Analyse Numérique

(Et ):frx)=13+tr*1:0.

1) lrfontrer que (Ei) admetune,qeule solution rêelle a, et que a e lQ 1[. ?) Montrer que (Er) æ (Ez : g(r) = x), dans chamn des cas suivants:

g,(x) : x3 +?x - t; gr(x) = | -x3; gr(r) = (1 -r)ltr 91 go(r) =

3) Pour fes 4 cas prrÉcÉdents, étudier la convetgenee de le rnéthodc du poifit fixa pour la recherehe rle a. Dans le cas.où i! y a convergencs , donner un intervalle f pour lequel la méthèCe converg€ pour tout choix de ro ê /.

#?

Ëxsrcice 2 On considàre la fonct!on"{*) : É +f +1x-3. 1) Montrer que l'équationfrx) = 0 admet une seuie solution réelle a. 2) Donner une appro>:imatign cte c.a 10{ près, par ia rnétirode de Hewton.

,

!t

qssEe-l Sr:it a un réel strictemant pgsitif. Décrire la méthode de Ne*ton, pour la recherche de Jî. Application: calculer Jî è:rc{ près, par la méthcd,e de Nsfftôn.

e,t5'lL'g" t On so propose de trouver des vaieurs approcfrées de la racine a de l'équation:

(Et ) :JU): ex -x -3 : 0.

1) Montrer qu'il existe une racine unique c pour l'equation (81) dans [1,2]. :)) ['û r€]mêirquant que l'équfltion (Ei) est équivalente à:

x = g,(x) : e" -3 rrronlior que i'intervalle [,2] est un intervalle sur lequei la convergence vËrs urre solrrtion unique par la rnéthotlo du point fixe (:r = g,(x)) n'est pas assurée. it) b.n remarquant que l'équation (Er) est éqirivalente à:

I

tgz) : x = Er(x) : ln(r+ 3)

/

i

êtudior dans ce ûes, la cdn'rergence de la méthodo du point fue pour la reclrerche dela. 4) Four xo : 2, détenniner le nombre d'itérations (on rappelle que: lx,, -cl < 5)Ecrire|améthodedoNerytonpour|afonc-tion/avecx9=2ë|moriferque|asui1adeNawton converge vêrs s. Donner une approximaioÀàËitio; Ërès. 6) tomparer ces deux (demière) méthodes d'itérations.

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