´Ecole Sup´erieure Priv´ee d’Ing´enierie et de Technologies
Probabilit´e I
Corrig´e de l’exercice №1 - S´erie d’exercices №4 :
Vecteurs gaussiens
Niveau : 4`eme ann´ee D.S & INFINI
Ann´ee universitaire : 2020-2021
Exercice 1 :
Soit X = (X1, X2) un vecteur gaussien centr´e. On donne E[X 2
1 ] = a, E[X1X2] = b et E[X 2
2 ] = c,
avec a, b, c ∈ R.
1. D´eterminer la matrice de covariance Σ de X.
2. Calculer la fonction caract´eristique φX de X.
3. Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur (a, b, c) ∈ R3 pour que X poss`ede une
densit´e fX , puis d´eterminer cette densit´e.
Solution :
1. D´eterminer la matrice de covariance Σ de X .
Le vecteur X est centr´e, ceci implique que son vecteur moyenne est :
m =
(cid:18) E[X1]
E[X2]
(cid:19)
(cid:18) 0
0
=
(cid:19)
De plus, on a :
Cov(X1, X2) = E[X1X2] − E[X1] E[X2] = E[X1X2] = b
V[X1] = E[X 2
V[X2] = E[X 2
1 ] − E[X1]2 = a
2 ] − E[X0]2 = a
Publicité
Donc la matrice de covariance de X est donn´ee par :
Σ =
(cid:19)
(cid:18) a b
c
b
2. Calculer la fonction caract´erestique φX de X.
1
La fonction caract´eristique φX du vecteur X est d´efinie pour u = (u1, u2) ∈ R2 par :
φX (u) = eiut.m e
−1
2 ut.Σ.u
= e
−1
2 ut.Σ.u
(cid:32)
= exp
−
(cid:18) u1
u2
1
2
(cid:18)
= exp
−
(cid:18)
= exp
−
1
2
1
2
Publicité
(cid:19)(cid:33)
(cid:19) (cid:18) u1
u2
(cid:19)t (cid:18) a b
c
b
(cid:19) (cid:18) u1
(cid:18) a b
u2
c
b
(cid:19)(cid:19)
(u1 u2)
(a u2
1 + 2b u1u2 + c u2
2)
(cid:19)
3. Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur (a, b, c) ∈ R3 pour que X poss`ede une
densit´e fX , puis d´eterminer cette densit´e.
Le vecteur gaussien X poss`ede une densit´e fX si sa matrice de covariance Σ est inversible,
autrement dit :
det(Σ) = ac − b2 (cid:54)= 0
Dans ce cas, cette densit´e est donn´ee pour tout x = (x1, x2) ∈ R2 par :
fX (x) = f(X1,X2)(x1, x2) = (
1
√
2π
)d
1
(cid:112)det(Σ)
e− 1
2 (x−m)tΣ−1(x−m)
Publicité
= (
1
√
2π
)2
√
1
ac − b2
(cid:32)
exp
−
(cid:18) x1 − m1
x2 − m2
1
2
(cid:19)(cid:33)
(cid:19)t (cid:18) a b
c
b
(cid:18) c −b
a
−b
(cid:19)−1 (cid:18) x1 − m1
x2 − m2
(cid:19)(cid:19)
(cid:19) (cid:18) x1
x2
=
=
√
√
1
Publicité
ac − b2
1
ac − b2
2π
2π
(cid:18)
exp
−
(cid:18)
exp
−
1
2
(x1 x2)
1
(ac − b2)
1
2(ac − b2)
(cx2
1 − 2bx1x2 + ax2
2)
(cid:19)
———————————————————
Remarque : L’une des m´ethodes du calcul de l’inverse d’une matrice carr´ee d’ordre n est la m´ethode
de la comatrice donn´ee par :
A−1 =
———————————————————-
1
det(A)
com(A)t
2