Chapitre 4.
Tests d’hypothèses paramétriques
Khaled Jabeur
HDR (IHEC de Carthage, Tunisie), Ph.D. (Université Laval, Canada), M.B.A (Université Laval, Canada), Ing. (FST, Tunisie)
Maître de Conférences à l’Institut Supérieur de Gestion (ISG) de Bizerte
Plan
1.
Introduction
2. Définitions et concepts fondamentaux
3. Test d’hypothèses sur une moyenne
4. Test d’hypothèses sur une proportion
5. Test d’hypothèses sur une variance
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
2/56
Introduction
Un peu d’histoire …
▪ Ce chapitre constitue un prolongement direct de l’étude de l’échantillonnage et
de l’estimation, il s’agit ici aussi d’une initiation à l’utilisation de méthodes
statistiques permettant de prendre une décision : on accepte ou on refuse une
hypothèse.
▪ La notion de test d’hypothèses a été développée dans la première moitié du
XXième siècle par le mathématicien anglais "Egon Pearson"1 (1895-1980) et le
mathématicien d’origine polonaise "Jerzy Neyman" (1894-1981).
Egon Pearson
(1895-1980)
Jerzy Neyman
(1894-1981)
1Egon Pearson est le fils de statisticien anglais "Karl Pearson" (1856-1936).
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
3/56
Introduction
Tests d’hypothèses : Principe de base
▪ Un test d’hypothèse est un procédé d’inférence statistique permettant
de contrôler (accepter ou rejeter), à partir de l'étude d'un ou plusieurs
échantillons aléatoires,
la validité d’hypothèses relatives à une ou
plusieurs populations. Ainsi, il permet de généraliser les propriétés
constatées sur des observations à la population d’où ces dernières sont
extraites, et à répondre à des questions concernant, par exemple, la
nature d’une loi de probabilité, la valeur d’un paramètre, l’égalité de
paramètres de deux distributions ou l’indépendance de deux variables
aléatoires.
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
4/56
Introduction
Familles de Tests d’hypothèses
▪
Il existe deux grandes familles de tests d’hypothèses :
1. Tests d’hypothèses paramétriques : C’est des tests pour lesquels on fait une
hypothèse sur la forme des données sous H0 (normale, Poisson, ...). Les
hypothèses du test concernent alors les paramètres gouvernant cette loi.
2. Test d’hypothèses non-paramétriques : C’est des tests qui ne nécessitent
pas d’hypothèses sur la forme des données. Les données sont alors
remplacées par des statistiques ne dépendant pas des moyennes/variances
des données initiales (tables de contingence, statistique d’ordre, etc.).
▪ Dans le cadre de ce chapitre, on s’intéresse uniquement aux tests d’hypothèses
paramétriques. Les tests d’hypothèses non-paramétriques feront l’objet du
prochain chapitre (Chapitre 5).
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
5/56
Introduction
Tests d’hypothèses : Quelques exemples
▪
En fonction de l’hypothèse testée, plusieurs types de tests peuvent être réalisés.
Ci-dessous, sont cités les tests d’hypothèses les plus connus :
o Le test de conformité : Consiste à tester si un paramètre de la loi théorique (tel que la
moyenne, la proportion ou la variance) est conforme à une valeur préétablie. Ceci
suppose que la loi théorique du paramètre est connue au niveau de la population (Test
paramétrique).
o Le test d’homogénéité ou de comparaison : Consiste à comparer les paramètres
(tel que la moyenne, la proportion ou la variance) des K (K ≥ 2) sous-populations
(groupes) à l’aide d’un nombre équivalent d’échantillons. Cela revient à tester si la
distribution de la variable d’intérêt est la même dans les K sous-populations (Test
paramétrique).
o Le test d’ajustement ou d’adéquation : Consiste à vérifier la compatibilité des
données avec une distribution théorique choisie a priori. Le test le plus utilisé dans ce
cadre est le test d’ajustement à la loi normale, qui permet ensuite d’appliquer un test
paramétrique (Test non paramétrique).
o Le test d’indépendance ou d’association : Consiste à éprouver l’existence d’une
liaison entre 2 variables. Les techniques utilisées diffèrent selon que les variables sont
qualitatives nominales, ordinales ou quantitatives (Test non paramétrique).
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
6/56
Introduction
Tests d’hypothèses de conformité
▪ Dans le cadre de ce chapitre, on s’intéressera uniquement aux tests d’hypothèses
les
paramétriques, particulièrement ceux de conformité qui concernent
paramètres suivants :
o La moyenne du caractère X dans le population
o La proportion des individus ayant une certaine caractéristique dans
la population
o La variance du caractère X dans la population
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
7/56
Xp2XIntroduction
Estimation de paramètres versus tests d’hypothèses
▪ Quelle est la différence entre une estimation paramétrique et un test
d’hypothèses paramétriques ?
o Estimation paramétrique : Ici on suppose inconnu le paramètre de la
population et on cherche à l’estimer au moyen d’une statistique définie à
partir d’un échantillon aléatoire ;
o Test d’hypothèses paramétriques : Ici on suppose au départ que l’on a une
certaine connaissance de la valeur du paramètre et on essaie d’en vérifier la
véracité. Cette valeur constitue l’hypothèse de base.
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
8/56
Introduction
Exemple introductif
Le directeur d’un institut universitaire ayant mis en place des tests de sélection à
l’entrée prétend que la moyenne des notes obtenues par tous les candidats qui ont
passé le test (caractère X) est de 8.5 sur 20. Dit-il vrai ?
Pour vérifier le fondement de cette affirmation, on doit tout d’abord construire
une hypothèse dans laquelle on suppose que la moyenne du test est de 8.5 (μX =
8.5). Ensuite, on prélève un échantillon de n étudiants qui ont passé le test de
sélection et on calcule la moyenne obtenue par ces derniers. Enfin, on compare la
moyenne calculée dans cet échantillon avec la moyenne donnée (dans la
population) par le directeur.
Cette démarche constitue le principe général d’un test d’hypothèses
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
9/56
Introduction
Principe général d’un test d’hypothèses
Le principe général d’un test d’hypothèses paramétriques peut s’énoncer
Publicité
comme suit :
1. On étudie une population dont les individus possèdent un caractère
mesurable et dont la valeur du paramètre relative au caractère étudié est
inconnue ;
2. Une hypothèse est
formulée sur la valeur du paramètre : cette
formulation résulte de considérations théoriques, pratiques ou encore
elle est simplement basée sur un pressentiment ;
3. Sur la base des résultats d’un échantillon prélevé de cette population, on
(acceptation ou refus) sur hypothèse formulée
porte un jugement
précédemment.
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
10/56
Définitions et concepts fondamentaux
Définition 1
Une hypothèse statistique est une affirmation (ou un énoncé) concernant
les caractéristiques d’une population (ex. valeurs des paramètres, forme
de la distribution, …).
Définition 2
Un test d’hypothèses statistiques est un mécanisme qui permet de porter
un jugement sur une hypothèse statistique relative à la valeur
particulière d’un paramètre d’une population. Ce jugement est basé sur
les résultats d’un échantillon prélevé dans cette population et d’un
certain risque d’erreur que nous acceptons de courir.
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
11/56
Définitions et concepts fondamentaux
Définition 3
Un test d’hypothèses implique deux hypothèses :
1. L’hypothèse nulle (H0) : c’est l’hypothèse que l’on ne devrait
pas rejeter à moins d’avoir suffisamment d’évidence contre elle ;
2. L’hypothèse alternative (H1) : c’est l’hypothèse qui sera acceptée
si H0 est rejetée.
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
12/56
Définitions et concepts fondamentaux
Définition 4
Soit 𝜃 un paramètre inconnu (qui peut être une moyenne μX , une variance
2 ou une proportion p) de la distribution de probabilité d’un caractère X
𝜎𝑋
étudié auprès des individus d’une population.
Il existe trois manières différentes permettant de comparer, à travers les
hypothèses H0 et H1, la valeur du paramètre 𝜃 à une valeur prédéfinie 𝜃0 :
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
13/56
Définitions et concepts fondamentaux
Définition 5
Une hypothèse peut être :
– Simple : si dans l’hypothèse on attribut une valeur précise au paramètre de
la population.
• Exemples : H0 : μ = 30, H1 : μ = 15, etc.
– Composée : si dans l’hypothèse le paramètre de la population est spécifié
par un intervalle de valeurs.
• Exemples : H0 : μ > 30, H1 : μ ≠ 15, etc.
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
14/56
Définitions et concepts fondamentaux
Définition 6
Prendre une décision dans un test d’hypothèses consiste à accepter ou à rejeter H0
en se basant sur une estimation du paramètre 𝜃 calculée à partir de données
recueillies dans l’échantillon. Il existe deux types de décisions :
1. Accepter H0 (ou rejeter H1)
o On accepte H0 si l’estimation est relativement proche de la valeur du paramètre
prévue par H0. On dit que l’écart n’est pas significatif et qu’il est dû au hasard
de l’échantillonnage. Dans ce cas on donne le bénéfice du doute à H0.
2. Rejeter H0 (accepter H1)
o Mais, si
l’estimation du paramètre, déterminée à partir des données de
l’échantillon, est loin de la valeur du paramètre prévu par H0, on rejettera H0 car
l’écart est significatif c’est à dire qu’il n’est pas uniquement dû au hasard de
l’échantillonnage.
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
15/56
Définitions et concepts fondamentaux
Définition 7
Dans un test d’hypothèses on ne peut jamais être certain que l’hypothèse nulle doit
être rejetée ou non. Les bonnes décisions et les risques de se tromper sont résumés
dans le tableau suivant :
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
16/56
Définitions et concepts fondamentaux
Définition 8
Le seuil de signification du test d’hypothèses, que nous notons 𝛼, est le
risque consenti à l’avance de se tromper et qui consiste à rejeter à tort
l’hypothèse nulle H0 alors qu’elle est vraie (et de favoriser alors
l’hypothèse alternative H1) :
A ce seuil de signification 𝛼 on fait correspondre une région de rejet de
l’hypothèse nulle (appelée région critique). L’aire de cette région
correspond à la probabilité 𝛼.
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
17/56
()00/PRejeterHHestvraie=Définitions et concepts fondamentaux
Formulation d’hypothèses : Exemple 1
La laiterie ABC a une machine qui remplit en moyenne 15 litres de lait à
la minute. Un vendeur de machinerie prétend qu’il possède une
machine bien meilleure que celle de la laiterie ABC. Pour vérifier
l'affirmation du vendeur, on peut construire un test d’hypothèses.
Formulez l’hypothèse nulle H0 et l’hypothèse alternative H1 pour ce test
d’hypothèses.
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
18/56
Définitions et concepts fondamentaux
Formulation d’hypothèses : Exemple 1
Réponse :
X = une v.a. exprimant le nombre de litres de lait remplis pendant une minute.
μX = la moyenne de la variable X. Le test porte sur cette moyenne.
On pose comme hypothèse nulle :
H0 : « le nombre moyen de litres de lait versé en une minute par la machine du
vendeur est inférieur à 15 » et on note Ho : μX ≤ 15.
On pose comme hypothèse alternative :
H1 : « le nombre moyen de litres de lait versé en une minute par la machine du
vendeur est supérieur à 15 » et on note H1 : μX > 15.
La suite de ce test consiste, en gros, à prélever un échantillon, à calculer la
moyenne de cet échantillon et à décider si cette moyenne est suffisamment
supérieure à 15 pour rejeté H0 ou très proche de 15 pour accepter H0.
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
19/56
Définitions et concepts fondamentaux
Formulation d’hypothèses : Exemple 2
La laiterie ABC veut vérifier si sa machine à remplir les contenants de
lait fonctionne correctement, c’est-à-dire si elle met bien en moyenne
1000 ml de lait dans chaque contenant. Formulez l’hypothèse nulle H0 et
l’hypothèse alternative H1 pour ce test d’hypothèses.
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
Publicité
20/56
Définitions et concepts fondamentaux
Formulation d’hypothèses : Exemple 1
Réponse :
X = une v.a. exprimant le nombre de litres de lait versé par la machine dans le
contenant.
μX = la moyenne de la variable X. Le test porte sur cette moyenne.
On pose comme hypothèse nulle :
H0 : « le nombre moyen de litres de lait versé par la machine dans le contenant est
égal à 1000 ml » et on note Ho : μX = 15.
On pose comme hypothèse alternative :
H1 : «le nombre moyen de litres de lait versé par la machine dans le contenant est
différent de 1000 ml » et on note H1 : μX ≠ 15.
La suite de ce test consiste, en gros, à prélever un échantillon, à calculer la
moyenne de cet échantillon et à décider si cette moyenne est suffisamment
éloignée de 1000 ml pour rejeté H0 ou très proche de 1000 ml pour accepter H0.
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
21/56
Tests d’hypothèses sur une moyenne 𝝁𝑿
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
22/56
Test d’hypothèses sur une Moyenne 𝝁
Les étapes d’un test d’hypothèses sur une moyenne 𝝁X
1.
2.
3.
4.
Identifier les hypothèses H0 et H1.
Préciser les conditions du test
◼ Distribution du caractère X dans la population
◼ Taille de l’échantillon
◼ Variance connue ou inconnue
◼ Le niveau de signification 𝛼
Calculer l’écart réduit et préciser, selon les conditions du test,
distribution de l’écart réduit (voir les Tables 1, 2 et 3).
la
Spécifier, selon la distribution de l’écart réduit, la région critique au
niveau de signification 𝛼 (voir les Graphiques 1, 2 et 3).
5.
Prendre une décision (voir les Tables 1, 2 et 3).
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
23/56
Test d’hypothèses sur une Moyenne 𝝁
Table 1. Cas où l’échantillon provient d’une population normale
de variance connue
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
24/56
Test d’hypothèses sur une Moyenne 𝝁
Table 2. Cas où la taille de l’échantillon n ≥ 30 et que ce dernier
provient d’une population de variance inconnue
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
25/56
Test d’hypothèses sur une Moyenne 𝝁
Table 3. Cas où la taille de l’échantillon n < 30 et que ce dernier
provient d’une population normale de variance inconnue
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
26/56
Test d’hypothèses sur une Moyenne 𝝁
Graphique 1. Région critique pour un Test Bilatéral
Région de rejet de H0
Région d’acceptation de H0
Région de rejet de H0
Valeur critique 2
Valeur critique 1
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
27/56
/2/2zout0010::HH=ZouTZf/2/2zout−−21−2ToufTest d’hypothèses sur une Moyenne 𝝁
Graphique 2. Région critique pour un Test unilatéral à droite
Région d’acceptation de H0
Région de rejet de H0
Valeur critique
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
28/56
0010::HHZouTZfzout1−ToufTest d’hypothèses sur une Moyenne 𝝁
Graphique 3. Région critique pour un Test unilatéral à gauche
Région de rejet de H0
Région d’acceptation de H0
Valeur critique
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
29/56
Zz−zout−− 00:H 00:H0010::HHZouTZf1−ToufTest d’hypothèses sur une Moyenne 𝝁
Exemple 1 : Le boucher M. Simon affirme qu’il vend en moyenne 86
kg de bœuf par jour. Un employé de la boucherie pense que son
patron exagère et veut prouver que la boucherie vend moins de bœuf
que le patron prétend. Pour un échantillon de 20 jours choisis au
hasard, on trouve qu’on y a vendu en moyenne 81 kg de bœuf par
jour.
En supposant que les ventes quotidiennes de bœuf obéissent à une
loi normale d’écart
type 10 kg et en utilisant un niveau de
signification 𝜶 = 0.05, doit-on accepter l’affirmation du patron ?
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
30/56
Test d’hypothèses sur une Moyenne 𝝁
Réponse :
Etape 1
X = ventes quotidiennes de bœuf, en kg.
μ = moyenne des ventes quotidiennes de bœuf, en kg
Etape 2
Distribution de la population : N(μ=86 kg, σ2=100 kg)
Taille de l’échantillon : n = 20 jours
Niveau de signification : a = 0.05
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
31/56
01:86:86HkgHkgTest d’hypothèses sur une Moyenne 𝝁
Réponse :
Etape 3
D’après les tableaux, l’écart réduit est égale à :
l’écart réduit suit une loi normale centrée réduite.
Etape 4
Détermination de la région critique (voir le graphique de la diapositive
suivante).
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
32/56
081862.24/10/20XZn−−===−Test d’hypothèses sur une Moyenne 𝝁
Réponse :
Région de rejet de H0
Région d’acceptation de H0
Valeur critique
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
33/56
Zz−5%1.645z−=− 00:H 00:H01:86:86HH(0,1)ZNZf5%95%Test d’hypothèses sur une Moyenne 𝝁
Réponse :
Etape 5 : Prendre une décision : Puisque Z = -2.24 < -1.645 alors H0 est rejetée
Région de rejet de H0
Publicité
Région d’acceptation de H0
Valeur critique
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
34/56
Zz−5%1.645z−=− 00:H 00:H01:86:86HH(0,1)ZNZf5%95%2.24Z=−Test d’hypothèses sur une Moyenne 𝝁
Exemple 2 : Avant le règlement de leur conflit de travail, les policiers
d’une ville effectuaient en moyenne 20 arrestations par jour. Au cours
des 10 jours qui ont suivi le règlement du conflit, on a relevé le nombre
X arrestations quotidiennes suivantes :
X = 20, 18, 25, 19, 17, 22, 16, 23, 12 et 15.
Au niveau de signification a = 0.05 , y a-t-il lieu de croire que le
règlement du conflit a fait diminuer de façon significative le nombre
moyen d’arrestations sachant que la variable aléatoire X est distribuée
normalement ?
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
35/56
Test d’hypothèses sur une Moyenne 𝝁
Réponse :
Etape 1
X = Nombre d’arrestations effectuées par les policiers d’une ville en
une journée.
μ = Nombre moyen d’arrestations effectuées par les policiers en une
journée.
Etape 2
Distribution de la population N(μ=20, σ2=inconnue)
Taille de l’échantillon = n = 10 jours
Niveau de signification a = 0.05
Variance de l’échantillon :
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
36/56
01:20:20HpersonnesHpersonnes223.94515.57==sTest d’hypothèses sur une Moyenne 𝝁
Réponse :
Etape 3
D’après les tableaux, l’écart réduit est égale à :
L’écart réduit suit la loi de Student de 10 - 1 = 9 degrés de liberté
Etape 4
Détermination de la région critique (voir
diapositive suivante).
le graphique sur
la
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
37/56
018.7201.04(9)3.94510XTtdlsn−−===−Test d’hypothèses sur une Moyenne 𝝁
Réponse :
Région de rejet de H0
Région d’acceptation de H0
Valeur critique
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
38/56
Zz−5%1.83t−=− 00:H 00:H01:20:20HH(19)Ttndl−=Zf5%95%Test d’hypothèses sur une Moyenne 𝝁
Etape 5 : Prendre une décision : Puisque T = -1.04 > -1.83 alors H0 est acceptée
Région de rejet de H0
Région d’acceptation de H0
Valeur critique
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
39/56
Zz−5%1.83t−=− 00:H 00:H01:20:20HH(19)Ttndl−=Zf5%95%1.04T=−Tests d’hypothèses sur une proportion
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
40/56
Test d’hypothèses sur une Moyenne 𝝁
Les étapes d’un test d’hypothèses sur une proportion p
1.
2.
3.
4.
Identifier les hypothèses H0 et H1.
Préciser les conditions du test
◼ Vérifier les conditions de normalité, c’est-à-dire
◼ Taille de l’échantillon n
◼ Le niveau de signification 𝛼
Calculer l’écart réduit et préciser, selon les conditions du test,
distribution de l’écart réduit (voir la Table 4).
la
Spécifier, selon la distribution de l’écart réduit, la région critique au
niveau de signification 𝛼 (voir les Graphiques 1, 2 et 3).
5.
Prendre une décision (voir la Table 4).
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
41/56
30,5(1)5nnpetnp−Test d’hypothèses sur une proportion p
Table 4. Ecart réduit et règles de décision pour un test
d’hypothèses sur une proportion
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
42/56
Test d’hypothèses sur une proportion p
Exercice d’application : Selon un économiste, 30% d’adultes de 18 ans
et plus résidant au Canada sont susceptibles d’acheter un véhicule neuf
au cours de l’année 2015. Toutefois, un sondage récent auprès de 262
individus résidant au Canada indique que seulement 66 répondants
sont susceptibles de le faire.
Au niveau de signification a = 0.05 , peut-on considérer que
l’affirmation de l’économiste n’est pas vraisemblable ?
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
43/56
Test d’hypothèses sur une proportion p
Réponse
Etape 1
Les hypothèses :
Etape 2
Taille de l’échantillon : n = 262
Niveau de signification a = 0.05
Vérifier les conditions de normalité:
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
44/56
01:30%:30%HpHp2620.378.65262(0.7)183.45npet===Test d’hypothèses sur une proportion p
Etape 3
D’après le tableau 4, l’écart réduit est égale à :
L’écart réduit suit la loi normale N(0, 1)
Etape 4
Détermination de la région critique (voir le graphique de
l’acétate suivante).
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
45/56
000ˆ0.2520.31.77(1)0.30.7262PpZppn−−===−−Test d’hypothèses sur une Moyenne 𝝁
Région de rejet de H0
Région d’acceptation de H0
Valeur critique
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
46/56
Zz−5%1.645z−=− 00:H 00:H01:30%:30%HpHp(0,1)ZNZf5%95%Test d’hypothèses sur une Moyenne 𝝁
Etape 5 : Prendre une décision : Puisque Z = -1.77 < -1.645 alors H0 est rejetée
Région de rejet de H0
Région d’acceptation de H0
Valeur critique
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
Publicité
47/56
Zz−5%1.645z−=− 00:H 00:H01:30%:30%HpHp(0,1)ZNZf5%95%1.77Z=−Tests d’hypothèses sur une variance 2
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
48/56
Test d’hypothèses sur une Variance 2
Les étapes d’un test d’hypothèses sur une variance 2
1.
2.
3.
4.
Identifier les hypothèses H0 et H1.
Préciser les conditions du test
◼ Vérifier que le caractère X suit une loi normale
◼ Taille de l’échantillon n
◼ Le niveau de signification 𝛼
Calculer l’écart réduit et préciser, selon les conditions du test,
distribution de l’écart réduit (voir la Table 5).
la
Spécifier, selon la distribution de l’écart réduit, la région critique au
niveau de signification 𝛼 (voir les Graphiques 4, 5 et 6).
5.
Prendre une décision (voir la Table 5).
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
49/56
Test d’hypothèses sur une Variance 2
Table 5. Ecart réduit et règles de décision pour un test
d’hypothèses sur une variance
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
50/56
Test d’hypothèses sur une Variance 2
Graphique 4. Région critique pour un Test unilatéral à droite
Région d’acceptation de H0
Région de rejet de H0
Valeur critique
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
51/56
22002210::HH2(1)Yndl−Yfy1−Test d’hypothèses sur une Variance 2
Graphique 5. Région critique pour un test unilatéral à gauche
e
d
n
o
i
g
é
R
0
H
e
d
t
e
j
e
r
Valeur critique
Région d’acceptation de H0
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
52/56
Yf1y−1−22002210::HH2(1)Yndl−
Test d’hypothèses sur une Variance 2
Graphique 6. Région critique pour un test bilatéral
e
d
n
o
i
g
é
R
0
H
e
d
t
e
j
e
r
Région d’acceptation de H0
Région de rejet de H0
Valeur critique 1
Valeur critique 2
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
53/56
Yf1(/2)y−22002210::HH=2(1)Yndl−1−/2/2/2y
Test d’hypothèses sur une Variance 2
Exercice d’application : Un procédé industriel consiste à plaquer (en or)
des panneaux de circuits imprimés. Dû à une variabilité importante
dans l’épaisseur de plaquage, certaines modifications techniques ont
été apportées au procédé de fabrication pour en réduire l’ampleur.
Suite à ces modifications, on aimerait s’assurer que la variabilité du
procédé n’excède pas 4. On suppose que l’épaisseur de plaquage suit
une loi normale.
Un échantillon aléatoire de 20 panneaux a été prélevé de la production
et l’épaisseur de plaquage a été mesurée au micro pouces. La variance
de cette échantillon est de 4.47.
À un seuil de signification a = 0.05, l’hypothèse selon laquelle la
variance n’excède pas 4 est-elle acceptable ?
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
54/56
Test d’hypothèses sur une Variance 2
Réponse :
Étape 1 : Identifier les hypothèses
Étape 2 : Préciser les conditions du test
◼ X mesurant l’épaisseur du plaquage suit une loi normale
◼ Taille de l’échantillon n = 20
◼ Niveau de signification a = 0.05
Étape 3 : Calculer la statistique suivante :
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
55/56
2021:4:4HH2325.21447.4)120()1(2022=−=−=SnTest d’hypothèses sur une Variance 2
Étape 4 : Identifier la région critique (test unilatéral à gauche)
Ou d’une façon graphique
Étape 5 : Prendre une décision
On accepte H0
Valeur théorique
(calculée à partir de la table)
Valeur observée
(calculée à partir des données de l’échantillon)
K. Jabeur - Probabilités et Inférence Statistique - Octobre 2020
56/56
21.232510.12puisque10.12valeurcritique=