Chapitre 6
A.U. 2016-2017
CHAPITRE 6
RÉSEAUX BAYÉSIENS
II3
Université de La Manouba – ENSI – 2016/2017
Introduction
2
(cid:1) La représentation des connaissances et le raisonnement à partir de ces représentations a donné naissance à de nombreux modèles.
(cid:1) Les modèles graphiques probabilistes, et plus précisément les
réseaux bayésiens (RB), initiés par Judea Pearl dans les années 1980 sous le nom de systèmes experts probabilistes, se sont révélés des outils très pratiques pour la représentation des connaissances probabilistes et le raisonnement à partir d’informations incomplètes
(cid:1) De nombreux domaines comme la bio-informatique, la gestion du risque, le marketing, la sécurité informatique, le transport, etc.
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1
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Exemple de SIAD basé sur les réseaux Bayésiens
(cid:1) http://www.bayesia.com/FR/produits/bLab/
3
Un peu d’histoire
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Chapitre 6
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5
6
Les modèles graphiques probabilistes (1)
Probabilistic models
Graphical models
Directed
Undirected
Outils importants pour la représentation et l’analyse des informations probabilistes dans les systèmes de base de connaissances
Les modèles graphiques probabilistes (2)
Graphes dirigés
Connexes
Non Connexes
DAG
Cycliques
Arbres (sans boucles)
Multiply connected (avec boucles)
Arbres Simples
Arbres multiples polytree
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3
Chapitre 6
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Les modèles graphiques probabilistes (3)
Importants outils pour acquérir, représenter et utiliser les connaissances
Parmi les modèles graphiques sous forme de DAG:
…
Réseaux Bayésiens
Diagrammes d’influences
Arbres de Décision
(Raifa)
Exemple d’application des Réseaux Bayésiens
7
8
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Chapitre 6
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Applications réelles
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(cid:190) Microsoft
(cid:190) Windows : identification de problèmes d'impression
(cid:190) Office : l'agent Office Assistant
(cid:190) NASA : aide au diagnostic de pannes en temps réel pour les
systèmes de propulsion de la navette spatiale
Diagnostic médical : aide à l'évaluation de la gravité chez des patients atteints de douleurs thoraciques, consultant aux urgences.
Prédiction : AT&T, détection de fraudes (mauvais payeurs) sur les factures de téléphone.
Graphe causal (Réseau Bayésien)
10
(cid:1) Graphe orienté acyclique (cid:1) Un nœud représente une variable aléatoire (cid:1) Permet de modéliser les connaissances imparfaites
D
T
{vrai, faux }
{-20,…, 40}
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5
(cid:190) (cid:190) Chapitre 6
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12
Graphe causal
(cid:1) Un arc représente l’influence directe (lien de cause
à effet) d’une variable sur une autre;
Exemple (cid:1) les températures ne sont pas les mêmes selon que nous savons que nous sommes en décembre ou pas
(cid:1) D a une influence directe sur T (cid:1) on dit que D est le parent de T
(cid:2) Il y a une dépendance entre D et T
D
T
Et si nous avons une chaine? indépendance conditionnelle
• Si entre A et B il existe un arc alors la relation de dépendance est évidente • S’il existe une chaîne (unique) entre A et B alors les 3 situations suivantes sont possibles:
A
C
B
C
A
B
A
B
C
Head-to-Tail
Tail-to-Tail
Head-to-Head
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6
Chapitre 6
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Et si nous avons une chaine?
A
C
B
Ensoleillement
A et B sont indépendants dans le contexte C
Récolte
Prix du blé
I ({A}, {C}, {B})
Cad si on connaît C alors une information sur A n’aura aucun impact sur B et vice versa
Head-to-Tail
Et si nous avons une chaine?
13
14
(cid:3) A et B sont indépendants dans le contexte C
Pluit
C
I ({A}, {C}, {B})
A
B
État ma pelouse
État pelouse voisin
Tail-to-Tail
(cid:3) Cad si on connaît C alors une information sur A
n’aura aucun impact sur B et vice versa
(cid:3) Si ma pelouse est mouillée (A), je peux penser qu’il a plut hier (C) et que la pelouse des voisins et également mouillée (B). Par contre si j’ai une information certaine qu’il a plut hier alors je peux affirmer que la pelouse de mon voisin est mouillée et toute information sur l’état de ma pelouse n’a aucune influence
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Et si nous avons une chaine?
A : circulation B : accident C : retard
(cid:3) A et B ne sont pas indépendants dans le
contexte C
(cid:3) Cad si on connaît C alors une information sur A
A
B
peut informer sur l’état de B et vice versa
C
Head-to-Head
(cid:3) Dans le domaine agricole, les maladies (A) sont indépendantes des Incendies (B) par contre si la productivité diminue (C) alors on peut penser aux maladies. Par contre si on a une information disant qu’il y a une série d’incendie dans la région alors notre croyance par rapport aux maladies diminue.
Et plus généralement
Non descendants de B
J2
J1
Parents de B
J3
VV
J4
CC
II
B
AA
WW
KK
Descendants de B
Indépendance qualitative: dans un RB toute variable est
indépendante de ses non-descendants dans le contexte de ses parents
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Chapitre 6
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Indépendance et Probabilité
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Composante quantitative
(cid:1) Distribution de probabilités jointe p + DAG G est un réseau
Bayésien si " Xi,
P(Xi | Ui, NDi) = P(Xi | Ui).
Où (cid:4) Ui : les parents de Xi (cid:4) NDi : les non descendants de Xi
(cid:1) Problème : p impossible à avoir en pratique.
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Composante quantitative: Quantifier les liens d'influence (Représentation compacte)
(cid:3) Pour toute variable discrète A:
(cid:5) Si A est une racine alors on donne la distribution de
probabilité a priori sur toutes les instances de la variable t.q.
∑ P(a)=1
a
(cid:5) Sinon on donne la distribution de probabilité a priori conditionnelle dans le contexte de ses parents t.q.
∑ P(a|uA)=1
a
Graphe causal
(cid:1) On associe à chaque nœud, une distribution de
probabilités
(cid:1) Cette distribution est conditionnée par la valeur des variables qui influence la variable associée à cette distribution
(cid:1) Exemple D=Vrai (T true) D=Faux (F false)
D
T
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Graphe causal
(cid:1) Modélisation de notre problème de prévision de
température à Paris
Variables aléatoires discrètes
– MO (moment de la journée) variable énumérée : le matin, l’après- midi, le soir et la nuit. – TP (temps qu’il fait) variable énumérée : ensoleillé, nuageux, pluvieux – M (mois de l’année) variable énumérée : Janvier, …, Décembre; – TE (température du mois) variable entière : -20 à 40
Graphe causal
(cid:1) On sait que M et MO ne sont influencées par
aucune variable;
(cid:1) On sait que TE est influencée par M, MO et TP. (cid:1) On sait que TP est influencée par M;
{janvier, …,décembre}
{matin, …,soir}
TP
{nuageux, …,ensoleillé}
MO
M
TE
{-20, …,40}
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Graphe causal
(cid:1) L’ensemble des valeurs de chacune des distributions de probabilités nous est donnée par notre connaissance du problème
(cid:1) La variable M: on sait que (cid:1) P( M = janvier ) = 1/12 (cid:1) … (cid:1) P( M = décembre ) = 1/12
(cid:1) La variable MO: on sait que
(cid:1) P(MO = matin ) = 6/24 (de 6h à midi); (cid:1) P(MO = après-midi) = 8/24 (de midi à 20h); (cid:1) P(MO = soir et nuit ) = 10/24 (de 20h à 6h).
Graphe causal
(cid:1) Pour la variable TP: Il faut définir chaque P(TP = tp|M = m)
(cid:1) avec tp ayant pour valeurs possibles : {« soleil », « nuage », « pluie »}; (cid:1) avec m ayant pour valeurs possibles {« janvier », …, « décembre »};
⇒ 12x3 = 36 valeurs
(cid:1) Pour la variable TE : Il faut définir chaque P(TE=te|M=m, MO=mo,
TP=tp) (cid:1) pour te allant de -20 à 40; (cid:1) avec m ayant pour valeurs possibles {« janvier », …, « décembre »}; (cid:1) avec mo ayant pour valeurs possibles : {« matin », « après-midi », « soir
et nuit »};
(cid:1) avec tp ayant pour valeurs possibles : {« soleil », « nuage »,« pluie »};
⇒ 61x12x3x3 = 6 588 valeurs
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Graphe causal
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Principe
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Incomplétude
Représentation probabiliste
Incertitude
Inférence Bayésienne
Etat de connaissances
Décision
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Chapitre 6
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28
Inférence Bayésienne
Intérêt de l’inférence Bayésienne
But
partir des connaissances initiales, répondre à de nouvelles questions.
(cid:1) fait-il souvent 12 degrés en décembre ? (cid:1) fait-il plus souvent 12 ou 14 degrés en décembre le
matin ?
(cid:1) fait-il souvent 12 degrés en décembre le matin ? (cid:1) ….
Utiliser des postulats
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Quelques postulats
Postulat de normalisation
P(A)+P(¬A)=1
Postulat de conjonction
P(A ∧ B) = P(A|B) . P(B)
= P(B ∧ A) = P(B|A) . P(A)
Notation& signification
(cid:1) On appelle généralement: (cid:1) P(A): probabilité a priori (cid:1) P(A|B): probabilité a posteriori
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Inférence Bayésienne
(cid:1) Calculer les probabilités à posteriori de certaines variables en
fonction de certaines observations (évidences) (cid:1) Evidence: variable dont la valeur est connue avec certitude
Partitionner les variables
(cid:1) Une question est obtenue en partitionnant
l’ensemble des variables en 3 sous ensembles : (cid:1) la variable recherchée R (la variable requête); (cid:1) les variables connues C (variables observations;
evidences);
(cid:1) les variables inconnues I.
(cid:1) Nous définissons une question comme la probabilité:
(cid:2) P(R |C)
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Exemple
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Fait-il souvent 12 degrés à Paris le matin en
décembre ?
(cid:1) Quelle est la probabilité qu’il fasse 12 degrés
sachant qu’on est le matin en décembre ? (cid:1) R = {TE = 12}; (cid:1) C = {M = “décembre” ∧ MO = “matin”}; (cid:1) I = {TP}.
(cid:2) P( TE = 12 | M = “décembre” ∧ MO = “matin”)
La solution…
Publicité
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Pour notre cas…
35
Règle de conjonction
Calcul de la distribution jointe: Décomposition
36
p(x1,…,xn) = ∏ P(xi | Ui)
i=1..n
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Exemple
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P(F|A, G)
P(A)
A
adolescent
adulte
P(A)
0.6
0.4
P(G)
G
P(G)
Age
Genre
féminin
masculin
0.5
0.5
A
P(F| A, G)
Fumer
F
non
non
non
non
légère
légère
légère
légère
autres
autres
autres
autres
G
féminin
féminin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
féminin
féminin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
féminin
féminin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
0.5
0.2
0.1
0.2
0.2
0.4
0.2
0.3
0.3
0.4
0.7
0.5
Cancer
P(C|F)
C
oui
oui
oui
non
non
non
F
P(C|F)
non
0.04
légère 0.12
autres 0.4
non
0.96
légère 0.88
autres 0.6
2*2*3*2 =24 lignes
p(A , G , F , C) = P(A) . P(G) . P(F | A , G) . P(C | F)
C
F
G
A
P(C|F)
P(A)
P(G)
P(F|A,G)
p(A,G,F,C)
oui
oui
oui 38 oui
oui
oui
oui
oui
oui
oui
oui
oui
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
féminin
adolescent
féminin
Exemple
masculin
adulte
masculin
adulte
adolescent
légère
légère
légère
légère
autres
autres
autres
autres
non
non
non
non
légère
légère
légère
légère
autres
autres
autres
autres
féminin
féminin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
féminin
féminin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
féminin
féminin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
féminin
féminin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
féminin
féminin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
0.04
0.04
0.04
0.04
0.12
0.12
0.12
0.12
0.4
0.4
0.4
0.4
0.96
0.96
0.96
0.96
0.88
0.88
0.88
0.88
0.6
0.6
0.6
0.6
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.2
0.1
0.2
0.2
0.4
0.2
0.3
0.3
0.4
0.7
0.5
0.5
0.2
0.1
0.2
0.2
0.4
0.2
0.3
0.3
0.4
0.7
0.5
0.006
0.0016
0.0012
0.0016
0.0072
0.0096
0.0072
0.0072
0.036
Publicité
0.032
0.084
0.04
0.144
0.0384
0.0288
0.0384
0.0528
0.0704
0.0528
0.0528
0.054
0.048
0.126
0.06
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Chapitre 6
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C
F
G
A
P(C|F)
P(F|A,G)
P(G)
P(A)
p(A,G,F,C)
oui
oui
oui 39 oui
oui
oui
oui
oui
oui
oui
oui
oui
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
féminin
adolescent
féminin
Exemple
masculin
adulte
masculin
adulte
adolescent
adolescent
0.04
0.04
0.04
0.04
0.12
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
adulte
P(Cancer= oui)= 0.2336
adolescent
0.12
0.12
0.4
0.6
féminin
féminin
masculin
masculin
adulte
féminin
féminin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
féminin
féminin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
féminin
féminin
masculin
adolescent
adulte
0.12
0.4
0.4
0.4
0.4
0.96
0.96
0.96
0.96
0.88
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
P(Cancer= non)= 0.7664
adolescent
0.88
0.6
0.88
0.4
masculin
adulte
féminin
féminin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
0.88
0.6
0.6
0.6
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
légère
légère
légère
légère
autres
autres
autres
autres
non
non
non
non
légère
légère
légère
légère
autres
autres
autres
autres
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.2
0.1
0.2
0.2
0.4
0.2
0.3
0.3
0.4
0.7
0.5
0.5
0.2
0.1
0.2
0.2
0.4
0.2
0.3
0.3
0.4
0.7
0.5
0.006
0.0016
0.0012
0.0016
0.0072
0.0096
0.0072
0.0072
0.036
0.032
0.084
0.04
0.144
0.0384
0.0288
0.0384
0.0528
0.0704
0.0528
0.0528
0.054
0.048
0.126
0.06
Inférence
40
(cid:3) Si on a une évidence :
(cid:3) Objectif: Trouver l’impact d’une information certaine sur le
reste des variables
(cid:3) Exemple: P(Cancer = oui | Fumer = légères)
Age
Genre
Fumer
Cancer
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Chapitre 6
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Inférence
41
(cid:1) Moyens:
(cid:1) Calcul de la distribution jointe p en utilisant la chain rule (cid:1) Puis marginalisation en fonction de l’évidence e
P(Cancer = oui | Fumer = légères) =
P(Cancer = oui, Fumer = légères)
P(Fumer = légères)
C
F
G
A
P(C|F)
P(F|A,G)
P(G)
P(A)
p(A,G,F,C)
non
féminin
oui P(Cancer = oui | Fumer = légères)???? Exemple oui oui 42 oui
adolescent
masculin
masculin
féminin
adolescent
adulte
adulte
0.04
0.04
0.04
0.04
non
non
non
oui
oui
oui
oui
légère
légère
légère
légère
féminin
féminin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
0.12
0.12
0.12
0.12
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
Publicité
0.6
0.4
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.2
0.1
0.2
0.2
0.4
0.2
0.3
autres
féminin
adolescent
autres
féminin
oui P(Cancer = oui, Fumer = légères)=0.0312 oui oui P(Fumer=légère)=0.26 oui 0.5 P(Cancer = oui | Fumer = légères) = 0.0312 / 0.26= 0.12 non 0.5 non 0.2
adolescent
adolescent
masculin
masculin
féminin
féminin
autres
autres
adulte
adulte
adulte
0.96
0.96
non
non
0.3
0.6
0.4
0.5
0.5
0.4
0.5
0.6
0.4
0.5
0.4
0.7
0.5
0.4
0.5
0.4
0.6
0.4
0.4
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
non
légère
légère
légère
légère
autres
autres
autres
autres
masculin
adolescent
masculin
adulte
féminin
féminin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
féminin
féminin
adolescent
adulte
masculin
adolescent
masculin
adulte
0.96
0.96
0.88
0.88
0.88
0.88
0.6
0.6
0.6
0.6
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.6
0.4
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.1
0.2
0.2
0.4
0.2
0.3
0.3
0.4
0.7
0.5
0.006
0.0016
0.0012
0.0016
0.0072
0.0096
0.0072
0.0072
0.036
0.032
0.084
0.04
0.144
0.0384
0.0288
0.0384
0.0528
0.0704
0.0528
0.0528
0.054
0.048
0.126
0.06
II3 - ENSI
21
Chapitre 6
A.U. 2016-2017
Revenons à notre cas…
43
44
Utilisation de la décomposition pour l’inférence
(cid:1) Numérateur: 12 probabilités à remplacer (cid:1) Dénominateur: 732 probabilités à remplacer (cid:2) Coût des calculs exponentiel en fonction du nombre de variables
inconnues
II3 - ENSI
22
Chapitre 6
A.U. 2016-2017
45
46
Simplification des calculs
(cid:1) Mettre en facteur les probabilités qui sont identiques pour
chaque terme de la somme.
(cid:6) le nombre de variables, sur lesquelles on somme, reste souvent
important.
=> Sommer uniquement sur les variables pertinentes…
(cid:1) Comment trouver ces variables pertinentes ?
Simplification avec les ancêtres
(cid:1) Les variables pertinentes sont les ancêtres des variables
initiales.
Avec Ancêtre de X: parents de X
II3 - ENSI
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Chapitre 6
A.U. 2016-2017
L’algorithme de l’élimination des variables
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(cid:1) Pour une requête portant sur une variable R
(variable requête), et étant donné une ou des observations C (variables observations), on calculera P(R|C)
(cid:1) Les probabilités jointes du numérateur et
dénominateur sont ensuite décomposées (sous forme conditionnelle) en se basant sur la structure du réseau bayésien,
(cid:1) On cherche à factoriser. On appliquera :
(cid:1) La non-pertinence : toute variable qui n’est pas un
ancêtre d’une variable de requête ou d’observation peut être éliminée.
Exemple
48
II3 - ENSI
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Chapitre 6
A.U. 2016-2017
49
50
Résumé des calculs
(cid:1) Avant simplification, on avait :
(cid:1) 12 probabilités pour le numérateur; (cid:1) 732 probabilités pour le dénominateur.
(cid:1) Après simplification, on a :
(cid:1) 2x3=6 probabilités pour le numérateur; (cid:1) 0 probabilités pour le dénominateur.
(cid:1) On a 744/6 = 124 fois moins de probabilités à remplacer
par leurs valeurs numériques !!!
A retenir…
(cid:1) Avant d’introduire les sommes, vérifier que la probabilité n’est pas accessible directement.
(cid:1) Chercher l’ensemble de variables sur lesquelles il
faut sommer.
(cid:1) Mettre en facteur, les probabilités indépendantes
des variables sur lesquelles on somme.
(cid:1) Réorganiser la somme pour faire des mises en facteur. Pensez à mettre des parenthèses pour plus de clarté.
II3 - ENSI
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Chapitre 6
A.U. 2016-2017
Principe
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Incomplétude
Représentation probabiliste
Incertitude
Inférence Bayésienne
Etat de connaissances
Décision
52
Décision
II3 - ENSI
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Chapitre 6
A.U. 2016-2017
53
54
Diagramme d’influence – Réseau Bayésien augmenté
C
Tables de probabilté conditionnelle
(CPT)
Utilités
C
Les nœuds de décision ne sont pas quantifiés
D
B
A
V
Composante graphique (DAG)
D
V
Composante numérique
Type de relations
Le nœud de chance précédant affecte la probabilité du nœud de chance suivant
La décision affecte la probabilité du nœud chance suivant
La décision se fait sachant la probabilité de l’occurence du nœud de chance
Le résultat est conditionnel aux probabilités du nœud chance
La décision précédente est faite avant la décision courante
II3 - ENSI
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Chapitre 6
A.U. 2016-2017
Les Arcs
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A A
B
A influence B
Le nœud prédécesseur est important pour déterminer les chances associées au nœud aléatoire
Influence conditionnelle
Le nœud de destination est une fonction des nœuds d’origine La décision est prise en connaissant la\les variable(s) précédente(s)
Influence d’information
Exemple
56
Un médecin essaie de décider sur une politique pour traiter les patients suspectés de souffrir d’une maladie D.
D cause un état pathologique P qui à son tour cause l’apparition du symptôme S.
Le médecin observe tout d’abord si le patient à le symptôme S. En se basant sur
cette observation,
il traite le patient (de D et P) ou pas..
La fonction d’utilité U du médecin dépend de sa décision T de traiter ou pas, la présence ou l’absence de la maladie D et de l’état pathologique P.
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Chapitre 6
A.U. 2016-2017
Exemple : Problème du diagnostic médical
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T
S
P
D
U
Exercice
58
(cid:1) On considère le problème classique suivant. On utilisera les notations suivantes : FN pour “ıl fait froid en Norvège”, ZO pour “la cage des cygnes est ouverte au Zoo”, CP pour “il y a un cygne sauvage sur ma pelouse”, et enfin SA pour “le prix du saumon a augmenté”. (cid:1) On dispose en outre des probabilités conditionnelles significatives (celles qui doivent être associées aux nœuds du réseau) suivantes :
(cid:1) Donnez la structure du réseau Bayésien ? (cid:1) Quelle est la probabilité pour qu’il y ait un cygne sur ma pelouse
sachant que le Zoo a laissé une cage ouverte ?
(cid:1) Quelle est la probabilité pour la cage ne soit pas ouverte au Zoo
étant donné qu’il ne fait pas froid en Norvège ?
(cid:1) Quelle est la probabilité pour que la cage soit ouverte au Zoo étant
donné qu’il n’y a pas de cygnes sur ma pelouse ?
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Chapitre 6
A.U. 2016-2017
Exercice
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(cid:1) Environ 8 % des hommes et 0,5 % des femmes
portent des lunettes. (cid:1) Modélisez le réseau Bayésien correspondant. (cid:1) Quel est le pourcentage de femmes parmi ceux qui
portent des lunettes.
II3 - ENSI
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