Chap 4
Les Processus ARIMA
(p,d,q)
1
En analyse de séries chronologiques,
un modèle autorégressif à moyenne mobile intégrée
(ARIMA) est une généralisation d'un modèle autorégressif à
moyenne mobile (ARMA).
Ces deux modèles sont ajustés aux données de séries
chronologiques:
Soit pour mieux comprendre les données,
soit pour prédire les points futurs de la série (prévisions).
2
les
données montrent
Les modèles ARIMA sont appliqués dans certains cas
où
stationnarité,
où une étape de différenciation initiale (correspondant à la
partie "intégrée" du modèle) peut être appliquée une ou
plusieurs fois pour éliminer la non-stationnarité.
de non-
preuves
des
3
Le I (pour "integrated") indique que les valeurs des
données ont été remplacées par la différence entre leurs
valeurs et les valeurs précédentes
(et ce processus de différenciation peut avoir été
effectué plus d'une fois).
Le but de chacune de ces fonctionnalités est d'adapter
au mieux le modèle aux données.
4
Non-seasonal ARIMA models
Seasonal ARIMA models: SARIMA
5
ARIMA(p,d,q)
d : est le degré de différenciation (le nombre de fois où
les données ont eu des valeurs passées soustraites
6
y′ : is the differenced series (it may have been
differenced more than once).
The “predictors” on the right hand side include both
lagged values of yt and lagged errors,
7
8
La différenciation statistique est une transformation appliquée
aux données de séries chronologiques afin de les rendre
stationnaires. Le code R est diff : [i] – [i-1]
Les propriétés d'une série chronologique stationnaire ne
dépendent pas de l'heure à laquelle la série est observée. Afin
de différencier les données, la différence entre les observations
consécutives est calculée.
Mathématiquement, cela est montré comme
Y’t = yt – yt-1
9
il peut être nécessaire de différencier
les
Parfois,
données une deuxième fois pour obtenir une série
chronologique stationnaire,
appelée différenciation de second ordre:
10
Une autre méthode de différenciation des données
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est la différenciation saisonnière,
qui consiste à calculer
observation
et
précédente,
par exemple une année. Cela se présente comme:
l'observation correspondante de la saison
la différence entre une
11
Library(fpp2)
Window(uschange)
autoplot(uschange[,"Consumption"]) +
xlab("Year") + ylab("Quarterly percentage
change")
12
13
Comparer la série avec: ARIMA(1,0,3) model
yt=c+0.589yt−1−0.353εt−1+0.0846εt−2+0.174εt−3+εt,
where c=0.745×(1−0.589)=0.307 and εt is white noise
with a standard deviation of 0.592
14
15
Test de stationnarité Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (KPSS) test
Pour tester objectivement la stationnarité on peut utiliser le test KPSS,
H0: Série stationnaire
H1: Série non stationnaire
Si le P value < 0,05 on acceptera H1
Package urca
Ur.kpss
ur.kpss(uschange[,1])
# KPSS Unit Root /
Cointegration Test # #####
The value of the test statistic is: 0.2848
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urt<-ur.kpss(u,type=c("mu","tau"))
> summary(urt) # KPSS Unit Root Test
#Test is of type: mu with 4 lags.
Value of test-statistic is:
0.2848 Critical value for a significance level of:
10pct 5pct 2.5pct 1pct
critical values 0.347 0.463 0.574 0.739
17
Exemples d’ARIMA
ARIMA(0, 1, 0) model is given by:
ARIMA(0, 2, 2) model is given by :
18
certaines
L’hypothèse de stationnarité, présente -
conditions - dans les modèles ARMA, n’est que rarement vériée
pour des séries économiques.
sous
En revanche, on peut considérer les différences premières
∆Xt = Xt−Xt−1,
ou des différences à des ordres plus élevés
19
Un processus (Xt) est un processus ARIMA(p,d,q) - autorégressif
moyenne mobile intégré - s’il vérifie une équation du type
20
arima.sim(n=200, list(ar=0.4, ma=0.8, d=1))
Xt = 0,4Xt-1 +0,8Et-1 + Et ARMA(1,1)
arima.sim(n=200, list(ar=c(0.4,0.9), ma=0.8, d=1))
arima.sim(n=200, list(ar=c(0.4, 0, 0.9), ma=0.8,
d=2))
21
Publicité
AirPassengers
Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec 1949 112 118 132 129 121 135 148 148 136 119 104 118
> plot(AirPassengers)
Que remarquez vous (série
NS)
d<-diff(AirPassengers)
> as.ts(d)
Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov 1949
6 14 -3 -8 14 13 0 -12 -17 -15 1950 -3 11 15 -6 -10 24 21 0 -12 -25 -19
22
plot.ts(d) >
d1<-diff(d) >
as.ts(d1)
plot.ts(d1)
> d2<-diff(d1)
> as.ts(d2)
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plot.ts(d) >
d1<-diff(d) >
as.ts(d1)
plot.ts(d1)
> d2<-diff(d1)
> as.ts(d2)
24
Comment estimer le meilleur ARIMA pour une série:
Comment estimer d
Comment estimer p, q
25
26
Retour à AirPassengers
fit<-arima(AirPassengers,
order=c(2,2,1))
Fit
Call: arima(x = AirPassengers, order = c(2,
2, 1)) Coefficients: ar1 ar2 ma1 0.3845 -
0.2259 -1.0000 s.e. 0.0828 0.0838 0.0177
sigma^2 estimated as 980.3: log likelihood =
-692.94, aic = 1393.88
27
> fit1<-arima(AirPassengers,
order=c(2,1,2))
> fit1
Call:
arima(x = AirPassengers, order = c(2, 1, 2))
Coefficients:
ar1 ar2 ma1 ma2
0.3517 0.1887 -0.0806 -0.7218
s.e. 0.1543 0.1501 0.1216 0.1143
sigma^2 estimated as 887.2: log likelihood = -688.7, aic = 1387.41
28
Quel ARIMA FAUDRAIT IL CHOISIR
29
Maximum likelihood estimation
30
In practice, R will report the value of the log
likelihood of the data; that is, the logarithm of
the probability of the observed data coming
from the estimated model. For given values
of p, d and q, R will try to maximise the log
likelihood when finding parameter estimates.
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Le critère d'information d'Akaike, (en anglais Akaike
information criterion ou AIC) est une mesure de la
qualité d'un modèle statistique proposée,
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Lorsque l'on estime un modèle statistique, il est possible
d'augmenter la vraisemblance du modèle en ajoutant
un paramètre.
On choisit alors le modèle avec le critère
d'information d'Akaike le plus faible.
32
Good models are obtained by minimising
the AIC or AICc,
33
It is important to note that these information criteria
to be good guides to selecting the
tend not
appropriate order of differencing (d) of a model, but
only for selecting the values of p and q.
34
En effet, la différenciation modifie les données sur
lesquelles la probabilité est calculée, ce qui rend les
valeurs AIC entre les modèles avec différents ordres
de différenciation non comparables..
So we need to use some other approach to
choose d, and then we can use the AICc to
select p and q.
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> install.packages("forecast")
library(forecast)
> checkresiduals(fit)
Ljung-Box test data: Residuals from ARIMA(2,2,1) Q* = 234.29, df = 21,
p-value < 2.2e-16 Model df: 3. Total lags used: 24
> checkresiduals(fit, plot = TRUE )
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Forecast
help(checkresiduals) >
autoplot(forcast(fit))
Error in forcast(fit) : could not find function
"forcast"
> autoplot(forecast(fit))
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Recherche du meilleur modèle
par la fonction auto,arima
41
The auto.arima() function in R uses a variation of
the Hyndman-Khandakar algorithm (Hyndman &
Khandakar, 2008), which combines unit root
tests, minimisation of the AICc and MLE to obtain
an ARIMA model.
The arguments to auto.arima() provide for many
variations on the algorithm. What is described
here is the default behaviour
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Hyndman-Khandakar algorithm for automatic ARIMA
modelling
1.The number of differences 0≤d≤2 is determined using
repeated KPSS tests.
2.The values of p and q are then chosen by minimising
the AICc after differencing the data d times. Rather than
considering every possible combination of p and q, the
algorithm uses a stepwise search to traverse the model
space.
43
Four initial models are fitted:ARIMA(0,d,0)(0,d,0),
ARIMA(2,d,2)(2,d,2),
Publicité
ARIMA(1,d,0)(1,d,0),
ARIMA(0,d,1)(0,d,1).
A constant is included unless d=2. If d≤1, an
additional model is also fitted:
ARIMA(0,d,0) without a constant.
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2.The best model (with the smallest AICc value) fitted in step (a) is
set to be the “current model.”
3.Variations on the current model are considered:
3.vary pp and/or qq from the current model by ±1;
4.include/exclude cc from the current model.
4.The best model considered so far (either the current model or
one of these variations) becomes the new current model.
4.Repeat Step 2(c) until no lower AICc can be found.
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Modelling procedure
When fitting an ARIMA model to a set of (non-seasonal) time series
data, the following procedure provides a useful general approach.
Plot the data and identify any unusual observations.
If necessary, transform the data (using a Box-Cox transformation) to
stabilise the variance boxcox(object, …)..
If the data are non-stationary, take first differences of the data until
the data are stationary.
Examine the ACF/PACF: Is an ARIMA(p,d,0p,d,0) or ARIMA(0,d,q0,d,q)
model appropriate?
Try your chosen model(s), and use the AICc to search for a better
model.
Check the residuals from your chosen model by plotting the ACF of
the residuals, and doing a portmanteau test of the residuals. If they
do not look like white noise, try a modified model.
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auto.arima(AirPassengers)
Optimisation d’un ARIMA
Series: AirPassengers
ARIMA(2,1,1)(0,1,0)[12]
Coefficients:
ar1 ar2 ma1 0.5960 0.2143 -0.9819 s.e. 0.0888 0.0880 0.0292
sigma^2 estimated as 132.3:
log likelihood=-504.92 AIC=1017.85 AICc=1018.17 BIC=1029.35
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Evaluer l’optimum
> fit1<-auto.arima(AirPassengers)
checkresiduals(fit1)
48
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Prédiction
predict(fit1, n.ahead = 5)
$pred Jan Feb Mar Apr May
1961 445.6349 420.3950 449.1983
491.8399 503.3945 $se
Jan Feb Mar Apr May
1961 11.50524 13.50261 15.15798
16.24046 17.04072
50
futur<-forecast(fit1, h=10)
> plot.forecast(futur)
Error in plot.forecast(futur)
: could not find function "plot.forecast«
> autoplot(forecast(fit1), h=10)
51
52
Happy
53