Cours Automatique
Niveau : 2
Unité d’enseignement : Automatique 1
ECUE n° 1 : Signaux et Systèmes Linéaires
Chapitre 7
Etude Harmonique des Systèmes Asservis Elémentaires
Nombre d’heures/chapitre : 2h
Cours intégré
Système d’évaluation : Continu
OBJECTIFS DE L’ENSEIGNEMENT :
-Maîtriser les outils de transformation des signaux.
-Savoir manipuler les techniques de représentation des systèmes.
CONTENU THEORIQUE :
Dans ce chapitre on s’intéresse à étudier les réponses harmoniques d’un système de 1er ordre et d’un
système de 1er ordre généralisé
En explique l’intérêt et la méthode de représentation de Bode pour un système de 1er ordre
généralisé et d’un système de second degré, tout en exploitant ses résultats dans des applications ciblés.
ISET NABEUL
- 63 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
Chapitre 7
Niveau : 2
Etude Harmonique des Systèmes Asservis Elémentaires
1. Introduction
L’étude harmonique d’un système correspond à une représentation fréquentielle mettant en évidence
le gain et la phase de la fonction F(jω) lorsque ω varie.
Il existe plusieurs représentations.
• Représentation sur le lieu de Bode.
=
ω
20
log
)
FdB
=
ωϕ
(
)
f
arctg
(
jF
=
ϕ
( ωjF
)
ω
))
(
jF
(
(
jF
ω
)
)
B
d
(
n
a
G
i
)
g
e
d
(
e
s
a
h
P
0
-10
-20
-30
-40
-50
0
-45
-90
-2
10
Diagramme de Bode
Fréquence (rad/s)
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
Fig.7.1: Allures de Bode pour un système de 1er ordre.
Remarque
ω varie en échelle logarithmique.
• Les lieux de Nyquist
Ils repésentent dans le plan complexe la partie imaginaire en fonction de la partie réelle et qui évolue
en fonction de ω.
( ω
jy
+=)
x
jF
ISET NABEUL
- 64 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
Diagramme de Nyquist
i
i
e
a
n
g
a
m
i
e
x
A
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
w =00
k
w croissant
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Axe réel
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fig.7.2: Allure de Nyquist pour un système de 1er ordre.
y=f(x) qui évolue en fonction de ω=0 jusqu’à ∞.
• Les lieux de Black : gradués et orientés en valeurs croissantes de ω avec φ(arg) en abscisse et
FdB en ordonné.
FdB
=
ϕ
=
20
arg(
log
(
jF
(
jF
ω
))
ω
)
FdB
20 logk
Phase (°)
)
B
d
(
e
t
r
e
v
u
o
e
c
u
o
b
n
e
n
a
G
l
i
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-180
w croissant
w =00
-135
-90
Phase en boucle ouverte (°)
Fig.7.3: Allure de Nychols pour un système de 1er ordre.
-45
0
ISET NABEUL
- 65 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
2. Système de 1er ordre
ω
)
(
jF
pF
(
=
)
k
τ+
p
1
=
k
ωτ
j
+
1
Bode :
ϕ
(
jF
ω
)
=
=
arg(
(
jF
k
τω
)
−=
2
+
(1
ω
))
FdB
ϕ
=
20
log
+
(1
τω
)
(
−=
arctg
k
τω
)
2
arctg
τω
(
)
0→ω
20
log
k
0
=
20
log
−
20
log(
+
(1
τω
2/12
))
FdB
ϕ
−=
arctg
k
τω
(
)
τω /1→
−k
log
3
20
∞→ω
τω
)
log(
∞→
−
20
-π/4
-π/2
Tab.7.1
ω
FdB
φ
20
20logk
0
)
B
d
(
n
e
n
a
g
i
)
g
e
d
(
e
s
Publicité
a
h
P
-20
-40
-60
-80
0
-45
-90
-2
10
1/T
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Fig.7.4: Diagramme de Bode pour un système de 1er ordre.
Frequency (rad/sec)
Nyquist :
pF
(
)
=
k
τ+
p
1
jF
(
ω
)
=
k
ωτ
+
j
=
1
+
1
k
(
)
τω
2
−
j
τω
k
(
)2
+
τω
1
ISET NABEUL
- 66 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
=
X
1
=−
Y
2
k
(
)
τω
τω
k
(
)
τω
+
+
1
Y
τω−=
X
2
2
Y
(
= τω
X
)
2
=
(
2
X
+
Y
2
−
kX
=
0
−
)1
k
X
⇔
ω
X
Y
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
e
r
i
a
n
g
a
m
i
i
e
x
A
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
X
2
=
kX
−
2
X
(
X
−
k
2
2
)
+
Y
2
−
(
2
)
=
k
2
0
c’est un cercle :
AC
,
(
k
2
)
avec
A
(
k
2
)0,
0→ω
τω /1→
∞→ω
0
0
k
0
k/2
-k/2
Tab. 7.2
Diagramme de nyquist
Im
w=oo
k/2
w=0
Re
w croissante
-k/2
w=1/T
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Axe réel
Fig.7.5: Allure de Nyquist pour un système de 1er ordre.
Black :
pF
(
)
=
k
τ+
p
1
(
jF
ω
)
=
k
+
ωτ
j
1
(
jF
ω
)
=
ϕ
k
τω
)
−=
2
+
(1
ω
))
=
arg(
(
jF
arctg
τω
)
(
FdB
ϕ
=
20
log
−=
arctg
−
k
τω
)
(
20
log(
+
(1
τω
2/12
))
FdB=f(φ)
ISET NABEUL
- 67 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
)
B
d
(
e
t
r
e
v
u
o
e
c
u
o
b
n
e
n
a
G
l
i
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-180
FdB
20 logk
Phase (°)
w croissant
w =00
-135
-90
Phase en boucle ouverte (°)
Fig.7.6: Allure de Black pour un système de 1er ordre.
-45
0
+
+
1(
1
ατω
)
τω
j
j
jF
(
ω
)
=
jF
(
1
ω
).
jF
(
2
ω
)
avec
3. Système de 1er ordre généralisé
ατ
k
p
Publicité
τ
p
(
pF
(
jF
+
+
ω
)
=
=
k
)
)
1(
1
=
(
jF
1
(
jF
2
jF
(
ϕ
=
ω
)
ω
1/(
k
+=
j
τω
)
+
j
ατω
1)
=
jF
(
1
ω
(
jF
))
ω
.)
=
ω
)
arg(
=
ω
jF
)
(
2
arg(
jF
(
1
=
+
F
F
1
dB
ϕϕϕ
+
1
2
dB
=
F
2
dB
=
arctg
20
log
ατω
)
(
jF
(
1
−
arctg
ω
))
+
ω
))
jF
arg(
(
2
ω
+
)
20
τω
)
(
log
jF
(
2
ω
)
ω
F2dB
φ2
0→ω
ω /1→
ατ
∞→ω
0
0
3
π/4
+∞
π/2
Tab.7. 3
ISET NABEUL
- 68 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
3.1. Représentations de Bode pour un système de 1er ordre généralisé :
α<1 :
α>1 :
)
B
d
(
n
a
G
i
)
g
e
d
(
e
s
a
h
P
)
B
d
(
n
a
G
i
)
g
e
d
(
e
s
a
h
P
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
0
-45
-90
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
Fig.7.7: Diagramme de Bode ( syst. De 1er ordre généralisé α=0.002).
Fréquence (rad/sec)
20
15
10
5
0
60
30
0
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Fréquence (rad/sec)
Fig.7.8 : Diagramme de Bode ( syst. De 1er ordre généralisé α=10).
ISET NABEUL
- 69 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
3.2 Application :
Niveau : 2
Tracer les diagrammes de Bode, Nyquist et Black pour les fonctions suivantes :
(
pF
)
=
1
p
,
(
pF
τ+= 1)
p
,
(
pF
τ−= 1)
p
et
(
pF
)
=
1
τ−
p
1
.
Diagramme Bode (F(p)=1/p)
)
B
d
(
n
a
G
i
)
g
e
d
(
e
s
a
h
P
)
B
d
(
n
a
G
i
)
g
e
d
(
e
s
a
h
P
100
50
0
-50
-100
-89
-89.5
-90
-90.5
-91
-3
10
50
40
30
20
10
0
90
45
0
-1
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Frequence (rad/sec)
Fig.7.9
Diagramme de Bode (F(p)=1+Tp; T=0.01s)
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Frequency (rad/sec)
Fig.7.10
ISET NABEUL
- 70 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
Diagramme de Bode (F(p)=1-Tp; T=0.01s)
)
B
Publicité
d
(
n
a
G
i
50
40
30
20
10
0
0
)
g
e
d
(
e
s
a
h
P
-45
-90
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Fréquence (rad/sec)
Fig.7.11
Diagramme de Bode (F(p)=1/(1-Tp); T=0.01s)
)
B
d
(
n
a
G
i
)
g
e
d
(
e
s
a
h
P
0
-10
-20
-30
-40
-50
90
45
0
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Frequence (rad/sec)
Fig.7.12
ISET NABEUL
- 71 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
4. Système de second degré
ω
2
k
0
H(p)
=
H(p)
=
2
p
+
2
m
+
ωω
2
p
0
0
ω
2
k
0
(p
1
p
p-
1
+
1)(
p
p-
2
, p1 et p2 sont deux pôles,
=
+
1)p
2
(-pp
2
1
ω
2
k
0
+
1)(-
p
p
1
+
1)
p
p
2
On pose :
p
=
-
1
H(p)
=
(1pp
2
1
+
et
1
τ
1
ω
2
k
0
τ
p)(1
1
p
2
=
-
1
τ
2
+
τ
2
p)
• m>1
−=
p
1
p
2
m
0
ωω
+
0
ωω
−
0
0
−=
m
2
m
1-
=
ω
0
+−
m
(
2
m
<
1)1-
2
m
<
11-
ω=pp
.
2
1
2
0
• m=1
D(p)
=
2
p
+
0
=
ωω
+
2
p
0
2
0
= p
ω−=
0
2
1
p
(p
+ ω
0
=
2
0 )
• m=0
D(p)
=
2
p
+
ω
=
0
2
0
p
p
1
2
• 0<m<1
=
j
−=
ω
0
ω
0
j
ω=pp
.
2
2
1
0
=Δ
mω
(
2
0
2
) 1-
<
0
Deux pôles complexes conjugués.
p
1
p
2
−=
m
−=
m
0
j
ωω
+
0
ωω
−
0
j
0
1
−
2
m
1
−
2
m
ω=pp
.
2
1
2
0
H(p)
=
K
p)(1
(1
+
τ
1
+
τ
2
p)
ω
)H(j
=
+
(1
K
)(1
+
ωτωτ
)
j
j
1
2
ω
)H(j
=
K
ωτ
j
)
Publicité
1
.
+
(1
1
ωτ
j
)
2
+
(1
=
jF
(
1
ω
).
jF
(
2
ω
)
+
=
F
F
1
dB
ϕϕϕ
+
2
1
dB
=
=
F
2
−=
dB
arctg
20
log
ωτ
)
(
1
jF
(
1
−
arctg
ω
)
jF
(
2
ω
)
log
+
20
ωτ
)
(
2
ISET NABEUL
- 72 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
- Allures
ω
F1dB
F2dB
FdB
φ1
φ2
φ
50
0
-50
-100
-150
-200
0
-45
-90
-135
-180
ω ∞
-∞
-∞
-∞
-π/2
-π/2
-π
ω0
20logk
0
ω=1/ατ
20logk 3
-3
20logk
20logk -6
0
0
0
-π/4
-π/4
-π/2
Tab. 4
Diagramme de Bode
-4
10
-2
10
0
10
2
10
Fréquence (rad/sec)
Fig.7.13
)
B
d
(
n
a
G
i
)
g
e
d
(
e
s
a
h
P
ISET NABEUL
- 73 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
)
B
d
(
e
t
r
e
v
u
o
e
c
u
o
b
n
e
n
a
G
i
l
40
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-360
diagramme de Black
0 dB
0.25 dB
0.5 dB
1 dB
3 dB
6 dB
FdB
20logk
phase (°)
-1 dB
-3 dB
-6 dB
-12 dB
-20 dB
-40 dB
-60 dB
-80 dB
-100 dB
-120 dB
-315
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
Phase en boucle ouverte (deg)
Fig.7.14
* Diagrammes de Bode, Black et Nyquist pour un système de 2ème pour m variables
Diagramme de Bode
)
B
d
(
n
a
G
i
)
g
e
d
(
e
s
a
h
P
20
0
-20
-40
-60
-80
0
-45
-90
-135
-180
-2
10
-1
10
0
10
Fréquence (rd/s)
Fig.7.15
1
10
2
10
ISET NABEUL
- 74 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
3
2
2 dB
4 dB
6 dB
10 dB
20 dB
1
0
-1
-2
Diagramme de Nyquist
0 dB
-2 dB
k=0
ω=0
-4 dB
-6 dB
-10 dB
-20 dB
ω=∞
m=0.7
m=0.4
m=0.2
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Axe réel
Fig.7.16
Diagramme de Black
0.25 dB
0.5 dB
1 dB
3 dB
6 dB
0 dB
m=0.2
m=0.4
m=0.7
1er ordre
k=1
ω=0
-1 dB
-3 dB
-6 dB
-12 dB
-20 dB
-40 dB
-60 dB
-80 dB
-315
-270
-225
-180
Phase en BO (°)
-135
-90
-45
0
Fig.7.17
e
r
i
a
n
g
a
m
i
i
e
x
A
)
(
p
p
)
B
d
(
O
B
n
e
n
a
G
i
-3
-1.5
40
20
0
-20
-60
-80
-360
-40
ω=∞
ISET NABEUL
- 75 - CHELBI Hassen