L’analyse des signaux ou des images en temps,
´echelles, fr´equences, et son application `a
l’´electrocardiographie ou `a l’imagerie m´edicale,
expos´e `a l’INSERM, UR 523, Hˆopital de la
Salpˆetri`ere, Mars 2001
Alain Yger
1 Analyse fr´equentielle d’un signal ; stationnarit´e,
non-stationnarit´e
L’un des concepts math´ematiques les plus importants inh´erents `a la notion de
signal digital est celui de stationnarit´e ; nous allons ici pr´eciser les deux aspects de
ce concept, l’aspect d´eterministe et l’aspect probabiliste.
Rappelons tout d’abord qu’un signal d´eterministe est la donn´ee (quantifi´ee dans
un syst`eme d’unit´es de mesure) d’une information temporelle. Certains signaux
d´eterministes correspondent `a la donn´ee de la suite des valeurs enregistr´ees (et
affich´ees) aux instants nτ , ou τ d´esigne un pas temporel, d’un ph´enomene phy-
sique (le trac´e d’un ´electrocardiogramme en est un bon exemple) ; d’autres mod`eles
de signaux d´eterministes sont ceux que l’on d´eduit de tels enregistrements via une
construction bas´ee sur un processus algorithmique adapt´e `a l’information que l’on
souhaite extraire du signal pr´ealablement enregistr´e (et soumis `a l’´etude). Ainsi par
exemple, peut-on extraire du trac´e d’un ´electrocardiogramme un signal digital s dit
tachogramme, o`u, pour chaque unit´e temporelle n, s(n) d´esigne la distance entre le
n`eme pic du trac´e de l’´electrocardiogramme en question et le suivant ; l’analyse d’un
tel signal digital (en un sens, construit artificiellement sur la base de la donn´ee d’un
signal d´eterministe pr´ealablement enregistr´e) est l’un des fondements de l’´etude de
la variabilit´e du rythme cardiaque (“Heart Rate Variability”, ou encore HRV), et
elle nous servira `a illustrer cet expos´e.
Un signal d´eterministe est stationnaire (sur la plage temporelle ou il est mesur´e
ou repr´esent´e, disons entre t = 0 et t = N τ s’il s’agit d’un signal ´echantillonn´e,
puis mesur´e, ou entre les points num´erot´es de 1 `a N s’il s’agit d’un signal digital
du second type ´evoqu´e ci-dessus) si ce signal se pr´esente (tout au long du champ
d’´etude) comme l’empilement d’un nombre fini de signaux p´eriodiques ´el´ementaires,
affect´es ´eventuellement de faibles modulations d’amplitude et de phase, c’est `a dire
de signaux du type
nτ (cid:55)→ sω(nτ ) = aω(nτ ) sin(ωnτ + ϕω(nτ )) , n = 0, ..., N ,
dans le premier cas, ou
n (cid:55)→ sω(n) = aω(n) sin(ωn + ϕω(n))
1
(1)
(2)
dans le second cas ; un signal du type (1) ou (2) est dit signal ´el´ementaire (ou en-
core onde ´el´ementaire) de pulsation (ou fr´equence ω), d’amplitude (resp. de phase)
mod´er´ement modul´ees les fonctions nτ (cid:55)→ aω(nτ ) ou n (cid:55)→ aω(n) (resp. nτ (cid:55)→ ϕω(nτ )
ou n (cid:55)→ ϕω(n)). Mˆeme si l’on tol`ere de faibles modulations d’amplitude et de phase,
exiger la stationnarit´e d’un signal digital sur une plage temporelle demeure une
contrainte drastique ; par exemple, la plupart des signaux g´en´er´es `a partir de la me-
sure de ph´enomenes de nature physiologique y ´echappent. Le modele le plus fr´equent
que l’on puisse proposer est celui de signaux pour lesquels on puisse faire l’hypoth`ese
de stationnarit´e d´eterministe sur des plages temporelles cons´ecutives I1, ..., Ik, ces
plages se trouvant s´epar´ees entre elles par des p´eriodes transitoires, o`u se produisent
soit des ´evolutions lin´eaires de fr´equence, soit des d´ecrochages brutaux suivies de
sauts d’un ensemble de fr´equences `a un autre, de nouvelles fr´equences pouvant ap-
paraˆıtre (d’un coup ou progressivement) au seuil de chaque nouvelle plage temporelle
Ik pour s’y imposer de mani`ere sensiblement constante avant de disparaˆıtre au seuil
de la plage suivante Ik+1. Mˆeme un tel mod`ele implique trop de rigidit´e en ce qui
concerne les signaux de nature physiologique : bien souvent, les fr´equences fluctuent
dans chaque zone Ik dans un intervalle compris entre deux valeurs ωk,− et ωk,+ ; tel
est par exemple le cas pour les signaux digitaux supportant l’´etude de la HRT, o`u,
on le verra, trois plages de fr´equences (tr`es basses fr´equences, autour de .00 − .05
Hertz, basses fr´equences, sensiblement autour de .05−.13 Hertz et hautes fr´equences,
localis´ees autour de .20−.27 Hertz, voir par exemple les r´esultats exp´erimentaux rap-
pel´es dans [5] ainsi que la riche bibliographie de cet article) se trouvent en g´en´eral
mises en ´evidence. Les signaux de parole, par contre, se plient de mani`ere plus
convenable a ce modele inspir´e du d´ecoupage temporel en plages successives o`u se-
rait valide une hypoth`ese de stationnarit´e au sens d´eterministe ; cependant les outils
math´ematiques int´eressants du point de vue de la segmentation intelligente et de
l’analyse-synth`ese de la parole semblent malheureusement hautement non adapt´es
`a l’´etude de signaux du type de ceux intervenant dans l’´etude de la HRV ou de la
SAP (“systolic arteral pressure”) ou dans celles, dont on suppose qu’elles lui sont
corr´el´ees, de la SND (“sympathetic neural discharge”) ou VND (“vagal neural di-
scharge”), ou des signaux provenant des enregistements de la r´eponse du potentiel
´electrique de la peau (SPR), ce qui confirme bien qu’un mod`ele aussi simpliste n’est
pas ad´equat pour l’´etude de tels ph´enom`enes ; en revanche, au contraire des signaux
totalement chaotiques (`a spectre essentiellement constant, tels les signaux correspon-
dant au bruit), il semble que les signaux physiologiques que nous venons d’´evoquer
(tout au moins en ce qui concerne les signaux de HRV et de la HRV) ob´eissent
a des regles de coh´erence au niveau de l’analyse fr´equentielle, ou plutˆot au niveau
de ce que l’on appelle commun´ement l’analyse TEMPS-FR´EQUENCES (suivi
du contenu fr´equenciel du signal au cours du temps, sur le mod`ele de la partition
musicale par exemple).
`A cˆot´e du point de vue d´eterministe, l’´etude des signaux de nature physiologique,
tout comme les fondements math´ematiques de l’imagerie m´edicale, nous obligent
fr´equemment a penser une information de maniere stochastique, et ce pour deux
raisons.
-La premi`ere est que l’on souhaite, s’agissant de l’analyse des signaux ou des images
de nature physiologique, obtenir une description “en moyenne” du contenu fr´equentiel
d’un signal ou de l’image lorsque celui-ci (ou celle-ci) est analys´ee pendant une longue
p´eriode temporelle (ou sur un champ spatial suffisamment large) ; on peut aussi en-
2
visager un test statistique portant sur la mˆeme information enregistr´ee sur divers pa-
tients. L’information recueillie au niveau de l’analyse fr´equentielle s’apparente alors
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`a une analyse statistique. Le signal digital est pens´e comme un processus discret,
ce qui signifie que sa valeur `a l’instant nτ (ou n) n’est plus pens´ee comme une
valeur d´eterministe, mais comme une valeur al´eatoire ; le processus se trouve r´egi
suivant l’´etat des lois conjointes qui lient entre eux ces divers al´ea, et ce sont
ces r`egles que l’analyse math´ematique permet d’explorer. Le processus est qualifi´e
de stationnaire au sens stochastique si la loi conjointe d’un paquet de tels al´ea ne
d´epend pas de l’instant ou l’on translate ce paquet dans le temps ; cette hypothese est
celle que l’on se doit de faire en tout ´etat de cause ; elle reflete l’hypothese naturelle
qui est que les ph´enom`enes physiologiques ob´eissent, tout au moins du point de vue
statistique, a une coh´erence au niveau de leur contenu fr´equentiel, ce qui ´equivaut a
dire que, statistiquement du moins, ils sont r´egis par des “boˆıtes noires”, c’est `a dire
des systemes agissant de maniere lin´eaire, continue, et sans que les param`etres du
syst`eme ne subissent (en moyenne tout au moins) de d´et´erioration significative au
cours du temps. Un tel processus a alors une densit´e spectrale de puissance (PSD)
dont les pics refl`etent la position des fr´equences statistiquement pr´esentes dans le si-
gnal et le poids “statistique” de ces fr´equences dans le contenu du signal (c’est `a dire
les amplitudes moyennes dont les ph´enom`enes p´eriodiques ayant ces pulsations sont
affect´es). Il est capital de souligner qu’il s’agit l`a uniquement de l’analyse statistique
du contenu fr´equentiel d’un signal sur des plages temporelles assez longues, et non
de l’analyse du contenu fr´equentiel du signal au cours de son ´evolution tempo-
relle, information autrement plus riche, mais ´evidemment autrement a priori moins
coh´erente. Pour illustrer la diff´erence fondamentale entre ces deux points de vue,
voici, sur la figure 1, le trac´e de deux tachogrammes, correspondant tous deux `a
deux s´equences de 1025 battements ; ces deux tachogrammes se pr´esentent de visu
de mani`ere diff´erente, comme on le voit sur la figure.
Fig. 1 – tachogrammes a7 (en haut) et a10 (en bas)
Les deux analyses statistiques fr´equentielles (c’est `a dire les deux calculs de densit´e
spectrale de puissance) pour ces signaux respectifs a7 et a10 sont repr´esent´ees sur la
figure 2, et l’on voit qu’ils se superposent de mani`ere raisonnable, tout au moins en
ce qui concerne les successions de pics entre 5 et 15 (soit ici .05 Hertz et .15 Hertz),
3
1002003004005006007008009001000−10001001002003004005006007008009001000−1000100puis entre 20 et 30 (soit entre .2 et .3 Hertz) ; sur l’´echelle ici, l’unit´e 50 en abscisse
repr´esente .50 Hertz, le pas “temporel” ´etant normalis´e `a 1.
Fig. 2 – PSD des tachogrammes a7 (en plein) et a10 (en pointill´e)
En revanche, une modification sensible du contenu statistique fr´equentiel est diffi-
cilement visible sur les signaux eux-mˆemes ; voici par exemple, sur la figure 3, les
deux tachogrammes a7 et a8, o`u l’on remarque (figure 4) qu’il y a translation du
contenu fr´equentiel vers les basses fr´equences (lorsque l’on passe du tachogramme
a7 au tachogramme a8) ; nous reviendrons sur ces exemples et mettrons mieux en
lumi`ere l’´evolution fr´equentielle (au cours du temps cette fois, et non seulement du
point de vue statistique) qui marque le tachogramme correspondant `a la s´equence
de battements cardiaques d’o`u a8 a ´et´e d´eduit.
Fig. 3 – tachogrammes a7 (en haut) et a8 (en bas)
4
0510152025303540455000.511.522.533.544.551002003004005006007008009001000−100−500501001002003004005006007008009001000−100−50050100Fig. 4 – PSD des tachogrammes a7 (en plein) et a8 (en pointill´e)
– La seconde raison majeure pour laquelle il est souvent capital (dans l’analyse
ou le traitement des signaux de nature physiologique) de raisonner en termes de
donn´ees de nature statistique et non plus d´eterministe est que les donn´ees que l’on
tente de capter en imagerie m´edicale (par exemple en tomographie classique, o`u en
gammagraphie par ouverture de codage, sur le principe des techniques introduites
par J. Fontroget, L. Garnero, J. Brunol, N. de Beaucoudray, voir les r´ef´erences
[1], [7], [8]) correspondent en g´en´eral `a un bruit poissonnien d’´emission : la quan-
tit´e de photons ´emise par exemple par l’organe charg´e en un point P et appel´ee
`a traverser le code C pour ˆetre capt´ee sur l’´ecran r´ecepteur au point M (voir la
figure 23) ou par l’un des collimateurs (c) de la cam´era suit un processus de Pois-
son dont le parametre d´epend a la fois de la densit´e de rayonnement de l’organe
charg´e et de la position du point ´emetteur M par rapport au code ou au syst`eme
de collimateurs de la cam´era. Analyser l’image et l’inverser via les transformations
math´ematiques ad´equates (inversion de la transformation de Radon, d´econvolution,
matching-pursuit suivant un dictionnaire adapt´e a la pathologie a d´etecter, nous en
reparlerons) permet pr´ecis´ement de calculer ce param`etre et d’en d´eduire la position
du point ´emetteur, par l`a mˆeme de reconstituer en trois dimensions l’organe ´emetteur
ou les pathologies ´eventuelles de cet organe ; pour donner un exemple inspir´e de
la scintigraphie cardiaque, la d´etermination de n´ecroses sur la paroi du ventricule
illustre bien ces diverses m´ethodes o`u certains algorithmes math´ematiques peuvent
s’av´erer d’un certain secours, pourvu qu’ils soient utilis´es de mani`ere inter-active.
2 Un exemple d’analyse temps-fr´equences ; tacho-
grammes d´eduits de s´equences de battements
cardiaques
Activit´e respiratoire et activit´e vasomotrice sont responsables tant des fluctua-
tions du rythme cardiaque que de celles de la pression art´erielle ; le couplage (hy-
poth´etique) entre l’inter-r´eciprocit´e de ces deux actions et l’inter-r´eciprocit´e des deux
5
0510152025303540455000.511.522.533.544.55actions au niveau neuronal cette fois que synth´etise la balance sympathico-vagale
(modul´ee, elle, par les interactions du syst`eme nerveux autonome et des m´ecanismes
d’excitation ou d’inhibition p´eriph´eriques, mat´erialis´es par la mesure de signaux du
type SPR− ou SPR+) est la raison majeure de l’´etude de signaux du type tacho-
gramme (RR) ou pression art´erielle (SAP), signaux en relation avec la HRV, ce
–si tant est que cela est possible– en parall`ele avec celle des indicateurs de la balance
sympathico-vagale, c’est a dire l’analyse des signaux correspondant a la mesure des
d´echarges sympathiques (SND) ou vagales (VND), ou `a celle des signaux dont on
sait que leur interaction contribue `a la modulation de cette balance, comme par
exemple les signaux d’inhibition ou d’excitation p´eriph´eriques quantifi´es par la me-
sure du potentiel ´electrique de la peau (SNP− ou SNP+). La conclusion ultime se-
rait que l’activit´e vagale serait en phase avec le “marqueur” HF (hautes-fr´equences)
que repr´esente l’activit´e respiratoire dans l’analyse de la HRV, tandis que l’acti-
vit´e sympathique serait elle en phase avec le “marqueur” LF (basses-fr´equences)
correspondant au rythme des ondes vasomotrices dans cette mˆeme analyse de la
HRV.
Il est ´evident qu’une analyse fr´equentielle de nature statistique de ce type de signaux
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n’est pas en mesure de rendre compte (en particulier dans l’analyse de s´equences re-
lativement courtes ou le patient est soumis a divers stimuli) du parall´elisme entre les
deux ph´enom`enes que sont le rythme cardiaque d’un cˆot´e, la balance sympathico-
vagale de l’autre. Il est donc indispensable de faire appel ici `a l’analyse temps-
fr´equences et d’examiner ce que fournit la lecture en ce sens de l’une des familles
des signaux dont l’´evolution serait `a comparer ; nous prendrons ici la famille des
tachogrammes, car elle nous paraˆıt (dans un premier temps), celle pour laquelle la
fiabilit´e de la mesure semble la meilleure. Le premier test est donc de voir comment
les math´ematiques r´eagissent `a cette exigence d’analyse ; l’une des seules choses que
nous souhaiterions mettre en ´evidence ici est que l’analyse math´ematique de ta-
chogrammes peut rendre compte, effectivement, de certaines ´evolutions en temps
et en fr´equences. Mˆeme si la lecture des tachogrammes s’av`ere, comme l’est la lec-
ture de la majeure partie des signaux de nature physiologique, au premier abord
excessivement confuse, divers outils `a la disposition du math´ematicien peuvent
permettre d’en am´eliorer la clart´e. Nous mettrons ensuite au paragraphe suivant
ces outils en compl´ementarit´e avec ceux que propose non plus l’analyse TEMPS-
FR´EQUENCES, mais cette fois l’analyse TEMPS-´ECHELLES (analyse qui,
elle, nous semblerait mieux adapt´ee `a l’´etude des signaux de la seconde cat´egorie,
c’est a dire ceux relevant de l’activit´e command´ee par le systeme neuronal et les
stimuli qui l’affectent).
Il est int´eressant de souligner que les divers outils math´ematiques mis en oeuvre pour
rendre compte de l’´evolution des tachogrammes en temps et en fr´equence (c’est `a
dire, de maniere imag´ee, pour visualiser la “partition” correspondant a un tacho-
gramme donn´e) sont les mˆemes que ceux que l’on tente d’exploiter pour analyser les
signaux de v´elocit´e ou de pression dans les ´ecoulements turbulents, r´egis, eux, par
le systeme d’´equations dit de Navier-Stokes, systemes dont on ne sait que tr`es peu
de chose de la d´ecomposition des solutions en composants ´el´ementaires (si ce n’est
au niveau de la simple lecture exp´erimentale).
Voici pour comencer l’exemple d’un tachogramme (a1) a peu pres stationnaire
(mˆeme au sens d´eterministe) ; nous avons repr´esent´e sur la figure 5 le signal (en haut),
puis sa densit´e spectrale de puissance (que nous avons volontairement confront´e
6
`a celle de a7) ; un pic ´evident est pr´esent dans l’analyse fr´equentielle statistique,
mat´erialisant la pr´esence (en moyenne) d’une composante fr´equentielle (plutˆot ici
LF, comme on le verra a la lumiere des exemples suivants), pr´esence qui se trouve
confirm´ee `a la lecture de l’image temps-fr´equences (temps en abscisses, fr´equences en
ordonn´ees, des basses fr´equences en haut aux hautes fr´equences en bas) que propose
la figure 6.
Fig. 5 – tachogramme a1 (en haut) et sa PSD (en pointill´e en bas, contre celle de
a7)
Fig. 6 – image temps-fr´equences de a1
Il est maintenant int´eressant de confronter les images temps-fr´equences des taco-
grammes a7 et a10, dont les densit´es spectrales de puissance pr´esentaient une ana-
logie ´evidente (figure 2) ; ces deux images temps-fr´equences apparaˆıssent respective-
ment sur les figures 7 et 8 ci-dessous :
7
1002003004005006007008009001000−100−5005010005101520253035404550024681010020030040050060070080020406080100120Fig. 7 – image temps-fr´equences de a7
Fig. 8 – image temps-fr´equences de a10
Ces deux images sont certes beaucoup plus confuses, mais on y voit la mˆeme trame ;
un d´ecrochage de fr´equences vers les hautes fr´equences, pr´ec´ed´e (dans le premier cas)
ou suivi (dans le second) d’une ´evolution confuse plutˆot vers les basses fr´equences.
Pareille ´evolution lin´eaire vers les basses fr´equences apparaˆıt pr´ecis´ement (voir la
figure 9) sur l’image temps-fr´equences du tachogramme a8 des figures 3 et 4 (tacho-
gramme dont la densit´e spectrale de puissance semblait pr´ecis´ement d´ecal´ee vers les
basses fr´equences par rapport `a celles de a7 ou a10).
8
1002003004005006007008002040608010012010020030040050060070080020406080100120Fig. 9 – image temps-fr´equences de a8
La s´equence correspondant au tachogramme a6 (voir la figure 10) pr´esente, elle,
du point de vue de l’analyse fr´equentielle statistique, une ´evolution vers les hautes
fr´equences (voir le graphe de la densit´e spectrale de puissance de a6, confront´e `a
celui de la densit´e spectrale de puissance correspondant au tachogramme a7 sur la
partie inf´erieure de la figure 10).
Fig. 10 – tachogramme a6 (en haut) et sa PSD (en pointill´e en bas, contre celle de
a7
9
100200300400500600700800204060801001201002003004005006007008009001000−100010005101520253035404550012345Fig. 11 – image temps-fr´equences de a6
L’image temps-fr´equences de la s´equence a6 (figure 11) refl`ete, comme on peut s’en
douter, cet ´etat de fait ; de fait, il y a, au long de cette s´equence, deux (voire trois)
d´ecrochages (et non plus un seul) vers les hautes fr´equences ; la majeure partie des
s´equences ´etudi´ees peuvent ˆetre compar´ees `a l’un des exemples ´etudi´es ci-dessus ; il
faut y ajouter les s´equences marqu´ees par des “accidents”, s´equences dont nous re-
parlerons en ´evoquant dans le paragraphe suivant l’analyse temps-´echelles. En voici,
avec l’exemple du tachogramme 5, s´equence o`u l’activit´e hautes-fr´equences semble
plus constamment soutenue (figures 12 et 13) un exemple ; la figure 13 nous permet
de localiser un accident haute-fr´equence (autour du seuil temporel 200) dans le ta-
chogramme ; cet accident est probablement responsable des quelques pics vraiment
tr`es haute-fr´equence (0.4 Hertz) apparaissant sur le graphe de la densit´e spectrale
de puissance, pics qui ne rel`event pas tant d’une analyse temps-fr´equences que d’une
analyse temps-´echelles (que nous conduirons dans la section suivante).
Fig. 12 – tachogramme a5 (en haut) et sa PSD (en pointill´e au mileu, contre celle
de a7 en bas
10
100200300400500600700800204060801001201002003004005006007008009001000−1000100051015202530354045500.511.52051015202530354045500123Fig. 13 – image temps-fr´equences de a5
3 L’analyse temps-´echelles ; (encore !) les tacho-
grammes
Parallelement a l’analyse temps-fr´equences, on peut envisager une lecture des si-
gnaux (ou des images) en temps-´echelles ; l’id´ee est simple et inspir´ee du m´ecanisme
classique de la vision r´etinienne ; toute information capt´ee par la pupille de l’oeil l’est
en fait suivant un processus de moyennisation ; il s’opere a l’instant de la perception
de l’information une moyennisation locale de celle-ci (la valeur enregistr´ee corres-
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pondant a s(nτ ) ou a l’image en un pixel donn´e est calcul´ee comme la moyenne des
informations voisines) ; dans un second temps, un m´ecanisme neuronal “redistribue”
les valeurs ainsi moyennis´ees, permettant ainsi l’obtention d’une version “brouill´ee”
de l’information ; la diff´erence entre le signal digital original et sa version brouill´ee
constitue l’ensemble des “d´etails” de l’information que le m´ecanisme de la vision a
gomm´e, par le fait mˆeme qu’il a r´ealis´e dans un premier temps une “compression”
des donn´ees (indispensable du fait de l’imperfection du m´ecanisme de vision) avant
de redistribuer la version comprim´ee pour en rendre possible la lecture dans l’´echelle
initiale ou se trouvait propos´ee l’information. Pareil algorithme s’itere (les niveaux
de d´etails successifs sont d1, d2, ..., dN , le “r´esum´e” final est rN ) et l’on peut mˆeme, en
choisissant intelligemment le processus de moyennisation, faire de d1, ..., dN , rN les
composants d’une d´ecomposition orthogonale (c’est a dire concretement non redon-
dante) de l’information initiale s ; en particulier rN s’interpr`ete comme une “ligne
de base” du signal s. Chaque signal dj indique la composante du signal vivant `a
l’´echelle j, le d´ecoupage des ´echelles ´etant dyadique. On peut assouplir d’ailleurs
cette contrainte de hi´erarchie dyadique des ´echelles et profiter de la comparaison
des d´ecompositions bas´ees sur des rapports d’´echelle distincts et premiers entre eux,
tels 2, 3, 5, ..., pour identifier les ´eventuelles structures coh´erentes pr´esentes dans
l’information et les diff´erentier des artefacts de nature arithm´etique li´es au pro-
cessus de d´ecomposition. Voici par exemple les d´ecompositions obtenues suivant
pareil proc´ed´e pour quelques uns des s´equences temporelles correspondant aux ta-
chogrammes ´etudi´es dans la section pr´ec´edente.
11
10020030040050060070080020406080100120Fig. 14 – d´ecomposition de a1
Fig. 15 – d´ecomposition de a7
12
1002003004005006007008009001000s d1 d2 d3 d4 d5 d6 r6 1002003004005006007008009001000s d1 d2 d3 d4 d5 d6 r6 Fig. 16 – d´ecomposition de a10
Fig. 17 – d´ecomposition de a6
13
1002003004005006007008009001000s d1 d2 d3 d4 d5 d6 r6 1002003004005006007008009001000s d1 d2 d3 d4 d5 d6 r6 Fig. 18 – d´ecomposition de a8
Fig. 19 – d´ecomposition de a5
Ce sont les niveaux de d´etails d3 et d4 qui semblent les plus significatifs des compo-
sants de la d´ecomposition ; on remarquera une correspondance entre le renforcement
de d3 et la pr´epond´erance de la composante HF, celui de d4 et la pr´epond´erance de la
composante LF, mˆeme si les deux types de d´ecomposition que sont les d´ecompositions
du type TEMPS-FR´EQUENCES et TEMPS-´ECHELLES sont des types de
d´ecomposition d’ob´edience diverse. Le premier int´erˆet de la d´ecomposition temps-
´echelles est la possibilit´e d’identifier, `a un niveau d’´echelle donn´e (manifestement l’un
des deux niveaux significatifs, `a savoir les niveaux 3 ou 4) des structures coh´erentes et
´eventuellement r´ep´etitives. Rien n’exclut que de telles structures puissent ´echapper
`a une analyse en fr´equences, car l’on sait que l’une des failles majeures de l’analyse
en fr´equence d’une information via l’outil math´ematique qu’est la transformation de
Fourier est que cette transformation (qui optiquement correspond `a l’op´eration de
diffraction) ne respecte pas la localisation des ph´enom`enes : un accident du signal
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1002003004005006007008009001000s d1 d2 d3 d4 d5 d6 r6 1002003004005006007008009001000s d1 d2 d3 d4 d5 d6 r6 est un ph´enom`ene hautes fr´equences, les ´evolutions marquant la ligne de base corres-
pondent a des ph´enomenes de fr´equence beaucoup trop basse pour qu’une analyse
temps-fr´equences (utilisant une fenˆetre assez petite pour que l’on puisse y supposer
le signal stationnaire) puisse les d´etecter.
Pareille analyse temps-´echelles peut aussi ˆetre conduite sans le souci de non-redon-
dance (privil´egier la redondance n’est pas toujours la panac´ee face `a l’´etude de si-
gnaux de cette nature, l’information s’av´erant parfois plus perceptible si elle empi`ete
sur plusieurs niveaux de la d´ecomposition) ; l’id´ee repose sur l’analyse en ondelettes
continue, initi´ee `a partir d’un “atome” (ou ondelette) ψ localis´e au mieux en temps
et en fr´equence et duquel on exige le spectre suffisamment “plat” en 0 (de mani`ere
a ce que la moyennisation glissante des signaux contre cet atome corresponde a
l’action d’un filtre passe-bande) ; l’image visualis´ee (rendant compte de la structure
temps-´echelles d’un signal s donn´e) d´ecrit l’intensit´e de la fonction de deux variables
(a repr´esentant l’´echelle, utilis´ee comme ordonn´ee, b repr´esentant le temps, utilis´e
comme abscisse)
(cid:191)
(a, b) (cid:55)→
1
a
s(t) , ψ(
t − b
a
(cid:192)
)
.
L’exploration des images de haut en bas correspond `a une analyse de plus en plus
fine des d´etails du signal aux ´echelles de plus en plus “s´err´ees”. Voici les r´esultats
obtenus concernant trois des tachogrammes ´etudi´es dans la section pr´ec´edente ; on
comparera les informations obtenues avec les informations issues de l’analyse temps-
fr´equences. L’ondelette utilis´ee ici est l’ondelette de Morlet, celle nous paraissant la
plus adapt´ee au compromis entre l’exploration temps-´echelles d’une information et
son exploration temps-fr´equences. L’id´ee de l’utilisation des techniques d’analyse
temps-´echelles aux fins de l’´etude de la HRV apparaˆıt par exemple dans un travail
de H. Tsuji et H. Mori (1994)[9].
Fig. 20 – image temps-´echelles de a7
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Intervalle temporel normalise entre t=0 et t=1log2(1/a)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91234567891011Fig. 21 – image temps-´echelles de a10
Fig. 22 – image temps-´echelles de a6
Ces images rendent compte d’´evolutions temps-´echelles en phase avec les ´evolutions
temps-fr´equences ; la comparaison d’un grand nombre de tachogrammes montre ce-
pendant qu’une analyse temps-fr´equences semble plus adapt´ee `a l’´etude de tels si-
gnaux, ce qui semble confirmer la nature des signaux rendant compte de la HRV
au niveau de leur (hypoth´etique) contenu fr´equentiel.
4 D’autres outils d’analyse : la “poursuite” contre
un dictionnaire
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L’algorithme dit de “matching pursuit”, tr`es simple conceptuellement, semble
ˆetre l’un de ceux qui s’impose de mani`ere naturelle lorsqu’il s’agit d’´etudier (ou de
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Intervalle temporel normalise entre t=0 et t=1log2(1/a)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91234567891011Intervalle temporel normalise entre t=0 et t=1log2(1/a)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91234567891011classifier) les signaux ou images de nature physiologique.
Le matching pursuit, introduit par St´ephane Mallat dans les ann´ees 1990 (voir [4]),
repose sur une id´ee simple : ´etant donn´e un “dictionnaire” D de signaux de r´ef´erence
(ou d’images de r´ef´erence) d1, ..., dN et un signal s, on teste s contre tous les signaux
di du dictionnaire en calculant les corr´elations (cid:104)s, d1(cid:105),...,(cid:104)s, dN (cid:105) ; on isole l’indice i1
tel que cette corr´elation soit en module maximale, puis l’on teste `a nouveau contre
le dictionnaire le signal
s − (cid:104)s, di1(cid:105)di1 ,
autorisant la d´etection d’un second atome di2, etc... Cet algorithme peut ˆetre am´elior´e
si l’on parvient (en le modifiant l´egerement, ce qui s’avere possible) `a faire en sorte
que le reste au cran n ne soit corr´el´e avec aucun des atomes di1, ..., din−1, auquel
cas le processus de la traque du signal contre le dictionnaire peut s’effectuer “sans
remise”. (voir par exemple une pr´esentation de ces algorithmes dans [10], chapitre
1). Cet ouvrage introductif pr´esente d’ailleurs les divers algorithmes math´ematiques
(tous tr`es simples de fait) exploit´es aux fins d’illustrer cet expos´e ; ces algorithmes
ont ´et´e compos´es sous l’environnement du logiciel de calcul scientifique MATLAB
et sont ais´ement transposables `a l’environnement du logiciel SCILAB d´evelopp´e
par l’INRIA ; on peut les trouver sur le site : http ://www.math.u-bordeaux.fr/ yger
Pour citer un exemple ou pareil algorithme semblait utile a mettre en pratique, nous
mentionnerons celui des images obtenues via le m´ecanisme de gammagraphie par
codage (voir la figure ci-dessous), le corps charg´e (´emettant par cons´equent un bruit
poissonien d’´emission capt´e apr`es passage au travers du masque) ´etant le ventricule
du muscle cardiaque, ventricule sur lequel l’objectif est la d´etection de n´ecroses.
Les divers processus d’inversion (voir par exemple la toute r´ecente th`ese de M.
Quartuccio `a Orsay pour un panorama actualis´e de ces outils math´ematiques et de
leurs limites face a des problemes trop fr´equemment mal pos´es car sous-conditionn´es)
ne permettent en g´en´eral pas la restitution de l’image 3D `a partir de l’information
2D que constitue l’image. Plutˆot que les m´ethodes inspir´ees du pseudo-filtrage de
Wiener visant `a identifier les contributions des “coupes” du corps aux tranches yk,
on pourra confronter l’image suivant un dictionnaire d’images-test obtenues `a partir
de mod`eles pr´esentant divers types de pathologies. L’id´ee d’une telle ´etude a ´et´e
propos´ee par Jean-Francois Crouzet dans sa th`ese [3].
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Fig. 23 – gammagraphie par codage
Cet algorithme de matching-pursuit est aussi celui que nous proposons de mettre
en oeuvre pour l’´etude (et la comparaison) des signaux correspondant `a la mesure
du potentiel ´electrique de la peau (signaux du type SPR+ ou SPR− d´ej`a men-
tionn´es). Il serait int´eressant de classifier de tels signaux suivant des principes de
mˆeme nature que ceux que l’on a tent´e de mettre en oeuvre concernant par exemple
la classification par le FBI des empreintes digitales ; ceci serait un test pour tenter
de valider la th`ese de Lang selong laquelle la “ligne de base” de des r´eponses pour-
rait ˆetre une caract´eristique de chaque individu. Voici par exemple le trac´e type de
deux s´equences correspondant `a de tels enregistrements (en plein figure les ondes
positives, en pointill´e les ondes n´egatives).
Fig. 24 – exemple de signal de type SPR (spr13)
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0masquecorpsx=z= 0 M( x,0,z)y=0Lcode Cyykyk-1k+1yécranrécepteur50100150200250−0.4−0.3−0.2−0.100.10.20.30.40.50.6Fig. 25 – exemple de signal de type SPR (spr11)
L’algorithme de recherche d’une base optimale (au sens de la minimisation d’un
crit`ere d’entropie adapt´e aux exigences de l’exp´erimentateur, voir [10], chapitre 6
pour les r´ef´erences) suivant laquelle des signaux de ce type seraient amen´es `a se
d´ecomposer fournit un moyen de classification de ces signaux ; le mˆeme algorithme
peut ˆetre exploit´e aux fins de classifier les s´equences de tachogrammes. C’est par ces
remarques que nous concluerons cet expos´e, visant avant tout `a pr´esenter (avec leurs
limites) l’int´erˆet que peuvent pr´esenter certains algorithmes d’inspiration r´ecente de
traitement num´erique du signal ou de l’image face aux questions que pose l’´epineux
probl`eme de la non-stationnarit´e (au sens d´eterministe du moins) de certains signaux
de nature physiologique.
R´ef´erences
[1] J. Brunol, N. de Beaucoudray & S. Lowenthal, D´econvolution analogique en
imagerie par ouverture cod´ee appliqu´ee `a la m´edecine nucl´eaire, Optica Acta,
25, 2, 113-124 (1978)
[2] R. Coifman, Y. Meyer, S. Quake and M. V. Wickerhauser, Signal processing and
compression with wavelet packets, Yale math department Wavelet Resources,
http ://www.math.yale.edu/wavelets
[3] J-F. Crouzet, La gammagraphie par ouverture de codage, these pr´esent´ee a
l’Universit´e Bordeaux 1 (1996), ´ecole doctorale de Math´ematiques et Informa-
tique, no ordre 1444.
[4] S. Mallat & Z. Zhang, Matching pursuit with time frequency dictionaries, IEEE
Transactions on Signal Processing 12 (1993), 3397-3415
[5] A. Malliani, M. Pagani, F. Lombardi, S. Cerutti, Cardiovascular Neural Regula-
tion Explored in the Frequency Domain, Circulation, 84 (2), 1991, pp. 482–492.
[6] Y. Meyer, R. Ryan, Wavelets, Algorithms and applications, SIAM, 1993,
ISBNO-89871-309-9.
[7] N. Ohyama, T. Honda, J. Tsujiuchi, Tomogram reconstruction using advanced
coded aperture imaging, Optics communications, 36, 6 (1981), 434-438.
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50100150200250300350400450500−0.25−0.2−0.15−0.1−0.0500.050.10.150.20.25[8] M. Quartuccio, Cam´era a collimation assist´ee par ordinateur CACA0. ´Etude a
2 et 3 dimensions et premieres exp´eriences, these pr´esent´ee `a l’Universit´e Paris
11, Laboratoire de Physique des Solides, Mars 2001.
[9] H. Tsuji, H. Mori, New analysis of HRV through Wavelet transform, Interna-
tional Journal of Human-Computer Interaction 6 (2), 1994, 205-217.
[10] A. Yger, Analyse et Traitement du Signal, Cours et initiation pratique via MAT-
LAB et SCILAB, Collection Universit´es, Ellipses, 1999.
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