École Supérieure Privée d’Ingénierie et de Technologies
Probabilité I
Corrigé de l’exercice №2 - Série d’exercices №4 :
Vecteurs gaussiens
Niveau : 4ème année D.S & INFINI
Année universitaire : 2020-2021
Exercice 2 :
Soit X = (X1, X2, X3) un vecteur gaussien centré de matrice de covariance :
Σ =
3 1 0
1 2 0
0 0 1
1. Déterminer la loi du couple (X1, X2).
2. Montrer que la v.a. X3 est indépendante de X1 et de X2.
Solution :
1. Déterminer la loi du couple (X1, X2).
On remarque que le couple
(cid:19)
(cid:18) X1
X2
est une transformation affine du vecteur X car :
avec
Publicité
(cid:19)
(cid:18) X1
X2
= A ×
X1
X2
X3
A =
(cid:18) 1 0 0
0 1 0
(cid:19)
Et comme X =
X1
X2
X3
∼ N3(m, Σ), alors la caractérisation d’une transformation affine
d’un vecteur gaussien nous permet de déduire que :
(cid:19)
(cid:18) X1
Publicité
X2
∼ N2(b, ˜Σ)
1
où b est le vecteur moyenne donné par :
b = A × m =
(cid:18) 1 0 0
0 1 0
(cid:19)
0
0
0
=
(cid:18) 0
0
(cid:19)
.
et ˜Σ est la matrice de covariance donnée par :
˜Σ = A Σ At =
(cid:18) 1 0 0
0 1 0
(cid:19)
Publicité
3 1 0
1 2 0
0 0 1
1 0
0 1
0 0
=
(cid:19)
(cid:18) 3 1
1 2
2. Montrer que la v.a. X3 est indépendante de X1 et de X2.
— Par le même principe que de la première question le couple (X1, X3) est aussi un couple
gaussien.
De plus, d’après la matrice de covariance Σ, on a :
Cov(X1, X3) = 0
Donc les v.a. X1 et X3 sont non corrélées. Ceci implique qu’elles sont indépendantes.
— De la même manière, on montrera également que les v.a X2 et X3 sont indépendantes.
2