Analyse cinématique d’un mécanisme

Dans un premier, il est nécessaire de rechercher les sous-ensembles de pièces cinématiquement liées pour les modéliser par des solides. Pour cela, colorier les pièces liées entre elles par une liaison complète : en liaison encastrement. Ce travail n’est pas facile, puisque le temps en cours pour assimiler la représentation normalisée est très insuffisant. C’est pourquoi, il est fortement conseillé pour les MPSI, pour les PCSI et PSI d’utiliser les heures de TP pour étudier les dessins techniques relatifs aux différents supports industriels des Laboratoires. En se limitant à l’équipage mobile 12, on obtient :

Le bâti, ici n’est pas colorié. De plus tout le système de réglage de la pente du plan de la pièce 10 est considéré fixe. (Hypothèse :L’ETRIER 10 EST CONSIDERE FIXE PAR RAPPORT AU BATI 0).

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Analyse cinématique d’un mécanisme

3.2. Tracer du graphe des liaisons ou de structure

Le but de cette représentation est de passer du réel au modèle vectoriel ou torseuriel. Notre savoir étant uniquement vectoriel (la cinématique est une théorie purement mathématique), cette traduction est donc primordiale.

3.2.1. Sous-ensembles de pièces cinématiquement liées : les sommets du graphe

• S0 : Bâti • S1 : L’arbre d’entrée et le barillet 1 • S2 : un piston 2 • S3 : Un coussinet 3

3.2.1..1 Repères associés aux différents solides

S0

S3

S1

S2

Soient les repères :

ℜ

i

(

où A ij est le point point caractéristique de la liaison Lij base orthonormée directe associée à la liaison Lij

i

ij

)

rrr ); ; ; zyxA i i i ) ( rrr ; ; zyxR i i i rrrℜ zyxA ;( ; ; * 0 0 0 0 rrrℜ zyxB ;( ; ); 11 1 1 rrr ℜ ; zyxC ;( ; ) 2 2 2 2 rrr ℜ zyxD ( ; ; ; ) 33 3 3 rrrℜ zyxE ;( ; ; 4 4 4 4

*

*

*

*

)

lié au bati 0

lié au barillet 1

lié au piston 2

lié au patin 3

lié à la plaque d’appui 4

A=A10 B=A21 C=A32 D=A43 E=A40

3.2.1..2 Liaisons entre solides et paramètres géométriques

Sur le graphe des liaisons, à chaque contact entre les solides modélisant les sous-ensembles de pièces cinématiquement liées, on associe un arc.

3.2.1..2.1 La liaison L01. Cette liaison est réalisée par un roulement rigide à billes (8) et un roulement à aiguilles (13), donc pas d’ambiguïté sur la liaison. L’axe de cette liaison est défini par le point A et de direction l’axe des roulements.

• L12 : liaison pivot d’axe rr rr =Θ = () , ), yy zz ( 10 0 1 01

01xA r ) ,(

ℜ

ℜ

(

4

(

0

;

rrr ; ; zyxE 4 4 4 rrr ; zyxA ; 0 0 0

;

)

)

S0

L34

L01

ℜ

rrr zyxB ); ; 1 11

;

( 1

S1

L12

L23

S3

ℜ

rrr ; ; ) zyxD 3 3 3

;

( 3

S2

ℜ

rrr ; ; zyxC 2 2 2

;

)

(

2

3.2.1..2.2 La liaison L12 Le contact entre le solide S1 et le solide S2 est un contact surfacique cylindrique. Deux possibilités, La liaison pivot ou la liaison Cylindre/cylindre. Par la pensée, en prenant dans chaque main le barillet (12-1)et un piston (12-2), on se rend compte que la translation du piston entre la barillet est possible dans la direction de l’axe du cylindre définissant la géométrie du piston.

• L01 : liaison cylindre/cylindre d’axe

12xB r ,( )

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Analyse cinématique d’un mécanisme

=Θ 12

rr rr = ,() ,( yy zz 1 2 21

) 3.2.1..2.3 La liaison L23 Le contact entre le solide S2 et le solide S3 est un contact surfacique sphérique. Deux possibilités, La liaison sphérique ou la liaison sphérique à doigt. Pas d’ambiguïté sur la liaison, la sphérique à doigt est souvent réalisée par un cardan.

• L23 : liaison sphérique (rotule) en C

Le point C est le centre géométrique de la sphère de contact.

3.2.1..2.4 La liaison L34 Le contact entre le solide S3 et le solide S3 est un contact surfacique plan. Pas d’ambiguïté sur la liaison, c’est une liaison plane (plan/plan) Il faut définir la direction de sa normale 3xr • L34 : liaison plane de normale 34xr rr = ,() zz ) 43

rr =Θ ( , yy 3 4 34

rr= ,( 0 zzM ) 4

=αα

et

3.3. Tableau traduisant vectoriellement et géométriquement le graphe de structure

Nom de la liaison et ses caractéristiques pivot liaison 01xA r ) ,( d’axe

Le paramétrage

rr rr =Θ = ( ),() , yy zz 0 1 10 01

Le torseur cinématique associé (et ou torseur inter effort)

Le schéma cinématique

{ V

} ASS ) ( /

0

1

=

0

α  10     

00

00

     

RA ,

01

x01

S1

A

S0

S1

B

liaison cylindre/cylindr e d’axe

12xB r ) ,(

=Θ 12

→ CB

rr rr = ,() ,( yy zz 1 2 21 rλ= 1)( xt

)

{ V

} SS ) / ( 1 2

=

α  u 21 21     

00

00

     

RB ,

012

x01

S2

liaison sphérique (rotule) en C

Trois angles

{ V

} )

=

/ ( SS 3

2

liaison plane de normale 34xr

→ DE

=−

r − r zwyv 0 4 rr rr =Θ = ( ,() yy zz , ) 34 4 3 43 rr= =αα 4 zzM ( , ) 0

{ V

} )

=

SS / ( 3

0

α  32  β  32   

γ

32

 0   0   0  C

− ,

α  30     

0

0

0

v 30

w

30

      − ,

R

34

S2

x34

C

E

S3

C

z4

D

S3

S0

La géométrie nécessaire pour faire l’étude cinématique est donnée par les vecteurs définissant la position relative des points caractéristiques des liaisons du graphe de structure. r= 1yR

34xhDC r=

r−= 01xd

→ AE

→ AB

et

,

→

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3.4. Tracer du schéma cinématique

Il suffit maintenant de tracer sur un dessin en perspective isométrique (ou plane) les liaisons correctement positionnées et orientées. Il vient donc :

z0

z4

x34

S2

C

D

S3

S1

B

x01

A

E

E'

x0

S0

S0

y04

3.5. Tracer du schéma cinématique minimal

Le but est de réduire le plus possible le nombre de sommet du graphe ( sans modifier la géométrie) en recherchant les liaisons équivalentes.

ℜ

ℜ

(

4

( 0

;

rrr ; ; zyxE 4 4 4 rrr ; ; zyxA 0 0 0

;

)

)

S0

L34

S3

ℜ

rrr ; ; ) zyxD 3 3 3

;

( 3

L01

Leq

L23

ℜ

rrr ; ; ) zyxB 1 11

;

( 1

S1

L12

S2

ℜ

rrr ; ; zyxC 2 2 2

;

)

(

2

La liaison équivalente entre S2 et S0 est une liaison ponctuelle en C de normale 34xr . Voir le cours sur les liaisons et les assemblage en série des liaisons usuelles.

D’où le schéma cinématique minimal de la pompe PVB VICKERS

z4

z0

x34

S2

C

S1

B

x01

A

x0

S0

S0

y04

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Analyse cinématique d’un mécanisme

4. ETUDE DES CHAINES SIMPLES FERMEES

4.1. Analyse cinématique des chaînes fermées simples

4.1.1. Objectifs

• Etablir les relations liant les paramètres cinématiques inconnus du

mécanisme et les paramètres cinématiques donnés.

• Déterminer la mobilité du mécanisme.

4.1.2. Fermeture cinématique Soit { (V son mouvement par rapport au solide Sj. La fermeture cinématique s’écrit alors:

} ) Aj

/ i SS

le torseur cinématique, au point A, du solide Si dans

n

{ ∑ V

= 1

i

} { = V ) − 1

} ( SS / ) n 0

A

( SS / i i

A

n

∑

r Ω

(S / i

S

1

= i r V A S S ,

(

/

i

r Ω

=

(S / n

S

0

)

=

r V A S S ,

(

/

n

)

0

)

)

− 1

i

− 1

i

n

∑

=

1

i

4.1.3. Résolution

• Projection de (2) et (3) sur R (

r

r A x y z , 0

r

,

,

0

) 0

On obtient un système linéaire homogène de 6 équations cinématiques inconnus.

scalaires à Nc paramètres

• Rang cinématique du système rc

Appelons rc le nombre d’équations indépendantes du système (E). On a: rc

Le système s’écrit alors : (

)( A X

)

( ) B=

≤ 6

où (X) désigne un vecteur unicolonne contenant rc inconnues cinématiques. (B) désigne un vecteur unicolonne contenant (Nc-rc) paramètres cinématiques donnés désigne une matrice (rc,rc) des coefficients cinématiques.

4.1.4. Degré de mobilité du mécanisme

• Définition

On appelle mobilité d’un mécanisme, notée m, le nombre de paramètres cinématiques à fixer pour déterminer les rc inconnues cinématiques restantes. m N r c

−

=

c

• Signification de m

m=0

m=1

(B)=(0)

(B)=λ(K)

(X)=(0)

(X)=λ(A-1)(K)

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Analyse cinématique d’un mécanisme

m>1

(

B )

=

m

∑ λ

=

1

i

Ki (

i

)

(

X

)

=

m ∑ λ = i 1

i

− 1

(

A

)

(

K

)

i

m=0

m=1

le mécanisme est bloqué

le mécanisme est à transformation de mouvement

m=mu+mi

mécanisme est à composition de mouvement et/ou à mobilités internes.

mu désigne le nombre d’inconnues cinématiques indépendantes associées aux liaisons de sortie du mécanisme.

mi désigne le nombre d’inconnues cinématiques indépendantes non nulles du mécanisme quand on immobilise les liaisons d’entrée et les liaisons de sortie du mécanisme.

4.1.5. Application : POMPE A PISTONS AXIAUX PVB VICKERS

• Torseurs cinématiques associés aux liaisons

{ V

} ASS ( ) /

0

1

=

α  10     

 0   00   00 

{ V

} SS ( / ) 1 2

=

α  u 21 21     

00

00

Lorsque les torseurs sont écrits en colonne comme ci-contre, il est facile de voir que pour sommet ces torseurs, il faut ici, au moindre travail, écrire tout ces torseur en C et le projeter dans la base R0.

R

012

01

, RA      

, BouC

{ V

} )

=

( / SS 3

2

{ V

} )

=

SS ( / 3

0

α  32  β  32   

γ

32

α  30     

0

0

 0   0   0  − , C       − ,

v 30

0

w

30

R

34

• Fermeture cinématique de la chaîne 0-1-2-3-0

De la composition des mouvement, il vient : } + ) C

} ) C

{ V

{ V

S ( 1

S 1

S (

S

+

0

2

/

/

{ V

S (

3

/

S

2

} ) C

{ V

−

S (

3

/

S

0

} ) C

=

{ } 0

    

r Ω

S ( 1

/

S

)

0

r Ω

+

S (

2

/

S 1

)

r Ω

+

S (

3

/

S

)

2

r Ω

−

S (

3

/

S

)

0

=

r 0

r V C S ( 1

,

/

S

)

0

+

r V C S (

,

/

S 1

)

2

+

r V C S (

,

/

S

)

2

3

−

r V C S (

,

/

S

)

0

3

=

r 0

3 ( )

4 ( )

du calcul de

r = ,( SSAVSSCV ) 0 0

/

/

1

+

r ,( 1 r , V C S S

(

)

/

1

r Ω∧

CA

=

)

0

( / SS 1 r λ x

) 0 −

1

, il vient ; ∧

r Ry

α

1

r x 10 1

=

α

R

r z 10 1

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Analyse cinématique d’un mécanisme

• Projections de (3) et (4) sur R0

1 ( )

2 ( )

3 ( )

4 ( )

(5)

6 ( )

α

10

+

α

21

+

u

21

θ θ

sin cos

01

01

α α

R R

10

10

α β γ

32

32

32

−

+ + + −

α

30

cos

α

α

w

30

30 v

w

30

α α

sin sin

30 cos

α

= = = = = =

0 0 0 0 0 0

• Bilan

Inconnues cinématiques: α32; β32; γ32;u21; v30; w30;α10; α21; α30

Rang cinématique: Mobilité du mécanisme

Nc = 9 rc = 6 m = Nc-rc=3 (mu=1; mi=2)

Paramètres cinématiques donnés: α10; α21; α30 Paramètres cinématiques inconnus: α32; β32; γ32;u21; v30; w30

• Système linéaire associé

 1 0 0 0  0 1 0 0   0 0 1 0  0 0 0 1   0 0 0 0  0 0 0 0 

0

0

0

0 −

1

0

0

0

0

α

sin

0

cos

α

        

        

α

β

γ

32

32

32

u

v

21

30

w

30

        

=

        

−

α

10

−

α

−

α

21 0

30 0

+

α

30

cos

α

α

sin

α

R

10

α

R

10

sin

cos

θ

θ

01

01

        

1

4444

2

4444

3

1

4444

2

4444

3

(A)

(X)

(B)

d’où

α

β

γ

32

32

32

u v

21

30

w

30

= −

α

−

α

10

+

α

cos

α

30

=

=

=

=

=

−

21 0 sin α

30 tg

α

θ

cos θ θ 01 α

sin cos cos

01

−

α

R −

α

10 α

R

10

−

α

R

10

si det A= - cosα≠0

01

4.2. Analyse géométrique des chaînes simples fermées

4.2.1. Objectif

• Etablir les relations liant les paramètres géométriques inconnus du

mécanisme et les paramètres géométriques donnés.

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Analyse cinématique d’un mécanisme

• Déterminer la relation entrée-sortie.

4.2.2. Fermeture géométrique

La fermeture géométrique traduit, grâce à la relation de Chasles, la position relative des liaisons dans le mécanisme. Si on appelle Ai le centre géométrique de fermeture géométrique s’écrit, par exemple:

liaison L i i

− ∈ , i

la

la

1 ,

,

l

1

/

4.2.3. Résolution

i

(1)

n

=∑ AA i i

+ 1

AA n 1

+ 1

= 1

• Projection de (1) sur R (

r A x y z , 0 On obtient un système (E) linéaire homogène de 3 équations scalaires à N paramètres géométriques inconnus

) 0

r

r

,

,

0

• Rang du système géométrique r

Appelons r le nombre d’équations indépendantes du système(E) On a: Le système s’écrit alors:

r ≤ 3

) ( )BXA ( )( = où

(X) désigne un vecteur unicolonne contenant géométriques. (B) désigne un vecteur unicolonne contenant (N-r) paramètres géométriques donnés (A) désigne une matrice (r,r) des coefficients géométriques.

inconnues

r

• Calcul de (X): Relation entrée sortie

(X)=(A-1)(B) si detA ≠ 0

4.2.4. Fermeture géométrique appliquée au modèle de la pompe PVB VIKERS

Pour écrire la fermeture géométrique, on utilise le graphe des liaisons en traduisant la fermeture géométrique du graphe. 01xA r • L01 : liaison pivot d’axe ) ,( • L12 : liaison cylindre/cylindre d’axe • L23 : liaison sphérique (rotule) en C • L34 : liaison plane de normale 34xr

12xB r ,( )

Cette équation doit être décomposée en utilisant CHASLES tel que chaque vecteur de la

Il vient donc :

→ AB

++

→→ + CA

BC

r= 0

→ → = uaBA . 11

→ u est un vecteur égal à un vecteur unitaire

rr r , zouyx i i i

où

somme s’écrit de la forme : composant les bases définies dans le paramétrage. D’où →→ →→ + + CD DE EA r r r r λ xdzwyvxhx 0 04 0 4

→ AB r − yR 1

BC r 3

   

++

+

−

−

+

−

r = 0

r = 0

(1)

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Analyse cinématique d’un mécanisme

• Résolution : projection de (1) sur R ( −− λ cos h

=+ 0 d

+ α

sin

α

w

r

r A x y z , 0

r

,

,

0

0 )

     

R

cos

=− 0 v

θ 01 − α

= α 0 θ ( −− =+ + Remarque : pour trouver rapidement λ en fonction de 01 λ α cos h d 0 r sur 4xr pour éliminer v et w. r r r r − = yR λ xdzwyvxhx 00 1 0 0

− sin h

θ 01

cos

sin

sin

r 4

r 3

α

w

w

R

−

−

+

−

), il faut

projeter l’équation • Bilan

paramètres géométriques: λ; h; v; w; d;α; θ01 rang géométrique: paramètres géométriques donnés: h; d;α; θ01 paramètres géométriques inconnus ; v; λ Finalement, il vient (si cosα ≠ 0)

N=7 r=3

=

w

R

sin cos = v R

01

θ α cos 2 sin cos

+

α

htg

θ 01 α α

+

R

sin

θ

α

tg

01

λ

= − d

h

cos

α

+

h

• Signification géométrique

B

λ

C

I

J

h

w

D

d

A’

E’

BA’=CI+JE’

Rsinθ01 = htgα+wcosα

BC=A’E’ - IJ = A’E’ - (ID-JD) soit

λ

= −

d h

cos

α

+

w

α sin

d’où

or

donc

finalement

λ

−= hd

cos

+ α h

α sin + 2 α cos

R

sin

αθ tg

01

Remarque: Vitesse instantanée du piston 2 par rapport au barillet (1) :

r )1/2,( CV

=

(

dBC dt

)

R 1

r  − λ d x ( ) =  1 dt 

  

R 1

soit

r ( CV

)1/2,

−=

−=

θαωλ d tg cos dt

R

10

01

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