : ∀(u, v, w) ∈ E3, d(u, v) = d(u + w, v + w).
D´efinition (Distance d’un point `a une partie de E)
Soit a un ´el´ement de l’espace vectoriel norm´e E, et X une partie non vide de E.
On appelle distance de a `a X la quantit´e d(a, X) = inf{d(a, u), u ∈ X}.
D´efinition (Boules et sph`eres)
Soit a un vecteur de E et r un r´eel strictement positif.
– B(a, r) = {u ∈ E, d(a, u) < r} est la boule ouverte de centre a et de rayon r.
– ¯B(a, r) = {u ∈ E, d(a, u) ≤ r} est la boule ferm´ee de centre a et de rayon r.
– S(a, r) = {u ∈ E, d(a, u) = r} est la sph`ere de centre a et de rayon r.
Cas particulier : si a = 0 et r = 1, on parle de boule unit´e ou de sph`ere unit´e.
D´efinition (Parties born´ees)
Une partie A de E est dite born´ee s’il existe r > 0 tel que A ⊂ B(0, r).
Remarques
– Soit X une partie born´ee et non vide de E.
La quantit´e ∆(X) = sup{d(u, v), u ∈ X, v ∈ X} est finie. On l’appelle le diam`etre de X.
– Toute boule de rayon r est une partie born´ee de diam`etre 2r.
I.3 Equivalence des normes
D´efinition (Normes ´equivalentes)
Publicité
Deux normes N et N 0 sur l’espace vectoriel norm´e E sont dites ´equivalentes s’il existe deux
r´eels strictement positifs α et β tels que : ∀u ∈ E, αN (u) ≤ N 0(u) ≤ βN (u).
Remarques
– La d´efinition pr´ec´edente est sym´etrique par rapport a N et a N 0. En effet :
αN (u) ≤ N 0(u) ≤ βN (u) ⇔ β0N 0(u) ≤ N (u) ≤ α0N 0(u) avec α0 =
1
α
et β0 =
1
β
.
De mˆeme, si N et N 0 sont ´equivalentes, ainsi que N 0 et N 00, alors N et N 00 sont ´equivalentes.
– Deux normes N et N 0 sont ´equivalentes ⇔ pour tout a de E, toute boule de centre a pour
N (resp. pour N 0) contient une boule de centre a pour N 0 (resp. N ).
Th´eor`eme ( ´Equivalence des normes en dimension finie)
Dans un espace vectoriel norm´e de dimension finie, toutes les normes sont ´equivalentes
(admis).
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Espaces vectoriels norm´es
Partie I : Espaces vectoriels norm´es
I.4 Ouverts et ferm´es
Dans tout ce paragraphe, E d´esigne un espace vectoriel norm´e sur IK.
D´efinition (Point int´erieur)
Soit A une partie de E. Un point a de E est dit int´erieur `a A s’il existe r > 0 tel que la
boule ouverte B(a, r) soit incluse dans A.
Un point int´erieur `a A est ´evidemment un point de A.
D´efinition (Ensemble ouvert)
Soit A une partie de E.
On dit que A est un ouvert si tous ses points sont int´erieurs `a A.
Propri´et´es
– E et ∅ sont des ouverts de E.
– Si E = IR, et pour les intervalles, les deux notions d’ouvert co¨ıncident.
– Une boule ouverte est un ouvert.
– Une r´eunion quelconque d’ouverts est un ouvert.
– Une intersection finie d’ouverts est un ouvert.
D´efinition (Point adh´erent)
Soit A une partie de E.
Un point a de E est dit adh´erent `a A si, pour tout r > 0 l’intersection de A et de la boule
ouverte B(a, r) est non vide.
Tout point de A est ´evidemment adh´erent `a A.
D´efinition (Ensemble ferm´e)
Soit A une partie de E.
On dit que A est un ferm´e s’il contient tous ses points adh´erents.
Propri´et´es
– E et ∅ sont des ferm´es de E.
– A est ferm´e dans E ⇔ son compl´ementaire dans E est ouvert.
– Si E = IR, et pour les intervalles, les deux notions de ferm´e co¨ıncident.
– Les boules ferm´ees sont des ferm´es.
– Les sph`eres sont des ferm´es.
– Les unions finies de ferm´es sont des ferm´es.
– Les intersections quelconques de ferm´es sont des ferm´es.
– Les points, et plus g´en´eralement les ensembles finis, sont des ferm´es.
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Espaces vectoriels norm´es
Partie I : Espaces vectoriels norm´es
Remarque
Deux normes ´equivalentes d´efinissent la mˆeme topologie, c’est-`a-dire les mˆemes ouverts et les
mˆemes ferm´es.
D´efinition
On note Ao et on appelle int´erieur de A l’ensemble des points de A qui int´erieurs `a A.
On note ¯A et on appelle adh´erence de A l’ensemble des points de E qui sont adh´erents `a
A.
Propri´et´es.Soit A une partie de E.
– On a Ao ⊂ A ⊂ ¯A
– A est ouvert ⇔ Ao = A ; A est ferm´e ⇔ ¯A = A.
– Ao est le plus grand ouvert contenu dans A.
– ¯A est le plus petit ferm´e contenant A.
D´efinition (Parties denses dans un evn)
Soit A une partie de E.
On dit que A est dense dans E si ¯A = E, c’est-a-dire si tout point de E est adh´erent a A.
Exemple
lQ et son compl´ementaire sont denses dans IR.
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Espaces vectoriels norm´es
Partie II : Suites dans un espace vectoriel norm´e
II Suites dans un espace vectoriel norm´e
Dans cette partie, E est un espace vectoriel norm´e sur IK.
II.1 G´en´eralit´es
D´efinition
Une suite de E est une application u : IN → E.
L’image u(n) d’un entier n est appel´ee le terme d’indice n de la suite u et est not´e un.
La suite u elle-mˆeme est alors not´ee (un)n≥0.
Si E = IK, on dit que u est une suite num´erique (une suite r´eelle si IK = IR, et une suite
complexe si IK = lC.)
D´efinition (Suite stationnaire)
Une suite u de E est dite stationnaire si : ∃a ∈ E, ∃n0 ∈ IN, ∀n ≥ n0, un = un0.
Si n0 = 0, c’est-`a-dire si pour tout n, un = u0, alors on dit que la suite u est constante.
D´efinition (Suite born´ee)
La suite u est dite born´ee si l’ensemble image {un, n ∈ IN} est une partie born´ee de E,
c’est-`a-dire s’il existe un r´eel positif M tel que : ∀n ∈ IN, kunk ≤ M .
D´efinition (Suites extraites)
On dit que la suite v est une suite extraite ou une sous-suite de la suite u s’il existe une
application ϕ : IN → IN, strictement croissante, telle que : ∀n ∈ IN, vn = uϕ(n).
Remarques
– Avec les notations ci-dessus, on v´erifie que : ∀n ∈ IN, ϕ(n) ≥ n.
– Comme cas particulier de suite extraite, on peut d´efinir la suite des termes d’indices pairs
(ϕ(n) = 2n) ou la suite des termes d’indices impairs (ϕ(n) = 2n + 1.)
– On peut ´egalement consid´erer ϕ : n 7→ n + k, o`u k est fix´e.
La suite extraite v, d´efinie par v0 = uk, v1 = uk+1, v2 = uk+2, . . . est alors not´ee (un)n≥k.
D´efinition (Op´erations sur les suites)
L’ensemble de suites d’´el´ements de E est not´e F(IN, E), ou EIN.
Cet ensemble est un espace vectoriel sur IK quand on le munit des op´erations suivantes :
– Addition : (un)n≥0 + (vn)n≥0 = (un + vn)n≥0.
Le neutre est la suite nulle, d´efinie par ∀n ∈ IN, un = 0.
– Produit par un scalaire : λ(un)n≥0 = (λun)n≥0.
Si E est une algebre de neutre 1, EIN est une algebre avec : (un)n≥0(vn)n≥0 = (unvn)n≥0.
Le neutre pour ce produit est la suite constante d´efinie par : ∀n ∈ IN, un = 1.
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Partie II : Suites dans un espace vectoriel norm´e
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II.2 Suites convergentes
D´efinition
La suite u de E est dite convergente (CV) s’il existe un ´el´ement ‘ de E tel que :
∀ε > 0, ∃n0 ∈ IN, ∀n ≥ n0, kun − ‘k ≤ ε.
Remarques
– Dans la d´efinition pr´ec´edente, on peut remplacer kun − ‘k ≤ ε par kun − ‘k < ε.
De mˆeme, kun − ‘k ≤ ε s’´ecrit aussi un ∈ ¯B(‘, ε) ou d(un, ‘) ≤ ε.
– Une suite non convergente est dite divergente (DV).
Propri´et´es imm´ediates
– Si la suite u est convergente, l’´el´ement ‘ de la d´efinition est unique.
On l’appelle limite de la suite u et on note ‘ = lim
n→∞
un.
– Toute suite stationnaire est convergente vers la valeur o`u elle stationne.
– Si la suite u est convergente, ses suites extraites sont convergentes, avec la mˆeme limite.
Cons´equence : Si une suite extraite de u est divergente, la suite u est divergente.
Mˆeme conclusion si deux suites extraites de u ont des limites diff´erentes.
– Toute suite convergente est born´ee, mais la r´eciproque est fausse.
– Si la suite u converge vers ‘, la suite n 7→ kunk converge vers klk.
– La suite u converge vers ‘ ⇔ la suite n 7→ kun − ‘k converge vers 0 dans IR.
Proposition (Op´erations sur les suites convergentes)
Soient u et v deux suites convergentes de E. Soient α et β deux scalaires.
La suite de terme g´en´eral wn = αun + βvn est convergente.
(αun + βvn) = α lim
De plus on a :
n→∞
lim
n→∞
vn.
un + β lim
n→∞
un lim
n→∞
(unvn) = lim
n→∞
vn.
lim
n→∞
Si E est une alg`ebre norm´ee :
Proposition (Ind´ependance par rapport `a la norme utilis´ee)
Soit E un espace vectoriel et N et N 0 deux normes ´equivalentes sur E (ce qui est automa-
tiquement le cas si on est en dimension finie).
Une suite u de E est convergente au sens de la norme N ⇔ elle l’est au sens de la norme
N 0, et dans ce cas les deux limites sont ´egales.
Proposition (Utilisation des composantes en dimension finie)
Soit E un espace vectoriel norm´e de dimension finie p, muni d’une base (e) = e1, . . . , ep.
Soit u une suite de E, de terme g´en´eral u(n).
Pour tout entier n, posons u(n) = u(n)
1 e1 +u(n)
2 e2 +· · ·+u(n)
p ep =
p
X
k=1
u(n)
k ek. Soit ‘ =
p
X
k=1
‘k ek.
Alors lim
n→∞
u(n) = ‘ ⇐⇒ ∀k ∈ {1, . . . , p},
lim
n→∞
u(n)
k = ‘k.
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Espaces vectoriels norm´es
Partie II : Suites dans un espace vectoriel norm´e
Exemples
– Soit z une suite `a valeurs complexes. Pour tout n, soit un = Re (zn) et vn = Im (zn).
La suite z converge vers le nombre complexe ‘ ⇔ les suites r´eeles u et v convergent respec-
tivement vers Re (‘) et Im (‘).
– Soit n 7→ An une suite de matrices, `a valeurs dans Mp,q(IK).
Pour tout entier n, soit a(n)
i,j
le terme d’indice (i, j) de An.
La suite n 7→ An converge vers M (de terme g´en´eral mi,j) ⇔, pour tous indices i et j, la
suite num´erique n 7→ a(n)
i,j converge vers mi,j.
II.3 Suites convergentes et adh´erence
Proposition
Si la suite u converge vers ‘, alors ‘ est adh´erent `a {un, n ∈ IN}.
Proposition (Caract´erisation de l’adh´erence par les suites)
Le point a de E est adh´erent `a la partie A de E ⇔ il existe une suite de A qui converge
vers a. Par cons´equent A est ferm´e ⇔ la limite de toute suite convergente de A est dans A.
II.4 Suites de Cauchy
D´efinition (Suites de Cauchy)
Une suite u de E est dite de Cauchy si ∀ε > 0, ∃n0 ∈ IN, ∀n ≥ n0, ∀m ≥ n0, kun − umk ≤ ε.
Remarques et propi´et´es
– Cette d´efinition peut s’´ecrire : ∀ε > 0, ∃n0 ∈ IN, ∀n ≥ n0, ∀p ≥ 0, kun+p − unk ≤ ε.
– Toute suite de Cauchy est born´ee.
– Toute suite convergente est de Cauchy.
Th´eor`eme
Toute suite de Cauchy de IR est convergente.
Plus g´en´eralement, toute suite de Cauchy d’un espace vectoriel norm´e de dimension finie
est convergente.
II.5 Parties compactes d’un espace vectoriel norm´e
D´efinition (Parties compactes)
Une partie non vide A de E est dite compacte si de toute suite de A, on peut extraire une
sous-suite convergente.
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Partie II : Suites dans un espace vectoriel norm´e
Th´eor`eme (Caract´erisation des compacts en dimension finie)
Soit E un espace vectoriel norm´e de dimension finie.
Les parties compactes de E sont les ferm´es born´es de E.
Cons´equence
De toute suite born´ee d’un espace vectoriel norm´e de dimension finie, on peut extraire une
suite convergente.
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Partie III : Continuit´e dans un espace vectoriel norm´e
III Continuit´e dans un espace vectoriel norm´e
Dans cette partie, E, F, G sont des espaces vectoriels norm´es sur IK.
Publicité
Les normes sur E, F, G sont toutes not´ees u 7→ kuk.
III.1 Limites dans un espace vectoriel norm´e
D´efinition
Soit f une application d´efinie sur une partie D de E, `a valeurs dans F .
Soit a un point adh´erent `a D. Soit ‘ un ´el´ement de F .
On dit que f admet pour limite ‘ en a si :
∀ε > 0, ∃δ > 0 tel que
x ∈ D
kx − ak ≤ δ
On note alors lim
x→a
f (x) = ‘.
(cid:27)
⇒ kf (x) − ‘k ≤ ε.
Propri´et´es et exemples
– La limite de f en a, si elle existe, est unique.
– L’existence d’une limite, et la valeur de cette limite, sont des notions qui ne d´ependent pas
des normes utilis´ees si on remplace une norme par une norme ´equivalente, ce qui est toujours
le cas en dimension finie.
– Dans le cas particulier ou a appartient a D, la limite ne peut ˆetre que f (a).
– L’ existence et la valeur de la limite de f en a ne changent pas si on remplace D par D∩B(a, r)
o`u r > 0. On exprime cette propri´et´e en disant que la notion de limite est une notion locale.
– Si E = IR et avec D =] − ∞, a[ ou D =]a, +∞[, on obtient les notions de limite `a gauche et
limite `a droite.
Proposition (Limite et composantes)
On suppose que F est un espace vectoriel norm´e de dimension finie n muni d’une base (e).
Soient f1, . . . , fn les applications composantes de f , et ‘1, . . . , ‘n les composantes de ‘.
Alors la limite de f en a est ´egale `a ‘ ⇔ pour tout entier k de {1, . . . , n}, la limite de fk
en a est ´egale `a lk.
Exemple
Si F = lC, c’est-a-dire si f est a valeurs complexes, et si on note f = g + ih (g et h `a valeurs
r´eelles), alors la limite de f en a est ´egale `a ‘ ⇔ :
– La limite de g en a est ´egale `a Re (‘).
– La limite de h en a est ´egale `a Im (‘)
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Partie III : Continuit´e dans un espace vectoriel norm´e
III.2 Op´erations sur les limites
Proposition
Soient f et g deux applications d´efinies sur D ⊂ E, `a valeurs dans F .
Soient α et β deux applications d´efinies sur D ⊂ E, `a valeurs dans IK.
On suppose que les limites de f, g, α, β en a existent et valent respectivement ‘, ‘0, ρ, ρ0.
– La limite de αf + βg, en a existe et vaut : ρ‘ + ρ0‘0.
– Si F est une algebre norm´ee alors la limite de f g en a est ´egale a ‘‘0.
– Si F = IK et si ‘ 6= 0, alors la limite de
1
f
en a est
1
‘
.
Proposition (Limites num´eriques et in´egalit´es)
On reprend les notations pr´ec´edentes, mais avec F = IK.
– Si f (u) ≤ λ sur D, alors lim
x→a
f (x) ≤ λ (mˆeme chose avec ≥.)
– Si f (u) ≤ g(u) sur D, alors lim
x→a
f (x) ≤ lim
x→a
g(x).
– Corollaire (Principe des gendarmes) :
Si f ≤ h ≤ g sur D et si lim
x→a
f (x) = lim
x→a
g(x) = ‘, alors lim
x→a
h(x) = ‘.
III.3 Limites et suites
Proposition (Caract´erisation s´equentielle de l’existence d’une limite)
Soit f : D ⊂ E → F . On suppose que la limite de f en a est ‘.
– Le vecteur ‘ est adh´erent `a f (D).
– Soit u une suite de D qui converge vers a.
Alors la suite de terme g´en´eral f (un) converge vers ‘.
– R´eciproquement, supposons que pour toute suite u de D convergente vers a, la suite de
terme g´en´eral f (un) soit convergente dans F . Alors cette derni`ere limite est ind´ependante
de la suite u choisie. Si on la note ‘, alors la limite de f en a existe et vaut ‘.
Proposition (Crit`ere de Cauchy d’existence d’une limite)
Soit f : D ⊂ E → F . On suppose ici que F est de dimension finie.
Soit a un vecteur de E adh´erent `a D. La limite de f en a existe si et seulement si :
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀(x, y) ∈ D2,
kx − ak ≤ δ
ky − ak ≤ δ
(cid:27)
⇒ kf (x) − f (y)k ≤ ε.
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Espaces vectoriels norm´es
Partie III : Continuit´e dans un espace vectoriel norm´e
III.4 Continuit´e dans un espace vectoriel norm´e
D´efinition (Continuit´e en un point)
Soit f une application d´efinie sur une partie D de E, `a valeurs dans F .
Soit a un point du domaine D de f .
On dit que f est continue en a si la limite de f en a est f (a).
Cela ´equivaut `a dire :
∀ε > 0, ∃δ > 0 tel que
x ∈ D
kx − ak ≤ δ
Remarque
(cid:27)
⇒ kf (x) − f (a)k ≤ ε.
La d´efinition pr´ec´edente est inchang´ee si on remplace une norme par une norme ´equivalente,
ce qui est toujours le cas si E et F sont de dimension finie.
Proposition (Caract´erisation s´equentielle de la continuit´e)
L’application f : D ⊂ E → F est continue au point a de D ⇔ pour toute suite u de D
convergeant vers a, la suite de terme g´en´eral f (un) converge vers f (a).
D´efinition (Continuit´e sur le domaine)
L’application f : D ⊂ E → F est dite continue sur D si elle est continue en tout point de
D.
On note souvent C(D, F ) l’ensemble des applications continues de D ⊂ E vers F .
Exemples
– Une application constante D ⊂ E → F est continue.
– L’application identit´e de E dans E est continue.
III.5 Propri´et´es des applications continues
Proposition (Op´erations sur les applications continues)
Soient f et g deux applications d´efinies sur D ⊂ E, `a valeurs dans F .
Soient α et β deux applications d´efinies sur D, `a valeurs dans IK.
– Si f, g, α, β sont continues en a (respectivement sur le domaine D), alors αf + βg est
continue en a (respectivement sur D).
– En particulier C(D, F ) est un espace vectoriel sur IK.
– Si F est une alg`ebre norm´ee et si f, g sont continues en a (resp. sur D) il en est de mˆeme
de l’application produit f g.
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C(D, F ) est donc a son tour muni d’une structure d’algebre
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Espaces vectoriels norm´es
Partie III : Continuit´e dans un espace vectoriel norm´e
Proposition (Composition d’applications continues)
Soit f une application d´efinie sur une partie D de E, `a valeurs dans F .
Soit g une application d´efinie sur une partie D0 de F , `a valeurs dans G.
On suppose que f (D) ⊂ D0. De cette mani`ere, g ◦ f est d´efinie sur D.
Si f continue en a et si g est continue en b = f (a), alors g ◦ f est continue en a.
Si f continue sur D et si g est continue sur D0, alors g ◦ f est continue sur D.
Proposition (Images r´eciproques d’ouverts ou de ferm´es par une application continue)
Soit f : D ⊂ E → F une application continue.
– Pour tout ouvert V de F , f −1(V ) s’´ecrit D ∩ U , o`u U est un ouvert de E.
– Pour tout ferm´e V de F , f −1(V ) s’´ecrit D ∩ U , o`u U est un ferm´e de E.
En particulier, si f est continue de E dans F :
– L’image r´eciproque par f d’un ouvert de F est un ouvert de E.
– L’image r´eciproque par f d’un ferm´e de F est un ferm´e de E.
Proposition (Utilisation des composantes en dimension finie)
On suppose que dim F = n et que F est muni d’une base (e) = e1, . . . , en.
Soient fl, . . . , fn les applications composantes de f : D ⊂ E → F .
f est continue en a (resp. sur D) ⇔ toutes ses composantes fk sont continues en a (resp.
sur D).
Proposition
Si f et g, d´efinies sur E et `a valeurs dans F sont continues, alors l’ensemble des points x
de E tels que f (x) = g(x) est un ferm´e de E.
En particulier si f et g sont ´egales sur une partie dense de E, alors f et g sont ´egales sur
E.
Proposition (Image continue d’un compact)
Si f est continue de D ⊂ E dans F et si D est un compact de E, alors f (D) est compact
de F (autrement dit, l’image d’un compact par une application continue est encore un
compact).
Cons´equences
– Si F = IR : toute application num´erique continue sur un compact est born´ee et atteint ses
bornes.
– Si E = F = IR : l’image continue d’un segment est un segment.
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Espaces vectoriels norm´es
Partie IV : Applications continues particuli`eres
IV Applications continues particuli`eres
E, F, G sont des espaces vectoriels norm´es sur IK.
IV.1 Applications lipschitziennes
D´efinition
Soit f une application d´efinie sur une partie D de E, `a valeurs dans F .
Soit λ > 0. L’application f est dite λ-lipschitzienne ou encore lipschitzienne de rapport λ
si : ∀(x, y) ∈ D2, kf (x) − f (y)k ≤ λ kx − yk. Si k < 1, on dit que f est contractante.
Propri´et´es et exemples
– Si on remplace une norme par une norme ´equivalente, f reste lipschitzienne (mais pas avec
le mˆeme λ.)
– Si f est λ-lipschitzienne, et si λ < µ, f est encore µ-lipschitzienne.
– Toute application lipschitzienne est continue.
– Les isom´etries de E dans F (∀(x, y) ∈ E2, kf (x) − f (y)k = kx − yk) sont 1-lipschitziennes
donc continues.
– L’application norme de E dans IR est lipschitzienne donc continue.
En effet : ∀(x, y) ∈ E2, |kxk − kyk| ≤ kx − yk.
– On suppose que E est de dimension n ≥ 1 et est rapport´e `a une base (e).
On munit par exemple E de la norme d´efinie par kxk = max {|xj| , 1 ≤ j ≤ n}.
Pour tout k de {1, . . . , n}, soit πk l’application qui `a x associe sa composante xk sur ek.
L’application πk (dite k-i`eme application coordonn´ee) est lipschitzienne donc continue.
En effet, pour tous vecteurs x et y de E : |πk(y) − πk(x)| = |yk − xk| ≤ ky − xk
– Toute application polynˆomiale IKn → IK, c’est-`a-dire de la forme : u = (x1, x2, . . . , xn) 7→
P (u) = P αm xm1
En effet cette application est obtenue `a partir des applications coordonn´ees x 7→ xk par des
op´erations (sommes, produits) qui pr´eservent la continuit´e.
est continue (mais en g´en´eral non lipschitzienne).
1 xm2
· · · xmn
n
2
IV.2 Applications lin´eaires continues
Important : dans ce paragraphe, on suppose que E est de dimension finie.
Proposition et d´efinition
Soit f une application lin´eaire de E dans F . Les quantit´es suivantes sont finies et ´egales :
supkxk≤1 kf (x)k
supkxk=1 kf (x)k
supx6=0
kf (x)k
kxk
Leur valeur commune est appel´ee norme de f et est not´ee kf k.
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Partie IV : Applications continues particuli`eres
D´efinition ´equivalente
Avec ces notations kf k est le r´eel k minimum tel que : ∀x ∈ E, kf (x)k ≤ k kxk.
Cons´equence
Toute application lin´eaire de E (avec dim E < +∞) dans F est continue, et elle est mˆeme
lipschitzienne.
Remarques et propri´et´es
– La valeur de kf k d´epend des normes qui ont ´et´e choisies sur E et F .
– Muni de l’application f 7→ kf k, l’espace vectoriel L(E, F ) de toutes les applications lin´eaires
de E dans F est lui-mˆeme un espace vectoriel norm´e.
– On suppose que E et F sont tous deux de dimension finie.
Soit f une application lin´eaire de E dans F et g une application lin´eaire de F dans G.
Alors kg ◦ f k ≤ kgk kf k.
En particulier l’ensemble L(E) de tous les endomorphismes de E est une alg`ebre norm´ee.
IV.3 Applications bilin´eaires continues
Important : dans les deux ´enonc´es suivants, on suppose que E et F sont de dimension finie.
D´efinition
Soit f une application bilin´eaire de E × F dans G.
Alors il existe un r´eel positif k tel que : ∀(x, y) ∈ E × F, kf (x, y)k ≤ k kxk kyk
Cons´equence
Toute application bilin´eaire de E × F dans G est continue.
Exemples d’applications bilin´eaires continues
Dans ces exemples, il n’est pas n´ecessaire que E soit de dimension finie.
– L’application de E × E dans E, qui `a (u, v) associe u + v, est continue.
– Si E est un espace pr´ehilbertien, l’application (u, v) 7→< u, v > est continue.
C’est une cons´equence de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz : |< u, v >| ≤ kuk kvk
– L’application de IK × E vers E d´efinie par (λ, u) 7→ λu est continue.
– Si E est une alg`ebre norm´ee, l’application (u, v) 7→ uv est continue.
En particulier, l’application (f, g) 7→ f ◦ g est continue sur L(E) × L(E).
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