Cours Automatique
Niveau : 2
Unité d’enseignement : Automatique 1
ECUE n° 1 : Signaux et Systèmes Linéaires
Chapitre 8
Analyse et Synthèse des Systèmes Asservis Linéaires par la Méthode Temporelle
Nombre d’heures/chapitre : 3h
Cours intégré
Système d’évaluation : Continu
OBJECTIFS DE L’ENSEIGNEMENT :
-Connaître les notions des signaux.
-Connaître les notions des systèmes et plus particulièrement les systèmes asservis.
-Maîtriser les outils de transformation des signaux.
-Savoir manipuler les techniques de représentation des systèmes.
CONTENU THEORIQUE :
Dans ce chapitre on s’intéresse à la réaction temporelle de tout système automatisé tout en étudie les
trois critères d’un système asservis qui sont, la stabilité, la rapidité et la précision.
Pour le critère de stabilité on définie leur conditions ainsi que la méthode modale pour étudié tous
système qui est le critère de Routh.
En second lieu, on définie la condition de rapidité tout en détaillant sa condition d’application pour un
système de 2ème ordre tout avec le critère algébrique d’amortissement : Critère de Naslin
Enfin en définie la précision d’un système asservi tout en étudie la méthode de sa détermination pour
un système à retour unitaire ou bien pour des systèmes à plusieurs entrées ou bien à retour non unitaire.
ISET NABEUL
- 76 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
Chapitre 8
Niveau : 2
Analyse et Synthèse des Systèmes Asservis Linéaires
par la Méthode Temporelle
1. Généralités
1.1.Rappel
Z (p)
H1(p)
E(p)
R(p)
G(p)
S(p)
1
Fig.8.1
E (p) : entrée principale
Z (p) : perturbation
S (p) : sortie
1.2. But de l’entrée temporelle
L’étude temporelle consiste à étudier les trois caractéristiques fondamentales d’un système asservi
linéaire
• Rapidité
• Stabilité
• Précision
Un système est dit performant s’il est rapide, stable et précis
2. Stabilité
Un système linéaire asservi est stable si abandonné à lui-même à partir de conditions initiales quelconque
il revient à son état d’équilibre.
ISET NABEUL
- 77 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
2.1. Condition de stabilité :
Un système asservi linéaire est caractérisé par :
Niveau : 2
pH
(
)
=
m
n
pb
m
pa
n
+
+
b
a
m
−
1
−
1
n
-Equation caractéristique :
m
−
1
p
n
p
−
1
+
+
+
.....
+
.....
pb
1
pa
1
+
+
b
0
a
0
=
pX
(
)
)
pD
(
D (p) =0
anpn + an-1pn-1+……+ a1p1 + a0 = 0
Un système est stable si les parties réelles des pôles (solution de D (p) = 0) sont négatifs.
Remarque :
Cette condition nécessaire et suffisante nécessite un calcul des racines ce qui rend cette condition
inacceptable lorsque l’ordre du système est important >2
Il suffit de déterminer le signe de la partie réelle des pôles en utilisant le critère de Routh.
Critère de Routh : parties réelles < 0.
2.2. Critère de Routh :
D (p) = anpn + an-1pn-1 + an-2pn-2 +..……+ a1p1 + a0
Table de Routh
pn
pn-1
pn-2
.. . .
an
an-1
b1
an-2
an-3
b2
an-4
an-5
b1
……………
……………
……………
a0
a1
bn
P0
q1
q
q3
……………
qn
Tab.8.1
n+1 lignes
aa
−
1
n
=
b
1
−
aa
n
−
3
n
;
=
b
2
aa
−
1
n
−
aa
n
−
5
n
;
n
−
2
a
− −
b
1
3
−
1
n
ba
−
21
n
ab
1
n
=
c
1
;
ab
1
n
=
c
2
aa
−
1
n
n
=
b
3
−
6
a
−
aa
n
−
7
n
−
1
n
n
−
4
a
− −
b
1
5
−
1
n
ba
−
21
n
;
c
3
=
ba
−
41
n
ab
1
n
7
− −
b
1
…………………………………..
ISET NABEUL
- 78 - CHELBI Hassen
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Niveau : 2
La condition nécessaire de stabilité s’exprime par le tableau de Routh comme suit :
Tous les « ai » existent et de même signe (>0).
Tous les coefficients de la 1ère colonne sont strictement positifs.
Remarques
le nombre de changement de signe dans la 1ère colonne du tableau de Routh est égal au nombre
des racines (des pôles) de D (p) à partie réelle positive.
Si le système est d’ordre n, on a (n+1) cœfficients sur la 1ère colonne du tableau de Routh.
Si l’un des éléments de la 1ère colonne est égale à zéro, le système est asymptotiquement
marginalement stable.
Application 1
1-
pH
(
1
)
=
4
p
+
3
2-
(
pH
2
)
3-
pH
(
3
)
=
=
3
p
+
2
p
+
3
p
2
2
p
ap
1
ap
+
p
1
4
+
2
p
+
3
p
+
3
+
1
+
bp
+
c
Question : Etudier la stabilité des systèmes par le critère de Routh en fonction de a, b et c.
Correction
4
p
)
1.
pD
(
=
+
3
3
p
+
2
4
p
Publicité
+
3
p
=+
3
0
3
0
p4 1
p3 3
p2 3
p1 0
p0 3
4
3
3
0
0
Tab.8.2
2
−=p
1
p =
1
j
ou
p
2
−=
j
Polynôme auxiliaire
3 2
0
=+p
3
=+p
012
le système est marginalement stable (juste oscillant).
2.
(
pH
2
)
=
(
pD
)
=
3
p
p
+
3
+
2
ap
2
2
p
ap
+
+
1
+
bp
+
c
bp
+
c
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- 79 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
b
c
0
p3 1
p2 a
p1
ab −
a
c
p0 c
Tab.8.3
Le système soit stable si tous les éléments de la 1ère colonne >0 a>0, c>0, ab-c>0
3)
pH
(
3
)
=
(
pD
)
= 2
p
p
+
2
+
ap
1
ap
+
b
+
b
p2 1
p1 a
p0 b
b
0
0
Tab.8.4
le système soit stable ssi a>0 et b>0.
Application 2
E(p)
K
1- Calculer
pH
(
)
=
pS
(
)
(
pE
)
.
2- Etudier la stabilité en fonction de K.
Correction
1-
pH
(
)
=
+
p
K
)5,01(2
+
++
2
p
21
5,8
K
4
p
2-
(
pD
)
=
2
4
p
+
5,8
p
++
21
K
S(p)
2
+
p81
2
p8,01
+
Fig. 8.2
ISET NABEUL
- 80 - CHELBI Hassen
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Niveau : 2
p2 4
p1 8,5
p0 1+2K
1+2K
0
0
Tab.8.5
Pour que le système soit stable il faut que 1+2K >0 K>-1/2.
Application 3
E (p)
G
10
p +
1(
p
2)
S(p)
2
G
10
+
p
1(
)
G
10
+
p
1(
p
1-
pH
(
)
=
p
+
1
Tableau de Routh :
1
p+1
Fig. 8.3
p
)
++
p
10
G
=
4
p
+
3
G
10
1(
+
3
p
p
3
+
2
3
)
3
1
10G
p4 1
p3 3
8
p2
3
8
3
p1
G−
10
8
3
p0 10G
Application 4
(
pH
)
=
2
p
+
5
p
+
4
4
p
+
1
2
P
3
Tab.8.6
++
Kp
Etudier la stabilité en fonction de K.
ISET NABEUL
- 81 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
Correction
a3=0, le système est instable pour tout valeur de K.
3. Rapidité d’un système asservi
3.1. Définition :
Niveau : 2
ts : le temps de stabilisation cherché à ± 5% (ou à ± 2%) de s(∞) pour les systèmes oscillants amortis.
Temps de stabilisation ts
1,2
1,2
1,1
1,1
1
1,
.95
0,9
0,9
0,8
0,8
0,7
0,7
0,6
0,6
0,5
0,5
0,4
0,4
0,3
0,3
0,2
0,2
0,1
0,1
0
0,
0
0
ts
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
Publicité
9
10
11
12
13
14
15
tr : le temps de réponse à 95% de s(∞) pour les systèmes apériodiques.
Temps de montée tm=t2-t1
Fig. 8.4
1,2
1,2
1,1
1,1
1,
1,
0,9
0,9
0,8
0,8
0,7
0,7
0,6
0,6
0,5
0,5
0,4
0,4
0,3
0,3
0,2
0,2
0,1
0,1
tm=t2-t1
t1
0,
0,
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
t2
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
11
12
13
14
15
Fig. 8.5
tm : le temps mis pour passer de 10% de s(∞) à 90% de s(∞) C’est le temps de montée.
ISET NABEUL
- 82 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
tp : C’est le temps mis pour atteindre le 1er dépassement C’est le temps de pic.
1,2
1,1
1,
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,
0
tpic
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Fig. 8.6
La rapidité s’exprime par le temps de stabilisation qui correspond au temps nécessaire pour que l’erreur
εr à une consigne constante devient ≤ 5% de la consigne
−
ty
)(
y
c
y
c
≤
%5
3.2. Rappel sur le système de 2ème ordre
(
)
pS
(
)
pE
=
ω
2
K
0
ωω
+
2
pm
0
0
=
b
+
apa
1
0
=
2
+
pa
2
2
p
+
2
2
p
+
2
b
a
a
1
a
2
+
p
a
a
0
2
a=ω
a
0
0
,
2
a
=
1
a
2
2
a
1
ω
2
2
0
2
2
m
ω
0
24
m
=
a
4
m
2
ω
2
0
=
2
a
1
2
a
2
,
,
=
2
a
1
a
a
2
2
0
2
a
m =
24
2
a
1
aa
2
0
,
Π
2
ω
−
0 1 m
3
ωm
0
(à ± 5%).
=
t p
=
t s
ISET NABEUL
- 83 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Tpic
Tm
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4 1.5
Fig. 8.7
ts en fonction de "m"
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
m
Fig. 8.8
ts
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
On constate que le temps de pic et le temps de montée diminue.
Le temps ts diminue si m croit de 0 à 0.7 puis augmente avec m.
Le temps de réponse le plus court est obtenu pour m=0.7. En particulier m=0.7 est considéré comme la
valeur optimale pour des nombreux systèmes.
La rapidité d’un système de second ordre est étroitement liée à m.
Pour un système asservi d’ordre quelconque, on va étudier de même l’amortissement.
ISET NABEUL
- 84 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
3.2.1. Critère algébrique d’amortissement : Critère de Naslin
pH
(
)
=
n
+
pa
n
a
−
1
n
n
p
b
−
+
1
.....
+
+
apa
1
0
Par analogie avec les systèmes de second ordre, on définit les rapports caractéristiques :
2
a
−
n
1
a
2
a=α
3
aa
2
2
a=α
1
aa
0
2
a
i
aa
−
i
Publicité
1
− =
α
n
α
i
;
;
=
a
+
1
−
−
n
n
2
3
1
1
4
2
3
i
Le critère algébrique d’amortissement :
16
α1
14
12
10
8
6
4
2
0
0
α2
α3
α1< α2< α3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Fig. 8.9
Le critère algébrique d’amortissement impose aux valeurs
α d’être ≥ à une valeurα bien déterminée.
i
α
1 ,6
1,75
2
D% 40% 20%
6%
m
0.3
0.45
0.7
2,4
1%
0.9
Tab.8.7
Pour un système d’ordre 2 on a :
t
e
100
Π
ω
0
%
m
D
=
=
−
1
Π−
−
1
m
p
2
2
D
28,4%
−
=
=
t
p
a
12,2
a
2
α
Systèmes d’ordre élevés.
ISET NABEUL
- 85 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
3.2.2. Application
Déterminer la valeur de K qui garantie un dépassement D (%) <6% si on a :
pH
(
)
=
3
8
p
+
21
p
2
+
K
5.10
p
++
1(
K
)
Correction
α
1
=
α
2
=
2
2
a
1
aa
0
2
a
2
aa
31
=
25,5
+
1
K
=
25,5
≤
%6
D
α
≥
2
25,5
+
1
K
25,5
2
≥
2
+≥
1
K
≤
≤
K
K
=−
625,11
25,5
2
625.1
4. Précision d’un système asservi :
La précision d’un système asservi est étroitement liée à l’erreur statique entre la consigne et la sortie
réelle mesurée.
Système oscillant amorti
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
Régime
statique
Régime
statique
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Fig. 8.10
ISET NABEUL
- 86 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
4.1. Système à retour unitaire
E(p) ε(p) S(p)
T(p)
ε
(
p
+
1[
=
)
pT
(
pE
(
ε
(
)]
−
)
p
)
Fig. 8.11
pE
(
)
+
pT
(
)
1
)
=ε
)
p
(
)
pS
(
=
pE
(
Ainsi, on définit deux régimes de fonctionnement :
Régime statique : erreur statique.
Régime transitoire : erreur dynamique.
• Un système est précis si l’erreur statique est nulle.
im
∞→
t
ε
)(
t
=
pim
ε
(
p
∞→
t
)
∞=
ε
(
)
im
∞→
t
p
pE
(
)
+
pT
(
)
1
∞=
ε
(
)
Remarques
=∞εsi
(
0
-
)
le système est totalement précis.
- l’erreur statique dépend de l’entrée et dépend aussi du système.
• Classe d’un système asservi
m
−
1
m
−
1
p
p
−
1
−
1
+
+
.....
.....
+
+
+
bpb
1
0
+
apa
1
0
pT
(
)
Publicité
=
pT
(
)
=
m
m
pb
m
pa
m
K
1(
αp
1(
+
+
b
m
a
+
...)
+
...)
m
α est appelé classe du système (nombre d’intégration).
Si
0→p
(
pT
=)
K
αp
ε
(
=∞
)
lim
p
→
0
p
pE
(
)
+
pT
(
)
1
=
lim
p
→
0
p
pE
(
)
K
α
p
+
1
ISET NABEUL
- 87 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
Application
1=α
(
pE
)
=
ε
(
=∞
)
0
E
p
lim
∞→
p
E
0
+
Kp
=
0
α
Niveau : 2
=∞ε
0)
(
Entrée
Impulsion
te
)(
=
∂
E
0
)(
t
=
Echelon de position
te
)(
tuE
)(
0
Echelon de vitesse
te
)(
=
tuE
0
t
)(
Echelon d’accélération
te
)(
=
E
0
2
2
tut
)(
0
0
E
+1
0
K
∞
∞
Tab.8.8
1
0
0
E0
K
∞
2
0
0
0
E0
K
3
0
0
0
0
Remarques
• La précision augmente si α augmente.
• L’erreur statique pour une entrée impulsionelle est nulle pour tout valeur deα.
• Pour une classe donnée, la précision se détériore si le signal d’entrée plus dur.
• On appelle erreur statique de position dans le cas où l’entrée est un échelon de vitesse.
4.2. Calcul de
(∞ε pour différents systèmes
)
4.2.1. Système à 2 entrées
z(p)
E(p)
T1(p)
T2(p)
S(p)
1
Fig. 8.12
)]
−
)
pS
(
)
pTpT
)[
(
2
1
ε
()
=ε
)
p
(
Or
ε
(
(
pS
=
)
p
pE
(
=
)
pE
(
(
−
−
)
p
ε
()
(
pz
+
1
(
pTpT
)
(
)
2
pE
(
)
)
pTpT
(
+
)
(
1
()
p
)
(
pzpT
(
2
pzpT
()
)
2
+
pTpT
)
(
(
)
)
1
2
1
2
=ε
)
p
(
+
1
ISET NABEUL
- 88 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
4.2.2.
Système à retour non unitaire :
E (p)
ε (p)
(1 pT
)
S (p)
δ(p)
∂−
(
p
)
)
(2 pT
)
Fig. 8.13
ε
()
p
)
−
)
pTpT
)
(
(
1
2
ε
(
ε
(
=
p
)
p
1)[
pE
(
+
2
pTpT
)
(
(
)]
1
=
pE
(
=
pE
(
)
ε
(
p
)
=
+
1
pE
(
)
)
pTpT
(
1
(
2
)
ISET NABEUL
- 89 - CHELBI Hassen