L’UNIVERSITÉ DE LA MANOUBA
ALGEBRE2 SERIE DE TD N¨°4
Exercice.4
Soit
Etudier la diagonalisation de Am. Exercice.5
Année d’étude : 1iére LFIG Année universitaire : 2016-2017 Enseignants: Semestre 2
Soit
Exercice.1 Donner l’expression du polynôme caractéristique et déterminer les voleurs propres de chacune des matrices suivantes :
Exercice.2 Soit A une matrice diagonalisable. Montrons que les matrices suivantes sont diagonales a)tA b)BAB-1 ou B est inversible c)Aq ou q est un entier naturel d) A-1 si A est inversible Exercice.3
Soit la matrice
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.
1) montrons que A est inversible et calculer A-1. 2) Déterminer le polynôme caractéristique de A. 3) Déterminer le rang de (A+I3) et montrer que A est
diagonalisable.
4) Déterminer une matrice diagonale D et une matrice de
passage P telles que A=PDP-1
5) Résoudre l’expression de A-1 en utilisant 4). 6) Déterminer An ; n IN
1) Montrer que PA( 2) Trouver a, b et c tel que xn=(-x-3)(1-x)2Q(x) +ax2+bx+c. 3) En déduire An, n IN
)=-(1-
)2( +3).
Exercice.6
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Soit
1) calculer les valeurs propres de A puis déterminer les sous
espaces propres associés.
2) A est elle diagonalisable. Si oui préciser la matrices
inversible P et la matrice diagonale D telles que P-1AP=D.
3) Calculer An, pour n IN 4) Trouver une matrice B telle que B2=A
Exercice.7
Soit
1) déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A.
En déduire que A est diagonalisable.
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2) Diagonaliser A. préciser la matrice inverse P et la matrices
diagonale D telles que P-1AP=D. calculer P-1.
3) Calculer An, pour n IN 4) a) Soit n
IN -
. Calculer le reste de la division
euclidienne du polynôme Xn par –X2+2X2+X-2. b) Indiquer une autre méthode pour calculer An.
2126A511151113B0000010001300013C122010221A4021310mmA021232122A624040220A20021021341A2,1