Sciences Industrielles
TD 2 - Enoncé
Cinématique du solide
LE MANEGE MAGIC ARMS
1. Présentation générale
Avec le "Magic Arms", la société WAAGNER-BIRO a développé un nouveau manège
procurant aux passagers de nouvelles sensations. L'installation est composée d'une structure
métallique d'environ 12 m de haut avec 2 bras mobiles et une nacelle regroupant 39
sièges(figures 1 & 2).
Figure 1 : Le Magic Arms en action
Dès que les passagers sont assis et
attachés, le bras principal 1 et le
bras pivot 2, liés l'un à l'autre au
début du cycle, commencent à
tourner. En même temps la nacelle
3 tourne autour de son axe.
Après 9 secondes, le maximum de
hauteur est atteint et les deux bras
se désindexent et se mettent à
tourner indépendamment l'un de
l'autre. Tous les mouvements sont
pilotés par un ordinateur.
Figure 2 : Schéma du Magic Arms
Cette installation permet une combinaison de mouvements entièrement nouvelle incluant
des mouvements combinés dans les trois dimensions
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TD 2 - Enoncé
2. Étude proposée
Cinématique du solide
L'étude proposée s'intéresse particulièrement au passager le plus sollicité. Il s'agit de
calculer l'accélération subie par ce denier situé au point P.
Le schéma donné ci dessous modélise le comportement cinématique du manège. Le
paramétrage utilisé est donné sur le schéma cinématique.
y =
2
y
3
3l
P
0y
3O
1x
L
0x
3z
2l
2O
z =
1
z
2
1O
z =
0
z
1
Figure 3 : Le Manège "Magic Arms"
1l
L
e
p
a
r
a
m
é
t
r
a
g
e
Question 1 :
Exprimer les vecteurs
base correspondants.
1OO
,
2OO
3
et
PO 3
2
en fonction de
L,l,l,l
1
2
3
et des vecteurs de
Question 2 :
Les variables articulaires sont notées
passer de la base
iB à la base
jB .
θ . Elles indiquent l'angle de rotation qui permet de
ij
Tracer les figures de calcul et exprimer les vecteurs taux de rotation
Ωr
)S/S(
j
i
en fonction
des dérivées des variables articulaires
θ&
ij
.
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TD 2 - Enoncé
Cinématique du solide
Question 3 :
Exprimer les vecteurs taux de rotation absolus
Ωr
variables articulaires
θ&
ij
.
)S/S(
0
i
en fonction des dérivées des
Question 4 :
Montrer que le vecteur vitesse du passager par rapport au repère
0R , noté
θ
θ+
&
r
s'écrit
y
1
La méthode de calcul est laissée à l'initiative du candidat.
r
)R/S,P(V
0
3
θ+θ
&
&
θ+θ
&
&
θ=
l
&
1
sin)
(l
2
r
x)
[
(
r
y
+
−
12
12
01
01
23
01
l
2
2
3
r
)R/S,P(V
3
0
r
x
]
.
23
3
,
Question 5 :
Déterminer le vecteur accélération du passager par rapport au repère
0R , noté
. Vous exprimerez ce résultat dans la base
Γr
)R/S,P(
3
0
2B .
en considérant que
=θ&
ij
Cons
tan
te
Question 6 :
En considérant que les vitesses articulaires sont données sur la figure 4, déterminer les
temps pour
variables articulaires correspondantes
,
=
θ
=
t ∈
. On prendra
,0)0
en fonction du
t(
et
12
=
,0)0
]s27,s17
[
θ
23
θ
=
0)0
01
t(
t(
=
=
θ
θ
θ
.
01
12
23
94.0
rad
s/
84.0
rad
s/
θ&
12
θ&
01
0
9
17
27
36
628.0
-
rad
s/
.0
628
rad
s/
θ&
23
Temps
en
sec
ondes
Figure 4 : Vitesses articulaires du manège
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TD 2 - Corrigé
Cinématique du solide
TD2 : LE MANEGE MAGIC ARMS
Eléments de correction
Le paramétrage utilisé est donné sur le schéma cinématique suivant :
y =
2
y
3
3l
P
0y
3O
1x
L
0x
3z
2l
2O
z =
1
z
2
1O
z =
0
z
1
Le Manège "Magic Arms"
OO
2
3
r=
yl
2
2
r=
zlPO
33
3
Question 1 : On obtient :
r +
xl
11
OO
1
r
zL
=
2
1
Question 2 :
Tracer les figures de calcul et exprimer les vecteurs taux de rotation
Ωr
)S/S(
j
i
en fonction
des dérivées des variables articulaires
θ&
ij
.
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1l
L
e
p
a
r
a
m
é
t
r
a
g
e
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TD 2 - Corrigé
Cinématique du solide
y1
y0
z0=z1
y2
y1
θ01
x1
Publicité
x0
z1=z2
θ12
x2
x1
r
Ω
)0/1(
θ=
r&
01z
0
r
Ω
)1/2(
θ=
r&
12z
0
x3
x2
r
Ω
)2/3(
θ=
&
r
23y
2
y3=y2
Figures de calcul
z3
z2
θ23
Question 3 : On trouve bien sûr :
r
Ω
r
Ω
r
Ω
1
)R/S(
0
)R/S(
0
)R/S(
0
2
3
=
=
=
(
0
r
θ
&
z
01
θ−θ
&
&
12
01
r
θ
&
y
23
2
r
z)
0
Question 4 :
En cinématique du point :
r
)R/S,P(V
3
0
=
=
=
=
l
θ
&
1
l
1
r
)R/S,P(V
3
0
r
y
01
θ
&
1
r
y
01
1
r
r
=
=
−
r
)R/P(V)R/P(V)R/P(V
0
r
xd
+
1
dt
+
∧
r
yd
2
dt
0
[
θ+θ
&
&
l
(
01
3
12
θ+θ
sin)
&
&
0
POd
1
dt
0
θ+θ
&
&
(l
2
−
(l
2
3
+
r
y
+
12
01
θ+θ
&
&
r
z)
+
[
(
1
r
x)
2
l
01
12
12
01
l
l
2
3
0
2
1
SPcar
l
3
3
∈
r
zd
3
dt
θ+
&
r
y
2
r
z)
1
θ
23
r
y
2
23
θ+
&
]
23
∧
r
x
3
r
z
]
3
r
)R/S,P(V
3
0
θ=
l
&
1
01
r
y
1
−
(l
2
θ+θ
&
&
01
12
r
x)
2
+
l
3
[
(
θ+θ
&
&
01
12
sin)
θ
23
r
y
2
θ+
&
r
x
3
23
]
En cinématique du solide :
r
)R/S,P(V
3
0
=
=
r
)S/S,O(V
2
3
3
r
)R/S,P(V
3
0
−=
r
zl
33
θ∧
&
r
y
2
23
−+
r
r
+
+
PO
r
)S/S,P(V)S/S,P(V)S/S,P(V
2
2
0
3
r
r
+
Ω∧
+
PO
)S/S,O(V)S/S(
2
1
2
r
+
Ω∧
PO
)S/S(
1
0
r
r
r
−+
z
yl
zl(
33
2
3
2
r
)S/S,O(V
1
1
0
r
r
θ∧
&
)yl
zl(
Publicité
33
2
2
1
+
1
−
−
−
12
1
2
1
3
2
r
zL
r
Ω∧
)S/S(
1
2
+
−
r
)xl
11
θ∧
&
r
z
1
01
1
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TD 2 - Corrigé
Cinématique du solide
soit finalement le même résultat que précédemment :
r
)R/S,P(V
0
3
θ=
l
&
3
23
r
x
3
θ+
l
&
3
12
sin
θ
23
r
y
2
θ−
l
&
2
12
r
x
2
θ+
l
&
3
01
sin
θ
23
r
y
2
θ−
l
&
2
01
r
x
2
θ+
l
&
1
01
r
y
1
θ
&&
l
3
23
r
x
3
θ+
&
l
3
(l
3
θ+θ
&
&
12
01
sin)
θ
&&
l
3
23
r
x
3
(l
3
θ+θ
&
&
12
(l
3
θ+θ
&
&
12
01
01
r
Γ
0
3
2
3
0
r
23
01
12
23
12
23
12
01
θ
θ
−
+
∧
r
y
r
x)
(l
3
(l
3
(l
2
sin)
r
Ω+
θ+θ
&&
&&
θ+θ
&&
&&
−
r
Γ+
)R/P(V)R/S(2)R/P(
)R/P(
3
0
r
xd
+
3
dt
r
yd
2
dt
r
xd
3
dt
r
x
23
θ
&&
23
r
x
2
23
θ+θ
&&
&&
r
θ+θ
&&
&&
x)
(l
2
2
01
12
[
θ+
θ+θ
&
&
&
l
(
23
3
r
θ+θ
&&
&&
x)
01
r
+
y
θ+θ
&
&
01
12
r
θ+
&
y
2
23
θ+θ
&
&
(l
12
2
θ+θ
θ
&
&
&
θ
sin
0
+
0
−
r
x
3
−
(l
2
sin)
θ+θ
&&
&&
θ+θ
&
&
(l
2
r
z)
sin)
(l
2
(l
3
(l
3
l
θ
12
θ
01
−
sin
r
y
−
+
θ
12
01
12
23
12
01
23
12
01
)
)
)
)
2
2
2
2
2
3
2
2
(l
3
01
23
(l
3
23
2
12
12
01
θ+
&
l
3
Publicité
r
Γ=
)R/P(
0
θ+θ
&
&
r
xd
2
dt
θ+θ
&
&
θ
&
)
23
01
cos
θ
r
y
2
23
θ+
l
1
0
r&&
y
01
θ−
&
l
1
2
01
r
x
1
1
θ
&
)
23
01
cos
θ
r
y
2
23
r
2
y)
2
]
r
∧
x
r
2
y)
2
θ
cos
3
θ+
l
1
r&&
y
01
r&&
y
01
θ+
l
1
r
y
2
23
θ−
&
l
1
2
01
r
x
1
1
θ−
&
l
1
2
01
r
x
1
1
Question 5 :
r
Γ
)R/S,P(
0
3
=
=
+
=
−
=
−
+
=
r
Γ
)R/S,P(
0
3
r
Γ
−
)R/S,P(
0
3
θ+θ
&
&
(l
3
12
01
r
x
l
−
θ
&&
3
(l
2
+
l2
3
23
θ+θ
&&
&&
12
01
3
θ
&
23
r
x)
2
12
θ+θ
&
&
(
−
)
01
θ+θ
&
&
(l
2
12
cos
θ
r
y
2
23
θ−
&
l
3
2
r&&
θ+
l
y
1
01
1
+
r
z
3
θ−
&
l
1
12
θ+θ
&&
&&
(l
3
r
x
2
01
1
sin)
θ
r
y
2
23
01
23
r
2
y)
2
01
2
)
sin
θ
r
x
2
23
θ
&&
l
3
23
cos
r
Γ
)R/S,P(
0
3
=
2B
[
−θ
+θ
2
&
(l
l
3
23
23
12
3
θ+θ
θ
&
&
&
l2
(
)
cos
3
12
23
01
[
+θ
θ+θ
−
&&
&&
&&
l
(l
23
2
θ+θ
&
&
)
01
−θ
23
]
sin)
12
01
3
2
]
−θ
sin
23
θ+θ
&
&
(l
2
12
θ−θ
2
&
l
23
23
3
)
θ+θ
&&
&&
(l
2
12
01
θ+
2
&&
)
l
cos
01
01
12
1
−θ
θ+θ
&
&
cos
(l
23
3
θ+
&&
l
sin
1
01
θ+θ
2
&
01
1
2
sin
)
12
sin
2
12
01
l
l
1
Publicité
θ
θ
12
23
θ−θ
&
2
01
cos
θ
12
En considérant que
=θ
&
12
cons
tan
te
;
=θ
&
01
cons
tan
te
;
=θ
&
23
cons
tan
te
, on obtient ;
−
r
Γ
)R/S,P(
3
0
=
l2
3
θ
&
23
2B
[
+θ
2
&
l
23
3
θ+θ
&
&
(
12
θ−
2
&
l
23
3
12
cos
θ+θ
&
&
01
−θ
23
−θ
23
(l
3
)
2
]
sin
23
θ+θ
&
&
(l
2
12
θ+θ
&
&
l
θ−θ
&
1
2
)
01
2
)
sin
12
01
(l
3
)
01
cos
θ
2
cos
01
θ+
2
&
l
1
01
θ
2
23
12
sin
θ
12
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TD 2 - Corrigé
Question 6 :
Cinématique du solide
En considérant que les vitesses articulaires sont données sur la figure 4, déterminer les
temps pour
variables articulaires correspondantes
,
=
θ
=
t ∈
. On prendra
,0)0
en fonction du
]s27,s17
[
et
12
=
0)0
23
.
01
t(
t(
=
θ
θ
θ
θ
01
12
94.0
rad
s/
84.0
rad
s/
θ&
12
θ&
01
0
9
17
27
36
628.0
-
rad
s/
.0
628
rad
s/
θ&
23
Temps
en
sec
ondes
Figure 4 : Vitesses articulaires du manège
∈
t
[
9,0
]
∈
t
[
s17,9
]
∈
t
[
s27,s17
]
=θ
&
.0
01
=θ
&
12
−=θ
&
23
093
t
0
.0
628
046
2
t
=θ
01
.0
=θ
12
−=θ
23
0
.0
628
t
=θ
&
01
1175
84.0
−
.1t
0575
=θ
12
.0
=θ
01
05875
t84.0
−
2
t
−
78.3
0575
=θ
&
.0
12
−=θ
&
23
.0
628
−=θ
23
.0
628
t
.1
θ
23
)17(
+
t
−=
=θ
&
01
=θ
&
12
−=θ
&
23
84.0
94.0
.0
628
t84.0
−
=θ
01
=θ
t(94.0
12
−=θ
23
.0
628
t
−
78.3
−
76.3)17
θ
θ
=
78.3)9(
=
0)9(
12
=
65.5)9(
01
θ
23
rad
rad
rad
θ
θ
01
12
)17(
=
rad5.10
=
76.3)17(
rad
.4
758
.10
676
rad
θ
01
)27(
=
9.18
rad
θ
=
64.5)27(
−=
12
)27(
95.16
θ
23
rad
rad
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