Universit´e Laval
Facult´e des sciences et de g´enie
D´epartement de math´ematiques et de statistique
STT-1000
Probabilit´es
et statistique
AIDE-M´EMOIRE POUR L’EXAMEN 2
1. Lois usuelles
Lois discr`etes
Fonction de masse
Esp´erance µ Variance σ2
Bernoulli (p)
p(k) = pk(1 − p)1−k,
pour k = 0, 1
Binomiale (n, p)
p(k) =
(cid:19)
(cid:18)n
k
pk(1 − p)n−k,
pour k = 0, 1, . . . , n
G´eom´etrique (p)
p(k) = (1 − p)k−1p,
pour k = 1, 2, 3, . . .
Pascal (r, p)
p(k) =
(cid:19)
(cid:18)k − 1
r − 1
pr(1 − p)k−r, pour k = r, r + 1, . . .
Poisson (c)
p(k) =
e−cck
k!
,
pour k = 0, 1, 2, . . .
p
np
1
p
r
p
c
p(1 − p)
np(1 − p)
1 − p
p2
r(1 − p)
p2
c
Lois continues
Fonction de densit´e
Esp´erance µ Variance σ2
Uniforme (a, b)
f (x) =
1
b − a
,
pour a ≤ x ≤ b
a + b
2
(b − a)2
12
Exponentielle (λ)
f (x) = λe−λx,
pour x > 0
Gamma (r, λ)
f (x) =
λ
Γ(r)
(λx)r−1 e−λx,
pour x > 0
2( x−µ
σ )2
e− 1
Normale (µ, σ2)
f (x) =
1
√
2π
σ
Notes :
• Γ(a) =
(cid:90) ∞
xa−1 e−xdx
0
• V(X) = E(X 2) − [E(X)]2
,
pour − ∞ < x < ∞
• E(aX + b) = aE(X) + b
• V (aX + b) = a2V (X)
1
λ
r
λ
µ
1
λ2
r
λ2
σ2
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2. Somme de variables al´eatoires
STT-1000
Probabilit´es
et statistique
Conditions sur X1, X2, . . . , Xk
Loi de Y = X1 + X2 + · · · + Xk
Ind´ependantes, avec Xj ∼ Bernoulli (p)
Binomiale (k, p)
Ind´ependantes, avec Xj ∼ Binomiale (nj, p) Binomiale (n, p) avec n =
k
(cid:80)
j=1
nj
Ind´ependantes, avec Xj ∼ G´eom´etrique (p)
Pascal (k, p)
Ind´ependantes, avec Xj ∼ Pascal (rj, p)
Pascal (r, p) avec r =
k
(cid:80)
j=1
rj
Ind´ependantes, avec Xj ∼ Poisson (cj)
Poisson (c) avec c =
k
(cid:80)
j=1
cj
Ind´ependantes, avec Xj ∼ Exponentielle (λ) Gamma (r, λ)
Ind´ependantes, avec Xj ∼ Gamma (rj, λ)
Gamma (r1 + ... + rk , λ)
Ind´ependantes, avec Xj ∼ Normale (µj, σ2
j ) N (µ1 + ... + µk , σ2
1 + ... + σ2
k)
Combinaisons lin´eaires de v.a. suivant une loi normale
alors
Si X1, X2, ..., Xn sont des variables al´eatoires
→ ind´ependantes,
→ suivant une loi normale,
→ de moyenne E(Xi) = µi,
→ de variance V (Xi) = σ2
i ,
→ et si a1, .., an sont des constantes,
n
(cid:88)
i=1
aiXi ∼ N
(cid:32) n
(cid:88)
i=1
aiµi,
(cid:33)
i σ2
a2
i
n
(cid:88)
i=1
3. Th´eor`eme central limite
Si X1, X2, ..., Xn sont des variables al´eatoires
→ ind´ependantes,
→ identiquement distribu´ees (loi quelconque),
→ de moyenne µ < ∞,
→ de variance σ2 < ∞,
→ et si n est assez grand (disons n ≥ 30),
alors
et
n
(cid:88)
j=1
Xj ≈ N (nµ, nσ2)
(cid:18)
X ≈ N
µ,
(cid:19)
.
σ2
n
(Si les Xj sont des variables al´eatoires discr`etes, on utilise une correction pour la continuit´e.)
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et statistique
4. Statistiques descriptives de l’´echantillon observ´e x1, ..., xn
• Moyenne et variance ´echantillonnales
Type
Moyenne
Variance
Donn´ees brutes
x =
n
(cid:88)
xi
s2 =
n
(cid:88)
(xi − x)2
1
n − 1
1
n
i=1
k
(cid:88)
i=1
k
(cid:88)
Donn´ees discr`etes, group´ees par modalit´e
x =
Donn´ees continues, group´ees par intervalles x ≈
1
n
1
n
fjxj
s2 =
j=1
k
(cid:88)
j=1
fjmj s2 ≈
1
n − 1
1
n − 1
fj(xj − x)2
j=1
k
(cid:88)
j=1
fj(mj − x)2
– Pour les donn´ees group´ees, fj repr´esente la fr´equence (le nombre d’observations) pour la je modalit´e
ou dans le je intervalle et mj d´enote le point milieu du je intervalle (j = 1, · · · , k).
– Rappels :
n
(cid:80)
i=1
(xi − x)2 =
n
(cid:80)
i=1
i − nx2
x2
et
k
(cid:80)
j=1
fj(xj − x)2 =
k
(cid:80)
j=1
fj x2
j − nx2
• Quartiles ´echantillonnaux
Soit l’´echantillon ordonn´e x(1), x(2)..., x(n).
Les trois quartiles ´echantillonnaux sont d´efinis comme suit :
Q1 = x(0,25n+0,5)
Q2 = (cid:101)x = x(0,50n+0,5)
Q3 = x(0,75n+0,5)
(Dans les cas ou la position du quartile n’est pas entiere, on prend la moyenne des deux observations
les plus proches.)
• Repr´esentations graphiques des variables continues
Diagramme en boˆıte
– Repr´esentation graphique des quartiles, des barri`eres observ´ees et des donn´ees extrˆemes.
– ´Ecart interquartile : EIQ = Q3 − Q1.
– Les barri`eres th´eoriques inf´erieure et sup´erieure du diagramme en boˆıte sont :
binf = Q1 − 1.5 × EIQ et bsup = Q3 + 1.5 × EIQ.
Histogramme
– Repr´esentation graphique des fr´equences de donn´ees group´ees par intervalles.
– La surface des rectangles est proportionnelle `a la fr´equence des classes qu’ils repr´esentent.
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5. Estimation ponctuelle
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Soit X1, . . . , Xn un ´echantillon al´eatoire de taille n d’une population dont les param`etres sont inconnus.
Param`etre Estimateur issu de l’´echantillon Esp´erance
Erreur-type de l’estimateur
µ
σ2
X =
1
n
n
(cid:88)
i=1
Xi
S2 =
1
n − 1
n
(cid:88)
(Xi − X)2
i=1
µ
σ2
(cid:114) 2σ4
n − 1
p
nombre de cas
n
6. Lois ´echantillonnales et intervalles de confiance
ˆp =
p
σ
√
n
seulement si
X1, ...., Xn ∼ N (µ, σ2)
(cid:114)
p(1 − p)
n
Intervalles de confiance pour la moyenne µ d’une population
Situation
Loi ´echant.
Intervalle de niveau 1 − α pour µ
X1, X2, ..., Xn i.i.d. N (µ, σ2)
µ inconnue et σ2 connue
X1, X2, ..., Xn i.i.d. N (µ, σ2)
Z =
X − µ
√
n
σ/
∼ N (0, 1)
X − zα/2
(cid:20)
T =
X − µ
√
n
S/
(cid:20)
∼ tn−1
X − tα/2;n−1
σ
√
n
S
√
n
, X + zα/2
(cid:21)
σ
√
n
, X + tα/2;n−1
µ et σ2 inconnues
E(T ) = 0, V (T ) = n−1
n−3
X1, X2, ..., Xn i.i.d., loi quelconque,
Z∗ =
µ et σ2 inconnues, n grand
X − µ
√
n
S/
≈ N (0, 1)
(cid:20)
X − zα/2
S
√
n
S
√
n
(intervalle approximatif)
, X + zα/2
(cid:21)
S
√
n
(cid:21)
Intervalle de confiance pour la variance σ2 d’une population
Situation
Loi ´echant.
Intervalle de niveau 1 − α pour σ2
X1, X2, ..., Xn i.i.d. N (µ, σ2)
U =
(n − 1)S2
σ2
∼ χ2
n−1
(cid:34)
(n − 1)S2
χ2
α/2;n−1
,
Publicité
(n − 1)S2
χ2
1−α/2;n−1
(cid:35)
µ et σ2 inconnues
E(U ) = n − 1, V (U ) = 2(n − 1)
Intervalle de confiance pour une proportion p
Situation
Loi ´echant.
Intervalle approximatif de niveau 1 − α pour p
X1, X2, ..., Xn i.i.d. Bernoulli(p)
p inconnue et n grand
ˆp − p
(cid:113) ˆp(1−ˆp)
n
(cid:34)
(cid:114)
≈ N (0, 1)
ˆp − zα/2
ˆp(1 − ˆp)
n
, ˆp + zα/2
(cid:114)
(cid:35)
ˆp(1 − ˆp)
n
4
7
6
T
a
b
l
e
I
I
Table II Les valeurs de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite*
Φ z
( ) =
z
∫
−∞
2
−
u
2
e
du
1
2
π
z
e
d
e
l
a
m
i
c
é
d
e
r
è
i
m
e
r
P
z
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
Deuxième décimale de z
0,00
0,500 00
0,539 83
0,579 26
0,617 91
0,655 42
0,691 46
0,725 75
0,758 03
0,788 14
0,815 94
0,841 34
0,864 33
0,884 93
0,903 20
0,919 24
0,933 19
0,945 20
0,955 43
0,964 07
0,971 28
0,977 25
0,982 14
0,986 10
0,01
0,503 99
0,543 79
0,583 17
0,621 72
0,659 10
0,694 97
0,729 07
0,761 15
0,791 03
0,818 59
0,843 75
0,866 50
0,886 86
0,904 90
0,920 73
0,934 48
0,946 30
0,956 37
0,964 85
0,971 93
0,977 78
0,982 57
0,986 45
0,02
0,507 98
0,547 76
0,587 06
0,625 51
0,662 76
0,698 47
0,732 37
0,764 24
0,793 89
0,821 21
0,846 13
0,868 64
0,888 77
0,906 58
0,922 19
0,935 74
0,947 38
0,957 28
0,965 62
0,972 57
0,978 31
0,983 00
0,986 79
0,03
0,511 97
0,551,72
0,590 95
0,629 30
0,666 40
0,701 94
0,735 65
0,767 30
0,796 73
0,823 81
0,848 49
0,870 76
0,890 65
0,908 24
0,923 64
0,936 99
0,948 45
0,958 18
0,966 37
0,973 20
0,978 82
0,983 41
0,987 13
0,04
0,515 95
0,555 67
0,594 83
0,633 07
0,670 03
0,705 40
0,738 91
0,770 35
0,799 54
0,826 39
0,850 83
0,872 85
0,892 51
0,909 88
0,925 06
0,938 22
0,949 50
0,959 07
0,967 11
0,973 81
0,979 32
0,983 82
0,987 45
0,05
0,519 94
0,559 62
0,598 71
0,636 83
0,673 64
0,708 84
0,742 15
0,773 37
0,802 34
0,828 94
0,853 14
0,874 93
0,894 35
0,911 49
0,926 47
0,939 43
0,950 53
0,959 94
0,967 84
0,974 41
0,979 82
0,984 22
0,987 78
0,06
0,523 92
0,563 56
0,602 57
0,640 58
0,677 24
0,712 26
0,745 37
0,776 37
0,805 10
0,831 47
0,855 43
0,876 97
0,896 16
0,913 08
0,927 85
0,940 62
0,951 54
0,960 80
0,968 56
0,975 00
0,980 30
0,984 61
0,988 09
0,07
0,527 90
0,567 49
0,606 42
0,644 31
0,680 82
0,715 66
0,748 57
0,779 35
0,807 85
0,833 97
0,857 69
0,879 00
0,897 96
0,914 65
0,929 22
0,941 79
0,952 54
0,961 64
0,969 26
0,975 58
0,980 77
0,985 00
0,988 40
0,08
0,531 88
0,571 42
0,610 26
0,648 03
0,684 38
0,719 04
0,751 75
0,782 30
0,810 57
0,836 46
0,859 93
0,881 00
0,899 73
0,916 21
0,930 56
0,942 95
0,953 52
0,962 46
0,969 95
0,976 15
0,981 24
0,985 37
0,988 70
0,09
0,535 86
0,575 34
0,614 09
0,651 73
0,687 93
0,722 40
0,754 90
0,785 23
0,813 27
0,838 91
0,862 14
0,882 97
0,901 47
0,917 73
0,931 89
0,944 08
0,954 48
0,963 27
0,970 62
0,976 70
0,981 69
0,985 74
0,988 99
2
1
9
0
-
M
_
0
2
I
_
4
7
2
_
5
0
3
.
i
n
d
d
4
7
6
1
1
-
0
7
-
1
5
1
4
:
5
6
2
1
9
0
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M
_
0
2
I
_
4
7
2
_
5
0
3
.
i
n
d
d
4
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1
1
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0
7
-
Publicité
1
5
1
4
:
5
7
Table II Les valeurs de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite* (suite)
Deuxième décimale de z
z
e
d
e
l
a
m
i
c
é
d
e
r
è
i
m
e
r
P
z
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
0,00
0,989 28
0,991 80
0,993 79
0,995 34
0,996 53
0,997 44
0,998 13
0,998 65
0,999 03
0,999 31
0,999 52
0,999 66
0,999 77
0,999 84
0,999 89
0,999 93
0,999 95
0,01
0,989 56
0,992 02
0,993 96
0,995 47
0,996 64
0,997 52
0,998 19
0,998 69
0,999 06
0,999 34
0,999 53
0,999 68
0,999 78
0,999 85
0,999 90
0,999 93
0,999 95
0,02
0,989 83
0,992 24
0,994 13
0,995 60
0,996 74
0,997 60
0,998 25
0,998 74
0,999 10
0,999 36
0,999 55
0,999 69
0,999 78
0,999 85
0,999 90
0,999 93
0,999 96
0,03
0,990 10
0,992 45
0,994 30
0,995 73
0,996 83
0,997 67
0,998 31
0,998 78
0,999 13
0,999 38
0,999 57
0,999 70
0,999 79
0,999 86
0,999 90
0,999 94
0,999 96
0,04
0,990 36
0,992 66
0,994 46
0,995 85
0,996 93
0,997 74
0,998 36
0,998 82
0,999 16
0,999 40
0,999 58
0,999 71
0,999 80
0,999 86
0,999 91
0,999 94
0,999 96
0,05
0,990 61
0,992 86
0,994 61
0,995 98
0,997 02
0,997 81
0,998 41
0,998 86
0,999 18
0,999 42
0,999 60
0,999 72
0,999 81
0,999 87
0,999 91
0,999 94
0,999 96
0,06
0,990 86
0,993 05
0,994 77
0,996 09
0,997 11
0,997 88
0,998 46
0,998 89
0,999 21
0,999 44
0,999 61
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0,999 94
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0,999 88
0,999 92
0,999 95
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0,08
0,991 34
0,993 43
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0,996 32
0,997 28
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0,998 56
0,998 97
0,999 26
0,999 48
0,999 64
0,999 75
0,999 83
0,999 88
0,999 92
0,999 95
0,999 97
0,09
0,991 58
0,993 61
0,995 20
0,996 43
0,997 36
0,998 07
0,998 61
0,999 00
0,999 29
0,999 50
0,999 65
0,999 76
0,999 83
0,999 89
0,999 92
0,999 95
0,999 97
densité N(0, 1)
Φ(z)
0
z
- Les valeurs figurant dans cette table sont celles de Φ z
∫
−∞
z est indiquée dans la 1re colonne, et sa deuxième décimale est indiquée sur la 1re ligne. Par exemple, (1,23) 5 0,890 65.
où Z N(0, 1). La première décimale de
( ) =
du,
e
z
2
−
u
2
1
2
π
L
e
s
l
v
a
e
u
r
s
d
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l
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f
o
n
c
t
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d
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p
a
r
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n
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l
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l
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n
o
r
m
a
e
c
e
n
t
r
é
e
r
é
d
u
i
t
e
4
7
7
478 TabLeIII
Table III Les quantiles de la loi du khi-carré*
Probabilité
0,995
0,990
0,975
0,950
0,900
0,500
0,100
0,050
0,025
0,010
0,005
0,00+
0,00+
0,00+
0,00+
0,02
0,45
1,39
2,37
3,36
4,35
5,35
6,35
7,34
8,34
9,34
5,02
7,38
9,35
6,63
9,21
7,88
10,60
11,34
12,84
3,84
5,99
7,81
9,49
2,71
4,61
6,25
7,78
9,24
11,14
13,28
11,07
12,83
15,09
10,65
12,59
14,45
16,81
12,02
14,07
16,01
18,48
20,28
13,36
15,51
17,53
20,09
14,68
16,92
19,02
21,67
15,99
18,31
20,48
23,21
14,86
16,75
18,55
21,96
23,59
25,19
26,76
10,34
17,28
19,68
21,92
24,72
11,34
18,55
21,03
23,34
26,22
28,30
12,34
19,81
22,36
Publicité
24,74
27,69
13,34
21,06
23,68
26,12
29,14
29,82
31,32
14,34
22,31
25,00
27,49
30,58
32,80
15,34
23,54
26,30
28,85
32,00
34,27
0,21
0,58
1,06
1,61
2,20
2,83
3,49
4,17
4,87
5,58
6,30
7,04
7,79
8,55
9,31
0,10
0,35
0,71
1,15
1,64
2,17
2,73
3,33
3,94
4,57
5,23
5,89
6,57
7,26
7,96
8,67
9,39
0,05
0,22
0,48
0,83
1,24
1,69
2,18
2,70
3,25
3,82
4,40
5,01
5,63
6,27
6,91
7,56
8,23
8,91
9,59
0,02
0,11
0,30
0,55
0,87
1,24
1,65
2,09
2,56
3,05
3,57
4,11
4,66
5,23
5,81
6,41
7,01
7,63
8,26
8,90
9,54
0,01
0,07
0,21
0,41
0,68
0,99
1,34
1,73
2,16
2,60
3,07
3,57
4,07
4,60
5,14
5,70
6,26
6,84
7,43
8,03
8,64
9,26
9,89
v
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
50
60
é
t
r
e
b
i
l
e
d
s
é
r
g
e
D
10,09
16,34
24,77
27,59
30,19
33,41
10,87
17,34
25,99
28,87
31,53
34,81
35,72
37,16
10,12
11,65
18,34
27,20
30,14
32,85
36,19
38,58
10,85
12,44
19,34
28,41
31,41
34,17
37,57
40,00
10,28
11,59
13,24
20,34
29,62
32,67
35,48
38,93
41,40
10,98
12,34
14,04
21,34
30,81
33,92
36,78
40,29
42,80
10,20
11,69
13,09
14,85
22,34
32,01
35,17
38,08
41,64
44,18
10,86
12,40
13,85
15,66
23,34
33,20
36,42
39,36
42,98
45,56
10,52
11,52
13,12
14,61
16,47
24,34
34,28
37,65
40,65
44,31
46,93
11,16
12,20
13,84
15,38
17,29
25,34
35,56
38,89
41,92
45,64
48,29
11,81
12,88
14,57
16,15
18,11
26,34
36,74
40,11
43,19
46,96
12,46
13,57
15,31
16,93
18,94
27,34
37,92
41,34
44,46
48,28
13,12
13,79
14,26
16,05
17,71
19,77
28,34
39,09
42,56
45,72
49,59
14,95
16,79
18,49
20,60
29,34
40,26
43,77
46,98
50,89
49,65
50,99
52,34
53,67
20,71
22,16
24,43
26,51
29,05
39,34
51,81
55,76
59,34
63,69
66,77
27,99
29,71
32,36
34,76
37,69
49,33
63,17
67,50
71,42
76,15
35,53
37,48
40,48
43,19
46,46
59,33
74,40
79,08
83,30
88,38
79,49
91,95
70
43,28
45,44
48,76
51,74
55,33
69,33
85,53
90,53
95,02
100,42
104,22
80
90
100
51,17
53,54
57,15
60,39
64,28
79,33
96,58
101,88
106,63
112,33
116,32
59,20
61,75
65,65
69,13
73,29
89,33
107,57
113,14
118,14
124,12
128,30
67,33
70,06
74,22
77,93
82,36
99,33
118,50
124,34
129,56
135,81
140,17
densité c 2
v
- Les valeurs figurant dans cette table sont les quantiles c 2
a ;v) = , où U ∼ c 2
tels que P(U > c 2
v.
a ;v
0
a
c 2
a ;v
2190-M_02I_472_503.indd 478
14/07/11 10:30 AM
LesquantilesdelaloitdeStudent
479
Table IV Les quantiles de la loi t de Student*
0,40
0,25
0,10
0,05
0,025
0,01
0,005
0,0025
0,001
Publicité
0,0005
0,325
1,000
3,078
6,314
12,706 31,821
63,657
127,32
318,31
636,62
Probabilité
v
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
é
t
r
e
b
i
l
e
d
s
é
r
g
e
D
0,289
0,816
1,886
2,920
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2,998
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1,397
1,860
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1,383
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2,262
2,821
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1,812
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2,201
2,718
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1,782
2,179
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0,259
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1,350
1,771
2,160
2,650
0,258
0,692
1,345
1,761
2,145
2,624
0,258
0,691
1,341
1,753
2,131
2,602
0,258
0,690
1,337
1,746
2,120
2,583
0,257
0,689
1,333
1,740
2,110
2,567
0,257
0,688
1,330
1,734
2,101
2,552
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0,688
1,328
1,729
2,093
2,539
20
0,257
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1,325
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2,528
21
0,257
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1,323
1,721
2,080
2,518
22
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23
0,256
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1,319
24
0,256
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1,318
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1,711
2,074
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2,069
2,500
2,807
2,064
2,492
25
0,256
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1,708
2,060
2,485
26
0,256
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1,706
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2,479
27
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0,684
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1,703
2,052
2,473
28
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2,457
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2,021
2,423
60
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1,296
1,671
2,000
2,390
120
∞
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2,921
2,898
2,878
2,861
2,845
2,831
2,819
2,797
2,787
2,779
2,771
2,763
2,756
2,750
2,704
2,660
2,617
2,576
14,089
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5,598
4,773
4,317
4,029
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3,690
3,581
3,497
3,428
3,372
3,326
3,286
3,252
3,222
3,197
3,174
3,153
3,135
3,119
3,104
3,091
3,078
3,067
3,057
3,047
3,038
3,030
2,971
2,915
2,860
2,807
23,326
10,213
31,598
12,924
7,173
5,893
5,208
4,785
4,501
4,297
4,144
4,025
3,930
3,852
3,787
3,733
3,686
3,646
3,610
3,579
3,552
3,527
3,505
3,485
3,467
3,450
3,435
3,421
3,408
3,396
3,385
3,307
3,232
3,160
3,090
8,610
6,869
5,959
5,408
5,041
4,781
4,587
4,437
4,318
4,221
4,140
4,073
4,015
3,965
3,922
3,883
3,850
3,819
3,792
3,767
3,745
3,725
3,707
3,690
3,674
3,659
3,646
3,551
3,460
3,373
3,291
Source : E. S. Pearson et H. O. Hartley, 1966, Biometrika Tables for Statisticians, 3e éd., Cambridge : Cambridge University
Press, vol. 1. Table adaptée avec l’autorisation des administrateurs de Biometrika.
densité tv
- Les valeurs figurant dans cette table sont les quantiles t ; v tels que
P(T > t ; v) 5 , où T ~ tv.
a
ta ;v
0
2190-M_02I_472_503.indd 479
14/07/11 10:30 AM