Cours Automatique
Niveau : 2
FICHE MATIERE
Unité d’enseignement : Automatique 1
ECUE n° 1 : Signaux et Systèmes Linéaires
Chapitre 2
Descriptions Mathématiques des Systèmes Physiques
Nombre d’heures/chapitre : 4h
Cours intégré
Système d’évaluation : Continu
OBJECTIFS DE L’ENSEIGNEMENT :
-Connaître les notions des signaux.
-Connaître les notions des systèmes et plus particulièrement les systèmes asservis : Système mono
variable ou multi variable.
CONTENU THEORIQUE :
Dans ce chapitre on s’intéresse à la classification des systèmes qui se répartie entre système mono
variable et multi variable
Nous présentant
la description des systèmes continus
linéaires
invariants (SLCI),
leurs
représentations, aussi que les équations différentielles et leurs résolutions tout en se basant sur la
transformée de Laplace et la résolution des fonctions de Transfert d’un système de premier ordre et
second ordre.
ISET NABEUL
- 20 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
Chapitre II
Niveau : 2
Descriptions Mathématiques des Systèmes Physiques
1. Classification des systèmes :
Système
monovariable ou
multivariable
Continu
Discret
Invariant
Variant
Linéaire
Non linéaire
Fig. II.1 : Classifications des systèmes.
Les systèmes qui nous intéressent sont les systèmes continus linéaires invariants.
2. Description des systèmes continus linéaires invariants (SLCI) :
2.1. Définitions :
a) Système continu :
Un système est continu si les signaux d’entrées et de sorties sont des fonctions continues (Figure
II.2) :
Entrée e (t)
Sortie s (t)
Système
Fig. II.2
ISET NABEUL
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b) Système causal :
Niveau : 2
Un système est dit causal si le signal d’entrée est nul pour un intervalle de temps négatif.
c) Système invariant :
On dit qu’un système est invariant lorsque les caractéristiques de son comportement ne varient
pas au cours du temps (Figure II.3).
Entrée e (t-τ)
Sortie s (t- τ)
Système
Fig. II.3
2.2. Systèmes linéaires :
- Au sens mathématique :
t →
)(tf
f
(
λλλ
t
1
1
2
=
+
)
t
tf
)(
+
λ
2
tf
)(
Linéarité mathématique :
• Principe de superposition
e1(t)
S.L.
e2(t)
S.L.
• Principe de proportionnalité
e1(t) +e2(t)
S.L.
s1(t) + s2(t)
s1(t)
s2(t)
Fig. II.4 : Principe de superposition
e(t)
S.L.
s(t)
ke(t)
ks(t)
S.L.
Fig. II.5 : Principe de proportionnalité.
- Invariance temporelle :
te
(
(
te
→−
τ
)
→+
τ
)
LS
.
.
.
LS
.
−→
ts
(
+→
(
ts
τ
)
τ
)
ISET NABEUL
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- Au sens physique :
Niveau : 2
Une fonction est linéaire au sens physique si elle est linéaire au sens mathématique, plus
l’invariance temporelle.
Exemple : circuit R, L, C.
2.3. Représentation de SLCI :
On considère un système physique représenté par son schéma bloc. Ce système est linéaire
lorsqu’il est décrit par une équation différentielle à coefficients constants.
tsa
)(
0
+
a
1
tds
)(
dt
+
a
2
tsd
)(
2
dt
2
++
...
a
n
)(
tsd
n
dt
n
=
)(
teb
0
+
b
1
)(
tde
dt
+
b
2
)(
ted
2
dt
2
++
...
b
m
)(
ted
m
dt
m
Pour les systèmes réels il faut que m<n
Exemples
1) circuit électrique :
te
)(
te
)(
=
=
tiR
)(
+
ts
)(
RC
tds
)(
dt
+
ts
)(
: Système linéaire (S.L.)
e(t)
i
R
i
C
vc(t)
Fig. II.6: Circuit RC
2) système mécanique
Fe
=
Kx
+
dxM
dt
+
f
xd
2
dt
2
: Système linéaire (S.L.)
M
K
x
Fig. II.7: Système mécanique.
3) système électromécanique :
i
=
C
M
C
r
+
f
θ
d
dt
+
J
θ
2
d
2
dt
u(t)
M
J
ω Charge
f
Fig. II.7: Système électromécanique.
3. Résolution des équations différentielles
Pour résoudre une équation différentielle on utilise :
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Méthode classique
Equation différentielle :
Equation différentielle sans second membre : réponse équation libre s1(t)
Solution particulière : réponse forcée s2(t)
s(t) = s1(t) + s2(t).
Solution homogène : On pose e(t) = 0, on pose aussi
)( =
tde
Publicité
dt
0
Solution particulière : on pose s(t) de la même manière que e(t).
Méthode de la transformée de Laplace
Cette méthode est la plus simple et la plus utilisée.
4. Transformée de Laplace :
4.1. Définition
La transformée de Laplace de la fonction f(t) telle que f(t) = 0 pour t<0 est :
[
tfTL
)(
]
=
pF
)(
=
∞
0
etf
)'
−
pt
dt
Cette transformation permet de passer du domaine temporel au domaine de Laplace.
4.2. Propriétés et théorèmes :
Théorème de la valeur initiale
Théorème de la valeur finale
Théorème du retard temporel
Théorème de l’avance
Linéarité
Dérivation
Sans conditions initiales
L’intégration
Propriétés et théorèmes
=
=
tf
lim)(
∞→
p
ppF
)(
lim
→
0
t
+
f
+
)0(
ppF
)(
=
+∞
(
f
)
pτ
pFe
)(
−=
]
=
fa
2
2
(
pF
]
=
∞+
)
=
lim)(
tf
→
p
0
]
−
τ
)
t
−∞
lim
+∞→
t
[
tfTL
(
[
eTL
[
faTL
11
[
fTL
[
fTL
TL
n
n
0
t
t
)(
t
)(
tf
)(
=
+
]
]
=
)(
tf
dt
n
pFp
)(
n
pFp
)(
=
)(
pF
p
pFa
)(
1
1
−
−
)1
n
(
p
+
pFa
)(
2
2
−
n
(
p
f
+
)0(
−
)2
f
+
)0(
1
−−
...
f
n
−
+
)0(
1
Tab.2.1
Exemple : Circuit RC (voir figure 2.6)
tiR
)(
te
)(
ts
)(
=
+
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te
)(
=
pE
)(
pE
)(
=
=
CR
+
tds
)(
dt
pSpRC
)(
+
pRC
(
ts
)(
+
pS
)(
pS
)()1
Application :
Donner :
- équation différentielle,
- entrée temporelle,
- condition initiale nulle
- Objectif :
Recherche de la réponse temporelle du système.
- Démarche :
- calcul de la fonction de transfert H(p)
- calcul de l’entrée dans le domaine de Laplace E(p)
- calcul de la sortie dans le domaine de Laplace Y(p)
- calcul de la sortie temporelle en appliquant la transformée de Laplace inverse y(t)
5. Fonction de Transfert
5.1. Définition
Soit le système décrit par l’équation différentielle suivante :
Entrée e(t)
Système
Sortie s(t)
a
n
n
)(
tsd
n
dt
++
...
a
2
2
)(
tsd
2
dt
+
a
1
)(
tds
dt
+
)(
tsa
0
=
b
m
Fig.2.9
m
)(
tsd
m
dt
++
...
b
2
2
)(
ted
2
dt
+
b
1
tde
)(
dt
+
teb
)(
0
La transformée de Laplace (si les conditions initiales sont nulles)
n
pSpa
Publicité
(
n
++
...
)
2
pSpa
(
2
+
)
pSa
1
(
p
)
+
(
pSa
0
)
=
m
pEpb
m
(
)
++
...
2
pEpb
2
(
)
+
pEb
1
(
p
)
+
(
pEb
0
)
n
(
pa
n
++
...
2
+
pa
2
+
pSapa
0
1
()
=
)
m
pb
(
m
++
...
pb
2
2
+
+
pEbpb
1
0
(
)
)
pS
(
)
(
pE
)
=
m
n
pb
m
pa
n
++
...
++
...
2
pb
2
2
pa
2
+
+
+
bpb
1
0
+
apa
1
0
=
pH
(
)
L’équation de transfert est dite aussi équation d’isomorphe qui est définit par le quotient des grandeurs
de sortie et d’entrée :
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(
pH
)
=
(
pN
(
pD
)
)
=
m
n
pb
m
pa
n
++
...
++
...
2
pb
2
2
pa
2
+
+
+
bpb
1
0
+
apa
1
0
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Remarque : La fonction de transfert caractérise la dynamique du système. Dans un système physique
réel le degré de D(p), n, est supérieur au degré de N(p), m.
5.2. Equation caractéristique :
pD
(
)
=
n
pa
n
++
...
pa
2
2
+
+
apa
1
0
Les solutions de l’équation caractéristique D(p) = 0 sont appelées les racines ou les pôles du
système.
Les solutions de l’équation N(p) = 0 sont appelées les zéros du système.
*
=pD
(
)
0
⇔
n
pa
n
++
...
pa
2
−
p
p
2
+
−
1
n
+
apa
1
−
)...(
p
0
p
=
)
0
0
=
0
⇔
⇔
−
n
)(
(
p
p
n
−∏
(
p
=
)
0
ip
*
=pN
)
(
0
++
...
=
m
i
0
pb
m
−
)(
(
p
z
m
−∏
(
p
m
p
⇔
⇔
⇔
=
)
0
jz
2
pb
2
−
z
m
−
1
+
+
bpb
0
1
)...(
z
−
p
)
0
=
Publicité
0
=
0
(
pH
)
=
=
0
j
m
∏
=
0
j
−
(
p
z
j
)
=
0
n
∏
=
i
0
−
(
p
p
i
)
m
∏
=
0
j
n
∏
=
0
i
−
(
p
z
)
j
−
(
p
p
i
)
(
)
pS
pE
(
)
=
Remarques
pS
(
)
=
m
∏
=
0
j
n
∏
=
0
i
−
(
p
z
)
j
−
(
p
p
i
)
pE
(
)
Les « pi » peuvent être des réels ou des complexes ;
Si les « pi » sont réels différents
)(
ts
=
n
=
0
i
tp
ieC
i
lim
)(
ts
=
iml
n
=
i
0
tp
ieC
i
• Si les pi <0 s(t) 0 si t +∞ : système stable.
• Si les pi >0 s(t) +∞ si t +∞ : système instable.
5.3. Théorème
Un système est dit stable si les parties réelles de ces pôles sont à partie réelle négatives.
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5.4. Equation caractéristique d’un système de premier ordre :
Un système est dit de 1er ordre s’il est décrit par une équation différentielle de type :
dy
+τ
dt
ty
)(
=
tke
)(
τ
pY
(
p
)
+
pY
(
)
=
kE
(
p
)
(
pH
)
=
(
)
pY
pE
(
)
=
k
τ+
p
1
K : gain statique
τ: constante du temps.
5.5. Equation caractéristique d’un système de second ordre :
Un système est dit de second ordre s’il est décrit par une équation différentielle de second ordre.
2
)(
tsd
2
dt
+
2
m
ω
0
)(
tds
dt
+
ω
2
0
ts
)(
=
ω
2
k
0
te
)(
k : gain statique
k
∞=
s
(
e
(/)
∞
)
m : coefficient d’amortissement
ω : pulsation propre (naturelle).
0
2
p
(
pS
+
2)
m
ω
0
(p
pS
)
+
ω
2
0
(
pS
)
=
ω
2
k
0
(E
p
)
pS
(
)
(
pE
)
=
H(p)
=
2
kω
0
2
ωpmω
0
0
+
2
p
+
2
H(p)
=
2
p
+
2
ω
2
k
0
m
+
ωω
2
p
0
0
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