À la découverte de l’algèbre

211 Déterminant en dimension 2 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Définition du déterminant Propriétés du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Calculs de déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Applications des déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

1 2 3 4 5

Index

Logique et raisonnements

Chapitre

1

VidØo (cid:132) partie 1. Logique VidØo (cid:132) partie 2. Raisonnements Fiche d’exercices (cid:135) Logique, ensembles, raisonnements

Quelques motivations

• Il est important d’avoir un langage rigoureux. La langue française est souvent ambigüe. Prenons l’exemple de la conjonction « ou » ; au restaurant « fromage ou dessert » signifie l’un ou l’autre mais pas les deux. Par contre si dans un jeu de carte on cherche « les as ou les cœurs » alors il ne faut pas exclure l’as de cœur. Autre exemple : que répondre à la question « As-tu 10 euros en poche ? » si l’on dispose de 15 euros ?

• Il y a des notions difficiles à expliquer avec des mots : par exemple la continuité d’une fonction est souvent expliquée par « on trace le graphe sans lever le crayon ». Il est clair que c’est une définition peu satisfaisante. Voici la définition mathématique de la continuité d’une fonction f : I → (cid:82) en un point x0

∈ I :

| < δ =⇒ | f (x) − f (x0 C’est le but de ce chapitre de rendre cette ligne plus claire ! C’est la logique.

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ I

(|x − x0

)| < ε).

• Enfin les mathématiques tentent de distinguer le vrai du faux. Par exemple « Est-ce qu’une augmentation de 20%, puis de 30% est plus intéressante qu’une augmentation de 50% ? ». Vous pouvez penser « oui » ou « non », mais pour en être sûr il faut suivre une démarche logique qui mène à la conclusion. Cette démarche doit être convaincante pour vous mais aussi pour les autres. On parle de raisonnement.

Les mathématiques sont un langage pour s’exprimer rigoureusement, adapté aux phénomènes complexes, qui rend les calculs exacts et vérifiables. Le raisonnement est le moyen de valider — ou d’infirmer — une hypothèse et de l’expliquer à autrui.

LOGIQUE ET RAISONNEMENTS

1. LOGIQUE 2

1. Logique

1.1. Assertions

Une assertion est une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux en même temps. Exemples : • « Il pleut. » • « Je suis plus grand que toi. » • « 2 + 2 = 4 » • « 2 × 3 = 7 » • « Pour tout x ∈ (cid:82), on a x 2 (cid:62) 0. » • « Pour tout z ∈ (cid:67), on a |z| = 1. »

Si P est une assertion et Q est une autre assertion, nous allons définir de nouvelles assertions construites à partir de P et de Q.

L’opérateur logique « et »

L’assertion « P et Q » est vraie si P est vraie et Q est vraie. L’assertion « P et Q » est fausse sinon. On résume ceci en une table de vérité :

P \ Q V F V F F F

V F

F I G U R E 1.1 – Table de vérité de « P et Q »

Par exemple si P est l’assertion « Cette carte est un as » et Q l’assertion « Cette carte est cœur » alors l’assertion « P et Q » est vraie si la carte est l’as de cœur et est fausse pour toute autre carte.

L’opérateur logique « ou »

L’assertion « P ou Q » est vraie si l’une (au moins) des deux assertions P ou Q est vraie. L’assertion « P ou Q » est fausse si les deux assertions P et Q sont fausses. On reprend ceci dans la table de vérité :

P \ Q V

F V V F V

V F

F I G U R E 1.2 – Table de vérité de « P ou Q »

Si P est l’assertion « Cette carte est un as » et Q l’assertion « Cette carte est cœur » alors l’assertion « P ou Q » est vraie si la carte est un as ou bien un cœur (en particulier elle est vraie pour l’as de cœur).

Remarque. Pour définir les opérateurs « ou », « et » on fait appel à une phrase en français utilisant les mots ou, et ! Les tables de vérités permettent d’éviter ce problème.

La négation « non »

L’assertion « non P » est vraie si P est fausse, et fausse si P est vraie.

LOGIQUE ET RAISONNEMENTS

1. LOGIQUE 3

P non P

V F

F V

F I G U R E 1.3 – Table de vérité de « non P »

L’implication =⇒

La définition mathématique est la suivante :

L’assertion « (non P) ou Q » est notée « P =⇒ Q ».

Sa table de vérité est donc la suivante :

P \ Q V F V F V V

V F

F I G U R E 1.4 – Table de vérité de « P =⇒ Q »

L’assertion « P =⇒ Q » se lit en français « P implique Q ». Elle se lit souvent aussi « si P est vraie alors Q est vraie » ou « si P alors Q ». Par exemple : • « 0 (cid:54) x (cid:54) 25 =⇒ • « x ∈] − ∞, −4[ =⇒ x 2 + 3x − 4 > 0 » est vraie (étudier le binôme). • « sin(θ ) = 0 =⇒ θ = 0 » est fausse (regarder pour θ = 2π par exemple). • « 2 + 2 = 5 =⇒

x (cid:54) 5 » est vraie (prendre la racine carrée).

(cid:112)

(cid:112)

2 = 2 » est vraie ! Eh oui, si P est fausse alors l’assertion « P =⇒ Q » est toujours

vraie.

L’équivalence ⇐⇒

L’équivalence est définie par :

« P ⇐⇒ Q » est l’assertion « (P =⇒ Q) et (Q =⇒ P) ».

On dira « P est équivalent à Q » ou « P équivaut à Q » ou « P si et seulement si Q ». Cette assertion est vraie lorsque P et Q sont vraies ou lorsque P et Q sont fausses. La table de vérité est :

P \ Q V V F

V F

F F V

F I G U R E 1.5 – Table de vérité de « P ⇐⇒ Q »

Exemples : • Pour x, x (cid:48) ∈ (cid:82), l’équivalence « x · x (cid:48) = 0 ⇐⇒ (x = 0 ou x (cid:48) = 0) » est vraie. • Voici une équivalence toujours fausse (quelque soit l’assertion P) : « P ⇐⇒ non(P) ». On s’intéresse davantage aux assertions vraies qu’aux fausses, aussi dans la pratique et en dehors de ce chapitre on écrira « P ⇐⇒ Q » ou « P =⇒ Q » uniquement lorsque ce sont des assertions vraies. Par exemple si l’on écrit « P ⇐⇒ Q » cela sous-entend « P ⇐⇒ Q est vraie ». Attention rien ne dit que P et Q soient vraies. Cela signifie que P et Q sont vraies en même temps ou fausses en même temps.

LOGIQUE ET RAISONNEMENTS

1. LOGIQUE 4

Proposition 1. Soient P, Q, R trois assertions. Nous avons les équivalences (vraies) suivantes : 1. P ⇐⇒ non(non(P)) 2. (P et Q) ⇐⇒ (Q et P) 3. (P ou Q) ⇐⇒ (Q ou P) 4. non(P et Q) ⇐⇒ (non P) ou (non Q) 5. non(P ou Q) ⇐⇒ (non P) et (non Q) 6. (cid:0)P et (Q ou R)(cid:1) ⇐⇒ (P et Q) ou (P et R) 7. (cid:0)P ou (Q et R)(cid:1) ⇐⇒ (P ou Q) et (P ou R) 8. « P =⇒ Q » ⇐⇒ « non(Q) =⇒ non(P) »

Démonstration. Voici des exemples de démonstrations : 4. Il suffit de comparer les deux assertions « non(P et Q) » et « (non P) ou (non Q) » pour toutes les valeurs possibles de P et Q. Par exemple si P est vrai et Q est vrai alors « P et Q » est vrai donc « non(P et Q) » est faux ; d’autre part (non P) est faux, (non Q) est faux donc « (non P) ou (non Q) » est faux. Ainsi dans ce premier cas les assertions sont toutes les deux fausses. On dresse ainsi les deux tables de vérités et comme elles sont égales les deux assertions sont équivalentes.

P \ Q V F V F V V

V F

F I G U R E 1.6 – Tables de vérité de « non(P et Q) » et de « (non P) ou (non Q) »

6. On fait la même chose mais il y a trois variables : P, Q, R. On compare donc les tables de vérité d’abord dans le cas où P est vrai (à gauche), puis dans le cas où P est faux (à droite). Dans les deux cas les deux assertions « (cid:0)P et (Q ou R)(cid:1) » et « (P et Q) ou (P et R) » ont la même table de vérité donc les assertions sont équivalentes.

Q \ R V

F V V F V

V F

Q \ R V F F F

V F

F F

8. Par définition, l’implication « P =⇒ Q » est l’assertion « (non P) ou Q ». Donc l’implication « non(Q) =⇒ non(P) » est équivalente à « non(non(Q)) ou non(P) » qui équivaut encore à « Q ou non(P) » et donc est équivalente à « P =⇒ Q ». On aurait aussi pu encore une fois dresser les deux tables de vérité et voir qu’elles sont égales.

1.2. Quantificateurs

Le quantificateur ∀ : « pour tout »

Une assertion P peut dépendre d’un paramètre x, par exemple « x 2 (cid:62) 1 », l’assertion P(x) est vraie ou fausse selon la valeur de x. L’assertion

est une assertion vraie lorsque les assertions P(x) sont vraies pour tous les éléments x de l’ensemble E.

∀x ∈ E

P(x)

LOGIQUE ET RAISONNEMENTS

1. LOGIQUE 5

On lit « Pour tout x appartenant à E, P(x) », sous-entendu « Pour tout x appartenant à E, P(x) est vraie ». Par exemple : • « ∀x ∈ [1, +∞[ • « ∀x ∈ (cid:82) (x 2 (cid:62) 1) » est une assertion fausse. • « ∀n ∈ (cid:78) n(n + 1) est divisible par 2 » est vraie.

(x 2 (cid:62) 1) » est une assertion vraie.

Le quantificateur ∃ : « il existe »

L’assertion

∃x ∈ E

P(x)

est une assertion vraie lorsque l’on peut trouver au moins un x de E pour lequel P(x) est vraie. On lit « il existe x appartenant à E tel que P(x) (soit vraie) ». Par exemple : • « ∃x ∈ (cid:82) (x(x − 1) < 0) » est vraie (par exemple x = 1 • « ∃n ∈ (cid:78) n2 − n > n » est vraie (il y a plein de choix, par exemple n = 3 convient, mais aussi n = 10 ou

2 vérifie bien la propriété).

même n = 100, un seul suffit pour dire que l’assertion est vraie).

• « ∃x ∈ (cid:82) (x 2 = −1) » est fausse (aucun réel au carré ne donnera un nombre négatif).

La négation des quantificateurs

La négation de « ∀x ∈ E

P(x) » est « ∃x ∈ E non P(x) » .

Par exemple la négation de « ∀x ∈ [1, +∞[ effet la négation de x 2 (cid:62) 1 est non(x 2 (cid:62) 1) mais s’écrit plus simplement x 2 < 1.

(x 2 (cid:62) 1) » est l’assertion « ∃x ∈ [1, +∞[

(x 2 < 1) ». En

La négation de « ∃x ∈ E

P(x) » est « ∀x ∈ E non P(x) ».

Voici des exemples : • La négation de « ∃z ∈ (cid:67) (z2 + z + 1 = 0) » est « ∀z ∈ (cid:67) (z2 + z + 1 (cid:54)= 0) ». • La négation de « ∀x ∈ (cid:82) (x + 1 ∈ (cid:90)) » est « ∃x ∈ (cid:82) (x + 1 /∈ (cid:90)) ». • Ce n’est pas plus difficile d’écrire la négation de phrases complexes. Pour l’assertion :

sa négation est

Remarques

∀x ∈ (cid:82) ∃ y > 0 (x + y > 10)

∃x ∈ (cid:82) ∀ y > 0 (x + y (cid:54) 10).

L’ordre des quantificateurs est très important. Par exemple les deux phrases logiques

∀x ∈ (cid:82) ∃ y ∈ (cid:82) (x + y > 0)

et

∃ y ∈ (cid:82) ∀x ∈ (cid:82) (x + y > 0).

sont différentes. La première est vraie, la seconde est fausse. En effet une phrase logique se lit de gauche à droite, ainsi la première phrase affirme « Pour tout réel x, il existe un réel y (qui peut donc dépendre de x) tel que x + y > 0. » (par exemple on peut prendre y = |x| + 1). C’est donc une phrase vraie. Par contre la deuxième se lit : « Il existe un réel y, tel que pour tout réel x, x + y > 0. » Cette phrase est fausse, cela ne peut pas être le même y qui convient pour tous les x ! On retrouve la même différence dans les phrases en français suivantes. Voici une phrase vraie « Pour toute personne, il existe un numéro de téléphone », bien sûr le numéro dépend de la personne. Par contre cette phrase est fausse : « Il existe un numéro, pour toutes les personnes ». Ce serait le même numéro pour tout le monde !

LOGIQUE ET RAISONNEMENTS

2. RAISONNEMENTS 6

Terminons avec d’autres remarques. • Quand on écrit « ∃x ∈ (cid:82) ( f (x) = 0) » cela signifie juste qu’il existe un réel pour lequel f s’annule. Rien ne dit que ce x est unique. Dans un premier temps vous pouvez lire la phrase ainsi : « il existe au moins un réel x tel que f (x) = 0 ». Afin de préciser que f s’annule en une unique valeur, on rajoute un point d’exclamation :

∃! x ∈ (cid:82) ( f (x) = 0).

• Pour la négation d’une phrase logique, il n’est pas nécessaire de savoir si la phrase est fausse ou vraie. Le procédé est algorithmique : on change le « pour tout » en « il existe » et inversement, puis on prend la négation de l’assertion P.

• Pour la négation d’une proposition, il faut être précis : la négation de l’inégalité stricte « < » est l’inégalité

large « (cid:62) », et inversement.

• Les quantificateurs ne sont pas des abréviations. Soit vous écrivez une phrase en français : « Pour tout

réel x, si f (x) = 1 alors x (cid:62) 0. » , soit vous écrivez la phrase logique :

∀x ∈ (cid:82) ( f (x) = 1 =⇒ x (cid:62) 0).

Mais surtout n’écrivez pas « ∀x réel, si f (x) = 1 =⇒ x positif ou nul ». Enfin, pour passer d’une ligne à l’autre d’un raisonnement, préférez plutôt « donc » à « =⇒ ».

• Il est défendu d’écrire (cid:54)∃, (cid:54)=⇒ . Ces symboles n’existent pas !

Mini-exercices.

1. Écrire la table de vérité du « ou exclusif ». (C’est le ou dans la phrase « fromage ou dessert », l’un ou

l’autre mais pas les deux.)

2. Écrire la table de vérité de « non (P et Q) ». Que remarquez vous ? 3. Écrire la négation de « P =⇒ Q ».

4. Démontrer les assertions restantes de la proposition 1. 5. Écrire la négation de « (cid:0)P et (Q ou R)(cid:1) ».

6. Écrire à l’aide des quantificateurs la phrase suivante : « Pour tout nombre réel, son carré est positif ».

Puis écrire la négation.

7. Mêmes questions avec les phrases : « Pour chaque réel, je peux trouver un entier relatif tel que leur produit soit strictement plus grand que 1 ». Puis « Pour tout entier n, il existe un unique réel x tel que exp(x) égale n ».

2. Raisonnements

Voici des méthodes classiques de raisonnements.

2.1. Raisonnement direct

On veut montrer que l’assertion « P =⇒ Q » est vraie. On suppose que P est vraie et on montre qu’alors Q est vraie. C’est la méthode à laquelle vous êtes le plus habitué.

Exemple 1. Montrer que si a, b ∈ (cid:81) alors a + b ∈ (cid:81).

Démonstration. Prenons a ∈ (cid:81), b ∈ (cid:81). Rappelons que les rationnels (cid:81) sont l’ensemble des réels s’écrivant q avec p ∈ (cid:90) et q ∈ (cid:78)∗. p

LOGIQUE ET RAISONNEMENTS

2. RAISONNEMENTS 7

Alors a = p

q pour un certain p ∈ (cid:90) et un certain q ∈ (cid:78)∗. De même b = p(cid:48)

q(cid:48) avec p(cid:48) ∈ (cid:90) et q(cid:48) ∈ (cid:78)∗. Maintenant

+ p(cid:48) q(cid:48) Or le numérateur pq(cid:48) + qp(cid:48) est bien un élément de (cid:90) ; le dénominateur qq(cid:48) est lui un élément de (cid:78)∗. Donc a + b s’écrit bien de la forme a + b = p(cid:48)(cid:48)

q(cid:48)(cid:48) avec p(cid:48)(cid:48) ∈ (cid:90), q(cid:48)(cid:48) ∈ (cid:78)∗. Ainsi a + b ∈ (cid:81).

= pq(cid:48) + qp(cid:48) qq(cid:48)

a + b = p q

.

2.2. Cas par cas

Si l’on souhaite vérifier une assertion P(x) pour tous les x dans un ensemble E, on montre l’assertion pour les x dans une partie A de E, puis pour les x n’appartenant pas à A. C’est la méthode de disjonction ou du cas par cas.

Exemple 2. Montrer que pour tout x ∈ (cid:82), |x − 1| (cid:54) x 2 − x + 1.

Démonstration. Soit x ∈ (cid:82). Nous distinguons deux cas. Premier cas : x (cid:62) 1. Alors |x − 1| = x − 1. Calculons alors x 2 − x + 1 − |x − 1|.

x 2 − x + 1 − |x − 1| = x 2 − x + 1 − (x − 1)

= x 2 − 2x + 2 = (x − 1)2 + 1 (cid:62) 0.

Ainsi x 2 − x + 1 − |x − 1| (cid:62) 0 et donc x 2 − x + 1 (cid:62) |x − 1|. Deuxième cas : x < 1. Alors |x−1| = −(x−1). Nous obtenons x 2−x+1−|x−1| = x 2−x+1+(x−1) = x 2 (cid:62) 0. Et donc x 2 − x + 1 (cid:62) |x − 1|. Conclusion. Dans tous les cas |x − 1| (cid:54) x 2 − x + 1.

2.3. Contraposée

Le raisonnement par contraposition est basé sur l’équivalence suivante (voir la proposition 1) :

L’assertion « P =⇒ Q » est équivalente à « non(Q) =⇒ non(P) ».

Donc si l’on souhaite montrer l’assertion « P =⇒ Q », on montre en fait que si non(Q) est vraie alors non(P) est vraie.

Exemple 3. Soit n ∈ (cid:78). Montrer que si n2 est pair alors n est pair.

Démonstration. Nous supposons que n n’est pas pair. Nous voulons montrer qu’alors n2 n’est pas pair. Comme n n’est pas pair, il est impair et donc il existe k ∈ (cid:78) tel que n = 2k+1. Alors n2 = (2k+1)2 = 4k2+4k+1 = 2(cid:96)+1 avec (cid:96) = 2k2 + 2k ∈ (cid:78). Et donc n2 est impair. Conclusion : nous avons montré que si n est impair alors n2 est impair. Par contraposition ceci est équivalent à : si n2 est pair alors n est pair.

2.4. Absurde

Le raisonnement par l’absurde pour montrer « P =⇒ Q » repose sur le principe suivant : on suppose à la fois que P est vraie et que Q est fausse et on cherche une contradiction. Ainsi si P est vraie alors Q doit être vraie et donc « P =⇒ Q » est vraie.

LOGIQUE ET RAISONNEMENTS

2. RAISONNEMENTS 8

Exemple 4. Soient a, b (cid:62) 0. Montrer que si

a 1+b

= b

1+a alors a = b.

Démonstration. Nous raisonnons par l’absurde en supposant que a = b 1+a 1+b alors a(1 + a) = b(1 + b) donc a + a2 = b + b2 d’où a2 − b2 = b − a. Cela conduit à (a − b)(a + b) = −(a − b). Comme a (cid:54)= b alors a − b (cid:54)= 0 et donc en divisant par a − b on obtient a + b = −1. La somme des deux nombres positifs a et b ne peut être négative. Nous obtenons une contradiction. Conclusion : si

1+a et a (cid:54)= b. Comme a 1+b

= b

= b

1+a alors a = b.

a 1+b

Dans la pratique, on peut choisir indifféremment entre un raisonnement par contraposition ou par l’absurde. Attention cependant de bien préciser quel type de raisonnement vous choisissez et surtout de ne pas changer en cours de rédaction !

2.5. Contre-exemple

P(x) » est vraie alors pour chaque x de E il faut Si l’on veut montrer qu’une assertion du type « ∀x ∈ E montrer que P(x) est vraie. Par contre pour montrer que cette assertion est fausse alors il suffit de trouver P(x) » est « ∃x ∈ E non P(x) ».) x ∈ E tel que P(x) soit fausse. (Rappelez-vous la négation de « ∀x ∈ E P(x) ». Trouver un tel x c’est trouver un contre-exemple à l’assertion « ∀x ∈ E

Exemple 5. Montrer que l’assertion suivante est fausse « Tout entier positif est somme de trois carrés ». (Les carrés sont les 02, 12, 22, 32,... Par exemple 6 = 22 + 12 + 12.)

Démonstration. Un contre-exemple est 7 : les carrés inférieurs à 7 sont 0, 1, 4 mais avec trois de ces nombres on ne peut faire 7.

2.6. Récurrence

Le principe de récurrence permet de montrer qu’une assertion P(n), dépendant de n, est vraie pour tout n ∈ (cid:78). La démonstration par récurrence se déroule en trois étapes : lors de l’initialisation on prouve P(0). Pour l’étape d’hérédité, on suppose n (cid:62) 0 donné avec P(n) vraie, et on démontre alors que l’assertion P(n + 1) au rang suivant est vraie. Enfin dans la conclusion, on rappelle que par le principe de récurrence P(n) est vraie pour tout n ∈ (cid:78).

Exemple 6. Montrer que pour tout n ∈ (cid:78), 2n > n.

Démonstration. Pour n (cid:62) 0, notons P(n) l’assertion suivante :

2n > n.

Nous allons démontrer par récurrence que P(n) est vraie pour tout n (cid:62) 0. Initialisation. Pour n = 0 nous avons 20 = 1 > 0. Donc P(0) est vraie. Hérédité. Fixons n (cid:62) 0. Supposons que P(n) soit vraie. Nous allons montrer que P(n + 1) est vraie.

2n+1 = 2n + 2n > n + 2n

car par P(n) nous savons 2n > n,

> n + 1

car 2n (cid:62) 1.

Donc P(n + 1) est vraie. Conclusion. Par le principe de récurrence P(n) est vraie pour tout n (cid:62) 0, c’est-à-dire 2n > n pour tout n (cid:62) 0.

Remarques :

LOGIQUE ET RAISONNEMENTS

2. RAISONNEMENTS 9

• La rédaction d’une récurrence est assez rigide. Respectez scrupuleusement la rédaction proposée : donnez un nom à l’assertion que vous souhaitez montrer (ici P(n)), respectez les trois étapes (même si souvent l’étape d’initialisation est très facile). En particulier méditez et conservez la première ligne de l’hérédité « Fixons n (cid:62) 0. Supposons que P(n) soit vraie. Nous allons montrer que P(n + 1) est vraie. »

• Si on doit démontrer qu’une propriété est vraie pour tout n (cid:62) n0, alors on commence l’initialisation au

rang n0.

• Le principe de récurrence est basé sur la construction de l’ensemble (cid:78). En effet un des axiomes pour définir (cid:78) est le suivant : « Soit A une partie de (cid:78) qui contient 0 et telle que si n ∈ A alors n + 1 ∈ A. Alors A = (cid:78) ». Mini-exercices. 1. (Raisonnement direct) Soient a, b ∈ (cid:82)+. Montrer que si a (cid:54) b alors a (cid:54) a+b 2 2. (Cas par cas) Montrer que pour tout n ∈ (cid:78), n(n + 1) est divisible par 2 (distinguer les n pairs des n

(cid:54) b et a (cid:54)

ab (cid:54) b.

(cid:112)

3. (Contraposée ou absurde) Soient a, b ∈ (cid:90). Montrer que si b (cid:54)= 0 alors a + b

(cid:112)

2 /∈ (cid:81). (On utilisera que

impairs).

(cid:112)

2 /∈ (cid:81).)

(cid:112)

4. (Absurde) Soit n ∈ (cid:78)∗. Montrer que 5. (Contre-exemple) Est-ce que pour tout x ∈ (cid:82) on a x < 2 =⇒ x 2 < 4 ? 6. (Récurrence) Montrer que pour tout n (cid:62) 1, 1 + 2 + · · · + n = n(n+1) 7. (Récurrence) Fixons un réel x (cid:62) 0. Montrer que pour tout entier n (cid:62) 1, (1 + x)n (cid:62) 1 + nx.

n2 + 1 n’est pas un entier.

2

.

Auteurs du chapitre Arnaud Bodin, Benjamin Boutin, Pascal Romon

Ensembles et applications

Chapitre

2

VidØo (cid:132) partie 1. Ensembles VidØo (cid:132) partie 2. Applications VidØo (cid:132) partie 3. Injection, surjection, bijection VidØo (cid:132) partie 4. Ensembles finis VidØo (cid:132) partie 5. Relation d’Øquivalence Fiche d’exercices (cid:135) Logique, ensembles, raisonnements Fiche d’exercices (cid:135) Injection, surjection, bijection Fiche d’exercices (cid:135) DØnombrement Fiche d’exercices (cid:135) Relation d’Øquivalence, relation d’ordre

Motivations

Au début du X Xe siècle le professeur Frege peaufinait la rédaction du second tome d’un ouvrage qui souhaitait refonder les mathématiques sur des bases logiques. Il reçut une lettre d’un tout jeune mathématicien : « J’ai bien lu votre premier livre. Malheureusement vous supposez qu’il existe un ensemble qui contient tous les ensembles. Un tel ensemble ne peut exister. » S’ensuit une démonstration de deux lignes. Tout le travail de Frege s’écroulait et il ne s’en remettra jamais. Le jeune Russell deviendra l’un des plus grands logiciens et philosophes de son temps. Il obtient le prix Nobel de littérature en 1950. Voici le « paradoxe de Russell » pour montrer que l’ensemble de tous les ensembles ne peut exister. C’est très bref, mais difficile à appréhender. Par l’absurde, supposons qu’un tel ensemble (cid:69) contenant tous les ensembles existe. Considérons

F = (cid:166)

E ∈ (cid:69) | E /∈ E

(cid:169) .

Expliquons l’écriture E /∈ E : le E de gauche est considéré comme un élément, en effet l’ensemble (cid:69) est l’ensemble de tous les ensembles et E est un élément de cet ensemble ; le E de droite est considéré comme un ensemble, en effet les élément de (cid:69) sont des ensembles ! On peut donc s’interroger si l’élément E appartient à l’ensemble E. Si non, alors par définition on met E dans l’ensemble F . La contradiction arrive lorsque l’on se pose la question suivante : a-t-on F ∈ F ou F /∈ F ? L’une des deux affirmation doit être vraie. Et pourtant : • Si F ∈ F alors par définition de F , F est l’un des ensembles E tel que F /∈ F . Ce qui est contradictoire. • Si F /∈ F alors F vérifie bien la propriété définissant F donc F ∈ F ! Encore contradictoire. Aucun des cas n’est possible. On en déduit qu’il ne peut exister un tel ensemble (cid:69) contenant tous les ensembles. Ce paradoxe a été popularisé par l’énigme suivante : « Dans une ville, le barbier rase tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes. Qui rase le barbier ? » La seule réponse valable est qu’une telle situation ne peut exister.

Ne vous inquiétez pas, Russell et d’autres ont fondé la logique et les ensembles sur des bases solides. Cependant il n’est pas possible dans ce cours de tout redéfinir. Heureusement, vous connaissez déjà quelques

ENSEMBLES ET APPLICATIONS

1. ENSEMBLES 12

ensembles : • l’ensemble des entiers naturels (cid:78) = {0, 1, 2, 3, . . .}. • l’ensemble des entiers relatifs (cid:90) = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}. • l’ensemble des rationnels (cid:81) = (cid:8) p • l’ensemble des réels (cid:82), par exemple 1, • l’ensemble des nombres complexes (cid:67).

| p ∈ (cid:90), q ∈ (cid:78) \ {0}(cid:9). 2, π, ln(2),. . .

(cid:112)

q

Nous allons essayer de voir les propriétés des ensembles, sans s’attacher à un exemple particulier. Vous vous apercevrez assez rapidement que ce qui est au moins aussi important que les ensembles, ce sont les relations entre ensembles : ce sera la notion d’application (ou fonction) entre deux ensembles.

1. Ensembles

1.1. Définir des ensembles

• On va définir informellement ce qu’est un ensemble : un ensemble est une collection d’éléments. • Exemples :

{0, 1},

{rouge, noir},

{0, 1, 2, 3, . . .} = (cid:78).

• Un ensemble particulier est l’ensemble vide, noté ∅ qui est l’ensemble ne contenant aucun élément. • On note

si x est un élément de E, et x /∈ E dans le cas contraire.

x ∈ E

• Voici une autre façon de définir des ensembles : une collection d’éléments qui vérifient une propriété. • Exemples :

(cid:8)x ∈ (cid:82) | |x − 2| < 1(cid:9),

(cid:8)z ∈ (cid:67) | z5 = 1(cid:9),

(cid:8)x ∈ (cid:82) | 0 (cid:54) x (cid:54) 1(cid:9) = [0, 1].

1.2. Inclusion, union, intersection, complémentaire

• L’inclusion. E ⊂ F si tout élément de E est aussi un élément de F . Autrement dit : ∀x ∈ E (x ∈ F ). On

dit alors que E est un sous-ensemble de F ou une partie de F .

• L’égalité. E = F si et seulement si E ⊂ F et F ⊂ E. • Ensemble des parties de E. On note (cid:80) (E) l’ensemble des parties de E. Par exemple si E = {1, 2, 3} :

(cid:80) ({1, 2, 3}) = (cid:8)∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}(cid:9).

• Complémentaire. Si A ⊂ E,

(cid:251)

EA = (cid:8)x ∈ E | x /∈ A(cid:9)

On le note aussi E \ A et juste (cid:251)A s’il n’y a pas d’ambiguïté (et parfois aussi Ac ou A).

E

A

(cid:251)

EA

• Union. Pour A, B ⊂ E,

A ∪ B = (cid:8)x ∈ E | x ∈ A ou x ∈ B(cid:9)

Le « ou » n’est pas exclusif : x peut appartenir à A et à B en même temps.

ENSEMBLES ET APPLICATIONS

1. ENSEMBLES 13

A

A ∪ B

B

• Intersection.

A ∩ B = (cid:8)x ∈ E | x ∈ A et x ∈ B(cid:9)

A

A ∩ B

B

1.3. Règles de calculs

(on peut donc écrire A ∩ B ∩ C sans ambigüité)

A ⊂ B ⇐⇒ A ∩ B = A

(on peut donc écrire A ∪ B ∪ C sans ambiguïté)

A ⊂ B ⇐⇒ A ∪ B = B

Soient A, B, C des parties d’un ensemble E. • A ∩ B = B ∩ A • A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C • A ∩ ∅ = ∅, A ∩ A = A, • A ∪ B = B ∪ A • A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C • A ∪ ∅ = A, • A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) • A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) • (cid:251) (cid:0)(cid:251)A(cid:1) = A • (cid:251) (A ∩ B) = (cid:251)A ∪ (cid:251)B • (cid:251) (A ∪ B) = (cid:251)A ∩ (cid:251)B

A ∪ A = A,

et donc

A ⊂ B ⇐⇒ (cid:251)B ⊂ (cid:251)A

Voici les dessins pour les deux dernières assertions.

(cid:251)A

(cid:251)B

A

B

A

B

(cid:251)(A ∩ B) = (cid:251)A ∪ (cid:251)B

(cid:251)(A ∪ B) = (cid:251)A ∩ (cid:251)B

A

A ∩ B

B

A

A ∪ B

B

Les preuves sont pour l’essentiel une reformulation des opérateurs logiques, en voici quelques-unes : • Preuve de A∩ (B ∪ C) = (A∩ B) ∪ (A∩ C) : x ∈ A∩ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ A et x ∈ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ A et (x ∈ B ou x ∈ C) ⇐⇒ (x ∈ A et x ∈ B) ou (x ∈ A et x ∈ C) ⇐⇒ (x ∈ A ∩ B) ou (x ∈ A ∩ C) ⇐⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

ENSEMBLES ET APPLICATIONS

1. ENSEMBLES 14

• Preuve de (cid:251) (A ∩ B) = (cid:251)A ∪ (cid:251)B : x ∈ (cid:251) (A ∩ B) ⇐⇒ x /∈ (A ∩ B) ⇐⇒ non(cid:0)x ∈ A ∩ B(cid:1) ⇐⇒ non(cid:0)x ∈

A et x ∈ B(cid:1) ⇐⇒ non(x ∈ A) ou non(x ∈ B) ⇐⇒ x /∈ A ou x /∈ B ⇐⇒ x ∈ (cid:251)A ∪ (cid:251)B.

Remarquez que l’on repasse aux éléments pour les preuves.

1.4. Produit cartésien

Soient E et F deux ensembles. Le produit cartésien, noté E × F , est l’ensemble des couples (x, y) où x ∈ E et y ∈ F .

Exemple 1. 1. Vous connaissez (cid:82)2 = (cid:82) × (cid:82) = (cid:8)(x, y) | x, y ∈ (cid:82)(cid:9). 2. Autre exemple [0, 1] × (cid:82) = (cid:8)(x, y) | 0 (cid:54) x (cid:54) 1, y ∈ (cid:82)(cid:9)

y

0

1

3. [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] = (cid:8)(x, y, z) | 0 (cid:54) x, y, z (cid:54) 1(cid:9)

x

z

y

1

0

1

1

x

Mini-exercices. 1. En utilisant les définitions, montrer : A (cid:54)= B si et seulement s’il existe a ∈ A \ B ou b ∈ B \ A. 2. Énumérer (cid:80) ({1, 2, 3, 4}). 3. Montrer A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) et (cid:251) (A ∪ B) = (cid:251)A ∩ (cid:251)B. 4. Énumérer {1, 2, 3} × {1, 2, 3, 4}. 5. Représenter les sous-ensembles de (cid:82)2 suivants : (cid:0)]0, 1[∪[2, 3[(cid:1) × [−1, 1], (cid:0)(cid:82) \ (]0, 1[∪[2, 3[(cid:1) × (cid:0)((cid:82) \

[−1, 1]) ∩ [0, 2](cid:1).

ENSEMBLES ET APPLICATIONS

2. Applications

2.1. Définitions

2. APPLICATIONS 15

• Une application (ou une fonction) f : E → F , c’est la donnée pour chaque élément x ∈ E d’un unique

élément de F noté f (x). Nous représenterons les applications par deux types d’illustrations : les ensembles « patates », l’ensemble de départ (et celui d’arrivée) est schématisé par un ovale ses éléments par des points. L’association x (cid:55)→ f (x) est représentée par une flèche.

f

x

E

f (x)

F

L’autre représentation est celle des fonctions continues de (cid:82) dans (cid:82) (ou des sous-ensembles de (cid:82)). L’ensemble de départ (cid:82) est représenté par l’axe des abscisses et celui d’arrivée par l’axe des ordonnées. L’association x (cid:55)→ f (x) est représentée par le point (x, f (x)).

y

f (x)

x

x

• Égalité. Deux applications f , g : E → F sont égales si et seulement si pour tout x ∈ E, f (x) = g(x). On

note alors f = g.

• Le graphe de f : E → F est

= (cid:166)(cid:0)x, f (x)(cid:1) ∈ E × F | x ∈ E

(cid:169)

Γ

f

y

Γ

f

x

• Composition. Soient f : E → F et g : F → G alors g ◦ f : E → G est l’application définie par g ◦ f (x) =

g(cid:0) f (x)(cid:1).<