´Ecole Sup´erieure Priv´ee d’Ing´enierie et de Technologies
Probabilit´e I
Corrig´e de l’exercice №2 - S´erie d’exercices №4 :
Vecteurs gaussiens
Niveau : 4`eme ann´ee D.S & INFINI
Ann´ee universitaire : 2020-2021
Exercice 2 :
Soit X = (X1, X2, X3) un vecteur gaussien centr´e de matrice de covariance :
Σ =
3 1 0
1 2 0
0 0 1
1. D´eterminer la loi du couple (X1, X2).
2. Montrer que la v.a. X3 est ind´ependante de X1 et de X2.
Solution :
1. D´eterminer la loi du couple (X1, X2).
On remarque que le couple
Publicité
(cid:19)
(cid:18) X1
X2
est une transformation affine du vecteur X car :
avec
(cid:19)
(cid:18) X1
X2
= A ×
X1
X2
X3
A =
(cid:18) 1 0 0
0 1 0
(cid:19)
Et comme X =
Publicité
X1
X2
X3
∼ N3(m, Σ), alors la caract´erisation d’une transformation affine
d’un vecteur gaussien nous permet de d´eduire que :
(cid:19)
(cid:18) X1
X2
∼ N2(b, ˜Σ)
1
o`u b est le vecteur moyenne donn´e par :
b = A × m =
(cid:18) 1 0 0
0 1 0
(cid:19)
0
Publicité
0
0
=
(cid:18) 0
0
(cid:19)
.
et ˜Σ est la matrice de covariance donn´ee par :
˜Σ = A Σ At =
(cid:18) 1 0 0
0 1 0
(cid:19)
3 1 0
1 2 0
0 0 1
Publicité
1 0
0 1
0 0
=
(cid:19)
(cid:18) 3 1
1 2
2. Montrer que la v.a. X3 est ind´ependante de X1 et de X2.
— Par le mˆeme principe que de la premi`ere question le couple (X1, X3) est aussi un couple
gaussien.
De plus, d’apr`es la matrice de covariance Σ, on a :
Cov(X1, X3) = 0
Donc les v.a. X1 et X3 sont non corr´el´ees. Ceci implique qu’elles sont ind´ependantes.
— De la mˆeme mani`ere, on montrera ´egalement que les v.a X2 et X3 sont ind´ependantes.
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