École Supérieure Privée d’Ingénierie et de Technologies
Probabilité I
Corrigé de l’exercice №1 - Série d’exercices №4 :
Vecteurs gaussiens
Niveau : 4ème année D.S & INFINI
Année universitaire : 2020-2021
Exercice 1 :
Soit X = (X1, X2) un vecteur gaussien centré. On donne E[X 2
1 ] = a, E[X1X2] = b et E[X 2
2 ] = c,
avec a, b, c ∈ R.
1. Déterminer la matrice de covariance Σ de X.
2. Calculer la fonction caractéristique φX de X.
3. Donner une condition nécessaire et suffisante sur (a, b, c) ∈ R3 pour que X possède une
densité fX , puis déterminer cette densité.
Solution :
1. Déterminer la matrice de covariance Σ de X .
Le vecteur X est centré, ceci implique que son vecteur moyenne est :
m =
(cid:18) E[X1]
E[X2]
(cid:19)
(cid:18) 0
0
=
(cid:19)
De plus, on a :
Cov(X1, X2) = E[X1X2] − E[X1] E[X2] = E[X1X2] = b
V[X1] = E[X 2
V[X2] = E[X 2
1 ] − E[X1]2 = a
2 ] − E[X0]2 = a
Donc la matrice de covariance de X est donnée par :
Σ =
(cid:19)
(cid:18) a b
c
b
2. Calculer la fonction caractérestique φX de X.
1
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La fonction caractéristique φX du vecteur X est définie pour u = (u1, u2) ∈ R2 par :
φX (u) = eiut.m e
−1
2 ut.Σ.u
= e
−1
2 ut.Σ.u
(cid:32)
= exp
−
(cid:18) u1
u2
1
2
(cid:18)
= exp
−
(cid:18)
= exp
−
1
2
1
2
(cid:19)(cid:33)
(cid:19) (cid:18) u1
u2
(cid:19)t (cid:18) a b
c
b
(cid:19) (cid:18) u1
(cid:18) a b
u2
c
b
(cid:19)(cid:19)
(u1 u2)
(a u2
1 + 2b u1u2 + c u2
2)
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(cid:19)
3. Donner une condition nécessaire et suffisante sur (a, b, c) ∈ R3 pour que X possède une
densité fX , puis déterminer cette densité.
Le vecteur gaussien X possède une densité fX si sa matrice de covariance Σ est inversible,
autrement dit :
det(Σ) = ac − b2 (cid:54)= 0
Dans ce cas, cette densité est donnée pour tout x = (x1, x2) ∈ R2 par :
fX (x) = f(X1,X2)(x1, x2) = (
1
√
2π
)d
1
(cid:112)det(Σ)
e− 1
2 (x−m)tΣ−1(x−m)
= (
1
√
2π
)2
√
1
ac − b2
(cid:32)
exp
−
(cid:18) x1 − m1
x2 − m2
1
2
(cid:19)(cid:33)
(cid:19)t (cid:18) a b
c
b
(cid:18) c −b
a
−b
(cid:19)−1 (cid:18) x1 − m1
x2 − m2
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(cid:19)(cid:19)
(cid:19) (cid:18) x1
x2
=
=
√
√
1
ac − b2
1
ac − b2
2π
2π
(cid:18)
exp
−
(cid:18)
exp
−
1
2
(x1 x2)
1
(ac − b2)
1
2(ac − b2)
(cx2
1 − 2bx1x2 + ax2
2)
(cid:19)
———————————————————
Remarque : L’une des méthodes du calcul de l’inverse d’une matrice carrée d’ordre n est la méthode
de la comatrice donnée par :
A−1 =
———————————————————-
1
det(A)
com(A)t
2