Chap 1 Analyse en composantes principales

L’analyse en Composantes Principales (ACP) est une méthode d’analyse des données utilisée pour l’étude exploratoire ou la réduction d’un grand tableau n × p de données quantitatives, où n désigne le nombre d’individus et p le nombre de variables quantitatives. L'analyse des données consiste essentiellement à établir quelles sont les relations existant entre les observations, entre les variables, et entre les observations et les variables.

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Chap 1 Analyse en composantes principales

Objectifs

 Etudier les interrelations entre un assez grand nombre de variables  Regrouper ces variables dans des groupes limités

appelés

facteurs

composantes.

 Etablir entre ces groupes de variables une hiérarchie basée

essentiellement sur la valeur explicative de chacun d’eux

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Chap 1 Analyse en composantes principales

Exemple

On se propose d’étudier une marque de variables sont les plus importantes ?

on relève les suivantes: prix, vitesse, look, sécurité, confort. lesquelles

voiture,

Par sondage à un échantillon de clients ; Les variables seront notées de 1 à 10, où 1 = Pas du tout important et 10 = Très important.

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Chap 1 Analyse en composantes principales Supposons que l’analyse a donné les résultats suivants:

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Chap 1 Analyse en composantes principales

Exemple Il permet de dégager l’attitude des cliens vis-à-vis de ces variables, Une importance considérable est allouée au facteur 1 dans le quel la sécurité est plus importante que le confort (voiture allemande vs voiture française), Pour le facteur 2 le prix précède l’importance de la vitesse.

L’analyse en composantes principales, dans cet exemple, a bien rempli son rôle : réduire les données et donner une certaine explication choix effectués par

répondants.

aux

les

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Chap 1 Analyse en composantes principales

1.Méthodologie de l’ACP

Le tableau de données n x p forme un nuage de n points dans un espace à p dimensions, ou un nuage de p points dans un espace à n dimensions.

L'ACP consiste à projeter les points sur une droite, un plan... un sous- espace à s dimensions (avec s ≤ p) choisi de façon à optimiser un certain critère.

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1.Méthodologie de l’ACP

Intuitivement, on cherchera le sous-espace donnant la meilleure visualisation possible de notre nuage de points. Un bon choix consiste à rechercher la plus grande dispersion (le plus grand étalement) possible des projections dans le sous-espace choisi.

On est amené ainsi à chercher une rotation de notre système d'axes initial (les variables) permettant de mieux voir notre nuage.

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1.Méthodologie de l’ACP  Recherche des variables similaires. celles-ci doivent faire partie d’un même ensemble : mesure de la satisfaction, de l’intérêt, etc. ;

 matrice des corrélations entre les variables choisies ;  Dégagerles  Rotation des axes, qui désigne

facteurs

les

selon

importants expliquée) ;  Lecture des  Interprétation des résultats au plan des décisions et de l’action

plus importants;

leur degré

d’inertie

tests les

les (de

plus variance

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2. Pratique de l’ACP Voici un tableau de scores attribuées à 9 individus dans 5 matières

Individu Math Sciences Français Latin Musique

I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9

6 8 6 14,5 14 11 5,5 13 9

6 8 7 14,5 14 10 7 12,5 9,5

5 8 11 15,5 12 5,5 14 8,5 12,5 Tableau 1

5,5 8 9,5 15 12 7 11,5 9,5 12

8 9 11 8 10 13 10 12 18

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2. Pratique de l’ACP On calculer les moyennes arithmétiques et les écarts-types des 5 variables quantitatives qui seront résumées dans le tableau suivant :

Moyenne

Ecart-type

n analyse

Math

science

Français

Musique

Latin

9,6667

9,8333

3,57946

3,17214

10,2222

3,68367

11,0000

3,12250

10,0000

2,93684

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Tableau 2

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2. Pratique de l’ACP Ces données doivent êtes centrées et réduites pour éliminer l’effet taille des données et avoir des valeurs sans unité. Cette opération consiste à centrer les données puis les diviser par l’´écart type:

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Tableau 2

Individu Math -1,0865 -0,4939 -1,0865 1,4322 1,2840 0,3951 -1,2347 0,9877 -0,1975

I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9

Sciences Français Latin Musique -1,0190 -1,2817 -0,6794 -0,6130 0,0000 -0,9474 -1,0190 1,5604 -0,3397 1,3932 0,6794 0,0557 -0,3397 -0,9474 0,3397 0,8916 2,3778 -0,1115

-1,6252 -0,7223 -0,1806 1,8058 0,7223 -1,0835 0,5417 -0,1806 0,7223

-1,5037 -0,6399 0,2239 1,5197 0,5119 -1,3597 1,0878 -0,4959 0,6559

Tableau Données centrées réduites

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2. Pratique de l’ACP

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Tableau 2

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2. Pratique de l’ACP La démarche de l’ACP est la suivante : En partant de 5 axes factoriels qui correspondent aux 5 variables, elle va les réduire tout en maximisant la quantité d’informations dans le nuage de points (ou bien réduire la perte d’informations).

Ainsi l’objectif est de déterminer un plan factoriel formé par des axes sur lesquels on effectuera une projection des variables. Evidemment le nuage initial est complexe puisque le nombre des dimensions est élevé (égal au nombre de variables 5).

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Tableau 2

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2. Pratique de l’ACP Les 5 axes factoriels qui correspondent aux 5 variables:

Nuage de points

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Tableau 2

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2. Pratique de l’ACP 2.1 Matrice de corrélation

Tableau 2 Matrice de corrélation

Math Science Français Latin Musique Math Science Français Latin Musique

Math

1,000 ,983 ,227 ,490 ,011

,000 ,279 ,090 ,489

Science Français ,227 ,397 1,000 ,956 ,038 ,279 ,145

,983 1,000 ,397 ,634 ,006 ,000

,145 ,033 ,494

,000 ,461

Latin Musique ,011 ,006 ,038 ,089 1,000 ,489 ,494 ,461 ,410

,490 ,634 ,956 1,000 ,089 ,090 ,033 ,000

,410

Corrélation

Signification (unilatérale)

a. Déterminant = 5,398E-006

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2. Pratique de l’ACP 2.1 Matrice de corrélation

La corrélation entre les deux variables Math et Science est de 0,983 cela prouve une forte corrélation positive. Par contre entre Math et Musique elle est de 0,011 soit une absence de corrélation. Remarquons qu’il n’existe pas de corrélation négative dans notre exemple. A ne pas oublier que la corrélation n’entraine pas nécessairement l’existence d’une relation, alors que la réciproque est toujours vraie.

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Tableau 2

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2. Pratique de l’ACP 2.2 Nuage de points

Le nuage de points peut être lu de deux manières : soit à partir des individus soit à partir des variables.

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Tableau 2

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2. Pratique de l’ACP 2.2 Nuage de points Nuage des individus Notre exemple porte sur 9 individus, alors le nuage des individus sera le nuage produit par les les 9 points, pris dans un espace de dimension 5 (le nombre de variables). On définit l’inertie totale (c’est la quantité d’informations contenue dans le nuage) comme étant la somme des distances euclidiennes du point O (puisqu’il s’agit d’une ACP normée) aux différents points du nuage.

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Tableau 2

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2. Pratique de l’ACP 2.2 Nuage de points Nuage des individus En appliquant le théorème de Pythagore et la distance métrique sur IRn, l'inertie totale du nuage est

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Tableau 2

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2. Pratique de l’ACP 2.2 Nuage de points Nuage des individus

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Tableau 2

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2. Pratique de l’ACP 2.2 Nuage de points Nuage des variables De la même manière on peut définir la nuage des variables. Ainsi . l'inertie absolue de chaque variable est n, son inertie relative est

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2. Pratique de l’ACP 2.3 Axes factoriels L’objectif de l’ACP est de réduire les variables d’une part par l’obtention de nouvelles composantes factorielles obtenues comme combinaison linéaire des variables initiales. Ainsi il sera formé les composantes CP1, CP2,… selon l’ordre décroissant de signification.

Autre dit la première composante va représenter le nuage initial avec la plus grande proportion, la 2ème composante sera la deuxième, etc..

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2. Pratique de l’ACP 2.3 Axes factoriels Egalement il indépendantes covariance est nulle .

faudrait

ajouter

que

ces

(géométriquement

orthogonales)

composantes donc

sont leur

la variance d’une composante principale CPk est égale à la k-ième valeur propre.

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2. Pratique de l’ACP 2.3 Axes factoriels A ce niveau d’analyse on emprunte les connaissances de l’algèbre linéaire. En fait diagonaliser une matrice revient à trouver des vecteurs propres dégagés eux même des valeurs propres de cette même matrice. Les valeurs propres représentent la même information (l'inertie du nuage de points) dans deux systèmes d'axes orthonormés différents.

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2. Pratique de l’ACP 2.3 Axes factoriels

Tableau3 Variance totale expliquée

Composante

Valeurs propres initiales

Total

% de la variance

% cumulés

2,862

1,151

,983

,004

,000

57,236

23,014

19,663

,079

,008

57,236

80,250

99,913

99,992

100,000

Extraction Sommes des carrés des facteurs retenus % de la variance

% cumulés

Total

2,862

1,151

,983

,004

,000

57,236

23,014

19,663

,079

,008

57,236

80,250

99,913

99,992

100,000

Méthode d'extraction : Analyse en composantes principales.

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2. Pratique de l’ACP 2.3 Axes factoriels

Diagramme des valeurs propres

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2. Pratique de l’ACP 2.3 Axes factoriels Il existe plusieurs méthodes : règle de Kaiser, règle du coude etc.

D'où l'idée de ne garder que les valeurs propres (et directions propres) qui représentent au moins 20% de variation.

Variante : on observe une brusque décroissance des valeurs propres entre la 3è et la 4è valeur propre.

Au final, on décide de ne garder que 2 valeurs propres.

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2. Pratique de l’ACP 2.4 Indice KMO et test de Bartlett Ce sont deux indicateurs pour évaluer la qualité d’une ACP. Plus l’indice KMO est proche de 0.8 plus l’ACP est bonne et plus il s’éloigne de 0.8 elle devient non significative.

Le test de sphéricité de Bartlett propose une mesure globale en s’appuyant sur une démarche statistique. Il vise à détecter dans quelle mesure la matrice de corrélation R=(rij)(p x p) calculée sur nos données (matrice observée) diverge significativement de la matrice unité (matrice théorique sous hypothèse nulle H0).

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2. Pratique de l’ACP 2.4 Indice KMO et test de Bartlett

Essayer de procéder à un résumé est illusoire lorsque l’hypothèse nulle n’est pas démentie par les données. En revanche, il est possible de compresser l’information, jusqu’à quel point on ne le sait pas, en un nombre plus réduit de facteurs lorsque l’hypothèse nulle est rejetée.

Cela ne veut pas dire pour autant que nous allons trouver des informations intéressantes dans notre ACP

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2. Pratique de l’ACP 2.4 Indice KMO et test de Bartlett

Pour mesurer déterminant |R| de la matrice de corrélation.

le lien entre les variables, nous calculons

Sous H0, |R| = 1 ; s’il y a des colinéarités parfaites, nous aurions |R| = 0. Ici également, fixer des valeurs seuils est difficile.

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2. Pratique de l’ACP 2.4 Indice KMO et test de Bartlett Lorsque |R| est inférieur à 0.00001, il y a de très fortes redondances type les données c.-à-d. elles ne recèlent qu’un seul dans d’information. Le résultat sera d’une très grande trivialité (ex. les personnes de grande taille sont plus lourdes, courent plus vite, sautent plus haut et ont des grands pieds). A l’inverse, lorsque |R| se rapproche de 1, l’ACP ne servira pas à grand-chose car les variables sont quasiment orthogonales deux à deux. Le test de Bartlett vise justement à vérifier si l’on s’écarte significativement de cette situation de référence |R| = 1.

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2. Pratique de l’ACP 2.4 Indice KMO et test de Bartlett

Indice KMO et test de Bartlett

Mesure de précision de l'échantillonnage de Kaiser-Meyer-Olkin.

Test de sphéricité de Bartlett

ddl

Khi-deux approximé

Signification de Bartlett

,330

66,712

,000

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2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux individus Coefficients des individus

Les scores des individus sont les valeurs des composantes factorielles sur les individus.

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Coordonnées des individus

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2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux individus Contributions des individus La contribution relative d'un individu i à la formation de la composante principale k est définie par :

Par exemple :

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2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux individus Contributions des individus seront les suivantes :

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Fact. 1 30,13 6,19 4,01 37,85 14,84 3,49 0,41 1,58 1,51

Fact. 2 4,42 1,05 10,04 0,27 5,99 13,94 29,73 12,33 22,23 Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi

Fact. 3 6,14 3,48 0,94 14,80 0,40 14,69 9,35 5,41 44,79

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2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux individus Qualités de la représentation des individus La qualité de la représentation d'un individu i par la composante principale k est définie par :

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2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux individus Par exemple : Géométriquement, la qualité de la représentation d'un individu i par la composante principale.

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2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux individus Cosinus carrés, basées sur les corrélations

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Fact. 1 0,8855 0,7920 0,4784 0,8786 0,8515 0,2465 0,0263 0,1877 0,0583

Fact. 2 0,0522 0,0542 0,4813 0,0025 0,1383 0,3962 0,7671 0,5898 0,3458 Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi

Fact. 3 0,0619 0,1530 0,0384 0,1180 0,0080 0,3568 0,2061 0,2211 0,5954

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2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux individus Les qualités de représentation sont additives. Par exemple, la qualité de représentation d'un individu i par le plan (CP1, CP2) est donnée par :

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2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux individus

Pour l’individu 1 1, la qualité de représentation par le plan factoriel 1x2 est : 0,8855+0,0522=0,9377. Cette valeur représente le carré du cosinus de l'angle que fait avec le plan (CP1, CP2). .

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Cartes des individus

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2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux variables Coordonnées des variables De même, les variables ont des coordonnées factorielles sur les deux axes. On observe une grande corrélation entre l’axe 1 et les variables Math et Science, cela prouve que l’axe 1 est formé par les matières scientifiques. L’axe 2 est dominé par les variables Français et Latin cela peut indiquer que cet axe est formé par les matières littéraires.

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2.5 Résultats relatifs aux variables

Carte des variables

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2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux variables Les coordonnées sont données par le tableau suivant :

Coordonnées des variables

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2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux variables

Contributions des variables Les contributions des variables à la formation des composantes principales sont définies de la même façon que celles des individus :

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2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux variables Contributions des variables

Math Sciences Français Latin Musique

Fact. 1 0,2269 0,2812 0,2008 0,2895 0,0016

Fact. 2 0,2837 0,1613 0,3245 0,1373 0,0932

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Chap 1 Analyse en composantes principales

2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux variables

Qualités de la représentation des variables La qualité de la représentation d'une variable par une composante principale est définie de la même façon que pour les individus :

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2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux variables Comme dans le cas des individus, les qualités des représentations d'une variable selon les composantes principales s'additionnent.

Le tableau ci-dessous donne les qualités de représentation selon la première composante principale, selon le plan des deux premières les deux premières l'espace défini par composantes, dans composantes.

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2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux variables

Math

Sciences

Français

Latin

Musique

Avec 1

facteur

0,6495

0,8046

0,5747

0,8286

0,0044

Avec 2

facteurs

0,9759

0,9902

0,9481

0,9866

0,1117

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2. Pratique de l’ACP 2.6 Autres résultats: Le tableau des coefficients des variables peut être lu de deux façons : - il permet de calculer les valeurs des composantes principales à partir des variables centrées réduites de départ - il permet de retrouver les valeurs des variables centrées réduites de départ à partir des valeurs des composantes principales. Vecteurs propres de la matrice de corrélation Variables actives seules

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2. Pratique de l’ACP 2.6 Autres résultats: Vecteurs propres de la matrice de corrélation Variables actives seules

Math

Sciences

Français

Latin

Musique

Fact. 1

0,4764

0,5302

0,4481

0,5381

0,0394

Fact. 2

0,5326

0,4016

-0,5696

-0,3706

-0,3053

Fact. 3

-0,1548

-0,0936

0,2276

0,1093

Fact. 4

Fact. 5

-0,3030

0,6112

0,5168

-0,5308

0,4775

0,4414

-0,6416

-0,3868

-0,9505

0,0390

0,0140

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Chap 1 Analyse en composantes principales

2. Pratique de l’ACP 2.6 Autres résultats:

On observera que : - chaque ligne représente un vecteur de norme 1 - chaque colonne représente un vecteur de norme 1 - deux "vecteurs ligne" quelconques sont orthogonaux - deux "vecteurs colonne" quelconques sont orthogonaux

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2. Pratique de l’ACP 2.6 Autres résultats:

Pour l'individu 1, les variables de départ ont pour valeurs

Math

Sciences

Français

Latin

Musique

-1,0865

-1,2817

-1,5037

-1,6252

-1,0190

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2. Pratique de l’ACP 2.6 Autres résultats:

On retrouve ainsi le score de cet individu sur la première composante principale :

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2. Pratique de l’ACP 2.6 Autres résultats:

Pour l'individu 1, les scores sur les 5 composantes principales sont :

Fact. 1 -2,7857

Fact. 2 0,6764

Fact. 3 0,7368

Fact. 4 -0,0482

Fact. 5 -0,0332

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2. Pratique de l’ACP 2.6 Autres résultats:

Les valeurs propres pourraient également être calculées à partir du tableau, comme variances des composantes principales. Autrement dit, on pourrait à l'aide du tableau des coefficients, retrouver tous les résultats indiqués ci-dessus. Ce tableau permet également de retrouver les saturations des variables, en multipliant les coefficients correspondant à chaque facteur par la racine carrée de la valeur propre correspondante.

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Chap 1 Analyse en composantes principales

2. Pratique de l’ACP 2.7 Rotation des axes: Une méthode orthogonale la maximalisation de saturations carrés il

des

repose

« somme

sur

des variances des colonne

dans chaque

;

s’ensuit une augmentation de certaines saturations et la

formule

diminution des autres. : MPF * MSC = MR où : MPF = matrice des La premiers facteurs ; MSC = matrice de transformation sinus, cosinus ; MR = matrice avec rotation.

est

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2. Pratique de l’ACP 2.7 Rotation des axes (varimax): Grâce à cette méthode de rotation d’axes, chacune des variables de l’ensemble aura le poids le plus élevé possible sur un facteur et le poids le plus faible possible sur les autres facteurs. Il s’agit donc de faibles de façon à opérer une maximaliser discrimination entre les facteurs et de parvenir à une explication plus intéressante des relations entre les variables.

corrélations

les

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Analyse en Composantes Principales

Analyse en Composantes Principales