Analyse Factorielle des Correspondances (AFC)

20,0%

100,0%

Analyse Statistique : Tableau de Contingence

Tableau de contingence en fr quence

Cat gories

techniciens

Ouvriers

Cadre

0,30

0,25

0,05

0,60

0,05

0,08

0,12

0,25

0,10

0,02

0,03

0,15

Tableau de contingence en pourcentages

Cat gories

techniciens

5,0%

8,0%

12,0%

25,0%

Ouvriers

30,0%

25,0%

5,0%

60,0%

Cadre

10,0%

2,0%

3,0%

15,0%

Age

< 30 ans

[ 30 ; 45 [

[45 ; 60 [

Total

Age

< 30 ans

[ 30 ; 45 [

[45 ; 60 [

Total

Total

0,45

0,35

0,20

1,00

Total

45,0%

35,0%

20,0%

100,0%

lintersection dune ligne et dune colonne, nous avons le nombre kij

demploy s ayant simultan ment la classe d' ge i et la cat gorie j. Le total

marginal ki. est le nombre des employ s ayant la classe d' ge i, alors que le total

marginal k.j est le nombre des employ s ayant la cat gorie j.

Qui, en termes de fr quences relatives, donnent lieu aux relations :

On se propose d tudier les ventuelles relations existant entre ces deux

variables nominales. Donc on pose la question :

Y-a-t-il ind pendance entre la classe d' ge et la cat gorie de des

employ s ? Sinon, quels types dassociations existent entres ces deux variables

qualitatives.

Analyse Statistique : Profils lignes et colonnes

Age

< 30 ans

[ 30 ; 45 [

[45 ; 60 [

Total

Age

< 30 ans

[ 30 ; 45 [

[45 ; 60 [

Total

Tableau de Profils lignes

Cat gories

techniciens

11,1

22,9

60,0

25,0

Ouvriers

66,7

71,4

25,0

60,0

Cadre

22,2

5,7

15,0

15,0

Tableau de Profils colonnes

Cat gories

techniciens

20,0

32,0

48,0

100

Ouvriers

50,0

41,7

8,3

100

Cadre

66,7

13,3

20,0

100

Total

100

100

100

100

Total

45,0

35,0

20,0

100

Analyse Bidimensionnelle entre deux variables

qualitatives

Hypoth se dind pendance :

Tableau de fr quences th oriques

Tableau de fr quences empiriques

Ouvriers techniciens Cadre

Total

Ouvriers techniciens Cadre

Total

< 30 ans

0,27

[ 30 ; 45 [

0,21

[45 ; 60 [

0,12

Total

0,60

0,11

0,09

0,05

0,25

0,07

0,05

0,03

0,15

0,45

0,35

0,2

1

< 30 ans

[ 30 ; 45 [

0,30

0,25

[45 ; 60 [

0,05

Total

0,60

0,05

0,08

0,12

0,25

0,10

0,02

0,03

0,15

0,45

0,35

0,2

1

Naturellement, m me sous lhypoth se dind pendance, une telle relation nest

quapproximativement vraie. Le classique test deux 2 pour les tables de

contingence permet pr cis ment dappr cier l cart entre les lois empiriques fij et

fi. * f.j

Hypoth se dind pendance :

Le test de 2 est d finit par :

H0 : Les deux variables sont ind pendantes

H1 : Les deux variables sont d pendantes

La statistique du test est d finie par :

(

-

)

f

f

f

2

n

p

.

.

j

ij

N

d2=

.

i

f

.

.

i

En outre, le d2 suit une loi du khi-2 de param tre

sappelle le nombre de degr s de libert avec :

2 d

1

=

1

=

f

i

j

j

( )nc2

n

n

= (nombre de modalit s de la premi re variable -1) x

n

(nombre de modalit s de la deuxi me variable -1).

Hypoth se dind pendance :

On rejettera donc lhypoth se dind pendance un risque

derreur si d2 est sup rieur la valeur critique dans la table de

2 (n-1)*(p-1) degr de libert .

AN : d2 = 214.5 2

d2 >> 2

d pendantes

4 = 9.49

4 on accepte H1 Les deux variables sont

(3-1)*(3-1) = 2

(n-1)(p-1) = 2

Hypoth se dind pendance :

2

(n-1)(p-1) = 2

(3-1)*(3-1) = 2

4 = 9.49

95%

5%

AFC : Association entre les modalit s

Distances entre profils. M trique du 2:

Chaque ligne du tableau des fr quences lignes peut tre vue comme la liste des

coordonn es d'un point dans un espace q dimensions. On obtient ainsi le nuage des

individus-lignes. On d finit de m me le nuage des individus-colonnes partir du

tableau des fr quences colonnes.

On s'int resse alors aux directions de "plus grande dispersion" de chacun de ces

nuages de points. Mais, pour mesurer la "distance" entre deux individus. La distance

euclidienne usuelle entre deux profils-lignes traduit bien la ressemblance

AFC : Association entre les modalit s

Distances entre profils. M trique du 2:

Cependant, cette distance favorise les colonnes qui ont une masse f.j importante c'est- -dire la

Cat gorie ouvrier .

Pour rem dier cela, on pond re chaque cart par linverse de la masse de la colonne et lon

calcule une nouvelle distance appel e la distance du 2 :

On d finit de la m me mani re la distance entre les profils-colonnes par :

AFC : Association entre les modalit s

Construction des nuages

Pour lanalyse dun tableau de contingence, nous raisonnerons en termes de profils, ce

qui permet de rendre comparables les modalit s dune m me variable.

Nuage des n lignes

Lensemble des profils-lignes forme un nuage de n points dans lespace des p colonnes et

repr sente ici le nuage des 3 modalit s classes d' ge. Chaque point i a pour coordonn es dans

IRp {fij /fi. ; j = 1&..p}

Nuage des p colonnes

De la m me fa on, lensemble des p profils colonnes constitue un nuage de p points dans

lespace de n lignes et repr sente ici le nuage de 3 modalit s des cat gories des employ s. Les

coordonn es dans IRn du point j sont donn es par : {fij /f.j; j = 1&..n}

AFC : Association entre les modalit s

Construction des nuages

Contrairement lanalyse en composantes principales, le tableau de donn es (tableau de

contingence) subit deux transformations, lune en profils-lignes, lautre en profils-colonnes,

partir desquelles vont tre construits les nuages de points dans IRn et IRp.

Repr sentation Simultan e

Construction des nuages

Les deux nuages de points (dans lespace des colonnes et dans lespace des lignes) sont

construits de mani re analogue.

AFC : Association entre les modalit s

Construction des nuages

La repr sentation simultan e des diff rentes modalit s de deux variables qualitatives est

la suivante :

• Les deux modalit s Cadre et < 30 ans sapprochent,
• La cat gorie la plus proche de la classe d' ge [45,60[ est techniciens