Année Universitaire 2021-2022
Mastère "Business Analytics & Data Science" (BADS)
Atelier Fouille de données
Analyse Factorielle des Correspondances (AFC)
ZOUAOUI Slim
Analyse Factorielle des Correspondances (AFC)
Deux variables qualitatives :
L'analyse factorielle des correspondances (AFC) est une méthode exploratoire d'analyse des tableaux de contingences, c'est-à-dire aux tableaux de comptages obtenus par le croisement de deux variables qualitatives.
Le tableau de contingence suivant indique la répartition, en fonction de la Catégorie et les classes d'âge de 1000 employés dans une entreprise
Variable en ligne : Age - < 30 ans - [ 30 ; 45[ - [ 45 ; 60 [ Variable en colonne : Catégorie - Ouvriers - Techniciens - Cadres
Analyse Statistique : Tableau de Contingence
Tableau de contingence en Effectif Catégories techniciens 50 80 120 250
Ouvriers 300 250 50 600
Cadre 100 20 30 150
Tableau de contingence en pourcentages Catégories techniciens 5,0% 8,0% 12,0% 25,0%
Ouvriers 30,0% 25,0% 5,0% 60,0%
Cadre 10,0% 2,0% 3,0% 15,0%
Age
< 30 ans [ 30 ; 45 [ [45 ; 60 [ Total
Age
< 30 ans [ 30 ; 45 [ [45 ; 60 [ Total
Total 450 350 200 1000
Total 45,0% 35,0% 20,0% 100,0%
Analyse Statistique : Tableau de Contingence
Tableau de contingence en fréquence Catégories techniciens
Ouvriers
Cadre
0,30 0,25 0,05 0,60
0,05 0,08 0,12 0,25
0,10 0,02 0,03 0,15
Tableau de contingence en pourcentages Catégories techniciens 5,0% 8,0% 12,0% 25,0%
Ouvriers 30,0% 25,0% 5,0% 60,0%
Cadre 10,0% 2,0% 3,0% 15,0%
Age
< 30 ans [ 30 ; 45 [ [45 ; 60 [ Total
Age
< 30 ans [ 30 ; 45 [ [45 ; 60 [ Total
Total
0,45 0,35 0,20 1,00
Total 45,0% 35,0% 20,0% 100,0%
Á l’intersection d’une ligne et d’une colonne, nous avons le nombre kij d’employés ayant simultanément la classe d'âge i et la catégorie j. Le total marginal ki. est le nombre des employés ayant la classe d'âge i, alors que le total marginal k.j est le nombre des employés ayant la catégorie j.
Qui, en termes de fréquences relatives, donnent lieu aux relations :
On se propose d’étudier les éventuelles relations existant entre ces deux variables nominales. Donc on pose la question :
Y-a-t-il indépendance entre la classe d'âge et la catégorie de des
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employés ? Sinon, quels types d’associations existent entres ces deux variables qualitatives.
Analyse Statistique : Profils lignes et colonnes
Age
< 30 ans [ 30 ; 45 [ [45 ; 60 [ Total
Age
< 30 ans [ 30 ; 45 [ [45 ; 60 [ Total
Tableau de Profils lignes Catégories techniciens 11,1 22,9 60,0 25,0
Ouvriers 66,7 71,4 25,0 60,0
Cadre 22,2 5,7 15,0 15,0
Tableau de Profils colonnes Catégories techniciens 20,0 32,0 48,0 100
Ouvriers 50,0 41,7 8,3 100
Cadre 66,7 13,3 20,0 100
Total 100 100 100 100
Total 45,0 35,0 20,0 100
Analyse Bidimensionnelle entre deux variables qualitatives
Hypothèse d’indépendance :
Tableau de fréquences théoriques
Tableau de fréquences empiriques
Ouvriers techniciens Cadre
Total
Ouvriers techniciens Cadre
Total
< 30 ans
0,27
[ 30 ; 45 [
0,21
[45 ; 60 [
0,12
Total
0,60
0,11
0,09
0,05
0,25
0,07
0,05
0,03
0,15
0,45
0,35
0,2
1
< 30 ans
[ 30 ; 45 [
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0,30
0,25
[45 ; 60 [
0,05
Total
0,60
0,05
0,08
0,12
0,25
0,10
0,02
0,03
0,15
0,45
0,35
0,2
1
Naturellement, même sous l’hypothèse d’indépendance, une telle relation n’est qu’approximativement vraie. Le classique test deux χ2 pour les tables de contingence permet précisément d’apprécier l’écart entre les lois empiriques fij et fi. * f.j
Hypothèse d’indépendance :
Le test de χ2 est définit par :
H0 : Les deux variables sont indépendantes
H1 : Les deux variables sont dépendantes
La statistique du test est définie par :
f
f
f
2
n
p
.
.
j
ij
N
d2=
.
i f . . i En outre, le d2 suit une loi du khi-2 de paramètre s’appelle le nombre de degrés de liberté avec :
2 d
1
1
f
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i
j
j
2
= (nombre de modalités de la première variable -1) x
(nombre de modalités de la deuxième variable -1).
Hypothèse d’indépendance :
On rejettera donc l’hypothèse d’indépendance à un risque d’erreur α si d2 est supérieur à la valeur critique dans la table de χ2 à (n-1)*(p-1) degré de liberté .
AN : d2 = 214.5 χ2 d2 >> χ2 dépendantes
4 = 9.49 4 on accepte H1 Les deux variables sont
(3-1)*(3-1) = χ2
(n-1)(p-1) = χ2
Hypothèse d’indépendance :
χ2
(n-1)(p-1) = χ2
(3-1)*(3-1) = χ2
4 = 9.49
95%
5%
AFC : Association entre les modalités
Distances entre profils. Métrique du χ2:
Chaque ligne du tableau des fréquences lignes peut être vue comme la liste des coordonnées d'un point dans un espace à q dimensions. On obtient ainsi le nuage des individus-lignes. On définit de même le nuage des individus-colonnes à partir du tableau des fréquences colonnes.
On s'intéresse alors aux directions de "plus grande dispersion" de chacun de ces nuages de points. Mais, pour mesurer la "distance" entre deux individus. La distance euclidienne usuelle entre deux profils-lignes traduit bien la ressemblance
AFC : Association entre les modalités
Distances entre profils. Métrique du χ2:
Cependant, cette distance favorise les colonnes qui ont une masse f.j importante c'est-à-dire la Catégorie « ouvrier ». Pour remédier à cela, on pondère chaque écart par l’inverse de la masse de la colonne et l’on calcule une nouvelle distance appelée la distance du χ2 :
On définit de la même manière la distance entre les profils-colonnes par :
AFC : Association entre les modalités
Construction des nuages
Pour l’analyse d’un tableau de contingence, nous raisonnerons en termes de profils, ce qui permet de rendre comparables les modalités d’une même variable.
Nuage des n lignes L’ensemble des profils-lignes forme un nuage de n points dans l’espace des p colonnes et représente ici le nuage des 3 modalités classes d'âge. Chaque point i a pour coordonnées dans IRp {fij /fi. ; j = 1…..p}
Nuage des p colonnes De la même façon, l’ensemble des p profils colonnes constitue un nuage de p points dans l’espace de n lignes et représente ici le nuage de 3 modalités des catégories des employés. Les coordonnées dans IRn du point j sont données par : {fij /f.j; j = 1…..n}
AFC : Association entre les modalités
Construction des nuages
Contrairement à l’analyse en composantes principales, le tableau de données (tableau de contingence) subit deux transformations, l’une en profils-lignes, l’autre en profils-colonnes, à partir desquelles vont être construits les nuages de points dans IRn et IRp.
Représentation Simultanée
Construction des nuages Les deux nuages de points (dans l’espace des colonnes et dans l’espace des lignes) sont construits de manière analogue.
AFC : Association entre les modalités
Construction des nuages La représentation simultanée des différentes modalités de deux variables qualitatives est la suivante :
- Les deux modalités Cadre et < 30 ans s’approchent, - La catégorie la plus proche de la classe d'âge [45,60[ est « techniciens »