ALGEBRE2 Serie de TD N°4

déterminer les voleurs propres de chacune des matrices

suivantes :

Exercice.2

Soit A une matrice diagonalisable.

Montrons que les matrices suivantes sont diagonales

a)tA b)BAB-1 ou B est inversible c)Aq ou q est un entier

naturel d) A-1 si A est inversible

Exercice.3

Soit la matrice

.

1) montrons que A est inversible et calculer A-1.

2) Déterminer le polynôme caractéristique de A.

3) Déterminer le rang de (A+I3) et montrer que A est

diagonalisable.

4) Déterminer une matrice diagonale D et une matrice de

passage P telles que A=PDP-1

5) Résoudre l’expression de A-1 en utilisant 4).

6) Déterminer An ; n IN

1) Montrer que PA(

2) Trouver a, b et c tel que xn=(-x-3)(1-x)2Q(x) +ax2+bx+c.

3) En déduire An, n IN

)=-(1-

)2( +3).

Exercice.6

Soit

1) calculer les valeurs propres de A puis déterminer les sous

espaces propres associés.

2) A est elle diagonalisable. Si oui préciser la matrices

inversible P et la matrice diagonale D telles que P-1AP=D.

3) Calculer An, pour n IN

4) Trouver une matrice B telle que B2=A

Exercice.7

Soit

1) déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A.

En déduire que A est diagonalisable.

2) Diagonaliser A. préciser la matrice inverse P et la matrices

diagonale D telles que P-1AP=D. calculer P-1.

3) Calculer An, pour n IN

4) a) Soit n

IN -

. Calculer le reste de la division

euclidienne du polynôme Xn par –X2+2X2+X-2.

b) Indiquer une autre méthode pour calculer An.

2126A511151113B0000010001300013C122010221A4021310mmA021232122A624040220A20021021341A2,1