Chap 1 Analyse en composantes principales
Lanalyse en Composantes Principales (ACP) est
une m thode danalyse des donn es utilis e
pour l tude exploratoire ou la r duction dun
grand tableau n p de donn es quantitatives,
o n d signe le nombre dindividus et p le
nombre de variables quantitatives.
L'analyse des donn es consiste essentiellement
tablir quelles sont les relations existant entre
les observations, entre les variables, et entre les
observations et les variables.
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
1
Chap 1 Analyse en composantes principales
Objectifs
q Etudier les interrelations entre un assez grand nombre de variables
q Regrouper ces variables dans des groupes limit s
appel s
facteurs
ou
composantes.
q Etablir entre ces groupes de variables une hi rarchie bas e
essentiellement sur la valeur explicative de chacun deux
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
2
Chap 1 Analyse en composantes principales
Exemple
On se propose d tudier une marque de
variables
sont les plus importantes ?
on rel ve les
suivantes: prix, vitesse, look, s curit , confort. lesquelles
voiture,
Par sondage un chantillon de clients ;
Les variables seront not es de 1 10,
o 1 = Pas du tout important et 10 = Tr s important.
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
3
Chap 1 Analyse en composantes principales
Supposons que lanalyse a donn les r sultats suivants:
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
4
Chap 1 Analyse en composantes principales
Exemple
Il permet de d gager lattitude des cliens vis- -vis de ces variables,
Une importance consid rable est allou e au facteur 1 dans le quel la
s curit est plus importante que le confort (voiture allemande vs
voiture fran aise),
Pour le facteur 2 le prix pr c de limportance de la vitesse.
Lanalyse en composantes principales, dans cet exemple, a bien
rempli son r le :
r duire les donn es et donner une certaine explication
choix effectu s par
r pondants.
aux
les
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
5
Chap 1 Analyse en composantes principales
1.M thodologie de lACP
Le tableau de donn es n x p forme un nuage de n points dans un
espace p dimensions, ou un nuage de p points dans un espace n
dimensions.
L'ACP consiste projeter les points sur une droite, un plan... un sous-
espace s dimensions (avec s d p) choisi de fa on optimiser un
certain crit re.
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
6
Chap 1 Analyse en composantes principales
1.M thodologie de lACP
Intuitivement, on cherchera le sous-espace donnant la meilleure
visualisation possible de notre nuage de points. Un bon choix consiste
rechercher la plus grande dispersion (le plus grand talement)
possible des projections dans le sous-espace choisi.
On est amen ainsi chercher une rotation de notre syst me d'axes
initial (les variables) permettant de mieux voir notre nuage.
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
7
Chap 1 Analyse en composantes principales
1.M thodologie de lACP
q Recherche des variables similaires. celles-ci doivent faire partie
dun m me ensemble : mesure de la satisfaction, de lint r t, etc. ;
q matrice des corr lations entre les variables choisies ;
q D gagerles
q Rotation des axes, qui d signe
facteurs
facteurs
les
selon
importants
expliqu e) ;
q Lecture des
q Interpr tation des r sultats au plan des d cisions et de laction
plus importants;
leur degr
dinertie
tests les
les
(de
plus
variance
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
8
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
Voici un tableau de scores attribu es 9 individus dans 5 mati res
Individu Math Sciences Fran ais Latin Musique
I1
I2
I3
I4
I5
I6
I7
I8
I9
6
8
6
14,5
14
11
5,5
13
9
6
8
7
14,5
14
10
7
12,5
9,5
5
8
11
15,5
12
5,5
14
8,5
12,5
Tableau 1
5,5
8
9,5
15
12
7
11,5
9,5
12
8
9
11
8
10
13
10
12
18
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
9
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
On calculer les moyennes arithm tiques et les carts-types des 5
variables quantitatives qui seront r sum es dans le tableau suivant :
Moyenne
Ecart-type
n analyse
Math
science
Fran ais
Musique
Latin
9,6667
9,8333
3,57946
3,17214
10,2222
3,68367
11,0000
3,12250
10,0000
2,93684
9
9
9
9
9
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
Tableau 2
10
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
Ces donn es doivent tes centr es et r duites pour liminer leffet
taille des donn es et avoir des valeurs sans unit . Cette op ration
consiste centrer les donn es puis les diviser par l cart type:
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
Tableau 2
11
Individu Math
-1,0865
-0,4939
-1,0865
Publicité
1,4322
1,2840
0,3951
-1,2347
0,9877
-0,1975
I1
I2
I3
I4
I5
I6
I7
I8
I9
Sciences Fran ais Latin Musique
-1,0190
-1,2817
-0,6794
-0,6130
0,0000
-0,9474
-1,0190
1,5604
-0,3397
1,3932
0,6794
0,0557
-0,3397
-0,9474
0,3397
0,8916
2,3778
-0,1115
-1,6252
-0,7223
-0,1806
1,8058
0,7223
-1,0835
0,5417
-0,1806
0,7223
-1,5037
-0,6399
0,2239
1,5197
0,5119
-1,3597
1,0878
-0,4959
0,6559
Tableau Donn es centr es r duites
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
12
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
Tableau 2
13
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
La d marche de lACP est la suivante : En partant de 5 axes factoriels
qui correspondent aux 5 variables, elle va les r duire tout en
maximisant la quantit dinformations dans le nuage de points (ou
bien r duire la perte dinformations).
Ainsi lobjectif est de d terminer un plan factoriel form par des axes
sur lesquels on effectuera une projection des variables. Evidemment
le nuage initial est complexe puisque le nombre des dimensions est
lev ( gal au nombre de variables 5).
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
Tableau 2
14
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
Les 5 axes factoriels qui correspondent aux 5 variables:
Nuage de points
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
Tableau 2
15
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.1 Matrice de corr lation
Tableau 2 Matrice de corr lation
Math
Science
Fran ais
Latin
Musique
Math
Science
Fran ais
Latin
Musique
Math
1,000
,983
,227
,490
,011
,000
,279
,090
,489
Science Fran ais
,227
,397
1,000
,956
,038
,279
,145
,983
1,000
,397
,634
,006
,000
,145
,033
,494
,000
,461
Latin Musique
,011
,006
,038
,089
1,000
,489
,494
,461
,410
,490
,634
,956
1,000
,089
,090
,033
,000
,410
Corr lation
Signification (unilat rale)
a. D terminant = 5,398E-006
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
16
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.1 Matrice de corr lation
La corr lation entre les deux variables Math et Science est de 0,983
cela prouve une forte corr lation positive. Par contre entre Math et
Musique elle est de 0,011 soit une absence de corr lation.
Remarquons quil nexiste pas de corr lation n gative dans notre
exemple.
A ne pas oublier que la corr lation nentraine pas n cessairement
lexistence dune relation, alors que la r ciproque est toujours vraie.
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
Tableau 2
17
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.2 Nuage de points
Le nuage de points peut tre lu de deux mani res : soit partir des
individus soit partir des variables.
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
Tableau 2
18
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.2 Nuage de points
Nuage des individus
Notre exemple porte sur 9 individus, alors le nuage des individus sera
le nuage produit par les les 9 points, pris dans un espace de
dimension 5 (le nombre de variables).
On d finit linertie totale (cest la quantit dinformations contenue
dans le nuage) comme tant la somme des distances euclidiennes du
point O (puisquil sagit dune ACP norm e) aux diff rents points du
nuage.
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
Tableau 2
19
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.2 Nuage de points
Nuage des individus
En appliquant le th or me de Pythagore et la distance m trique sur
IRn, l'inertie totale du nuage est
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
Tableau 2
20
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.2 Nuage de points
Nuage des individus
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
Tableau 2
21
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.2 Nuage de points
Nuage des variables
De la m me mani re on peut d finir la nuage des variables. Ainsi
.
l'inertie absolue de chaque variable est n, son inertie relative est
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
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22
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.3 Axes factoriels
Lobjectif de lACP est de r duire les variables dune part par
lobtention de nouvelles composantes factorielles obtenues comme
combinaison lin aire des variables initiales. Ainsi il sera form les
composantes CP1, CP2,& selon lordre d croissant de signification.
Autre dit la premi re composante va repr senter le nuage initial avec
la plus grande proportion, la 2 me composante sera la deuxi me,
etc..
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
23
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.3 Axes factoriels
Egalement
il
ind pendantes
covariance est nulle .
faudrait
ajouter
que
ces
(g om triquement
orthogonales)
composantes
donc
sont
leur
la variance dune composante principale CPk est gale la k-i me
valeur propre.
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
24
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.3 Axes factoriels
A ce niveau danalyse on emprunte les connaissances de lalg bre
lin aire.
En fait diagonaliser une matrice revient trouver des vecteurs
propres d gag s eux m me des valeurs propres de cette m me
matrice. Les valeurs propres repr sentent la m me information
(l'inertie du nuage de points) dans deux syst mes d'axes orthonorm s
diff rents.
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
25
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.3 Axes factoriels
Tableau3 Variance totale expliqu e
Composante
Valeurs propres initiales
Total
% de la
variance
% cumul s
2,862
1,151
,983
,004
,000
57,236
23,014
19,663
,079
,008
57,236
80,250
99,913
99,992
100,000
1
2
3
4
5
Extraction Sommes des carr s des
facteurs retenus
% de la
variance
% cumul s
Total
2,862
1,151
,983
,004
,000
57,236
23,014
19,663
,079
,008
57,236
80,250
99,913
99,992
100,000
M thode d'extraction : Analyse en composantes principales.
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
26
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.3 Axes factoriels
Diagramme des valeurs propres
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
27
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.3 Axes factoriels
Il existe plusieurs m thodes : r gle de Kaiser, r gle du coude etc.
D'o l'id e de ne garder que les valeurs propres (et directions
propres) qui repr sentent au moins 20% de variation.
Variante : on observe une brusque d croissance des valeurs propres
entre la 3 et la 4 valeur propre.
Au final, on d cide de ne garder que 2 valeurs propres.
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
28
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.4 Indice KMO et test de Bartlett
Ce sont deux indicateurs pour valuer la qualit dune ACP. Plus
lindice KMO est proche de 0.8 plus lACP est bonne et plus il s loigne
de 0.8 elle devient non significative.
Le test de sph ricit de Bartlett propose une mesure globale en
sappuyant sur une d marche statistique. Il vise d tecter dans
quelle mesure la matrice de corr lation R=(rij)(p x p) calcul e sur nos
donn es (matrice observ e) diverge significativement de la matrice
unit (matrice th orique sous hypoth se nulle H0).
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
29
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.4 Indice KMO et test de Bartlett
Essayer de proc der un r sum est illusoire lorsque lhypoth se
nulle nest pas d mentie par les donn es.
En revanche, il est possible de compresser linformation, jusqu quel
point on ne le sait pas, en un nombre plus r duit de facteurs lorsque
lhypoth se nulle est rejet e.
Cela ne veut pas dire pour autant que nous allons trouver des
informations int ressantes dans notre ACP
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
30
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.4 Indice KMO et test de Bartlett
Pour mesurer
d terminant |R| de la matrice de corr lation.
le lien entre les variables, nous calculons
le
Sous H0, |R| = 1 ;
sil y a des colin arit s parfaites, nous aurions |R| = 0.
Ici galement, fixer des valeurs seuils est difficile.
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
31
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.4 Indice KMO et test de Bartlett
Lorsque |R| est inf rieur 0.00001, il y a de tr s fortes redondances
type
les donn es c.- -d. elles ne rec lent quun seul
dans
dinformation. Le r sultat sera dune tr s grande trivialit (ex. les
personnes de grande taille sont plus lourdes, courent plus vite,
sautent plus haut et ont des grands pieds). A linverse, lorsque |R| se
rapproche de 1, lACP ne servira pas grand-chose car les variables
sont quasiment orthogonales deux deux. Le test de Bartlett vise
justement v rifier si lon s carte significativement de cette situation
de r f rence |R| = 1.
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
32
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.4 Indice KMO et test de Bartlett
Indice KMO et test de Bartlett
Mesure de pr cision de l' chantillonnage de Kaiser-Meyer-Olkin.
Test de sph ricit de Bartlett
ddl
Khi-deux approxim
Signification de Bartlett
,330
66,712
10
,000
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
33
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.4 Indice KMO et test de Bartlett
Lorsque |R| est inf rieur 0.00001, il y a de tr s fortes redondances
type
les donn es c.- -d. elles ne rec lent quun seul
dans
dinformation. Le r sultat sera dune tr s grande trivialit (ex. les
personnes de grande taille sont plus lourdes, courent plus vite,
sautent plus haut et ont des grands pieds). A linverse, lorsque |R| se
rapproche de 1, lACP ne servira pas grand-chose car les variables
sont quasiment orthogonales deux deux. Le test de Bartlett vise
justement v rifier si lon s carte significativement de cette situation
de r f rence |R| = 1.
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
34
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.5 R sultats relatifs aux individus
Coefficients des individus
Les scores des individus sont les valeurs des composantes factorielles
Publicité
sur les individus.
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
35
Coordonn es des individus
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
36
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.5 R sultats relatifs aux individus
Contributions des individus
La contribution relative d'un individu i la formation de la
composante principale k est d finie par :
Par exemple :
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
37
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.5 R sultats relatifs aux individus
Contributions des individus seront les suivantes :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Fact. 1
30,13
6,19
4,01
37,85
14,84
3,49
0,41
1,58
1,51
Fact. 2
4,42
1,05
10,04
0,27
5,99
13,94
29,73
12,33
22,23
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
Fact. 3
6,14
3,48
0,94
14,80
0,40
14,69
9,35
5,41
44,79
38
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.5 R sultats relatifs aux individus
Qualit s de la repr sentation des individus
La qualit de la repr sentation d'un individu i par la composante
principale k est d finie par :
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
39
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.5 R sultats relatifs aux individus
Par exemple :
G om triquement, la qualit de la repr sentation d'un individu i
par la composante principale.
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
40
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.5 R sultats relatifs aux individus
Cosinus carr s, bas es sur les corr lations
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Fact. 1
0,8855
0,7920
0,4784
0,8786
0,8515
0,2465
0,0263
0,1877
0,0583
Fact. 2
0,0522
0,0542
0,4813
0,0025
0,1383
0,3962
0,7671
0,5898
0,3458
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
Fact. 3
0,0619
0,1530
0,0384
0,1180
0,0080
0,3568
0,2061
0,2211
0,5954
41
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.5 R sultats relatifs aux individus
Les qualit s de repr sentation sont additives. Par exemple, la qualit
de repr sentation d'un individu i par le plan (CP1, CP2) est donn e par
:
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
42
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.5 R sultats relatifs aux individus
Pour lindividu 1 1, la qualit de repr sentation par le plan
factoriel 1x2 est : 0,8855+0,0522=0,9377.
Cette valeur repr sente le carr du cosinus de l'angle que fait avec
le plan (CP1, CP2).
.
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
43
Cartes des individus
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
44
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.5 R sultats relatifs aux variables
Coordonn es des variables
De m me, les variables ont des coordonn es factorielles sur les deux
axes.
On observe une grande corr lation entre laxe 1 et les variables Math
et Science, cela prouve que laxe 1 est form par les mati res
scientifiques.
Laxe 2 est domin par les variables Fran ais et Latin cela peut indiquer
que cet axe est form par les mati res litt raires.
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
45
2.5 R sultats relatifs aux variables
Carte des variables
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
46
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.5 R sultats relatifs aux variables
Coordonn es des variables
De m me, les variables ont des coordonn es factorielles sur les deux
axes.
On observe une grande corr lation entre laxe 1 et les variables Math
et Science, cela prouve que laxe 1 est form par les mati res
scientifiques.
Laxe 2 est domin par les variables Fran ais et Latin cela peut indiquer
que cet axe est form par les mati res litt raires.
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
47
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.5 R sultats relatifs aux variables
Les coordonn es sont donn es par le tableau suivant :
Coordonn es des variables
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
48
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.5 R sultats relatifs aux variables
Contributions des variables
Les contributions des variables la formation des composantes
principales sont d finies de la m me fa on que celles des individus :
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
49
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.5 R sultats relatifs aux variables
Contributions des variables
Math
Sciences
Fran ais
Latin
Musique
Fact. 1
0,2269
0,2812
0,2008
0,2895
0,0016
Fact. 2
0,2837
0,1613
0,3245
Publicité
0,1373
0,0932
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
50
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.5 R sultats relatifs aux variables
Qualit s de la repr sentation des variables
La qualit de la repr sentation d'une variable par une composante
principale est d finie de la m me fa on que pour les individus :
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
51
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.5 R sultats relatifs aux variables
Comme dans le cas des individus, les qualit s des repr sentations
d'une variable selon les composantes principales s'additionnent.
Le tableau ci-dessous donne les qualit s de repr sentation selon la
premi re composante principale, selon le plan des deux premi res
les deux premi res
l'espace d fini par
composantes, dans
composantes.
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
52
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.5 R sultats relatifs aux variables
Math
Sciences
Fran ais
Latin
Musique
Avec 1
facteur
0,6495
0,8046
0,5747
0,8286
0,0044
Avec 2
facteurs
0,9759
0,9902
0,9481
0,9866
0,1117
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
53
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.6 Autres r sultats:
Le tableau des coefficients des variables peut tre lu de deux fa ons :
- il permet de calculer les valeurs des composantes principales partir
des variables centr es r duites de d part
- il permet de retrouver les valeurs des variables centr es r duites de
d part partir des valeurs des composantes principales.
Vecteurs propres de la matrice de corr lation Variables actives seules
Analyse de donn es multivari es - Ahmed Dhouibi
54
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.6 Autres r sultats:
Vecteurs propres de la matrice de corr lation Variables actives seules
Math
Sciences
Fran ais
Latin
Musique
Fact. 1
0,4764
0,5302
0,4481
0,5381
0,0394
Fact. 2
0,5326
0,4016
-0,5696
-0,3706
-0,3053
Fact. 3
-0,1548
-0,0936
0,2276
0,1093
Fact. 4
Fact. 5
-0,3030
0,6112
0,5168
-0,5308
0,4775
0,4414
-0,6416
-0,3868
-0,9505
0,0390
0,0140
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Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.6 Autres r sultats:
On observera que :
- chaque ligne repr sente un vecteur de norme 1
- chaque colonne repr sente un vecteur de norme 1
- deux "vecteurs ligne" quelconques sont orthogonaux
- deux "vecteurs colonne" quelconques sont orthogonaux
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Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.6 Autres r sultats:
Pour l'individu 1, les variables de d part ont pour valeurs
Math
Sciences
Fran ais
Latin
Musique
-1,0865
-1,2817
-1,5037
-1,6252
-1,0190
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Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.6 Autres r sultats:
On retrouve ainsi le score de cet individu sur la premi re composante
principale :
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Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.6 Autres r sultats:
Pour l'individu 1, les scores sur les 5 composantes principales sont :
Fact. 1
-2,7857
Fact. 2
0,6764
Fact. 3
0,7368
Fact. 4
-0,0482
Fact. 5
-0,0332
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Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.6 Autres r sultats:
Les valeurs propres pourraient galement tre calcul es partir du
tableau, comme variances des composantes principales. Autrement
dit, on pourrait l'aide du tableau des coefficients, retrouver tous les
r sultats indiqu s ci-dessus.
Ce tableau permet galement de retrouver les saturations des
variables, en multipliant les coefficients correspondant chaque
facteur par la racine carr e de la valeur propre correspondante.
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Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.7 Rotation des axes:
Une m thode orthogonale
la
maximalisation de
saturations
carr s
il
des
repose
somme
sur
la
des variances des
colonne
dans chaque
;
sensuit une augmentation de certaines saturations et la
formule
diminution des autres.
: MPF * MSC = MR o : MPF = matrice des
La
premiers facteurs ; MSC = matrice de transformation sinus, cosinus ;
MR = matrice avec rotation.
est
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Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de lACP
2.7 Rotation des axes (varimax):
Gr ce cette m thode de rotation daxes, chacune des variables de
lensemble aura le poids le plus lev possible sur un facteur et le
poids le plus faible possible sur les autres facteurs. Il sagit donc de
faibles de fa on op rer une
maximaliser
discrimination entre les facteurs et de parvenir une explication plus
int ressante des relations entre les variables.
corr lations
les
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