L’analyse des signaux ou des images en temps,
échelles, fréquences, et son application à
l’électrocardiographie ou à l’imagerie médicale,
exposé à l’INSERM, UR 523, Hôpital de la
Salpêtrière, Mars 2001
Alain Yger
1 Analyse fréquentielle d’un signal ; stationnarité,
non-stationnarité
L’un des concepts mathématiques les plus importants inhérents à la notion de
signal digital est celui de stationnarité ; nous allons ici préciser les deux aspects de
ce concept, l’aspect déterministe et l’aspect probabiliste.
Rappelons tout d’abord qu’un signal déterministe est la donnée (quantifiée dans
un système d’unités de mesure) d’une information temporelle. Certains signaux
déterministes correspondent à la donnée de la suite des valeurs enregistrées (et
affichées) aux instants nτ , ou τ désigne un pas temporel, d’un phénomene phy-
sique (le tracé d’un électrocardiogramme en est un bon exemple) ; d’autres modèles
de signaux déterministes sont ceux que l’on déduit de tels enregistrements via une
construction basée sur un processus algorithmique adapté à l’information que l’on
souhaite extraire du signal préalablement enregistré (et soumis à l’étude). Ainsi par
exemple, peut-on extraire du tracé d’un électrocardiogramme un signal digital s dit
tachogramme, où, pour chaque unité temporelle n, s(n) désigne la distance entre le
nème pic du tracé de l’électrocardiogramme en question et le suivant ; l’analyse d’un
tel signal digital (en un sens, construit artificiellement sur la base de la donnée d’un
signal déterministe préalablement enregistré) est l’un des fondements de l’étude de
la variabilité du rythme cardiaque (“Heart Rate Variability”, ou encore HRV), et
elle nous servira à illustrer cet exposé.
Un signal déterministe est stationnaire (sur la plage temporelle ou il est mesuré
ou représenté, disons entre t = 0 et t = N τ s’il s’agit d’un signal échantillonné,
puis mesuré, ou entre les points numérotés de 1 à N s’il s’agit d’un signal digital
du second type évoqué ci-dessus) si ce signal se présente (tout au long du champ
d’étude) comme l’empilement d’un nombre fini de signaux périodiques élémentaires,
affectés éventuellement de faibles modulations d’amplitude et de phase, c’est à dire
de signaux du type
nτ (cid:55)→ sω(nτ ) = aω(nτ ) sin(ωnτ + ϕω(nτ )) , n = 0, ..., N ,
dans le premier cas, ou
n (cid:55)→ sω(n) = aω(n) sin(ωn + ϕω(n))
1
(1)
(2)
dans le second cas ; un signal du type (1) ou (2) est dit signal élémentaire (ou en-
core onde élémentaire) de pulsation (ou fréquence ω), d’amplitude (resp. de phase)
modérément modulées les fonctions nτ (cid:55)→ aω(nτ ) ou n (cid:55)→ aω(n) (resp. nτ (cid:55)→ ϕω(nτ )
ou n (cid:55)→ ϕω(n)). Même si l’on tolère de faibles modulations d’amplitude et de phase,
exiger la stationnarité d’un signal digital sur une plage temporelle demeure une
contrainte drastique ; par exemple, la plupart des signaux générés à partir de la me-
sure de phénomenes de nature physiologique y échappent. Le modele le plus fréquent
que l’on puisse proposer est celui de signaux pour lesquels on puisse faire l’hypothèse
de stationnarité déterministe sur des plages temporelles consécutives I1, ..., Ik, ces
plages se trouvant séparées entre elles par des périodes transitoires, où se produisent
soit des évolutions linéaires de fréquence, soit des décrochages brutaux suivies de
sauts d’un ensemble de fréquences à un autre, de nouvelles fréquences pouvant ap-
paraˆıtre (d’un coup ou progressivement) au seuil de chaque nouvelle plage temporelle
Ik pour s’y imposer de manière sensiblement constante avant de disparaˆıtre au seuil
de la plage suivante Ik+1. Même un tel modèle implique trop de rigidité en ce qui
concerne les signaux de nature physiologique : bien souvent, les fréquences fluctuent
dans chaque zone Ik dans un intervalle compris entre deux valeurs ωk,− et ωk,+ ; tel
est par exemple le cas pour les signaux digitaux supportant l’étude de la HRT, où,
on le verra, trois plages de fréquences (très basses fréquences, autour de .00 − .05
Hertz, basses fréquences, sensiblement autour de .05−.13 Hertz et hautes fréquences,
localisées autour de .20−.27 Hertz, voir par exemple les résultats expérimentaux rap-
pelés dans [5] ainsi que la riche bibliographie de cet article) se trouvent en général
mises en évidence. Les signaux de parole, par contre, se plient de manière plus
convenable a ce modele inspiré du découpage temporel en plages successives où se-
rait valide une hypothèse de stationnarité au sens déterministe ; cependant les outils
mathématiques intéressants du point de vue de la segmentation intelligente et de
l’analyse-synthèse de la parole semblent malheureusement hautement non adaptés
à l’étude de signaux du type de ceux intervenant dans l’étude de la HRV ou de la
SAP (“systolic arteral pressure”) ou dans celles, dont on suppose qu’elles lui sont
corrélées, de la SND (“sympathetic neural discharge”) ou VND (“vagal neural di-
scharge”), ou des signaux provenant des enregistements de la réponse du potentiel
électrique de la peau (SPR), ce qui confirme bien qu’un modèle aussi simpliste n’est
pas adéquat pour l’étude de tels phénomènes ; en revanche, au contraire des signaux
totalement chaotiques (à spectre essentiellement constant, tels les signaux correspon-
dant au bruit), il semble que les signaux physiologiques que nous venons d’évoquer
(tout au moins en ce qui concerne les signaux de HRV et de la HRV) obéissent
a des regles de cohérence au niveau de l’analyse fréquentielle, ou plutôt au niveau
de ce que l’on appelle communément l’analyse TEMPS-FRÉQUENCES (suivi
du contenu fréquenciel du signal au cours du temps, sur le modèle de la partition
musicale par exemple).
À côté du point de vue déterministe, l’étude des signaux de nature physiologique,
tout comme les fondements mathématiques de l’imagerie médicale, nous obligent
fréquemment a penser une information de maniere stochastique, et ce pour deux
raisons.
-La première est que l’on souhaite, s’agissant de l’analyse des signaux ou des images
de nature physiologique, obtenir une description “en moyenne” du contenu fréquentiel
d’un signal ou de l’image lorsque celui-ci (ou celle-ci) est analysée pendant une longue
période temporelle (ou sur un champ spatial suffisamment large) ; on peut aussi en-
2
visager un test statistique portant sur la même information enregistrée sur divers pa-
tients. L’information recueillie au niveau de l’analyse fréquentielle s’apparente alors
à une analyse statistique. Le signal digital est pensé comme un processus discret,
ce qui signifie que sa valeur à l’instant nτ (ou n) n’est plus pensée comme une
valeur déterministe, mais comme une valeur aléatoire ; le processus se trouve régi
suivant l’état des lois conjointes qui lient entre eux ces divers aléa, et ce sont
ces règles que l’analyse mathématique permet d’explorer. Le processus est qualifié
de stationnaire au sens stochastique si la loi conjointe d’un paquet de tels aléa ne
dépend pas de l’instant ou l’on translate ce paquet dans le temps ; cette hypothese est
celle que l’on se doit de faire en tout état de cause ; elle reflete l’hypothese naturelle
qui est que les phénomènes physiologiques obéissent, tout au moins du point de vue
statistique, a une cohérence au niveau de leur contenu fréquentiel, ce qui équivaut a
dire que, statistiquement du moins, ils sont régis par des “boˆıtes noires”, c’est à dire
des systemes agissant de maniere linéaire, continue, et sans que les paramètres du
système ne subissent (en moyenne tout au moins) de détérioration significative au
cours du temps. Un tel processus a alors une densité spectrale de puissance (PSD)
dont les pics reflètent la position des fréquences statistiquement présentes dans le si-
gnal et le poids “statistique” de ces fréquences dans le contenu du signal (c’est à dire
les amplitudes moyennes dont les phénomènes périodiques ayant ces pulsations sont
affectés). Il est capital de souligner qu’il s’agit là uniquement de l’analyse statistique
du contenu fréquentiel d’un signal sur des plages temporelles assez longues, et non
de l’analyse du contenu fréquentiel du signal au cours de son évolution tempo-
relle, information autrement plus riche, mais évidemment autrement a priori moins
cohérente. Pour illustrer la différence fondamentale entre ces deux points de vue,
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voici, sur la figure 1, le tracé de deux tachogrammes, correspondant tous deux à
deux séquences de 1025 battements ; ces deux tachogrammes se présentent de visu
de manière différente, comme on le voit sur la figure.
Fig. 1 – tachogrammes a7 (en haut) et a10 (en bas)
Les deux analyses statistiques fréquentielles (c’est à dire les deux calculs de densité
spectrale de puissance) pour ces signaux respectifs a7 et a10 sont représentées sur la
figure 2, et l’on voit qu’ils se superposent de manière raisonnable, tout au moins en
ce qui concerne les successions de pics entre 5 et 15 (soit ici .05 Hertz et .15 Hertz),
3
1002003004005006007008009001000−10001001002003004005006007008009001000−1000100puis entre 20 et 30 (soit entre .2 et .3 Hertz) ; sur l’échelle ici, l’unité 50 en abscisse
représente .50 Hertz, le pas “temporel” étant normalisé à 1.
Fig. 2 – PSD des tachogrammes a7 (en plein) et a10 (en pointillé)
En revanche, une modification sensible du contenu statistique fréquentiel est diffi-
cilement visible sur les signaux eux-mêmes ; voici par exemple, sur la figure 3, les
deux tachogrammes a7 et a8, où l’on remarque (figure 4) qu’il y a translation du
contenu fréquentiel vers les basses fréquences (lorsque l’on passe du tachogramme
a7 au tachogramme a8) ; nous reviendrons sur ces exemples et mettrons mieux en
lumière l’évolution fréquentielle (au cours du temps cette fois, et non seulement du
point de vue statistique) qui marque le tachogramme correspondant à la séquence
de battements cardiaques d’où a8 a été déduit.
Fig. 3 – tachogrammes a7 (en haut) et a8 (en bas)
4
0510152025303540455000.511.522.533.544.551002003004005006007008009001000−100−500501001002003004005006007008009001000−100−50050100Fig. 4 – PSD des tachogrammes a7 (en plein) et a8 (en pointillé)
– La seconde raison majeure pour laquelle il est souvent capital (dans l’analyse
ou le traitement des signaux de nature physiologique) de raisonner en termes de
données de nature statistique et non plus déterministe est que les données que l’on
tente de capter en imagerie médicale (par exemple en tomographie classique, où en
gammagraphie par ouverture de codage, sur le principe des techniques introduites
par J. Fontroget, L. Garnero, J. Brunol, N. de Beaucoudray, voir les références
[1], [7], [8]) correspondent en général à un bruit poissonnien d’émission : la quan-
tité de photons émise par exemple par l’organe chargé en un point P et appelée
à traverser le code C pour être captée sur l’écran récepteur au point M (voir la
figure 23) ou par l’un des collimateurs (c) de la caméra suit un processus de Pois-
son dont le parametre dépend a la fois de la densité de rayonnement de l’organe
chargé et de la position du point émetteur M par rapport au code ou au système
de collimateurs de la caméra. Analyser l’image et l’inverser via les transformations
mathématiques adéquates (inversion de la transformation de Radon, déconvolution,
matching-pursuit suivant un dictionnaire adapté a la pathologie a détecter, nous en
reparlerons) permet précisément de calculer ce paramètre et d’en déduire la position
du point émetteur, par là même de reconstituer en trois dimensions l’organe émetteur
ou les pathologies éventuelles de cet organe ; pour donner un exemple inspiré de
la scintigraphie cardiaque, la détermination de nécroses sur la paroi du ventricule
illustre bien ces diverses méthodes où certains algorithmes mathématiques peuvent
s’avérer d’un certain secours, pourvu qu’ils soient utilisés de manière inter-active.
2 Un exemple d’analyse temps-fréquences ; tacho-
grammes déduits de séquences de battements
cardiaques
Activité respiratoire et activité vasomotrice sont responsables tant des fluctua-
tions du rythme cardiaque que de celles de la pression artérielle ; le couplage (hy-
pothétique) entre l’inter-réciprocité de ces deux actions et l’inter-réciprocité des deux
5
0510152025303540455000.511.522.533.544.55actions au niveau neuronal cette fois que synthétise la balance sympathico-vagale
(modulée, elle, par les interactions du système nerveux autonome et des mécanismes
d’excitation ou d’inhibition périphériques, matérialisés par la mesure de signaux du
type SPR− ou SPR+) est la raison majeure de l’étude de signaux du type tacho-
gramme (RR) ou pression artérielle (SAP), signaux en relation avec la HRV, ce
–si tant est que cela est possible– en parallèle avec celle des indicateurs de la balance
sympathico-vagale, c’est a dire l’analyse des signaux correspondant a la mesure des
décharges sympathiques (SND) ou vagales (VND), ou à celle des signaux dont on
sait que leur interaction contribue à la modulation de cette balance, comme par
exemple les signaux d’inhibition ou d’excitation périphériques quantifiés par la me-
sure du potentiel électrique de la peau (SNP− ou SNP+). La conclusion ultime se-
rait que l’activité vagale serait en phase avec le “marqueur” HF (hautes-fréquences)
que représente l’activité respiratoire dans l’analyse de la HRV, tandis que l’acti-
vité sympathique serait elle en phase avec le “marqueur” LF (basses-fréquences)
correspondant au rythme des ondes vasomotrices dans cette même analyse de la
HRV.
Il est évident qu’une analyse fréquentielle de nature statistique de ce type de signaux
n’est pas en mesure de rendre compte (en particulier dans l’analyse de séquences re-
lativement courtes ou le patient est soumis a divers stimuli) du parallélisme entre les
deux phénomènes que sont le rythme cardiaque d’un côté, la balance sympathico-
vagale de l’autre. Il est donc indispensable de faire appel ici à l’analyse temps-
fréquences et d’examiner ce que fournit la lecture en ce sens de l’une des familles
des signaux dont l’évolution serait à comparer ; nous prendrons ici la famille des
tachogrammes, car elle nous paraˆıt (dans un premier temps), celle pour laquelle la
fiabilité de la mesure semble la meilleure. Le premier test est donc de voir comment
les mathématiques réagissent à cette exigence d’analyse ; l’une des seules choses que
nous souhaiterions mettre en évidence ici est que l’analyse mathématique de ta-
chogrammes peut rendre compte, effectivement, de certaines évolutions en temps
et en fréquences. Même si la lecture des tachogrammes s’avère, comme l’est la lec-
ture de la majeure partie des signaux de nature physiologique, au premier abord
excessivement confuse, divers outils à la disposition du mathématicien peuvent
permettre d’en améliorer la clarté. Nous mettrons ensuite au paragraphe suivant
ces outils en complémentarité avec ceux que propose non plus l’analyse TEMPS-
FRÉQUENCES, mais cette fois l’analyse TEMPS-ÉCHELLES (analyse qui,
elle, nous semblerait mieux adaptée à l’étude des signaux de la seconde catégorie,
c’est a dire ceux relevant de l’activité commandée par le systeme neuronal et les
stimuli qui l’affectent).
Il est intéressant de souligner que les divers outils mathématiques mis en oeuvre pour
rendre compte de l’évolution des tachogrammes en temps et en fréquence (c’est à
dire, de maniere imagée, pour visualiser la “partition” correspondant a un tacho-
gramme donné) sont les mêmes que ceux que l’on tente d’exploiter pour analyser les
signaux de vélocité ou de pression dans les écoulements turbulents, régis, eux, par
le systeme d’équations dit de Navier-Stokes, systemes dont on ne sait que très peu
de chose de la décomposition des solutions en composants élémentaires (si ce n’est
au niveau de la simple lecture expérimentale).
Voici pour comencer l’exemple d’un tachogramme (a1) a peu pres stationnaire
(même au sens déterministe) ; nous avons représenté sur la figure 5 le signal (en haut),
puis sa densité spectrale de puissance (que nous avons volontairement confronté
6
à celle de a7) ; un pic évident est présent dans l’analyse fréquentielle statistique,
matérialisant la présence (en moyenne) d’une composante fréquentielle (plutôt ici
LF, comme on le verra a la lumiere des exemples suivants), présence qui se trouve
confirmée à la lecture de l’image temps-fréquences (temps en abscisses, fréquences en
ordonnées, des basses fréquences en haut aux hautes fréquences en bas) que propose
la figure 6.
Fig. 5 – tachogramme a1 (en haut) et sa PSD (en pointillé en bas, contre celle de
a7)
Fig. 6 – image temps-fréquences de a1
Il est maintenant intéressant de confronter les images temps-fréquences des taco-
grammes a7 et a10, dont les densités spectrales de puissance présentaient une ana-
logie évidente (figure 2) ; ces deux images temps-fréquences apparaˆıssent respective-
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ment sur les figures 7 et 8 ci-dessous :
7
1002003004005006007008009001000−100−5005010005101520253035404550024681010020030040050060070080020406080100120Fig. 7 – image temps-fréquences de a7
Fig. 8 – image temps-fréquences de a10
Ces deux images sont certes beaucoup plus confuses, mais on y voit la même trame ;
un décrochage de fréquences vers les hautes fréquences, précédé (dans le premier cas)
ou suivi (dans le second) d’une évolution confuse plutôt vers les basses fréquences.
Pareille évolution linéaire vers les basses fréquences apparaˆıt précisément (voir la
figure 9) sur l’image temps-fréquences du tachogramme a8 des figures 3 et 4 (tacho-
gramme dont la densité spectrale de puissance semblait précisément décalée vers les
basses fréquences par rapport à celles de a7 ou a10).
8
1002003004005006007008002040608010012010020030040050060070080020406080100120Fig. 9 – image temps-fréquences de a8
La séquence correspondant au tachogramme a6 (voir la figure 10) présente, elle,
du point de vue de l’analyse fréquentielle statistique, une évolution vers les hautes
fréquences (voir le graphe de la densité spectrale de puissance de a6, confronté à
celui de la densité spectrale de puissance correspondant au tachogramme a7 sur la
partie inférieure de la figure 10).
Fig. 10 – tachogramme a6 (en haut) et sa PSD (en pointillé en bas, contre celle de
a7
9
100200300400500600700800204060801001201002003004005006007008009001000−100010005101520253035404550012345Fig. 11 – image temps-fréquences de a6
L’image temps-fréquences de la séquence a6 (figure 11) reflète, comme on peut s’en
douter, cet état de fait ; de fait, il y a, au long de cette séquence, deux (voire trois)
décrochages (et non plus un seul) vers les hautes fréquences ; la majeure partie des
séquences étudiées peuvent être comparées à l’un des exemples étudiés ci-dessus ; il
faut y ajouter les séquences marquées par des “accidents”, séquences dont nous re-
parlerons en évoquant dans le paragraphe suivant l’analyse temps-échelles. En voici,
avec l’exemple du tachogramme 5, séquence où l’activité hautes-fréquences semble
plus constamment soutenue (figures 12 et 13) un exemple ; la figure 13 nous permet
de localiser un accident haute-fréquence (autour du seuil temporel 200) dans le ta-
chogramme ; cet accident est probablement responsable des quelques pics vraiment
très haute-fréquence (0.4 Hertz) apparaissant sur le graphe de la densité spectrale
de puissance, pics qui ne relèvent pas tant d’une analyse temps-fréquences que d’une
analyse temps-échelles (que nous conduirons dans la section suivante).
Fig. 12 – tachogramme a5 (en haut) et sa PSD (en pointillé au mileu, contre celle
de a7 en bas
10
100200300400500600700800204060801001201002003004005006007008009001000−1000100051015202530354045500.511.52051015202530354045500123Fig. 13 – image temps-fréquences de a5
3 L’analyse temps-échelles ; (encore !) les tacho-
grammes
Parallelement a l’analyse temps-fréquences, on peut envisager une lecture des si-
gnaux (ou des images) en temps-échelles ; l’idée est simple et inspirée du mécanisme
classique de la vision rétinienne ; toute information captée par la pupille de l’oeil l’est
en fait suivant un processus de moyennisation ; il s’opere a l’instant de la perception
de l’information une moyennisation locale de celle-ci (la valeur enregistrée corres-
pondant a s(nτ ) ou a l’image en un pixel donné est calculée comme la moyenne des
informations voisines) ; dans un second temps, un mécanisme neuronal “redistribue”
les valeurs ainsi moyennisées, permettant ainsi l’obtention d’une version “brouillée”
de l’information ; la différence entre le signal digital original et sa version brouillée
constitue l’ensemble des “détails” de l’information que le mécanisme de la vision a
gommé, par le fait même qu’il a réalisé dans un premier temps une “compression”
des données (indispensable du fait de l’imperfection du mécanisme de vision) avant
de redistribuer la version comprimée pour en rendre possible la lecture dans l’échelle
initiale ou se trouvait proposée l’information. Pareil algorithme s’itere (les niveaux
de détails successifs sont d1, d2, ..., dN , le “résumé” final est rN ) et l’on peut même, en
choisissant intelligemment le processus de moyennisation, faire de d1, ..., dN , rN les
composants d’une décomposition orthogonale (c’est a dire concretement non redon-
dante) de l’information initiale s ; en particulier rN s’interprète comme une “ligne
de base” du signal s. Chaque signal dj indique la composante du signal vivant à
l’échelle j, le découpage des échelles étant dyadique. On peut assouplir d’ailleurs
cette contrainte de hiérarchie dyadique des échelles et profiter de la comparaison
des décompositions basées sur des rapports d’échelle distincts et premiers entre eux,
tels 2, 3, 5, ..., pour identifier les éventuelles structures cohérentes présentes dans
l’information et les différentier des artefacts de nature arithmétique liés au pro-
cessus de décomposition. Voici par exemple les décompositions obtenues suivant
pareil procédé pour quelques uns des séquences temporelles correspondant aux ta-
chogrammes étudiés dans la section précédente.
11
10020030040050060070080020406080100120Fig. 14 – décomposition de a1
Fig. 15 – décomposition de a7
12
1002003004005006007008009001000s d1 d2 d3 d4 d5 d6 r6 1002003004005006007008009001000s d1 d2 d3 d4 d5 d6 r6 Fig. 16 – décomposition de a10
Fig. 17 – décomposition de a6
13
1002003004005006007008009001000s d1 d2 d3 d4 d5 d6 r6 1002003004005006007008009001000s d1 d2 d3 d4 d5 d6 r6 Fig. 18 – décomposition de a8
Fig. 19 – décomposition de a5
Ce sont les niveaux de détails d3 et d4 qui semblent les plus significatifs des compo-
sants de la décomposition ; on remarquera une correspondance entre le renforcement
de d3 et la prépondérance de la composante HF, celui de d4 et la prépondérance de la
composante LF, même si les deux types de décomposition que sont les décompositions
du type TEMPS-FRÉQUENCES et TEMPS-ÉCHELLES sont des types de
décomposition d’obédience diverse. Le premier intérêt de la décomposition temps-
échelles est la possibilité d’identifier, à un niveau d’échelle donné (manifestement l’un
des deux niveaux significatifs, à savoir les niveaux 3 ou 4) des structures cohérentes et
éventuellement répétitives. Rien n’exclut que de telles structures puissent échapper
à une analyse en fréquences, car l’on sait que l’une des failles majeures de l’analyse
en fréquence d’une information via l’outil mathématique qu’est la transformation de
Fourier est que cette transformation (qui optiquement correspond à l’opération de
diffraction) ne respecte pas la localisation des phénomènes : un accident du signal
14
1002003004005006007008009001000s d1 d2 d3 d4 d5 d6 r6 1002003004005006007008009001000s d1 d2 d3 d4 d5 d6 r6 est un phénomène hautes fréquences, les évolutions marquant la ligne de base corres-
pondent a des phénomenes de fréquence beaucoup trop basse pour qu’une analyse
temps-fréquences (utilisant une fenêtre assez petite pour que l’on puisse y supposer
le signal stationnaire) puisse les détecter.
Pareille analyse temps-échelles peut aussi être conduite sans le souci de non-redon-
dance (privilégier la redondance n’est pas toujours la panacée face à l’étude de si-
gnaux de cette nature, l’information s’avérant parfois plus perceptible si elle empiète
sur plusieurs niveaux de la décomposition) ; l’idée repose sur l’analyse en ondelettes
continue, initiée à partir d’un “atome” (ou ondelette) ψ localisé au mieux en temps
et en fréquence et duquel on exige le spectre suffisamment “plat” en 0 (de manière
a ce que la moyennisation glissante des signaux contre cet atome corresponde a
l’action d’un filtre passe-bande) ; l’image visualisée (rendant compte de la structure
temps-échelles d’un signal s donné) décrit l’intensité de la fonction de deux variables
(a représentant l’échelle, utilisée comme ordonnée, b représentant le temps, utilisé
comme abscisse)
(cid:191)
(a, b) (cid:55)→
1
a
s(t) , ψ(
t − b
Publicité
a
(cid:192)
)
.
L’exploration des images de haut en bas correspond à une analyse de plus en plus
fine des détails du signal aux échelles de plus en plus “sérrées”. Voici les résultats
obtenus concernant trois des tachogrammes étudiés dans la section précédente ; on
comparera les informations obtenues avec les informations issues de l’analyse temps-
fréquences. L’ondelette utilisée ici est l’ondelette de Morlet, celle nous paraissant la
plus adaptée au compromis entre l’exploration temps-échelles d’une information et
son exploration temps-fréquences. L’idée de l’utilisation des techniques d’analyse
temps-échelles aux fins de l’étude de la HRV apparaˆıt par exemple dans un travail
de H. Tsuji et H. Mori (1994)[9].
Fig. 20 – image temps-échelles de a7
15
Intervalle temporel normalise entre t=0 et t=1log2(1/a)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91234567891011Fig. 21 – image temps-échelles de a10
Fig. 22 – image temps-échelles de a6
Ces images rendent compte d’évolutions temps-échelles en phase avec les évolutions
temps-fréquences ; la comparaison d’un grand nombre de tachogrammes montre ce-
pendant qu’une analyse temps-fréquences semble plus adaptée à l’étude de tels si-
gnaux, ce qui semble confirmer la nature des signaux rendant compte de la HRV
au niveau de leur (hypothétique) contenu fréquentiel.
4 D’autres outils d’analyse : la “poursuite” contre
un dictionnaire
L’algorithme dit de “matching pursuit”, très simple conceptuellement, semble
être l’un de ceux qui s’impose de manière naturelle lorsqu’il s’agit d’étudier (ou de
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Intervalle temporel normalise entre t=0 et t=1log2(1/a)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91234567891011Intervalle temporel normalise entre t=0 et t=1log2(1/a)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91234567891011classifier) les signaux ou images de nature physiologique.
Le matching pursuit, introduit par Stéphane Mallat dans les années 1990 (voir [4]),
repose sur une idée simple : étant donné un “dictionnaire” D de signaux de référence
(ou d’images de référence) d1, ..., dN et un signal s, on teste s contre tous les signaux
di du dictionnaire en calculant les corrélations (cid:104)s, d1(cid:105),...,(cid:104)s, dN (cid:105) ; on isole l’indice i1
tel que cette corrélation soit en module maximale, puis l’on teste à nouveau contre
le dictionnaire le signal
s − (cid:104)s, di1(cid:105)di1 ,
autorisant la détection d’un second atome di2, etc... Cet algorithme peut être amélioré
si l’on parvient (en le modifiant légerement, ce qui s’avere possible) à faire en sorte
que le reste au cran n ne soit corrélé avec aucun des atomes di1, ..., din−1, auquel
cas le processus de la traque du signal contre le dictionnaire peut s’effectuer “sans
remise”. (voir par exemple une présentation de ces algorithmes dans [10], chapitre
1). Cet ouvrage introductif présente d’ailleurs les divers algorithmes mathématiques
(tous très simples de fait) exploités aux fins d’illustrer cet exposé ; ces algorithmes
ont été composés sous l’environnement du logiciel de calcul scientifique MATLAB
et sont aisément transposables à l’environnement du logiciel SCILAB développé
par l’INRIA ; on peut les trouver sur le site : http ://www.math.u-bordeaux.fr/ yger
Pour citer un exemple ou pareil algorithme semblait utile a mettre en pratique, nous
mentionnerons celui des images obtenues via le mécanisme de gammagraphie par
codage (voir la figure ci-dessous), le corps chargé (émettant par conséquent un bruit
poissonien d’émission capté après passage au travers du masque) étant le ventricule
du muscle cardiaque, ventricule sur lequel l’objectif est la détection de nécroses.
Les divers processus d’inversion (voir par exemple la toute récente thèse de M.
Quartuccio à Orsay pour un panorama actualisé de ces outils mathématiques et de
leurs limites face a des problemes trop fréquemment mal posés car sous-conditionnés)
ne permettent en général pas la restitution de l’image 3D à partir de l’information
2D que constitue l’image. Plutôt que les méthodes inspirées du pseudo-filtrage de
Wiener visant à identifier les contributions des “coupes” du corps aux tranches yk,
on pourra confronter l’image suivant un dictionnaire d’images-test obtenues à partir
de modèles présentant divers types de pathologies. L’idée d’une telle étude a été
proposée par Jean-Francois Crouzet dans sa thèse [3].
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Fig. 23 – gammagraphie par codage
Cet algorithme de matching-pursuit est aussi celui que nous proposons de mettre
en oeuvre pour l’étude (et la comparaison) des signaux correspondant à la mesure
du potentiel électrique de la peau (signaux du type SPR+ ou SPR− déjà men-
tionnés). Il serait intéressant de classifier de tels signaux suivant des principes de
même nature que ceux que l’on a tenté de mettre en oeuvre concernant par exemple
la classification par le FBI des empreintes digitales ; ceci serait un test pour tenter
de valider la thèse de Lang selong laquelle la “ligne de base” de des réponses pour-
rait être une caractéristique de chaque individu. Voici par exemple le tracé type de
deux séquences correspondant à de tels enregistrements (en plein figure les ondes
positives, en pointillé les ondes négatives).
Fig. 24 – exemple de signal de type SPR (spr13)
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0masquecorpsx=z= 0 M( x,0,z)y=0Lcode Cyykyk-1k+1yécranrécepteur50100150200250−0.4−0.3−0.2−0.100.10.20.30.40.50.6Fig. 25 – exemple de signal de type SPR (spr11)
L’algorithme de recherche d’une base optimale (au sens de la minimisation d’un
critère d’entropie adapté aux exigences de l’expérimentateur, voir [10], chapitre 6
pour les références) suivant laquelle des signaux de ce type seraient amenés à se
décomposer fournit un moyen de classification de ces signaux ; le même algorithme
peut être exploité aux fins de classifier les séquences de tachogrammes. C’est par ces
remarques que nous concluerons cet exposé, visant avant tout à présenter (avec leurs
limites) l’intérêt que peuvent présenter certains algorithmes d’inspiration récente de
traitement numérique du signal ou de l’image face aux questions que pose l’épineux
problème de la non-stationnarité (au sens déterministe du moins) de certains signaux
de nature physiologique.
Références
[1] J. Brunol, N. de Beaucoudray & S. Lowenthal, Déconvolution analogique en
imagerie par ouverture codée appliquée à la médecine nucléaire, Optica Acta,
25, 2, 113-124 (1978)
[2] R. Coifman, Y. Meyer, S. Quake and M. V. Wickerhauser, Signal processing and
compression with wavelet packets, Yale math department Wavelet Resources,
http ://www.math.yale.edu/wavelets
[3] J-F. Crouzet, La gammagraphie par ouverture de codage, these présentée a
l’Université Bordeaux 1 (1996), école doctorale de Mathématiques et Informa-
tique, no ordre 1444.
[4] S. Mallat & Z. Zhang, Matching pursuit with time frequency dictionaries, IEEE
Transactions on Signal Processing 12 (1993), 3397-3415
[5] A. Malliani, M. Pagani, F. Lombardi, S. Cerutti, Cardiovascular Neural Regula-
tion Explored in the Frequency Domain, Circulation, 84 (2), 1991, pp. 482–492.
[6] Y. Meyer, R. Ryan, Wavelets, Algorithms and applications, SIAM, 1993,
ISBNO-89871-309-9.
[7] N. Ohyama, T. Honda, J. Tsujiuchi, Tomogram reconstruction using advanced
coded aperture imaging, Optics communications, 36, 6 (1981), 434-438.
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50100150200250300350400450500−0.25−0.2−0.15−0.1−0.0500.050.10.150.20.25[8] M. Quartuccio, Caméra a collimation assistée par ordinateur CACA0. Étude a
2 et 3 dimensions et premieres expériences, these présentée à l’Université Paris
11, Laboratoire de Physique des Solides, Mars 2001.
[9] H. Tsuji, H. Mori, New analysis of HRV through Wavelet transform, Interna-
tional Journal of Human-Computer Interaction 6 (2), 1994, 205-217.
[10] A. Yger, Analyse et Traitement du Signal, Cours et initiation pratique via MAT-
LAB et SCILAB, Collection Universités, Ellipses, 1999.
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