Sciences Industrielles
TD 2 - Enoncé
Cinématique du point
Cinématique du point TD2
1. MISE EN PLACE DU PROBLEME
Une cible, modélisée par un point M1, se déplace horizontalement à la vitesse de 20 m/s. Un canon, dont la direction de visée est asservie, tire une charge, modélisée par un point M2, à la vitesse moyenne de 300 m/s.
2. L’OBJECTIF DU PROBLEME
L’objectif de ce problème est d’effectuer des corrections pour que la charge issue du canon atteigne la cible en mouvement.
3. QUESTIONS
3.1. Question 3-1
τ , on considère que le point P1 est confondu avec le point M1 et le point P2 est
A l’instant 0 confondu avec le point M2 τ , le canon tire une première fois sur la cible ayant une direction faisant un angle A l’instant 0 θ1=30° avec la direction définie par les deux points (P1,P2). Quelle correction de direction de tir, définie par l'angle θ2 avec la direction définie par les deux points (P1,P2), devra effectuer le système d’asservissement de direction de visée du canon? .
• Pour répondre à cette question, il sera judicieux de traduire géométriquement et vectoriellement le problème posé.
3.2. Question 3-2
La correction ayant été mal faite, le canon tire une deuxième fois et la charge percute la cible lorsque celle ci passe au plus près du canon, soit à 300 m. A combien de mètres le canon a-t-il tiré devant la cible ?.
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Jacques AÏACHE – Jean-Marc CHÉREAU
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TD 2 - Corrigé
Cinématique du point
Cinématique du point TD2
1. CORRIGE DU TD2
1.1. Réponse à la question 3-1
1.1.1. Traduction géométrique du problème.
X2
O
ment de la cible u déplace directio
n d
θθθθ1
P1
X1
Situation à l'instant ττττ0
direction de visée du canon
y0
θθθθ2
x0
O0
P2
M2
M1
1.1.2. Traduction vectorielle du problème.
Les points M1 et M2 se rencontreront au point O fixe dans l’espace affine La trajectoire du point M1 est portée par la droite (P1,O) et la trajectoire du point M2 est portée par la droite (P2,O).
.
rrr ℜ , zyxO ( , , ) 0 00 00
→ (MV /R 01 → (MV
/R 02
)
est portée par la droite (P1,O)
)
est portée par la droite (P2,O)
• Etude du mouvement du point M1
P1 est fixe
rrr ℜ , zyxO ( , ) 0 0 00
, 0
,
→ V
(M
1
/R 0
→ MOd 0 dt
1
=
)
R 0
=
→ MPd 1 1 dt
R 0
Posons que
→ r = ).( xtxMP 1 1
1
1
→
et
V
(M
1
/R
)
0
= V
→
(M
1
/R
)
0
r x 1
,
→ V
/R 1 0
(M
→ MPd 1 1 dt
=
)
=
R 0
V
→
(M
1
/R 0
)
r = x 1
r xtdx ).( 1 1 dt
R 0
, en intégrant cette équation,
τ , les points M1 et M2 sont en deux point distants P1 et avec les conditions initiales : A l’instant 0 rrr ℜ . zyxO , ( , ) P2 fixe dans l’espace affine . 0 0 00
, 0
→ V
(M
1
/R 0
ττ − ). ( 0 1
r = r xtxx ).( 1 1 1
)
où 1xr est fixe dans
rrr , zyxR , ) 0 00
( 0
, on obtient donc
→ V
/R 1 0
(M
Publicité
ττ =− ( ) 0 1
tx )( 1
)
• Etude du mouvement du point M2
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P2 est fixe
rrr ℜ , zyxO ( , ) 0 0 00
, 0
,
Cinématique du point
→ MOd 0 dt
2
=
)
R 0
=
→ MPd 2 dt
2
R 0
→ V
/R 2 0
(M
Posons que
→ r = ).( xtxMP 2 2
2
2
→
et
V
(M
1
/R
)
0
= V
→
(M
1
/R
)
0
r x 1
,
→ V (M
/R 0
1
→ MPd 1 1 dt
=
)
=
R 0
V
→
(M
2
/R 0
)
r x 2
=
r dx xt ).( 2 2 dt
R 0
, en intégrant cette équation,
τ , les points M1 et M2 sont en deux point distants P1 et avec les conditions initiales : A l’instant 0 rrr ℜ . zyxO , ( , ) P2 fixe dans l’espace affine . 0 0 00
, 0
→ V
(M
2
/R 0
r = ττ − x ). ( 0 2 2
r xtx ).( 2 2
)
où 2xr est fixe dans
rrr zyxR , , ) 0 00
( 0
, on obtient donc
→ V
2 0 /R
(M
ττ =− ( ) 0 2
tx )( 2
)
•
condition de rencontre des points M1 et M2 Pour que les points M1 et M2 se rencontre en 0, il faut que :
=− ττ () ( 1 0 τ est l’instant de rencontre des points M1 et M2 au point O. r → V
→ V
→ V
où
et
⇔
=
r ττ − x ). ( 2 0 2
ττ =− ) 2 0
ττ − ). ( 1 0
r xtx ).( 2 2
→ MP 2
2
.( )
(M
2
(M
1
(M
2
)
)
/R 0
/R 0
/R 0
− ττ ) 0 2
, c’est à dire que
== τττ r 1 2
=
r Vxtxx ).( 1 1
r ⇔ 1
→
(M
1 /R 0
.( )
ττ =− ) 0 1
Publicité
→ MP 1 1
→ V .( (M /R ) 2 0 → V
.( )
(M
/R 0
1
ττ =− ) 0 2 ττ =− ) 0 1
→ MP 2 2 → MP 1
1
→ V ⇒ (M /R 2 0 → V
(M
/R 0
1
.( )
.( )
ττ =− ) r 0 ττ =− ) r 0
→ OP 2 → OP 1
→ ⇒ V
/R 0
(M
2
→ − V )
(M
1
/R 0
.(
ττ =− ) r 0
)
→ PP 21
Par composition des vitesses,
que l’on note
→ /M(MV 2
1
)
.
→ V
/R 0
(M
2
→ − V )
(M
1
/R 0
)
est la vitesse relative de M1 et M2 par rapport à M1
Conclusion : Pour que les robots se rencontrent au point O, il est nécessaire que la vitesse relative
des extrémités des effecteurs modélisés par les points M1 et M2 soit colinéaire au vecteur
)
1
→ /M(MV 2 → 21PP . Traduit vectoriellement,
→
V /M(M 2
∧ ) 1
→ r= 021 PP
1.1.3. Réponse à la question 3-1
Posons
. On a de plus la relation
V /M(M 2
→
V /M(M 2
∧ ) 1
→ PP 21
→ − V )
(M
/R 1 0
∧
)
→ PP 21
r ⇔= 0
→ V
(M
/R 2 0
∧ )
→ VPP 21
=
(M
/R 1 0
→ PP 21
∧ )
→ r= .xaPP 21 0 → r ⇔= V 0
/R 2 0
(M
→
∧ ) 1
→ r= PP 021 →
→ V
/R 2 0
(M
∧ )
→ VPP 21
=
→
(M
/R 1 0
→ PP 21
∧ )
=
R 0
cos
θ 2
)
sin
θ 2
∧
→ V (M
/R 2 0 → V
(M
)
/R 2 0 0
a
0
=
R 0
0
R 0
cos
θ 1
)
sin
θ 1
∧
(M
→ V
/R 1 0 → V (M
)
Publicité
/R 1 0 0
a
= 0
R 0
0
→ V
/R 2 0
(M
a sin..
θ 2
=
)
→ V
/R 1 0
(M
a sin.
θ 1
.
)
sin
θ 2
=
sin
θ . 1
→ V
(M
1
/R 0
→ V
(M
2
/R 0
d’où l’application numérique :
)
)
=θ sin 2
sin
20.30 300
, on obtient
=θ 9,12
degrés
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1.2. Réponse à la question 3-2
1.2.1. Traduction géométrique du problème.
Cinématique du point
La correction ayant été mal faite, le canon tire une deuxième fois et la charge percute la cible
lorsque celle ci passe au plus près du canon. D’où
→ V
/R 1 0
(M
→ . PP ) 21
θr °=⇔= 0 90 1
X2
X1
O
e l b i c a l e d t n e m e c a l p é d u d n o i t c e r i d
P1
M1
Situation à l'instant ττττ0
direction de visée du canon
y0
θθθθ1=90°
O0
θθθθ2
x0
P2
M2
sin
θ 2
=
→ V
(M
1
/R 0
→ V
(M
2
/R 0
)
)
=⇔=
θ 2
20 300
° 82,3
et
→ r= .xaPP 21 0
avec
a 300=
m
on a de plus la relation :
→ PP 21
2
+
→ OP 1
2
=
→ OP 2
2
→ OP 1
2
=
→ OP 2
2
−
→ PP 21
2
=
300 θ cos 2
2 ( ) − 300
2
=
401
25,
2
→ OP 1
=20,03 m
Le canon tire donc à 20;03 mètres devant la cible
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