Classification Automatique de Fromages

Classification ascendante hiérarchique Découpage en classes – Matérialisation des groupes

#matérialisation des 4 classes (hauteur t = 7) plt.title('CAH avec matérialisation des 4 classes') dendrogram(Z,labels=fromage.index,orientation='left',color_threshold=7) plt.show()

#découpage à la hauteur t = 7 ==> identifiants de 4 groupes obtenus groupes_cah = fcluster(Z,t=7,criterion='distance') print(groupes_cah)

#index triés des groupes import numpy as np idg = np.argsort(groupes_cah)

#affichage des observations et leurs groupes print(pandas.DataFrame(fromage.index[idg],groupes_cah[idg]))

Le 1er groupe est constitué de fromages frais. Le 2nd de fromages à pâte molle. Le 3ème de fromages « durs ». Le 4ème est un peu fourre-tout (de mon point de vue).

Mes compétences en fromage s’arrêtent là (merci à Wikipédia). Pour une caractérisation à l’aide des variables de l’étude, il faut passer par des techniques statistiques univariées (simples à lire) ou multivariées (tenant compte des relations entre les variables).

R.R. – Université Lyon 2

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GroupeFromage1Yaourtlaitent.nat.1Fr.frais20nat.1Petitsuisse401Fr.frais40nat.2Fr.chevrepatemolle2Camembert2Chabichou2Chaource3Emmental3Parmesan3Beaufort3Comte4Pyrenees4PontlEveque4Rocquefort4SaintPaulin4Tome4Reblochon4CarredelEst4Maroilles4Vacherin4Edam4Coulomniers4Cheddar4Cantal4Bleu4Babybel4Morbier4Fr.fondu.45 Méthode des centres mobiles K-MEANS

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Groupes issus du clustering

Méthode des centres mobiles Utilisation du package « scikit-learn »

#k-means sur les données centrées et réduites from sklearn import cluster kmeans = cluster.KMeans(n_clusters=4) kmeans.fit(fromage_cr)

#index triés des groupes idk = np.argsort(kmeans.labels_)

#affichage des observations et leurs groupes print(pandas.DataFrame(fromage.index[idk],kmeans.labels_[idk]))

#distances aux centres de classes des observations print(kmeans.transform(fromage_cr))

#correspondance avec les groupes de la CAH pandas.crosstab(groupes_cah,kmeans.labels_)

Correspondance CAH – K-Means Le groupe 1 de la CAH coïncide avec le groupe 1 des K-Means. Après, il y a certes des correspondances, mais elles ne sont pas exactes.

Distances aux centres de classes pour chaque individu (avec en couleur les min. respectifs)

R.R. – Université Lyon 2

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Groupe0123CarredelEst2.225.535.222.92Babybel3.025.192.790.74Beaufort5.167.511.152.86Bleu3.246.123.902.11Camembert1.935.405.103.54Cantal4.026.302.201.19Chabichou1.785.934.533.39Chaource1.035.555.093.46Cheddar3.756.822.291.95Comte5.447.841.353.42Coulomniers1.964.844.752.49Edam4.236.131.342.25Emmental5.537.480.903.40Fr.chevrepatemolle3.105.017.095.54Fr.fondu.452.845.284.451.89Fr.frais20nat.5.330.687.616.00Fr.frais40nat.4.551.017.325.61Maroilles4.206.462.451.53Morbier3.476.062.500.65Parmesan5.237.942.113.60Petitsuisse404.381.217.135.40PontlEveque3.084.693.521.26Pyrenees3.285.712.810.71Reblochon2.745.312.940.81Rocquefort3.026.814.222.18SaintPaulin3.475.122.671.37Tome2.735.253.671.26Vacherin3.795.272.631.50Yaourtlaitent.nat.6.091.937.465.94ClasseFromages0CarredelEst0Camembert0Fr.chevrepatemolle0Chabichou0Chaource0Coulomniers1Petitsuisse401Fr.frais40nat.1Fr.frais20nat.1Yaourtlaitent.nat.2Parmesan2Edam2Emmental2Beaufort2Comte3Tome3SaintPaulin3Rocquefort3Reblochon3Pyrenees3PontlEveque3Cheddar3Morbier3Maroilles3Bleu3Vacherin3Cantal3Babybel3Fr.fondu.45 Méthode des centres mobiles Aide à la détection du nombre adéquat de groupes

K-MEANS, à la différence de la CAH, ne fournit pas d’outils d’aide à la détection du nombre de classes. Nous devons les programmer sous Python ou utiliser des procédures proposées par des packages dédiés. Le schéma est souvent le même : on fait varier le nombre de groupes et on surveille l’évolution d’un indicateur de qualité de la solution c.-à-d. l’aptitude des individus à être plus proches de ses congénères du même groupe que des individus des autres groupes.

Dans ce qui suit, on calcule la métrique « silhouette » pour différents nombres de groupes issus de la méthode des centres mobiles.

#librairie pour évaluation des partitions from sklearn import metrics

#utilisation de la métrique "silhouette" #faire varier le nombre de clusters de 2 à 10 res = np.arange(9,dtype="double") for k in np.arange(9):

km = cluster.KMeans(n_clusters=k+2) km.fit(fromage_cr) res[k] = metrics.silhouette_score(fromage_cr,km.labels_)

print(res)

#graphique import matplotlib.pyplot as plt plt.title("Silhouette") plt.xlabel("# of clusters") plt.plot(np.arange(2,11,1),res) plt.show()

La partition en k = 2 groupes semble la meilleure au sens de la métrique « silhouette ».

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Analyses univariées et multivariées INTERPRÉTATION DES CLASSES

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Interprétation des classes Statistiques comparatives

L’idée est de comparer les moyennes des variables actives conditionnellement aux groupes. Il est possible de quantifier globalement l’amplitude des écarts avec la proportion de variance expliquée (carré du rapport de corrélation). La démarche peut être étendue aux variables illustratives. Pour les catégorielles, nous confronterions les distributions conditionnelles.

L’approche est simple et les résultats faciles à lire. Rappelons cependant que nous ne tenons pas compte des liaisons entre les variables dans ce cas.

#moyenne par variable m = fromage.mean() #TSS TSS = fromage.shape[0]*fromage.var(ddof=0) print(TSS) #data.frame conditionnellement aux groupes gb = fromage.groupby(kmeans.labels_) #effectifs conditionnels nk = gb.size() print(nk) #moyennes conditionnelles mk = gb.mean() print(mk) #pour chaque groupe écart à la moyenne par variable EMk = (mk-m)**2 #pondéré par les effectifs du groupe EM = EMk.multiply(nk,axis=0) #somme des valeurs => BSS BSS = np.sum(EM,axis=0) print(BSS) #carré du rapport de corrélation #variance expliquée par l'appartenance aux groupes #pour chaque variable R2 = BSS/TSS print(R2)

Effec. Cond. 4 0 5 1 6 2 14 3

Carré Rapport de corr. calories sodium calcium lipides retinol folates proteines cholesterol magnesium

0.863799 0.599117 0.620108 0.851983 0.382815 0.760722 0.810316 0.797596 0.796207

La définition des groupes est – avant tout – dominée par les teneurs en graisses (lipides, cholestérol et calories relèvent de la même idée) et en protéines.

Le groupe n°0 est fortement déterminé par ces variables, les moyennes conditionnelles sont très différentes.

Moyennes conditionnelles

calories sodium calcium

lipides

retinol

folates

0 101.750000 44.750000 133.75 6.275000 55.150000 16.475000 1 377.200000 130.400000 278.98 29.460000 64.560000 3.120000 2 288.000000 252.916667 110.10 23.866667 95.866667 31.266667 3 334.285714 267.428571 199.70 27.500000 60.050000 7.728571

cholesterol

proteines 0 7.200000 18.250000 11.250000 1 29.120000 102.000000 45.400000 68.333333 21.666667 2 18.883333 83.571429 27.142857 3 21.228571

magnesium

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Interprétation des classes Analyse en composantes principales (ACP)

Avec l’ACP, nous tenons compte des liaisons entre les variables. L’analyse est plus riche. Mais il faut savoir lire correctement les sorties de l’ACP.

#ACP from sklearn.decomposition import PCA acp = PCA(n_components=2).fit_transform(fromage_cr)

#projeter dans le plan factoriel #avec un code couleur différent selon le groupe #remarquer le rôle de zip() dans la boucle for couleur,k in zip(['red','blue','lawngreen','aqua'],[0,1,2,3]):

plt.scatter(acp[kmeans.labels_==k,0],acp[kmeans.labels_==k,1],c=couleur)

plt.show()

Il y a un problème. Le groupe des fromages frais (n° de groupe = 0) écrase l’information disponible et tasse les autres fromages dans un bloc qui s’oriente différemment.

De fait, si l’on comprend bien la nature du groupe n°0 des fromages frais, les autres sont plus compliqués à comprendre lorsqu’ils sont replacés dans le premier plan factoriel.

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A la lumière des résultats de l’ACP COMPLÉTER L’ANALYSE

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Approfondir l’analyse Retirer les fromages frais du jeu de données

Les fromages frais sont tellement particuliers – éloignés de l’ensemble des autres observations – qu’ils masquent des relations intéressantes qui peuvent exister entre ces produits. Nous reprenons l’analyse en les excluant des traitements.

#retirer des observations le groupe n°0 du k-means précédent fromage_subset = fromage.iloc[kmeans.labels_!=0,:] print(fromage_subset.shape)

#centrer et réduire fromage_subset_cr = preprocessing.scale(fromage_subset)

#générer la matrice des liens Z_subset = linkage(fromage_subset_cr,method='ward',metric='euclidean')

#cah et affichage du dendrogramme plt.title("CAH") dendrogram(Z_subset,labels=fromage_subset.index,orientation='left',color_threshold=7) plt.show()

#groupes groupes_subset_cah = fcluster(Z_subset,t=7,criterion='distance') print(groupes_subset_cah)

3 groupes se distinguent. On a moins le phénomène d’écrasement constaté dans l’analyse précédente.

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Approfondir l’analyse Retirer les fromages frais du jeu de données (2/2)

#ACP acp_subset = PCA(n_components=2).fit_transform(fromage_subset_cr)

#projeter dans le plan factoriel #avec un code couleur selon le groupe #remarquer le rôle de zip() plt.figure(figsize=(10,10)) for couleur,k in zip(['blue','lawngreen','aqua'],[1,2,3]):

plt.scatter(acp_subset[groupes_subset_cah==k,0],acp_subset[groupes_subset_cah==k,1],c=couleur)

#mettre les labels des points #remarquer le rôle de enumerate() for i,label in enumerate(fromage_subset.index):

plt.annotate(label,(acp_subset[i,0],acp_subset[i,1]))

plt.show()

Les groupes sont constitués essentiellement sur le 1er facteur.

Quelques fromages ont changé de camp par rapport à l’analyse précédente.

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