(cid:19)Ecole Nationale
des Sciences de
l’Informatique
2014-2015
II.1
Corrig(cid:19)e D.S
Probabilit(cid:19)es Appliqu(cid:19)ees
Nombre de pages: 2
Documents: Non Autorisés
Enseignants: L.Saidane; M.Bellalouna; L.Horchani
Date: 10/11/2014
Dur(cid:19)ee: 2H
Exercice 1:(5 pts)
Dans un cybercafé les ordinateurs peuvent être infectés soit par un cheval de Troie C, soit
par un Boot B. La probabilité d’une infection par un cheval de Troie est 15%. La probabilité
d’infection par un boot est 8%. La probabilité d’infection par un Boot quand on a une infection
par un cheval de Troie est égale à 4%.
1. Traduire les hypothèses: P (C) = 0:15; P (B) = 0:08; P (B=C) = 0:04
On choisit un ordinateur au hasard de ce cybercafé.
2. Quelle est la probabilité que l’ordinateur choisi ait une infection simultanée par un cheval
de Troie et un Boot ?
On cherche: P (C ∩ B) = P (B=C):P (C) = 0:006
3. Quelle est la probabilité que l’ordinateur choisi soit non infecté ?
On cherche: P (C ∩ B) = 1 − P (C ∪ B) = 1 − (P (B) + P (C) − P (B ∩ C)) = 0:87
4. Quelle est la probabilité que l’ordinateur choisi soit infecté seulement par un cheval de
Troie ?
On cherche: P (C ∩ B) = P (C) − P (C ∩ B) = 0:144
5. Quelle est la probabilité que l’ordinateur choisi soit infecté par un Boot sachant qu’il
n’est pas infecté par un cheval de Troie ?
On cherche: P (B=C) = P (B)(cid:0)P (B\C)
≃ 0:087
1(cid:0)P (c)
Exercice 2:(5 pts)
Un enfant a absorbé accidentellement et au hasard l’un ou l’autre exclusivement de trois
médicaments dangereux A, B et C. Il y avait à sa portée 3 boˆıtes de A, 1 boˆıte de B et 2 boˆıtes
de C.
1. Quelle est la probabilité qu’il ait pris A ? P (A) = 2
3
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2. Pour un enfant présentant des troubles, ces troubles sont dus au médicament A dans
50% des cas , au médicament B dans 75% des cas et au médicament C 20% des cas.
1
(a) Traduire ces hypothèses :p(T =A) = 0:5, p(T =B) = 0:75 et p(T =C) = 0:20
(b) Quelle est la probabilité qu’il ait pris A ?
Nous cherchons :p(A/T) ?
p(A=T ) =
p(T =A)p(A)
p(T =A)p(A) + p(T =B)p(B) + p(T =C)p(C)
t 0:56
3. La probabilité de survie est de 10% si l’on a pris A, 80% si l’on a pris B et 90% si l’on a
pris C.
(a) Traduire ces hypothèses:(S=A) = 0:1, p(S=B) = 0:8 et p(T =C) = 0:9 .
(b) Quelle est la probabilité de survie de l’enfant ? Nous cherchons :p(S) ?
p(S) = p(S=A)p(A) + p(S=B)p(B) + p(S=C)p(C) t 0:483
Exercice 3:(5 pts)
Une entreprise est équipée d’un systeme d’alerte contre l’incendie. L’installateur du systeme
assure qu’en cas de début d’incendie, l’alerte sera donnée avec une probabilité de 0; 99. Mais il
faut noter que, même sans aucun danger, l’alarme peut tout de même se déclencher, donnant
lieu a une fausse alerte, avec une probabilité évaluée a 0; 007. La compagnie d’assurances de
l’entreprise considere qu’un incendie peut se déclencher avec une probabilité égale a 0; 001.
On notera les événements I : ” Il y a un incendie ” et A : ” L’alerte se déclenche ”.
1. Quels sont les différents systèmes complets d’événements ?
(I; I);
(A; A)
2. Traduire les hypothèse:
P (A=I) = 0:99; P (A=I) = 0:007; P (I) = 0:001
3. Quelle est la probabilité que l’alarme se déclenche ?
P (A) = P (A=I)P (I) + P (A=I)P (I) = P (A=I)P (I) + P (A=I)(1 − P (I)) ≃ 0:0079
4. Si le système se déclenche, quelle est la probabilité que ce soit une fausse alerte ?
P (I=A) =
P (A=I)P (I)
P (A)
≃ 0:885
5. Quelle est votre conclusion quant a la fiabilité de ce systeme.
Le système n’est pas fiable vue que l’alarme se déclenche souvent pour de fausses alertes!
Exercice 4:(5 pts)
Soit (Ω; (cid:28); P ) un espace probabilisé et soient A1; : : : ; An des événements.
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1. Montrer que P (A1 ∪ A2) = P (A1) + P (A2) − P (A1 ∩ A2).
A1 ∪ A2 = (A1 ∩ A2) ∪ (A1 ∩ A2) ∪ (A1 ∩ A2)
⇒ P (A1 ∪ A2) = P (A1 ∩ A2) + P (A1 ∩ A2) + P (A1 ∩ A2)
⇒ P (A1 ∪ A2) = P (A1 ∩ A2) + [P (A1) − P (A1 ∩ A2)] + [P (A2) − P (A1 ∩ A2)]
⇒ P (A1 ∪ A2) = P (A1) + P (A2) − P (A1 ∩ A2)
2
2. Étant donnée la formule de Poincaré :
n∪
n∑
P (
Ai) =
i=1
k=1
(
(−1)k+1
)
P (Ai1
∩ · · · ∩ Aik)
∑
i1<i2<(cid:1)(cid:1)(cid:1)<ik
Montrer cette formule pour n = 3. Voir TD!
3. Pour fêter leur réussite à un concours, n étudiants se donnent rendez-vous dans un chalet.
En entrant chaque personne dépose sa veste dans un vestiaire. Au petit matin, quand
les esprits ne sont plus clairs, chacun prend au hasard une veste.
(a) Déterminer Ω, déduire que card(Ω) = n!.
L’espace d’état Ω est l’ensemble des permutations de {1; : : : ; n}, la probabilité sur
cet espace est la probabilité uniforme.⇒ |Ω| = n!
(b) Soit Ai l’événement :”L’étudiant i a sa propre veste”. Calculer
i. P (Ai) = (n(cid:0)1)!
ii. P (Ai ∩ Aj) = (n(cid:0)2)!
n!
n!
(c) Quelle est la probabilité pour qu’une personne au moins ait sa propre veste ?
n∪
On cherche P (
Ai) d’après la formule de Poincaré, on a :
i=1
n∪
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n∑
P (
Ai) =
i=1
k=1
(
(−1)k+1
∑
)
P (Ai1
∩ · · · ∩ Aik)
n∪
n∑
P (
Ai) =
i=1
k=1
i1<i2<(cid:1)(cid:1)(cid:1)<ik
(
(−1)k+1C k
n
)
(n − k)!
n!
)
(
(−1)k+1 1
k!
n∪
n∑
P (
Ai) =
i=1
k=1
3