Sciences Industrielles
TD 1 - Enonc
Cin matique du solide
TD1 : Bras manipulateur
1. PRESENTATION DU BRAS MANIPULATEUR
Le bras manipulateur pr sent est constitu dun b ti 0 et de trois solides 1, 2, 3.
La repr sentation sch matique est donn e ci-contre.
y3
D
3
C
y1
x2
z0
1
A
0
y1
2
x1
B
x0
Cette repr sentation est appel e sch ma cin matique du bras manipulateur.
Ce sch ma est enrichi du :
" Rep rage : chaque solide a t affect un rep re orthonorm direct.
" Param trage : chaque rep re d fini lors du rep rage doit tre positionn par rapport un (ou
)t(
),t(
plusieurs) autre (s).
Les param tres mis en vidence seront appel s mobilit s du syst me m canique. Ici, pour
pouvoir animer le syst me, il est n cessaire de disposer de trois moteurs. Cest pourquoi, m=3
) d fini le nombre de param tres juste n cessaires pour d finir toute la
(
et
cin matique.
Les positions, les vitesses et les acc l rations d finissant la cin matique, seront donc
et leur d riv es premi re ou seconde par rapport au
exprim es en fonction
temps.
)t(,)t(
),t(
)t(
2. MODELISATION CINEMATIQUE DU BRAS MANIPULATEUR
Une repr sentation structurelle de ce syst me sous forme de Graphe de structure (ou de
liaisons) est tr s utile lors dune analyse m canique dun m canisme.
2.1. Graphe des structures (ou de liaisons)
rrr
,
zyxR
,
)
0
00
rrr
zyxR
),
,(
1111
(
0
L01
0
1
L12
rrr
),
zyxR
,(
2222
2
L23
rrr
,(
zyxR
),
3333
3
Page 1
Tous droits de lauteur des Suvres r serv s. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des Suvres autre que
la consultation individuelle et priv e sont interdites.
Jacques A ACHE Jean-Marc CH REAU
EduKlub S.A.
Sciences Industrielles
TD 1 - Enonc
Cin matique du solide
" Les ronds de couleur repr sentent les sommets du graphe et mod lisent les solides
(ind formables). Chaque solide est affect d'un rep re orthonorm direct.
" Les traits noirs sont appel s : arcs du graphe et mod lisent les liaisons entre les diff rents
solides composant le m canisme.
Ces arcs sont mod lis s par des liaisons qui d finissent la cin matique entre les deux solides
reli s.
r
)z,A(
01
r
)y,B(
r
)x,C(
23
r =
r
Le double indice indique que :
et
x
y
2
calculs de d riv es vectorielles des vecteurs unitaires.
L01 : Liaison pivot daxe
L12 : Liaison pivot daxe
L23 : Liaison pivot daxe
r =
r =
y
z
1
0
r
z
1
,
12
2
r
x
3
. Cette notation est tr s utile lors des
2.2. G om trie juste n cessaire pour tudier la cin matique du bras manipulateur
En reprenant le graphe de structure :
rrr
zyxR
,
,
0
00
(
0
)
rrr
zyxR
),
,(
1111
L01
0
1
L12
rrr
),
zyxR
,(
2222
L23
2
rrr
zyxR
,(
),
3333
3
D
Liaison pivot
d'axe A,z01
Liaison pivot
d'axe B,y12
Liaison pivot
d'axe C,x23
Les points A, B, C et D sont indiqu s sur le graphe de structure. Le point D est un point d fini sur
le solide 3. Les point A, B, C sont des points li s aux caract ristiques des liaisons identifi es dans
le m canisme. On appelle aussi ces points (A, B, C) les points id aux associ s aux liaisons.
Il est donc n cessaire de les positionner relativement les uns par rapport aux autres.
Quatre points nous donnent au minimum trois vecteurs :
AB
=
3. QUESTIONS
Voir TD1 outils utiles en m canique
BC ; x.h
r
1
=
CD ; x.d
r
23
=
r
y.L
3
3.1. Donner le torseur cin matique dans le mouvement de S1 par rapport S0
3.2. Donner le torseur cin matique dans le mouvement de S2 par rapport S1
3.3. Donner le torseur cin matique dans le mouvement de S3 par rapport S2
3.4. D terminer la vitesse
3.5. D terminer la vitesse
0R/1RBV
1R/2RCV
2R/3RDV
3.6. D terminer la vitesse
3.7. D terminer le torseur cin matique du mouvement de R2/R0 en C
3.8. D terminer la vitesse
0R/3RDV
de R3/R0
en donnant le torseur cin matique du mouvement
Page 2
Tous droits de lauteur des Suvres r serv s. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des Suvres autre que
la consultation individuelle et priv e sont interdites.
Jacques A ACHE Jean-Marc CH REAU
EduKlub S.A.
Sciences Industrielles
TD 1 - Corrig
Cin matique du solide
TD1 : Bras manipulateur
El ments de correction
1. PRESENTATION DES MOBILITES
r
Liaison pivot daxe
)z
10
(A,
Dans un mouvement en rotation autour de laxe
rep re
langle
rrr
)z,y,x(R
1
1
1
)t(
r
)z,y,x(R
0
0
0
r
le
,
)x,x(
0
1
d fini
par
r
r
r
0
1
par rapport au rep re
est
z&
.
10
rotation
&
=
0R/1R
(A,
r
)z
10
du
, tel que
vecteur
y1
y0
x1
x0
A
z1
z0
Liaison pivot daxe
(B,
r
)y
12
x1
x23
B
y12
z2
z01
)x
23
Liaison pivot daxe
(C,
Dans un mouvement en rotation autour de laxe
(B,
r
r
rep re
)z,y,x(R
1
1
r
r
langle
le
,
)x,x(
23
par rapport au rep re
d fini
r
r
)z,y,x(R
2
2
)t(
2
est
par
r
r
1
1
2
1
rotation
&
1R/2R
y&
=
12
.
r
du
)y
12
, tel que
vecteur
Dans un mouvement en rotation autour de laxe
rep re
par rapport au rep re
r
)z,y,x(R
3
r
r
3
3
3
r
(C,
r
r
)z,y,x(R
2
2
)y,y(
12
3
le
,
2
2
du
)x
23
, tel que
vecteur
y3
langle
y12
rotation
)t(
&
2R/3R
est
x&
23
=
z3
z2
C
x23
d fini
par
.
0
0
0
0
=
0
)
&
0
0
0
,
RA
10
(
rrr
,
,
zyxA
11
10
,
2. REPONSE A LA QUESTION 2-1
&
=
V
&
=
{ }
RRV
01
=
.
z
&
RRA
0/1
/RR
Publicité
/RR
0/1
01
01
0
A
3. REPONSE A LA QUESTION 2-2
0
=
0
&
A
{
V
1R/2R
}
=
&
1/R2R
V
1R/2RA
=
B
=
&
y.
12
1/R2R
&
0
B
0
=
&
0
0
0
(
,B0
r
,y,
12
0
=
&
0
0
0
R ,B0
12
=
)
Page 1
Tous droits de lauteur des Suvres r serv s. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des Suvres autre que
la consultation individuelle et priv e sont interdites.
Jacques A ACHE Jean-Marc CH REAU
EduKlub S.A.
Sciences Industrielles
TD 1 - Corrig
4. REPONSE A LA QUESTION 2-3
Cin matique du solide
{
V
2R/3R
}
=
&
2R/3R
V
2R/3RA
=
B
&
2R/3R
=
&
x.
23
0
B
=
&
0
0
0
0
,x ,B0
23
(
&
0
0
=
)
,
0
0
R ,B0
23
5. REPONSE A LA QUESTION 2-4
{
0R/1RV
=
&
}
0/R1R
z.
=
=
01
0
0
0
0
&
R ,A0
&
0
V et
0/R1RB
0
+=
0
0
R
1
h
0
0
'
=
0
&
R
1
R
1
0
.h
&
0
A
0
{
0R/1RV
}
=
0/R1R
&
=
&
z.
01
0
A
==
&
0R/1R
V
0/R1RB
=
10
&
0R/1R
V
0/R1RB
V=
0/R1RA
BA+
'
&
i0/R1R
B
B
==
0
0
&
0
.h
&
R ,B0
1
d'
Vo
0/R1RB
=
.h
&
y.
12
En passant par la d riv e du vecteur position, on a trouv :
V
0R/1RB
=
ABd
dt
0R
=
y.h
&
12
(voir TD1 outils math matiques utiles en m canique). Comparer la quantit de lignes crire.
6. REPONSE A LA QUESTION 2-5
{
1R/2RV
}
=
&
1/R2R
V
1/R2RB
V et
1R/2RC
0
+=
0
0
R
2
d
0
0
&
0R/1R
V
1R/2RC
V=
1R/2RB
CB+
'
&
1R/2R
C
=
Publicité
12
0
0
=
&
0
0
0
R ,B0
B
'
0
=
&
0
R
2
0
&
.d
R
2
Page 2
Tous droits de lauteur des Suvres r serv s. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des Suvres autre que
la consultation individuelle et priv e sont interdites.
Jacques A ACHE Jean-Marc CH REAU
EduKlub S.A.
Sciences Industrielles
TD 1 - Corrig
Cin matique du solide
{
1R/2RV
}
=
=
&
y.
12
1/R2R
&
0
B
==
&
1/R2R
V
1/R2RC
C
==
0
&
0
0
0
R ,C.d
&
2
d'
Vo
1/R2RC
=
&
z..d
2
En passant par la d riv e du vecteur position, on a trouv :
V
1R/2RC
=
BCd
dt
1R
=
&
z.d
2
7. REPONSE A LA QUESTION 2-6
{
2R/3RV
&
0
0
R ,C0
2R/3RC
2R/3R
0
0
}
&
V
=
=
=
23
C
&
2R/3R
V
2R/3RD
V=
2R/3RC
DC+
'
&
2R/3R
D
Vet
2R/3RD
0
+=
0
0
R
3
0
L
0
'
R
3
&
0
0
=
0
0
.L
&
R
3
{
2R/3RV
}
=
&
2R/3R
V
2R/3RC
C
=
&
2R/3R
V
2R/3RD
D
=
&
0
0
0
0
R ,D.L
&
3
d'
Vo
2/R3RD
=
z..L
&
3
En passant par la d riv e du vecteur position, on a trouv :
V
2R/3RD
=
CDd
dt
2R
=
z.L
&
3
8. REPONSE A LA QUESTION 2-7
}
}
{
V
et
{
V
1R/2R
0R/1R
0
=
&
0
0
0
&
R ,C.d
2
=
0
0
&
0
.h
&
R ,B0
1
transporter au point C
V
0R/1RC
V=
0R/1RB
CB+
'
&
0R/1R
V
0R/1RC
0
+
.h
&
0
=
R
1
.d
cos
0
'
R
1
sin.d
R
1
=
0
0
&
R
1
.h
0
+
.
.d
&
&
0
cos
Page 3
Tous droits de lauteur des Suvres r serv s. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des Suvres autre que
la consultation individuelle et priv e sont interdites.
Jacques A ACHE Jean-Marc CH REAU
EduKlub S.A.
Sciences Industrielles
TD 1 - Corrig
Cin matique du solide
{
V
1R/2R
}
0
=
&
0
0
Publicité
R ,C.d
0
&
0
=
&
0
2
&
sin..d
0
&
..d
cos
R ,C
1
{
V
et
0R/1R
}
=
0
0
&
.h
0
&
R ,B0
1
{
V
1R/2R
}
+
{
V
0R/1R
}
0
=
&
0
sin..d
&
0
..d
cos
&
+
R ,C
1
0
0
&
.h
0
+
.
.d
&
&
0
cos
R ,C
1
0
=
&
&
.h
sin..d
&
+
.d
.
&
&
cos
..d
&
cos
R ,C
1
En passant par la d riv e du vecteur position, on a trouv :
V
0R/2RC
=
ACd
dt
0R
=
y.h
&
12
+
d
&
.
cos
x.
1
+
.
&
cos
y.
12
&
sin..
z.
10
9. REPONSE A LA QUESTION 2-8
Torseur cin matique du mouvement de S3 par rapport S2 dans la base du rep re R1
{
2R/3RV
}
==
&
2R/3R
V
2R/3RD
D
=
&
0
0
R ,D.L
0
0
&
3
=
&
.
cos
0
&
sin.
sin
..L
cos
&
sin..L
&
cos
..L
.
&
cos
R ,D
1
Il reste transporter au point D, les torseurs suivants :
0
0
&
R ,C.d
2
{
V
et
0R/1R
}
=
0
0
&
0
.h
&
R ,B0
1
en D projet dans R1.
}
1R/2R
0
=
&
0
}
0R/1RV
'
DB+
&
cos
.d
0R/1R
{
V
Transport du torseur {
V
0R/1RD
V=
V
0R/1RD
=
R
0R/1RB
0
+
.h
&
0
1
sin.L
cos
sin.L
.L
sin
'
0
=
0
&
R
1
.h
.
&
&
.d
R
1
sin.d
.
cos
R
1
{
V
0R/1R
}
=
0
0
&
0
.h
&
R ,B0
1
=
0
0
&
.h
.
.d
&
&
&
cos
.L.
cos
.L
&
sin.
0
Transport du torseur {
{
}
V
1R/2R
1R/2RV
0
R ,C.d
0
&
2
}
en D projet dans R1
0
=
Publicité
&
0
&
.d
sin
0
&
.d
cos
R ,C
1
0
=
&
0
sin
&
cos
.L.
cos
.L
&
sin.
0
sin
R ,D
1
Page 4
Tous droits de lauteur des Suvres r serv s. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des Suvres autre que
la consultation individuelle et priv e sont interdites.
Jacques A ACHE Jean-Marc CH REAU
EduKlub S.A.
Sciences Industrielles
TD 1 - Corrig
V
1R/2RD
V=
DC+
'
&
1R/2R
1R/2RC
&
sin..d
0
&
..d
cos
1
+
Cin matique du solide
sin.L
.L
cos
.
sin
cos
0
=
&
'
&
sin..L
.
&
sin..d
cos
0
R
1
0
R
1
&
sin..L
sin
&
..d
cos
R
1
sin.L
{
V
1R/2R
}
0
=
&
0
0
0
R ,C.d
&
2
0
=
&
0
sin..L
&
.
cos
sin..d
&
sin..L
&
0
sin
..d
&
cos
R ,D
1
V
1R/2RD
=
R
On obtient :
&
.
cos
0
sin.
&
sin
..L
&
..L
&
cos
sin..L
&
cos
.
cos
R ,D
1
0
+
&
0
{
V
2R/3R
&
sin..L
}
.
}
{
V
&
sin..d
1R/2R
+
cos
{
V
+
&
sin..L
0
sin
&
..d
cos
R ,D
}
=
0R/1R
+
1
0
0
&
&
cos
.L.
cos
.L
&
.h
&
&
.d
.
sin.
sin
R ,D
1
{
V
0R/3R
}
=
&
.
cos
&
&
&
sin.
..L
cos
&
sin..L
&
.
+
&
sin..L
sin
+
.h
cos
&
&
&
..L
sin..L
cos
.
&
+
cos
&
sin.
.L
&
sin
.d
cos
.
cos
.L.
sin
0
R ,D
1
En passant par la d riv e du vecteur position, on a trouv :
=
ADd
dt
0R
(
+=
&
..d
cos
&
sinL
)
x
1
(
h
+ +
.
&
&
.d
cos
(
+
L
&
&
)
.
sin.
cos
+
&
.L.
cos
sin
)
y
12
(
+
&
sin..d
+
&
cosL
)
z.
10
V
0R/2RD
Page 5
Tous droits de lauteur des Suvres r serv s. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des Suvres autre que
la consultation individuelle et priv e sont interdites.
Jacques A ACHE Jean-Marc CH REAU
EduKlub S.A.