Chapitre 6
A.U. 2016-2017
CHAPITRE 6
R SEAUX BAY SIENS
II3
Universit de La Manouba ENSI 2016/2017
Introduction
2
(cid:1) La repr sentation des connaissances et le raisonnement
partir de ces repr sentations a donn naissance de
nombreux mod les.
(cid:1) Les mod les graphiques probabilistes, et plus pr cis ment les
r seaux bay siens (RB), initi s par Judea Pearl dans les
ann es 1980 sous le nom de syst mes experts probabilistes,
se sont r v l s des outils tr s pratiques pour la repr sentation
des connaissances probabilistes et le raisonnement partir
dinformations incompl tes
(cid:1) De nombreux domaines comme la bio-informatique, la gestion
du risque, le marketing, la s curit informatique, le transport,
etc.
II3 - ENSI
1
Chapitre 6
A.U. 2016-2017
Exemple de SIAD bas sur les r seaux
Bay siens
(cid:1) http://www.bayesia.com/FR/produits/bLab/
3
Un peu dhistoire
4
II3 - ENSI
2
Chapitre 6
A.U. 2016-2017
5
6
Les mod les graphiques probabilistes (1)
Probabilistic models
Graphical models
Directed
Undirected
Outils importants pour la repr sentation et
lanalyse des informations probabilistes dans
les syst mes de base de connaissances
Les mod les graphiques probabilistes (2)
Graphes dirig s
Connexes
Non Connexes
DAG
Cycliques
Arbres
(sans boucles)
Multiply connected
(avec boucles)
Arbres Simples
Arbres multiples
polytree
II3 - ENSI
3
Chapitre 6
A.U. 2016-2017
Les mod les graphiques probabilistes (3)
Importants outils pour acqu rir, repr senter et utiliser les connaissances
Parmi les mod les graphiques sous forme de DAG:
&
R seaux
Bay siens
Diagrammes
dinfluences
Arbres de
D cision
(Raifa)
Exemple dapplication des R seaux
Bay siens
7
8
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Chapitre 6
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Applications r elles
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(cid:190) Microsoft
(cid:190) Windows : identification de probl mes d'impression
(cid:190) Office : l'agent Office Assistant
(cid:190) NASA : aide au diagnostic de pannes en temps r el pour les
syst mes de propulsion de la navette spatiale
Diagnostic m dical : aide l' valuation de la gravit chez
des patients atteints de douleurs thoraciques, consultant aux
urgences.
Pr diction : AT&T, d tection de fraudes (mauvais payeurs) sur
les factures de t l phone.
Graphe causal (R seau Bay sien)
10
(cid:1) Graphe orient acyclique
(cid:1) Un nSud repr sente une variable al atoire
(cid:1) Permet de mod liser les connaissances imparfaites
D
T
{vrai, faux }
{-20,&, 40}
II3 - ENSI
5
(cid:190)
(cid:190)
Chapitre 6
A.U. 2016-2017
11
12
Graphe causal
(cid:1) Un arc repr sente linfluence directe (lien de cause
effet) dune variable sur une autre;
Exemple
(cid:1) les temp ratures ne sont pas les m mes selon que
nous savons que nous sommes en d cembre ou pas
(cid:1) D a une influence directe sur T
(cid:1) on dit que D est le parent de T
(cid:2) Il y a une d pendance entre D et T
D
T
Et si nous avons une chaine?
ind pendance conditionnelle
" Si entre A et B il existe un arc alors la relation de d pendance est vidente
" Sil existe une cha ne (unique) entre A et B alors les 3 situations suivantes sont
possibles:
A
C
B
C
A
B
A
B
C
Head-to-Tail
Tail-to-Tail
Head-to-Head
II3 - ENSI
6
Chapitre 6
A.U. 2016-2017
Et si nous avons une chaine?
A
C
B
Ensoleillement
A et B sont ind pendants dans le contexte C
R colte
Prix du bl
I ({A}, {C}, {B})
Cad si on conna t C alors une information sur A
naura aucun impact sur B et vice versa
Head-to-Tail
Et si nous avons une chaine?
13
14
(cid:3) A et B sont ind pendants dans le contexte C
Pluit
C
I ({A}, {C}, {B})
A
B
tat ma
pelouse
tat
pelouse
voisin
Tail-to-Tail
(cid:3) Cad si on conna t C alors une information sur A
naura aucun impact sur B et vice versa
(cid:3) Si ma pelouse est mouill e (A), je peux penser quil
a plut hier (C) et que la pelouse des voisins et
galement mouill e (B). Par contre si jai une
information certaine quil a plut hier alors je peux
affirmer que la pelouse de mon voisin est mouill e
et toute information sur l tat de ma pelouse na
aucune influence
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Chapitre 6
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16
Et si nous avons une chaine?
A : circulation
B : accident
C : retard
(cid:3) A et B ne sont pas ind pendants dans le
contexte C
(cid:3) Cad si on conna t C alors une information sur A
A
B
peut informer sur l tat de B et vice versa
C
Head-to-Head
(cid:3) Dans le domaine agricole, les maladies (A) sont
ind pendantes des Incendies (B) par contre si la
productivit diminue (C) alors on peut penser aux
maladies. Par contre si on a une information
disant quil y a une s rie dincendie dans la
r gion alors notre croyance par rapport aux
maladies diminue.
Et plus g n ralement
Non descendants
de B
J2
J1
Parents de B
J3
VV
J4
CC
II
B
AA
WW
KK
Descendants
de B
Ind pendance qualitative: dans un RB toute variable est
ind pendante de ses non-descendants dans le contexte de
ses parents
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Ind pendance et Probabilit
17
18
Composante quantitative
(cid:1) Distribution de probabilit s jointe p + DAG G est un r seau
Bay sien si " Xi,
P(Xi | Ui, NDi) = P(Xi | Ui).
O
(cid:4) Ui : les parents de Xi
(cid:4) NDi : les non descendants de Xi
(cid:1) Probl me : p impossible avoir en pratique.
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20
Composante quantitative:
Quantifier les liens d'influence (Repr sentation compacte)
(cid:3) Pour toute variable discr te A:
(cid:5) Si A est une racine alors on donne la distribution de
probabilit a priori sur toutes les instances de la variable
t.q.
P(a)=1
a
(cid:5) Sinon on donne la distribution de probabilit a priori
conditionnelle dans le contexte de ses parents t.q.
P(a|uA)=1
a
Graphe causal
(cid:1) On associe chaque nSud, une distribution de
probabilit s
(cid:1) Cette distribution est conditionn e par la valeur des
variables qui influence la variable associ e cette
distribution
(cid:1) Exemple
D=Vrai (T true)
D=Faux (F false)
D
T
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10
Chapitre 6
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22
Graphe causal
(cid:1) Mod lisation de notre probl me de pr vision de
temp rature Paris
Variables al atoires discr tes
MO (moment de la journ e) variable num r e :
le matin, lapr s- midi, le soir et la nuit.
TP (temps quil fait) variable num r e :
ensoleill , nuageux, pluvieux
M (mois de lann e) variable num r e :
Janvier, &, D cembre;
TE (temp rature du mois) variable enti re :
-20 40
Graphe causal
(cid:1) On sait que M et MO ne sont influenc es par
Publicité
aucune variable;
(cid:1) On sait que TE est influenc e par M, MO et TP.
(cid:1) On sait que TP est influenc e par M;
{janvier, &,d cembre}
{matin, &,soir}
TP
{nuageux, &,ensoleill }
MO
M
TE
{-20, &,40}
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23
24
Graphe causal
(cid:1) Lensemble des valeurs de chacune des distributions de
probabilit s nous est donn e par notre connaissance
du probl me
(cid:1) La variable M: on sait que
(cid:1) P( M = janvier ) = 1/12
(cid:1) &
(cid:1) P( M = d cembre ) = 1/12
(cid:1) La variable MO: on sait que
(cid:1) P(MO = matin ) = 6/24 (de 6h midi);
(cid:1) P(MO = apr s-midi) = 8/24 (de midi 20h);
(cid:1) P(MO = soir et nuit ) = 10/24 (de 20h 6h).
Graphe causal
(cid:1) Pour la variable TP: Il faut d finir chaque P(TP = tp|M = m)
(cid:1) avec tp ayant pour valeurs possibles : { soleil , nuage , pluie };
(cid:1) avec m ayant pour valeurs possibles { janvier , &, d cembre };
12x3 = 36 valeurs
(cid:1) Pour la variable TE : Il faut d finir chaque P(TE=te|M=m, MO=mo,
TP=tp)
(cid:1) pour te allant de -20 40;
(cid:1) avec m ayant pour valeurs possibles { janvier , &, d cembre };
(cid:1) avec mo ayant pour valeurs possibles : { matin , apr s-midi , soir
et nuit };
(cid:1) avec tp ayant pour valeurs possibles : { soleil , nuage , pluie };
61x12x3x3 = 6 588 valeurs
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Graphe causal
25
Principe
26
Incompl tude
Repr sentation
probabiliste
Incertitude
Inf rence
Bay sienne
Etat de connaissances
D cision
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27
28
Inf rence Bay sienne
Int r t de linf rence Bay sienne
But
partir des connaissances initiales, r pondre de
nouvelles questions.
(cid:1) fait-il souvent 12 degr s en d cembre ?
(cid:1) fait-il plus souvent 12 ou 14 degr s en d cembre le
matin ?
(cid:1) fait-il souvent 12 degr s en d cembre le matin ?
(cid:1) &.
Utiliser des postulats
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30
Quelques postulats
Postulat de normalisation
P(A)+P( A)=1
Postulat de conjonction
P(A ' B) = P(A|B) . P(B)
= P(B ' A)
= P(B|A) . P(A)
Notation& signification
(cid:1) On appelle g n ralement:
(cid:1) P(A): probabilit a priori
(cid:1) P(A|B): probabilit a posteriori
II3 - ENSI
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Chapitre 6
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32
Inf rence Bay sienne
(cid:1) Calculer les probabilit s posteriori de certaines variables en
fonction de certaines observations ( vidences)
(cid:1) Evidence: variable dont la valeur est connue avec certitude
Partitionner les variables
(cid:1) Une question est obtenue en partitionnant
lensemble des variables en 3 sous ensembles :
(cid:1) la variable recherch e R (la variable requ te);
(cid:1) les variables connues C (variables observations;
evidences);
(cid:1) les variables inconnues I.
(cid:1) Nous d finissons une question comme la probabilit :
(cid:2) P(R |C)
II3 - ENSI
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Chapitre 6
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Exemple
33
Fait-il souvent 12 degr s Paris le matin en
d cembre ?
(cid:1) Quelle est la probabilit quil fasse 12 degr s
sachant quon est le matin en d cembre ?
(cid:1) R = {TE = 12};
(cid:1) C = {M = d cembre ' MO = matin};
(cid:1) I = {TP}.
(cid:2) P( TE = 12 | M = d cembre ' MO = matin)
La solution&
34
II3 - ENSI
17
Chapitre 6
A.U. 2016-2017
Pour notre cas&
35
R gle de conjonction
Calcul de la distribution jointe:
D composition
36
p(x1,&,xn) = P(xi | Ui)
i=1..n
II3 - ENSI
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Chapitre 6
A.U. 2016-2017
Exemple
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P(F|A, G)
P(A)
A
adolescent
adulte
P(A)
0.6
0.4
P(G)
G
P(G)
Age
Genre
f minin
masculin
0.5
0.5
A
P(F| A, G)
Fumer
F
non
non
non
non
l g re
l g re
l g re
l g re
autres
autres
autres
autres
G
f minin
f minin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
f minin
f minin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
f minin
f minin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
0.5
0.2
0.1
0.2
0.2
0.4
0.2
0.3
0.3
0.4
0.7
0.5
Cancer
P(C|F)
C
oui
oui
oui
non
non
non
F
P(C|F)
non
0.04
l g re 0.12
autres 0.4
non
0.96
l g re 0.88
autres 0.6
223*2 =24 lignes
p(A , G , F , C) = P(A) . P(G) . P(F | A , G) . P(C | F)
C
F
G
A
P(C|F)
P(A)
P(G)
P(F|A,G)
p(A,G,F,C)
oui
oui
oui
38
oui
oui
oui
oui
oui
oui
oui
oui
oui
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
f minin
adolescent
f minin
Exemple
masculin
adulte
masculin
adulte
adolescent
l g re
l g re
l g re
l g re
Publicité
autres
autres
autres
autres
non
non
non
non
l g re
l g re
l g re
l g re
autres
autres
autres
autres
f minin
f minin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
f minin
f minin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
f minin
f minin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
f minin
f minin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
f minin
f minin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
0.04
0.04
0.04
0.04
0.12
0.12
0.12
0.12
0.4
0.4
0.4
0.4
0.96
0.96
0.96
0.96
0.88
0.88
0.88
0.88
0.6
0.6
0.6
0.6
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.2
0.1
0.2
0.2
0.4
0.2
0.3
0.3
0.4
0.7
0.5
0.5
0.2
0.1
0.2
0.2
0.4
0.2
0.3
0.3
0.4
0.7
0.5
0.006
0.0016
0.0012
0.0016
0.0072
0.0096
0.0072
0.0072
0.036
0.032
0.084
0.04
0.144
0.0384
0.0288
0.0384
0.0528
0.0704
0.0528
0.0528
0.054
0.048
0.126
0.06
II3 - ENSI
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Chapitre 6
A.U. 2016-2017
C
F
G
A
P(C|F)
P(F|A,G)
P(G)
P(A)
p(A,G,F,C)
oui
oui
oui
39
oui
oui
oui
oui
oui
oui
oui
oui
oui
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
f minin
adolescent
f minin
Exemple
masculin
adulte
masculin
adulte
adolescent
adolescent
0.04
0.04
0.04
0.04
0.12
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
adulte
P(Cancer= oui)= 0.2336
adolescent
0.12
0.12
0.4
0.6
f minin
f minin
masculin
masculin
adulte
f minin
f minin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
f minin
f minin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
f minin
f minin
masculin
adolescent
adulte
0.12
0.4
0.4
0.4
0.4
0.96
0.96
0.96
0.96
0.88
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
Publicité
0.4
0.6
0.4
0.6
P(Cancer= non)= 0.7664
adolescent
0.88
0.6
0.88
0.4
masculin
adulte
f minin
f minin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
0.88
0.6
0.6
0.6
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
l g re
l g re
l g re
l g re
autres
autres
autres
autres
non
non
non
non
l g re
l g re
l g re
l g re
autres
autres
autres
autres
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.2
0.1
0.2
0.2
0.4
0.2
0.3
0.3
0.4
0.7
0.5
0.5
0.2
0.1
0.2
0.2
0.4
0.2
0.3
0.3
0.4
0.7
0.5
0.006
0.0016
0.0012
0.0016
0.0072
0.0096
0.0072
0.0072
0.036
0.032
0.084
0.04
0.144
0.0384
0.0288
0.0384
0.0528
0.0704
0.0528
0.0528
0.054
0.048
0.126
0.06
Inf rence
40
(cid:3) Si on a une vidence :
(cid:3) Objectif: Trouver limpact dune information certaine sur le
reste des variables
(cid:3) Exemple: P(Cancer = oui | Fumer = l g res)
Age
Genre
Fumer
Cancer
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20
Chapitre 6
A.U. 2016-2017
Inf rence
41
(cid:1) Moyens:
(cid:1) Calcul de la distribution jointe p en utilisant la chain rule
(cid:1) Puis marginalisation en fonction de l vidence e
P(Cancer = oui | Fumer = l g res) =
P(Cancer = oui, Fumer = l g res)
P(Fumer = l g res)
C
F
G
A
P(C|F)
P(F|A,G)
P(G)
P(A)
p(A,G,F,C)
non
f minin
oui
P(Cancer = oui | Fumer = l g res)????
Exemple
oui
oui
42
oui
adolescent
masculin
masculin
f minin
adolescent
adulte
adulte
0.04
0.04
0.04
0.04
non
non
non
oui
oui
oui
oui
l g re
l g re
l g re
l g re
f minin
f minin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
0.12
0.12
0.12
0.12
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.2
0.1
0.2
0.2
0.4
0.2
0.3
autres
f minin
adolescent
autres
f minin
oui
P(Cancer = oui, Fumer = l g res)=0.0312
oui
oui
P(Fumer=l g re)=0.26
oui
0.5
P(Cancer = oui | Fumer = l g res) = 0.0312 / 0.26= 0.12
non
0.5
non
0.2
adolescent
adolescent
masculin
masculin
f minin
f minin
autres
autres
adulte
adulte
adulte
0.96
0.96
non
non
0.3
0.6
0.4
0.5
0.5
0.4
0.5
0.6
0.4
0.5
0.4
0.7
0.5
0.4
0.5
0.4
0.6
0.4
0.4
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
l g re
l g re
l g re
l g re
Publicité
autres
autres
autres
autres
masculin
adolescent
masculin
adulte
f minin
f minin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
f minin
f minin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
0.96
0.96
0.88
0.88
0.88
0.88
0.6
0.6
0.6
0.6
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.1
0.2
0.2
0.4
0.2
0.3
0.3
0.4
0.7
0.5
0.006
0.0016
0.0012
0.0016
0.0072
0.0096
0.0072
0.0072
0.036
0.032
0.084
0.04
0.144
0.0384
0.0288
0.0384
0.0528
0.0704
0.0528
0.0528
0.054
0.048
0.126
0.06
II3 - ENSI
21
Chapitre 6
A.U. 2016-2017
Revenons notre cas&
43
44
Utilisation de la d composition pour linf rence
(cid:1) Num rateur: 12 probabilit s remplacer
(cid:1) D nominateur: 732 probabilit s remplacer
(cid:2) Co t des calculs exponentiel en fonction du nombre de variables
inconnues
II3 - ENSI
22
Chapitre 6
A.U. 2016-2017
45
46
Simplification des calculs
(cid:1) Mettre en facteur les probabilit s qui sont identiques pour
chaque terme de la somme.
(cid:6) le nombre de variables, sur lesquelles on somme, reste souvent
important.
=> Sommer uniquement sur les variables pertinentes&
(cid:1) Comment trouver ces variables pertinentes ?
Simplification avec les anc tres
(cid:1) Les variables pertinentes sont les anc tres des variables
initiales.
Avec Anc tre de X: parents de X
II3 - ENSI
23
Chapitre 6
A.U. 2016-2017
Lalgorithme de
l limination des variables
47
(cid:1) Pour une requ te portant sur une variable R
(variable requ te), et tant donn une ou des
observations C (variables observations), on
calculera P(R|C)
(cid:1) Les probabilit s jointes du num rateur et
d nominateur sont ensuite d compos es (sous forme
conditionnelle) en se basant sur la structure du r seau
bay sien,
(cid:1) On cherche factoriser. On appliquera :
(cid:1) La non-pertinence : toute variable qui nest pas un
anc tre dune variable de requ te ou dobservation
peut tre limin e.
Exemple
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II3 - ENSI
24
Chapitre 6
A.U. 2016-2017
49
50
R sum des calculs
(cid:1) Avant simplification, on avait :
(cid:1) 12 probabilit s pour le num rateur;
(cid:1) 732 probabilit s pour le d nominateur.
(cid:1) Apr s simplification, on a :
(cid:1) 2x3=6 probabilit s pour le num rateur;
(cid:1) 0 probabilit s pour le d nominateur.
(cid:1) On a 744/6 = 124 fois moins de probabilit s remplacer
par leurs valeurs num riques !!!
A retenir&
(cid:1) Avant dintroduire les sommes, v rifier que la
probabilit nest pas accessible directement.
(cid:1) Chercher lensemble de variables sur lesquelles il
faut sommer.
(cid:1) Mettre en facteur, les probabilit s ind pendantes
des variables sur lesquelles on somme.
(cid:1) R organiser la somme pour faire des mises en
facteur. Pensez mettre des parenth ses pour
plus de clart .
II3 - ENSI
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Chapitre 6
A.U. 2016-2017
Principe
51
Incompl tude
Repr sentation
probabiliste
Incertitude
Inf rence
Bay sienne
Etat de connaissances
D cision
52
D cision
II3 - ENSI
26
Chapitre 6
A.U. 2016-2017
53
54
Diagramme dinfluence R seau Bay sien augment
C
Tables de probabilt conditionnelle
(CPT)
Utilit s
C
Les nSuds de
d cision ne sont pas
quantifi s
D
B
A
V
Composante graphique
(DAG)
D
V
Composante num rique
Type de relations
Le nSud de chance pr c dant affecte la probabilit
du nSud de chance suivant
La d cision affecte la probabilit du nSud chance
suivant
La d cision se fait sachant la probabilit de
loccurence du nSud de chance
Le r sultat est conditionnel aux probabilit s du nSud
chance
La d cision pr c dente est faite avant la d cision
courante
II3 - ENSI
27
Chapitre 6
A.U. 2016-2017
Les Arcs
55
A
A
B
A influence B
Le nSud pr d cesseur est important
pour d terminer les chances
associ es au nSud al atoire
Influence
conditionnelle
Le nSud de destination est
une fonction des nSuds
dorigine
La d cision est prise en
connaissant la\les variable(s)
pr c dente(s)
Influence
dinformation
Exemple
56
Un m decin essaie de d cider sur une politique pour traiter les patients suspect s de
souffrir dune maladie D.
D cause un tat pathologique P qui son tour cause lapparition du sympt me S.
Le m decin observe tout dabord si le patient le sympt me S. En se basant sur
cette observation,
il traite le patient (de D et P) ou pas..
La fonction dutilit U du m decin d pend de sa d cision T de traiter ou pas, la
pr sence ou labsence de la maladie D et de l tat pathologique P.
II3 - ENSI
28
Chapitre 6
A.U. 2016-2017
Exemple : Probl me du diagnostic m dical
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T
S
P
D
U
Exercice
58
(cid:1) On consid re le probl me classique suivant. On utilisera les notations
suivantes : FN pour 1l fait froid en Norv ge, ZO pour la cage des
cygnes est ouverte au Zoo, CP pour il y a un cygne sauvage sur
ma pelouse, et enfin SA pour le prix du saumon a augment .
(cid:1) On dispose en outre des probabilit s conditionnelles significatives
(celles qui doivent tre associ es aux nSuds du r seau) suivantes :
(cid:1) Donnez la structure du r seau Bay sien ?
(cid:1) Quelle est la probabilit pour quil y ait un cygne sur ma pelouse
sachant que le Zoo a laiss une cage ouverte ?
(cid:1) Quelle est la probabilit pour la cage ne soit pas ouverte au Zoo
tant donn quil ne fait pas froid en Norv ge ?
(cid:1) Quelle est la probabilit pour que la cage soit ouverte au Zoo tant
donn quil ny a pas de cygnes sur ma pelouse ?
II3 - ENSI
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Chapitre 6
A.U. 2016-2017
Exercice
59
(cid:1) Environ 8 % des hommes et 0,5 % des femmes
portent des lunettes.
(cid:1) Mod lisez le r seau Bay sien correspondant.
(cid:1) Quel est le pourcentage de femmes parmi ceux qui
portent des lunettes.
II3 - ENSI
30