Institut National des Sciences Appliquées de Toulouse · Telecommunications and Radiofrequency Engineering · course

INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE TOULOUSE

4ème Année Informatique & Réseaux

_________

ANTENNES & OUTILS ET MODELES POUR LA TRANSMISSION

SUPPORT DE COURS ENONCE DE TRAVAUX DIRIGES

Alexandre Boyer [email protected] www.alexandre-boyer.fr

Antennes & Outils et Modèles pour la Transmission

Octobre 2014

TABLE DES MATIERES

Introduction................................................................................................... 4 A. Notions fondamentales .......................................................................... 12 B. Caractéristiques des antennes ................................................................ 29 D. Antennes pour les télécommunications ................................................. 43 D. Adaptation d'une antenne ...................................................................... 66 E. Antennes de réception ............................................................................ 83 F. Réseau d’antennes .................................................................................. 90 G. Modèles de propagation des ondes radioélectriques pour les réseaux terrestres ...................................................................................................... 99 Références ................................................................................................. 120 Annexe A – Rappel sur les unités ............................................................ 121 Annexe B – Champ proche et champ lointain .......................................... 123 Annexe C – Effet sur le corps humain ..................................................... 124 Annexe D – Equations des Télégraphistes ............................................... 126 Annexe E – Diagramme de Smith ............................................................ 135 Travaux Dirigés ........................................................................................ 137 Annales ..................................................................................................... 146

A. Boyer

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Introduction

1. Historique

La figure 1 dresse un rapide historique des découvertes et inventions

liées aux radiocommunications et aux antennes. Le développement des radiocommunications est basé sur la théorie de l’électromagnétisme, mise au point au XIXe siècle et améliorer au XXe siècle. Les ondes électromagnétiques, support des radiocommunications, ont été prévu de manière théorique dans le cadre des équations de Maxwell et mises en évidence expérimentalement par Hertz à la fin du XIXe siècle. Peu de temps après, les premières applications de transmission radio sont apparues. Leur développement s’est fait en parallèle avec celui de l’électronique au début du siècle. Le XXe siècle est ensuite ponctué d’innovations majeures, qui répondaient à des besoins précis.

1819 Expérience d’Oersted (lien électricité – magnétisme)

1887 – expérience de Hertz (mise en évidence des ondes EM)

1908 Tube triode de Lee de Forrest

1901 1e liaison radio intercontinental

1873 – équations de Maxwell

1831 Loi d’induction de Faraday

1896 Radio de Marconi

1906 Création de l’ITU - R

1926 – antenne Yagi

1934 1e radar

1940-45 Concept de RFID

1970 - 75 antennes patch

1946 équation de Friis

1958 récepteur Rake

1984 MIMO

2010 Déploiement 3.9G LTE

1946 Réseau d’antennes

1962 Telstar (1e satellite de télécom.)

1987 Spécifications GSM

Figure 1 – Historique des radiocommunications

2. Applications

Les antennes sont utilisées sur une large gamme de fréquence (ou de longueur d’onde) pour un

grand nombre d’applications différentes comme le montre la figure 2.

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MF 0.3-3MHz

HF 3-30MHz

VHF 30-300MHz

UHF 300-3000MHz

SHF 3-30GHz

EHF 30-300GHz

Liaison sous marine

RFID (13.56MHz)

Radio AM

Radio FM

PKE (125 kHz)

Radio OC

TV VHF

ISM (434MHz + 868 MHz)

GSM GPS DCS

DVB-T

WiFi

Bluetooth

ZigBee

Wimax

WiFi Gigabit

Liaison satellite

UMTS

Fréquence (Hz)

100K

10M

100M

10G

100G

Figure 2 – Occupation du spectre radiofréquence

Quelques bandes de fréquences emblématiques :

(cid:1) Bandes ISM (Industrielle, Scientifique, Médicale) : bandes de fréquence libre de toute licence (mais réglementées !) pour les applications industrielle, scientifique, médicale. En Europe, parmi les bandes de fréquence ISM les plus utilisés, on trouve : 6,765 - 6,795 MHz, 13,553 - 13,567 MHz, 433,05 - 434,79 MHz, 2,4 - 2,5 GHz, 5,725 - 5,875 GHz. La bande à 13.56 MHz est notamment utilisée pour la RFID, la bande à 434 MHz pour nombre de systèmes d'accès main libre, d'ouverture de portail …, la bande à 2.4 GHz pour le WiFi, le Bluetooth, les fours à micro-ondes, les téléphones sans fil … Attention, ces bandes sont différentes selon les pays !

(cid:1) bandes de téléphonie GSM : GSM900 entre 880 et 915 MHz pour la voie montante et entre 925 et 960 MHz pour la voie descendante. GSM1800 entre 1710 et 1785 pour la voie montante et entre 1805et 1880 MHz pour la voie descendante.

(cid:1) bandes de téléphonie UMTS -fréquences FDD : 1920-1980 MHz pour la voie montante,

2110-2170 MHz pour la voie descendante.

(cid:1) bandes de téléphonie 4G - LTE : bande des 800 MHz : 832-862 MHz pour la voie montante, 791-821 MHz pour la voie descendante. Bande des 2600 MHz : 2500-2570 MHz pour la voie montante, 2620-2690 MHz pour la voie descendante.

(cid:1) bande radio FM : 87,5 – 108 MHz. (cid:1) bandes Télévision Numérique Terrestre (DVB-T) : bande IV 470-606 MHz et bande V 606-

862 MHz.

(cid:1) bandes GNSS (Global Navigation Satellite System) : GPS (USA), GLONASS (Russie), Galileo (Europe), Compass (Chine), QZSS (Japon), IRNSS (Inde). Bande L1, E1 et E2 : 1559 MHz à 1610 MHz.

3. Structure typique des émetteurs/récepteurs radiofréquences

Il est difficile de généraliser tous les émetteurs/récepteurs radio par un unique schéma de principe, tant les technologies peuvent varier d'une application à l'autre (émetteur/récepteur radio pour une liaison satellite, une station de base pour téléphonie mobile, pour la RFID …). Néanmoins, nous pouvons retrouver des structures et des fonctions communes, que nous allons illustrer au travers de plusieurs exemples concrets de transmission d'un signal digital. La structure typique des étages de transmission/réception radio de signaux numériques peut être décrite par la figure 3.

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Transceiver RF

Signal analogique bande de base

Codage bande de base

Configuration

Front-end RF

a t i g d

a n g i S

e s a b e d e d n a b

, e ô r t n o C

l i

e v é r

, t u t a t s

n o i t a t n e m

i l

Dispositifs RF (duplexeur, switch RF)

Antenne

Ligne de transmission

Réseau d’adaptation – Filtre bande étroite

Processeur bande de base

Alimentation

Power management

Figure 3 – Structure d'un émetteur/récepteur radio numérique

Le cerveau de ce système est formé par un microcontrôleur ou processeur dit bande de base. Il supporte l'application embarquée, élabore le signal numérique à transmettre ou traite le signal numérique reçu. Celui-ci peut assurer un grand nombre de fonctions dans une application complexe comme une tablette ou un smartphone (gestion de l'affichage, traitement audio, gestion des ports de communication, gestion des réseaux sans fil …) via des périphériques dédiés et conformes à un ou plusieurs standards donnés. En raison de sa complexité, du nombre important de fonctions embarquées et de sa fréquence de fonctionnement élevée, celui-ci est très gourmand en énergie. Avec la démocratisation des systèmes de télécommunications mobiles et autonomes en énergie, de nombreuses innovations ont été développées pour réduire la consommation énergétique des processeurs en bande de base. Des circuits dits de power management lui sont adjoints pour lui fournir des alimentations stabilisées et la puissance nécessaire de fonctionnement.

Cependant, ces processeurs de bande de base n'intègrent pas

les fonctions de modulation/démodulation du signal, nécessaire à la transmission sans fil ou radiofréquence (RF) d'un signal. Les technologies permettant le développement de fonctions digitales rapides et faible puissance sont généralement fonctions de modulation/démodulation avec de bonnes performances. Ces fonctions sont assurées par des composants appelées MoDem ou Transceiver RF. Le processeur bande de base transfère et reçoit donc le signal de bande de base et l'horloge symbole vers le transceiver. Il gère aussi l'activation, la configuration, le réveil du transceiver RF et gère son statut (interruption, niveau de puissance du signal reçu RSSI…).

incompatibles avec celles permettant de

réaliser

les

Le transceiver RF est l'étage clé de tout émetteur-récepteur radio, faisant le lien entre le signal numérique en bande de base et le signal radiofréquence propagé sur le canal radioélectrique. Il est composé de deux parties plus ou moins complexes selon les applications visées et le coût : une machine à état numérique assurant le codage bande de base et un circuit analogique appelé frontal radiofréquence (front-end RF) assurant la transposition du signal de la bande de base vers la fréquence porteuse. Le transceiver intègre donc l'ensemble des fonctions pour l'émission ou la réception du signal radiofréquence, qui peuvent être résumées de la manière suivante :

• mise en forme du signal digital bande de base, modulation, amplification pour fournir

un signal suffisamment puissant pour exciter l'antenne d'émission

• amplification faible bruit du signal capté par l'antenne de réception, démodulation, récupération du débit de symbole, détection du signal et décision, mise en forme du signal digital bande de base

Avec l'amélioration des technologies de conception des circuits intégrés, ces différentes sont de plus en plus intégrées au sein d'un même circuit. On parle de RFIC (Radiofrequency Integrated Circuit).

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transportée par une onde électromagnétique se propageant

L'antenne constitue soit le point d'entrée, soit le point de sortie du signal RF reçu ou à transmettre. Son rôle est de convertir l'énergie électrique du signal qui l'excite en énergie électromagnétique librement et inversement, de convertir l'énergie transportée par une onde électromagnétique en énergie électrique. Les performances du système en terme de portée vont fortement dépendre des caractéristiques de l'antenne, mais aussi de l'environnement de propagation. Ainsi, la présence d'obstacles proches ou lointains, en mouvement ou non, larges ou non, va modifier la propagation des ondes électromagnétiques et induire une atténuation et/ou un étalement temporel du signal reçu.

Néanmoins, on trouve d'autres dispositifs dans ce système, qui vont avoir un impact important sur les performances générales de la transmission ou de la réception. De nombreux filtres (passifs, Surface Accoustic Wave (SAW)) sont ajoutés entre le transceiver et l'antenne de manière à limiter l'occupation spectrale du signal transmis ou réduire l'influence des interférences hors bande. Il faut rappeler que les radiocommunications se font toujours sur des bandes de fréquence étroites, soit sur des bandes de fréquence à licence, soit sur des bandes dites libres mais avec restrictions. Des dispositifs RF spécifiques sont parfois ajoutés : par exemple, des duplexeurs afin de séparer la voie RF montante de la voie RF descendante, des switchs RF pour connecter une source sur une antenne parmi N.

Enfin, ces différents composants échangent des signaux électriques rapides le long de lignes de transmission. On trouve des liens digitaux entre le processeur bande de base et le transceiver, et des liens RF entre le transceiver et l'antenne. La transmission d'un signal électrique correspond en réalité à la propagation d'une onde électromagnétique guidée le long d'une ligne de transmission. Les caractéristiques de ces lignes de transmission vont fortement influer sur la qualité des signaux échangés ou sur la puissance électrique délivrée. Des réseaux d'adaptation sont indispensables pour limiter certains effets néfastes liés à la propagation guidée sur une ligne de transmission.

Ci-dessous, deux circuits sont donnés à titre d'exemple pour illustrer les fonctions typiques des transceivers et les processeurs bande de base. Il convient de préciser qu'ils ne sont pas représentatifs de tous les transceivers ou processeurs bande de base, dont les fonctions, performances et caractéristiques varient selon l'application désirée et le marché visé.

Exemple de transceiver RF - OL2381

Nous présentons un exemple de transceiver RF, OL2381 développé par NXP. Ce circuit intégré est dédié aux applications de télémétrie fonctionnant sur les bandes ISM/SRD (315, 434, 868 et 915 MHz, selon les pays) : smart metering, remote keyless entry, capteur sans fil … Il contient l'ensemble des fonctions permettant la le codage ou modulation/démodulation du signal, l'amplification, le filtrage du signal RF, et la récupération des données digitales reçues. Celui-ci fonctionne avec un microcontrôleur, qui le configure, envoie ou reçoit des données via une liaison série standard (SPI). Ce type de circuit intégré permet de limiter le nombre de composants différents pour réaliser toutes les fonctions qu'intègrent le transceiver, ce qui limite le coût, la complexité et le temps de développement, mais aussi l'encombrement de l'application. La figure ci-dessous présente le schéma-bloc du composant, qui contient des fonctions très courantes dans les transceivers RF, et les connexions typiques avec le microcontrôleur (SPI/DATA) et vers l'antenne d'émission/réception via le réseau d'adaptation (RF_IN et RF_OUT).

le décodage en bande de base,

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Figure 4 – en haut : schéma-bloc de l'OL2381; en bas : montage typique d'une application utilisant l'OL 2381 (NXP)

On retrouve les fonctions suivantes :

(cid:1)

le codage bande de base : codage Manchester des données, contrôle du débit de symbole, filtrage bande de base, détection des données digitales

(cid:1) gestion des horloges pour la génération des porteuses (bloc PLL) et la récupération de

l'horloge symbole à partir des données reçues (clock recovery)

(cid:1) modulation/démodulation FSK et ASK réglable et filtrage bande étroite (cid:1)

réglage automatique du gain pour accroître la dynamique de réception et régler la puissance d'émission de manière optimale récupération du Residual Signal Strength Indicator (RSSI), défini sur 8 bits (indication du niveau de puissance du signal reçu)

(cid:1)

(cid:1) machine à état SPI pour le dialogue avec le microcontrôleur (cid:1) fonction de réveil du circuit dès réception des données (cid:1) gestion de différentes signatures du signal reçu afin de basculer de configuration

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(cid:1) ….

Le tableau ci-dessous liste quelques unes des caractéristiques radio de ce composant.

Paramètres

Fréquence porteuse RF

Modulation

Sortie RF

Réception

Conditions Bande 315 MHz Bande 434 MHz Bande 868 MHz Bande 915 MHz Débit de symbole Puissance de sortie Impédance de charge Bande passante (channel filter B) Noise figure Sensibilité pour BER < 10-3 (dépendant de la modulation, du débit de symbole, du channel filter)

RSSI

Dynamic range

Valeurs 300 - 320 MHz par pas de 150Hz 415 - 450 MHz par pas de 200 Hz 865 - 870 MHz par pas de 400Hz 902 - 928 MHz par pas de 415 Hz 0.4 - 112 kBds par pas de 0.1 KBds De -15 à 11 dBm par pas de 1 dB 150 Ω 50 à 300 kHz 7 dB typique -112 dBm typique en FSK, pour B=50 kHz et 2.4 Kbits/s -110 dBm typique en FSK, pour B=50 kHz et 4.8 Kbits/s -105 dBm typique en FSK, pour B=100 kHz et 20 Kbits/s -118 dBm typique en ASK, pour B=50 kHz et 2.4 Kbits/s 130 dB (-120 dBm à +10 dBm)

Afin de faciliter l'intégration de ce composant dans des applications mobiles et autonomes en énergie, il fonctionne sous de faibles tensions d'alimentation (2.1 V - 3.6 V), consomme peu (16 mA en réception, 13 mA en transmission d'un signal de 6 dBm de puissance, 0.5 µA en mode ultra low power). De plus, les applications radio étant soumises à des exigences sévères en terme d'occupation spectrale et de compatibilité électromagnétique, celui-ci est conforme à de nombreux standards valables dans de nombreux pays (ETSI EN300220 en Europe, FCC part 15 pour les USA).

Exemple de processeur bande de base - Snapdragon 800

Nous présentons ici un exemple de processeurs bande de base, Snapdragon 800 développé par Qualcomm. Ce processeur est dédié aux smartphones, tablettes et Smart TV. Il est notamment embarqué dans les smartphones ou tablettes suivantes : Sony Xperia Z Ultra, Amazon Kindle Fire HDX, Samsung Galaxy S4 LTE+.

Il s'agit d'un système sur puce ou System-on-Chip (SoC), c'est-à-dire que ce composant intègre sur une même puce de nombreuses fonctions, ce qui réduit fortement la surface occupée et le nombre de composants nécessaires à cette fonction. Celui-ci est conçu dans une technologie avancée (CMOS 28 nm High Performance) pour garantir une faible consommation électrique. La figure ci- dessous décrit les principales fonctionnalités de ce composant.

Figure 5 – Vue d'ensemble des fonctions du processeurs Snapdragon 800 (www.qualcomm.com)

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Ce processeur intègre trois processeurs :

(cid:1) un CPU (4 cœurs Krait400, équivalent d'un cœur ARM Cortex A15) dédié à l'exécution des programmes embarqués. Il supporte différents OS (Windows Phone, Android, Linux…). (cid:1) un GPU (processeur Adreno 330) dédié à la gestion de l'affichage graphique. Il supporte de nombreux formats. Il est couplé avec les autres périphériques multimédia (caméra 21 Mpx, vidéo ultra HD …)

(cid:1) un DSP (Hexagon QDSP6) dédié à l'ensemble des traitements audio (musique et voix)

Il intègre aussi les fonctions de gestion de puissance, nécessaire pour optimiser la consommation du mobile et assurer une recharge rapide, et de connectivité : modem 3G/4G LTE, WiFi, Bluetooth, USB et GPS. Il intègre donc l'ensemble des fonctions bande de base pour ces différents systèmes. Pour assurer la connectivité RF complète, il est nécessaire pour chacun des systèmes de communication d'ajouter un transceiver RF, un amplificateur de puissance, un switch RF et les réseaux d'adaptation. Ces différentes éléments d'un front-end RF ne sont pas aujourd'hui intégrable efficacement sur un circuit digital.

4. But de ce cours

Ce cours vise à fournir les connaissances de base sur les antennes utilisées dans les radiocommunications, et de fournir les outils de base pour la compréhension des phénomènes de propagation des ondes électromagnétiques (propagation libre ou propagation guidée sur ligne de transmission). Le but de ce cours est triple :

(cid:1)

comprendre le principe de fonctionnement d’une antenne, leurs caractéristiques et connaître les principaux types d’antennes employées pour les radiocommunications. comprendre les problèmes liés à la propagation guidée sur une ligne de transmission, notamment les problèmes d'adpatation d'impédance, et les solutions employées.

(cid:1) disposer de modèles permettant d'estimer l'effet de l'environnement sur la propagation d'un signal, notamment l'atténuation de parcours. Ces modèles dits de propagation permettent de faire le lien entre la perte de propagation issue d'un calcul de bilan de liaison (voir cours de canaux de transmission bruités) et la portée de ce lien RF (c'est-à-dire la distance maximale de séparation entre l'émetteur et le récepteur garantissant des conditions de réception acceptable).

Le cours est orienté de la manière suivante : le premier chapitre revient sur des notions d’électromagnétisme afin de mieux comprendre le principe de fonctionnement d’une antenne et la propagation guidée d'une ligne de transmission. Le second chapitre présente les caractéristiques principales d’une antenne, en se concentrant uniquement sur les antennes utilisées en émission. A l’issue de ce chapitre, vous devrez être capables de « décoder » la datasheet d’une antenne.

Dans

troisième chapitre,

les les principaux radiocommunications sont présentés (dipôles, boucle, antenne patch, ouverture rayonnante …). Des formules pratiques sont données pour un premier dimensionnement de ces antennes. Cependant, en raison de la complexité de la résolution des équations de Maxwell, la conception d’antenne repose essentiellement sur l’utilisation de simulateur numérique.

types d’antennes utilisées pour

Le quatrième chapitre est dédié à la résolution des problèmes d'adaptation d'impédance des lignes de transmission et des antennes, qui garantissent un transfert de qualité des signaux. Un outil graphique appelé diagramme de Smith sera présenté et employé afin de dimensionner les réseaux d'adaptation d'impédance.

Le cinquième chapitre est dédié aux antennes de réception : les relations permettant de relier le champ incident et la puissance reçue par l’antenne sont présentées, l’équation de Friis, aussi appelée aussi équation des télécommunications, est introduite car elle permet de faire des bilans de liaisons radio simplifiée. Il s’agit d’un modèle de propagation très restrictif car uniquement valable en espace libre, mais le but de ce cours n’est pas de présenter en détail les modèles de propagation. Cette version

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de ce cours omet donc ces notions. Enfin, les notions de diversité spatiale et de polarisation sont présentées. Le sixième chapitre traite des réseaux d’antennes, qui permettent littéralement de « tailler » un diagramme de rayonnement complexe à partir d’éléments rayonnants basiques. Les principes de base des réseaux sont présentés. Ces bases sont nécessaires pour aborder certaines techniques de pointe utilisées aujourd’hui en télécommunications. La fin de ce chapitre en abordera certaines.

Enfin, le dernier chapitre proposera une liste non exhaustive de modèles de propagation pour les environnements terrestres, en environnement extérieur et intérieur. Ces modèles sont primordiaux lors du dimensionnement de réseaux de téléphonie mobile, de réseaux sans fil locaux (par exemple WiFi), de réseaux de radio ou télédiffusion, de réseaux de capteurs sans fil, d'application de RFID …

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A. Notions fondamentales

Le but de ce chapitre est de revenir sur certaines notions fondamentales d’électromagnétisme avant de se concentrer sur les antennes et les problèmes de transmission du signal sur une support. La première partie s'intéresse à la génération d'une onde électromagnétique se propageant librement dans l'espace. Il s’agira de répondre aux questions suivantes : pourquoi une antenne rayonne t-elle ? Qu’est- ce qu’une onde électromagnétique ?

Ensuite, nous donnerons les éléments théoriques permettant de comprendre le transport d'un signal électrique le long d'une ligne de transmission. Il s'agit de la propagation guidée sur un support matériel d'une onde électromagnétique. Nous chercherons à déterminer quelles sont les conditions qui permettent de transmettre sans distorsion un signal électrique (on parlera alors de dégradation de l'intégrité du signal) et d'optimiser le transfert de puissance. Le premier point concerne tout particulièrement la transmission de signaux digitaux rapides, alors que le second point concerne le transfert de puissance électrique entre un émetteur/récepteur radio et une antenne.

I. Quelques rappels d’électromagnétisme

Les charges électriques au repos peuvent exercer des forces électriques entre elles, cette action à distance se fait par l’intermédiaire d’un champ électrique. Toute charge électrique Q immobile créé un champ électrique E dans l’espace environnant, qui décroit inversement avec le carré de la distance.

r E

r )( rE

r r

Q pe 4 r

Équation 1

Charge Q

De la même manière, toute circulation de courant (c'est-à-dire des charges en mouvement) à travers une interconnexion élémentaire est à l’origine d’un champ magnétique tournant autour de la ligne. Cette ligne exercera une force à distance sur toute autre interconnexion parcourue par un courant.

r B

r rB )(

r J

r r

0 p 4

∫

Équation 2

Les charges électriques et les courants constituent donc les sources élémentaires des champs électromagnétiques. Les deux cas précédents correspondent au cas où les charges sont immobiles (électrostatique) et les courants continus (magnétostatique), qui conduisent à des champs constants dans le temps. Cependant, l’action d’une charge ou d’un courant n’est pas instantanée et est retardée par un temps t = r/c, où c est la vitesse de la lumière. Ainsi, tout mouvement de charges ou toute variation de courant induira une variation de champ électrique ou magnétique en un point donné de l’espace après un temps de retard donné.

Bien qu’en électrostatique et en magnétostatique les champs électriques et magnétiques soient indépendants, cela n’est plus le cas dès que la quantité de charge ou le courant varient. Les champs électriques et magnétiques sont alors liés. On parle alors de champ électromagnétique. Par exemple, dans un circuit électrique soumis à un champ magnétique, un courant se mettra à circuler en raison de

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(cid:217)

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l’apparition d’une force électromotrice, elle-même liée au champ électrique induit par la variation de champ magnétique (loi de Faraday).

II. Une manière simple de comprendre

l’origine du

rayonnement électromagnétique

Toute charge et tout mouvement de charge sont capables de créer des champs électriques et magnétiques autour d’eux et devraient être capables de produire un rayonnement électromagnétique (création d’une onde électromagnétique qui se propage librement dans l’espace). Cependant, dans la nature, quasiment tous les objets ne rayonnent pas. En effet, la plupart des objets contiennent des charges positives et négatives en équilibre, si bien que les champs électriques que chacune de ces charges génèrent s’annulent. Lorsqu’un courant circule le long d’une interconnexion, les charges véhiculées ne s’accumulent pas au bout de l’interconnexion, mais reviennent par un autre chemin, formant ainsi une boucle. Ainsi, le champ magnétique créé par chaque élément de cette boucle s’additionne avec la contribution des autres et annulent quasiment le champ magnétique total à grande distance.

Alors comment une antenne fait-elle pour rayonner ? Intuitivement, on sent qu’il faut qu’il y ait un déséquilibre dans la distribution de charges et les courants parcourant l’antenne, par exemple produit par toute variation temporelle du courant ou toute discontinuité dans l’antenne conduisant à une accumulation de charges. Ceci pour empêcher l’annulation de la contribution de chaque charge et de chaque élément de courant de l’antenne. Dans l’exemple suivant [Dobkin], un courant continu se met à parcourir une petite boucle carrée à t = 0. Bien que les contributions des 2 côtés de la boucle (notés éléments 1 et 2) soient identiques en amplitude et de signe inverse, la contribution de l’élément 1 de l’antenne arrive un peu avant celle de l’élément 2 (ou les contributions des 2 éléments sont déphasées), permettant la création d’un rayonnement électromagnétique pendant un temps très bref. Si maintenant un courant variable se met à parcourir la boucle, un rayonnement électromagnétique sera produit continuellement.

Point d’observation

H(r)

d/c

Élément 2

Élément 1

Figure 6 - Rayonnement électromagnétique créé par la variation d’un courant dans un circuit de petite taille [Dobkin]

On peut donc voir le rayonnement électromagnétique comme la résultante des différences de

phase des contributions de chaque élément de l’antenne.

r/c

Remarque : zones de champ proche et de champ lointain

Dans le raisonnement précédent, on considère que la taille de l’antenne est petite devant la distance R la séparant du point d’observation. La contribution de chaque partie de l’antenne a alors à peu près la même amplitude. Supposons maintenant que le point d’observation soit placé près de l’antenne, de telle manière à ce que la partie de l’antenne la plus proche fournisse la plus grande contribution aux champs électriques et magnétiques. Ceux-ci résultent de la différence de distance entre chaque partie de l’antenne. Le point d’observation est placé en zone dite de champ proche (voir annexe B). Lorsqu’on parle de rayonnement, le point d’observation est placé en champ lointain, le rayonnement est dû à la différence de phase des champs électriques et magnétiques produits par chaque partie de l’antenne

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La figure 7 présente de manière générale le champ électromagnétique produit par une antenne parcourue par un courant sinusoïdal. Celui-ci se propage à la vitesse de la lumière, son amplitude décroit avec la distance et sa phase varie avec la distance en fonction d’une constante de phase ou d’onde β.

Point d’observation

Antenne (longueur effective Leff)

I exp(iωt)

exp(

b ri

)

i exp(

)

phase

IL .. eff

délai =

phase

r c w ·=

.b r

r c

Figure 7 - Rayonnement électromagnétique produit par une antenne de longueur effective Leff et parcouru par un courant sinusoïdal

III. Equations de Maxwell

« Tout l’électromagnétisme est contenu dans les équations de Maxwell » [Feynman]. La présentation des équations de Maxwell permet de donner un cadre un peu plus mathématique à la discussion précédente. Pour plus de détails sur l’art de résoudre ces équations, reportez-vous à un ouvrage d’électromagnétisme.

1. Présentation des équations de Maxwell

La répartition des champs électriques et magnétiques dans l’espace produite par une distribution donnée de charges et de courants peut être déterminée en résolvant les équations de Maxwell. En outre, celles-ci permettent de déterminer comment l’onde électromagnétique se propage dans l’espace. Pour un milieu homogène et isotrope (cas général de la propagation en espace libre ou guidée), celles-ci sont données par les équations 3 à 7.

Equation de Maxwell-Gauss

Equation de Maxwell- Thompson

Equation de Maxwell- Faraday

=Ediv

r e

Équation 3

0=Bdiv

Équation 4

Erot

m-=

Hd dt

Équation 5

Equation de Maxwell- Ampère

Hrot

Ed dt

Équation 6

Avec :

(cid:1) ρ : densité volumique de charge

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(cid:1)

ε : permittivité électrique (F/m). A noter ε0 : permittivité diélectrique dans le vide (= 8.85e- 12) et εr : permittivité électrique relative telle que ε = ε0× εr

(cid:1) µ : perméabilité magnétique (H/m). A noter µ0 : permittivité diélectrique dans le vide (=

4π.10-7) et µr : permittivité magnétique relative telle que µ = µ0× µr

(cid:1) σ : conductivité électrique du milieu (S/m)

L’équation de Maxwell-Gauss (issue du théorème de Gauss) indique que toute distribution de charges dans l’espace conduit à l’apparition d’un champ électrique, de telle sorte que pour tout volume contenant ces charges, le flux du champ électrique sortant de cette surface est proportionnel à la somme de toutes les charges.

L’équation de Maxwell-Thompson indique qu’un courant induit un champ magnétique qui forme une boucle autour de ce courant. Contrairement au champ électrique créé par une charge, le flux de champ magnétique sortant de toute surface entourant la ligne parcourue par un courant est nul. En comparant cette équation avec celle de Maxwell-Gauss, on peut en conclure qu’il n’y a pas de charges magnétiques analogues aux charges électriques.

L’équation de Maxwell-Faraday est issue de la loi de Faraday et décrit le phénomène d’induction d’une force électromotrice par un champ magnétique variable. Le flux d’un champ magnétique variable à travers toute surface incluse à l’intérieur d’un contour fermé donne naissance à une force électromotrice.

L’équation de Maxwell-Ampère permet de relier le champ magnétique au courant circulant

CIHrot

qui relie le champ magnétique au

dans un circuit. Elle est issue de la loi d’Ampère I C

courant de conduction . Il s’agit du flux d’électrons apparaissant dans un conducteur électrique entre chaque molécule lorsqu’on le soumet à une force électromotrice. Cependant, cette équation n’est pas suffisante pour expliquer l’existence d’un courant alternatif dans un circuit comprenant un condensateur. L’isolant présent entre chaque armature d’un condensateur ne permet pas la présence d’un courant de conduction à travers celui-ci. Cependant, sous l’influence du champ électrique variable apparaissant entre les 2 armatures chargées du condensateur, la variation de charge est identique sur les 2 armatures. Ce flux de charge en mouvement est appelé courant de déplacement

I D

dE dt

Interprétation

Que se passe t-il lorsqu’un courant de conduction variable traverse un fil ? D’après l’équation de Maxwell-Ampère, un champ magnétique variable est produit au voisinage de ce fil. Localement autour de ce point, il y a une variation du flux du champ magnétique qui, d’après l’équation de Maxwell-Faraday, va donner naissance à un champ électrique variable. Localement, cette variation de champ électrique donne naissance à un champ magnétique et ce processus continue de proche en proche. Les champs électriques et magnétiques se propagent conjointement à l’image d’une vague. La résolution des équations de Maxwell montre que la vitesse de déplacement des champs est une constante c égale à la vitesse de la lumière.

3. Rayonnement électromagnétique d’une source électrique

Les courants et les charges sont les sources primaires du champ électromagnétique. Selon le principe de Huygens, elles rayonnent dans l’espace des ondes sphériques dont la propagation est

b ri

)

. Ainsi, tout courant I0 créé un rayonnement proportionnel à

exp( r

b ri

fonction de

exp( r

A. Boyer

)

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Octobre 2014

chaque charge Q0 un rayonnement proportionnel à

b ri

)

Q 0

exp( r

. Il est possible d’exprimer la

contribution de toute source primaire caractérisée par une distribution volumique de courant IM et de charge QM en un point P par les potentiels scalaires V et vecteur A.

( PA

)

( PV

)

m p 4

1 pe 4

∫

b ri

)

exp( r

Équation 7

b ri

)

Q V

exp( r

Équation 8

A partir de ces potentiels, il est possible de calculer les champs électriques et magnétiques en

tout point de l’espace :

Ad dt 1= m

grad

Équation 9

Arot

Équation 10

IV. Onde électromagnétique – Propagation des ondes en

espace libre

A partir des équations de Maxwell, il est possible de déterminer la distribution dans l’espace des champs électriques et magnétiques produits par une source. Le couple formé par les champs électriques et magnétiques forme une onde électromagnétique. Ce terme vient du fait que, en raison des liens qui existent entre ces 2 champs, ceux-ci gagnent tout le milieu ambiant de proche en proche ou se propagent, à l’image d’une onde qui se forme à la surface d’un lac dans lequel on aurait jeté une pierre.

Nous allons commencer par donner quelques éléments de démonstration succincts de ce comportement. Il est conseillé de se reporter à des ouvrages d’électromagnétisme pour un développement plus détaillé et rigoureux.

1. Equation de propagation

La résolution des équations de Maxwell va nous permettre de déterminer l’équation de propagation des champs. Nous ne considérerons ici que le cas d’un mil