Chapitre II
Data Mining
Réacapitulatif sur l’AFC et l’ACM
Les atouts de l’AFC et de l’ACM sont multiples.
- Les facteurs sont des variables numériques qui séparent le mieux les modalités des
variables qualitatives étudiées .
- L’AFC et l’ACM permettent de transformer des variables qualitatives (initiales) en
variables quantitatives ( les projections des modalités des variables initiales sur les axes
factotriels) .
- Elles permettent d’appréhendre des liaisons non linéaires de (degré > 1) entre des
variables continues préalablement discrétisées et détecter les dépendances entre les
variables dont le coeffivcient de corrélation tend vers 0 .
- Elles permettent de représenter simultanément les individus et les modalités sur un
méme plan .
Dans la représentation graphique d’une AFC et d’une ACM :
- Deux individus sont proches s’ils ont à peu prés les mémes modalités .
- Deux modalités de deux variables différentes sont proches si ce sont presque les mémes
individus qui possédent ces modalités . en particulier, elles sont confondues si elles sont
possédées par les mémes individus .
- Deux modalités d’une méme variable sont proches si les deux groupes d’individus qui
les possédent se ressmblent vis-à-vis des autres variables .
1 MOME 2 2021-2022
Chapitre II
Data Mining
Application
Considérons la base de données suivante relative à la fréquentation d’un grand magasin de clients.
Les variables étudiées ou présentées dans ce tableau sont :
Le genre, l’âge le rayon et la fréquentation.
Tableau de variables et des modalités
Variables Modalités
Le genre Homme Femme
L’âge [18 − 24[ [25 − 34[ [35 − 49[ [50 − 64[ 65+
Rayon Bricolage Sport Automobile Habillement Electroménager Hifi Autres
La fréquentation < 1 par mois 1 par mois 1 par semaine 1ére fois > 1 par semaine
Utilité des variables ?
2 MOME 2 2021-2022
Chapitre II
Data Mining
Cas de l’AFC
Tableau de correspondance
Publicité
Rayon Age [18 − 24[ [25 − 34[ [35 − 49[ [50 − 64[ 65+ Total
Automobile
Sport
Habillement
Electroménager
Hifi
Bricolage Autres
Total
2 8 22 12 4
48
6 16 17 17 3
59
10 21 47 27 9
114
15 31 54 40 6
146
8 21 34 17 3 83
3 10 21 11 2 47
2 20 35 23 5 85
46 127 230 147 32 582
Soit alors n = 582 individus
Tableau de valeurs propres
Dimension
1 2 3 4
Total
Valeur singulière 0.124 0.081 0.068 0.040
0.405
Inertie
Inertie expliquée
Inertie cumulée
0.015 0.007 0.005 0.002
0.028
0.548 0.232 0.163 0.057 1
0.548 0.780 0.943 1
𝜘2 = 16.341 ⇒ inertie du nuage = 𝜘2/n = 16.341 /582 = 0.028
(Effectif observé – effectif théorique )2/ effectif théorique
On remarque que 78 % de l’inertie totale est restituée par les deux premiers axes .
Caractéristiques des points lignes
Age
Poids
Publicité
Coord (dim 1)
Coord (dim 2)
[18 − 24[ [25 − 34[ [35 − 49[ [50 − 64[ 65+
0.079 0.218 0.395 0.253 0.055
0.898 0.237 -0.259 0.053 -0.615
-0.644 0.355 -0.102 0.151 -0.441
Contribution (dim 1)
Contribution (dim 2)
0.749 0.347 0.651 0.32 0.482
0.251 0.506 0.066 0.170 0.162
Caractéristiques des points colonnes
Age
Poids
Coord (dim 1)
Coord (dim 2)
Contribution (dim 1)
Contribution (dim 2)
Automobile Sport Habillement Electroménager Hifi Bricolage Autres
0.082 0.101 0.196 0.251 0.143 0.081 0.146
-0.643 0.525 -0.163 0.291 0.235 -0.175 -0.415
-0.168 0.276 -0.400 -0.067 0. 010 0.065 0.509
0.939 0.636 0.180 0.741 0.270 0.271 0.502
0.042 0.115 0.703 0.026 0.0 0.025 0.492
3 MOME 2 2021-2022
Chapitre II
Data Mining
ACM
Tableau de valeurs propres de l’ACM
Valeur singulière
Inertie principale
0.5642 0.56043 0.53721 0.52911 0.52401 0.51099 0.50151 0.49404 0.49052 0.48516 0.4799 0.47222 0.46499 0.44178 0.42071 Total
0.31833 0.31408 0.2886 0.27996 0.27459 0.26111 0.25151 0.24408 0.24061 0.23538 0.23039 0.22299 0.21622 0.19517 0.17700 3.75
𝜘2
759.10 748.97 688.21 667.61 654.8 622.66 599.77 582.04 573.77 561.31 549.40 531.75 515.61 465.41 422.09 8942.5
Pourcentage
8.49 8.38 7.7 7.47 7.32 6.96 6.71 6.51 6.42 6.28 6.14 5.95 5.77 5.2 4.72 100
Pourcentage cumulé 8.49 16.86 24.56 32.03 39.35 46.31 53.02 59.53 65.94 72.22 78.36 84.31 90.08 95.28 100
Calcul ou vérification de l’inertie totale du nuage :
I = 1/ p ∑ 𝑚𝑖 -1 = (19/4) -1 = 3.75
Nombre de valeurs propres à retenir : on a 15 valeurs propres :
Publicité
Nombre de variables explicatives = 4 d’où 100/4 = 25 %
il faut alors retenir toutes les valeurs propres dont l’inertie dépasse 25 % , soit 7 premiers axes ; on va réduire et retenir uniquement 4 qui représentent 32 % de l’inertie du nuage .
4 MOME 2 2021-2022
Chapitre II
Data Mining
Coordonnées des colonnes et la qualité
Dimension 1 Dimension 2
Femme Homme [18 − 24[ [25 − 34[ [35 − 49[ [50 − 64[ 65+ 1 par mois 1 par semaine 1ére fois < 1 par mois > 1 par semaine Automobile Autres Bricolage Electroménager Hifi Habillement Sport
-0.4925 0.8789 -0.0312 0.0824 0.298 -0.1814 -1.5907 0.3271 -0.2645 0.0447 0.1341 -1.5009 0.7695 -0.2313 1.6517 -0.6415 0.2628 -0.4837 0.5439
-0.2347 0.4189 -1.6313 -0.7573 0.177 0.6814 0.9484 -0.1452 0.7421 -1.5486 -0.2131 1.0865 0.6039 0.4674 0.2073 -0.4791 -0.6295 0.3713 0.0242
Dimension 3 -0.1592 0.2842 0.0627 0.6018 -0.5109 0.2733 -0.0621 -0.7581 -0.0498 0.3944 0.7872 0.5446 -0.1511 0.5169 -0.5205 -0.0306 -0.7936 -0.4197 1.796
Dimension 4 -0.1355 0.2418 1.044 -0.1037 -0.0344 -0.5462 1.667 0.1949 -0.808 0.1858 0.0211 1.8132 0.608 -0.609 -0.1879 -0.7177 0.0237 0.9038 0.5286
Qualité* 0.6092 0.6092 0.3223 0.266 0.2498 0.2941 0.3615 0.3908 0.4080 0.2541 0.2438 0.4354 0.1213 0.1556 0.2703 0.3875 0.1823 0.3325 0.4289
*La qualité de la représentation sur les 4 axes.
Les modalités dont les qualités sont faibles sont celles qui sont mal représentées sur les 4 axes factoriels retenus et qui sont mieux représentées sur des axes non conservés.
5 MOME 2 2021-2022
Chapitre II
Data Mining
Contributions partielles à l’inertie des points des colonnes
Dimension 1 Dimension 2
Femme Homme [18 − 24[ [25 − 34[ [35 − 49[ [50 − 64[ 65+ 1 par mois 1 par semaine 1ére fois < 1 par mois > 1 par semaine Automobile Autres Bricolage Electroménager Hifi Habillement Sport
0.1221 0.2179 0.0001 0.0012 0.0276 0.0065 0.1093 0.029 0.0134 0.0001 0.0037 0.1034 0.0384 0.0061 0.173 0.0811 0.0077 0.036 0.0236
0.0281 0.0502 01674 0.0996 0.0099 0.0933 0.0394 0.0058 0.107 0.1705 0.0095 0.0549 0.0239 0.0254 0.0028 0.0458 0.045 0.0215 0.000
Dimension 3 0.0141 0.0251 0.0003 0.0685 0.0894 0.0163 0.0002 0.1720 0.0005 0.012 0.1411 0.015 0.0016 0.0338 0.019 0.0002 0.0778 0.0299 0.2833
Dimension 4
0.0105 0.0188 0.0769 0.0021 0.0004 0.0673 0.1364 0.0117 0.1397 0.0028 0.0001 0.1715 0.0272 0.0484 0.0025 0.1154 0.0001 0.1429 0.0253
Ce tableau fournit une idée sur la proportion de l’inertie de la modalité dans l’inertie de l’axe.
Un axe est expliqué par les modalités à forte contribution.
I(𝑃) = ∑ 𝑚𝑖𝑑2(𝑋𝑖, 𝑃)
𝑛 𝑖:1
= ∑ 𝑚𝑖𝑑2(𝑋𝑖, 𝑋𝑖
𝑛 𝑖:1
P̂ )
𝑛 IE(𝑃) = ∑ 𝑚𝑖𝑑2(𝑂, 𝑋𝑖 𝑖:1
P̂ )
𝑛 = ∑ 𝑚𝑖 ‖𝑋𝑖 𝑖:1
2 p̂ ‖
6 MOME 2 2021-2022