Variables aléatoires et lois usuelles de probabilité

(Rouge, Rouge)

+4 dinars

(Noire, Noire)

-12 dinars

(Verte, Rouge)

+6 dinars

(Verte, Noire)

-2 dinars

(Rouge, Noire)

-4 dinars

K. Jabeur - Probabilit s et Inf rence Statistique - Octobre 2020

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299!()362!(92)!CardCW===2037293(,)36CCPVVC ==2027291(,)36CCPRRC ==2047296(,)36CCPNNC ==1132296(,)36CCPVRC ==11342912(,)36CCPVNC ==1124298(,)36CCPRNC ==Variables al atoire discr tes

R ponse (suite &) :

1. Loi de probabilit de la v.a. X

Diff rentes valeurs de X

5 5

Probabilit associer

chaque 5 5

5C 5K = 5e5V = fX(xi)

6

36

5

8

36

2. Fonction de r partition de la v.a. X

Diff rentes valeurs de X

5 5

5

Probabilit associer

chaque 5 5

5C 5K = 5e5V = fX(xi)

Fonction de r partition

FX = 5C 5K d 5e5V

6

36

6

36

8

36

14

36

-2

12

36

-2

12

36

26

36

5

1

36

5

1

36

27

36

6

6

36

6

6

36

33

36

5

3

36

5

3

36

36

36

= 1

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Variables al atoire discr tes

Mesures caract ristiques dune variable al atoire discr te

Deux types de mesures caract ristiques seront tudi es pour une v.a.

discr te X :

1. Mesure caract ristique de position (ou de tendance centrale)

Esp rance math matique

2. Mesures caract ristiques de dispersion

Variance

cart-type

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Variables al atoire discr tes

Esp rance math matique dune variable al atoire discr te

Lesp rance math matique dune v.a. X est, intuitivement, la valeur de X que lon

sattend trouver, en moyenne, si lon r p te un grand nombre de fois la m me

exp rience al atoire. Elle est not e E(X) ou X et se lit esp rance de X .

Math matiquement E(X) est calcul e comme suit :

E(X) correspond une moyenne pond r e par les probabilit s dapparition de

chaque valeur possible de X.

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[][]11()nniiiXiiiEXxPXxxfx=== == Variables al atoire discr tes

Esp rance math matique : Propri t s

Soient a et b deux constantes r elles et X et Y deux variables al atoires (discr tes

ou continues) :

1.

2.

3.

4.

5.

si et seulement si X et Y sont ind pendants.

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()Eaa=()()EaXbaEXb = ()()EaXaEX= ()()()EXYEXEY = ()()()EXYEXEY+=+Variables al atoire discr tes

Variance dune variable al atoire discr te

La variance dune v.a. X indique dans quelle mesure les valeurs prises par X ont

tendance tre plus ou moins dispers es autour de lesp rance math matique

2 et se lit variance de X . Math matiquement

E(X). Elle est not e Var(X) ou 55K

Var(X) est calcul e comme suit :

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[]()()[][][]2222211()()nniiiiiiVarXEXEXEXEXVarXxPXxxPXx== == = = = Variables al atoire discr tes

Variance : Propri t s

Soient a et b deux constantes r elles et X et Y deux variables al atoires (discr tes

ou continues) :

1.

2.

3.

4.

ssi X et Y sont ind pendants.

K. Jabeur - Probabilit s et Inf rence Statistique - Octobre 2020

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()0Vara=2()()VaraXbaVarX = 2()()VaraXaVarX= ()()()VarXYVarXVarY+=+Variables al atoire discr tes

cart-type dune variable al atoire

L cart type (ou la d viation standard) dune variable al atoire X (discr te ou

continue) est d fini comme la racine carr e positive de la variance. Elle est not e

5(X) ou 55K et se lit sigma de X . Math matiquement 55K est calcul comme suit :

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[]XVarXs=Variables al atoire discr tes

Exemple : Dans un jeu, une urne contient trois boules vertes, deux boules rouges

et quatre boules noires. Un joueur tire simultan ment deux boules de lurne. Le

tirage dune boule verte fait gagner quatre dinars celui dune boule rouge fait

gagner deux dinars et celui dune boule noire fait perdre six dinars (On admet

quil y a quiprobabilit des tirages). Ainsi, lorsquun joueur, par exemple, tire

une boule verte et une boule noire il va perdre 2 dinars (4 6 = 2) (un gain

n gatif est consid r comme une perte). Soit X la variable al atoire qui, chaque

tirage de deux boules, repr sente le gain alg brique obtenu en jouant ce jeu.

Nous avons vu pr c demment comment d terminer la loi de probabilit de la

variable al atoire X, soit :

Diff rentes valeurs de X

5 5

Probabilit associer

chaque 5 5

5C 5K = 5e5V = fX(xi)

6

36

5

8

36

-2

12

36

5

1

36

6

6

36

5

3

36

1. D terminer le gain esp r , cest- -dire E(X), en jouant ce jeu.

2. Calculer la variance et l cart-type de la variable al atoire X.

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Variables al atoire discr tes

R ponse :

(Donc cest une perte)

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[][]11.6812163(12)(4)(2)(4)(6)(8)3636363636361.78niiiEXxPXx== = = + + + + + []()[]()222212.()1.78niiiVarXEXEXxPXx= == = []2212222222Calculons ()6812163(12)(4)(2)(4)(6)(8)36363636363640.67()40.67(1.78)37.51niiiEXxPXxVarX== = = + + + + + = []37.516.12XVarXs===Lois de probabilit discr tes usuelles

Lois de probabilit discr tes usuelles

Dans le cadre de ce cours, nous allons revoir trois lois de probabilit

discr tes usuelles :

1. Loi de Bernoulli

2. Loi Binomiale

3. Loi de Poisson

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Lois de probabilit discr tes usuelles

Loi de Bernoulli

Une preuve de Bernoulli est une exp rience al atoire comportant deux issues,

deux v nements l mentaires appel s souvent succ s et chec dont

les

probabilit s respectives sont p et q avec p + q = 1. On dit que la variable al atoire

X suit une loi de Bernoulli de param tre p, quon note X ~ ,(p), si X prend la

valeur 1 (succ s) avec une probabilit p et la valeur 0 ( chec) avec la probabilit q

= 1 p.

Diff rentes valeurs de X

0 ( chec)

1 (succ s)

Probabilit associer chaque 5 5

5C 5K = 5e5V = fX(xi)

1 - p

p

De plus, si X suit une loi de Bernoulli de param tre p alors :

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Jacques Bernoulli

(1654-1705)

[](1)VarXpppq==[]EXp=Lois de probabilit discr tes usuelles

Exemple : Soit lexp rience al atoire qui consiste jeter un d non truqu une

seule fois. On d finit la variable al atoire X comme suit :

Ainsi, la loi de probabilit de X peut tre d crite dans le tableau suivant :

Diff rentes valeurs de X

0 ( chec)

1 (succ s)

Probabilit associer chaque 5 5

5C 5K = 5e5V = fX(xi)

5

6

1

6

On dit alors que X suit une loi de Bernoulli de param tre

1

6

et on crit X ~ ,(

1

6

).

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1 si le chiffre obtenu est gal 50 sinonX = Lois de probabilit discr tes usuelles

Loi Binomiale

Un processus de Bernoulli est une exp rience al atoire constitu e dune suite de n

preuves de Bernoulli ind pendantes o chaque preuve ne peut conduire quaux

deux m mes r sultats possibles ( chec, succ s) et que chacun de ces r sultats a la

m me probabilit de r alisation dune preuve lautre.

Si une variable al atoire X repr sente le nombre de succ s obtenus lors dun

processus de Bernoulli, alors X suit une loi Binomiale de param tre n et p, quon

note X ~ ,(n, p) o n est le nombre de r p titions de l preuve de Bernoulli et p

est la probabilit de succ s nimporte quelle preuve de Bernoulli.

Si X ~ ,(n, p) alors la probabilit que X gale k (k = 0, 2, 3, &, n) succ s est

d termin e par la formule suivante :

Lorsque X ~ ,(n, p) alors :

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[](1)VarXnppnpq= = []EXnp= [](1-)kknkkknknnPXkCppCpq== = Lois de probabilit discr tes usuelles

Exemple : Soit lexp rience al atoire qui consiste lancer un d non truqu 5 fois.

Quelle est la probabilit dobtenir 3 fois le chiffre 1.

R ponse : Si on consid re l preuve de Bernoulli suivante : Lancer un d une seule

fois et o un succ s consiste obtenir le chiffre 1. R p ter cette preuve 5 fois et

mesurer le nombre de succ s (ou dapparitions du chiffre 1) obtenus d crit une

variable al atoire X qui suit une loi Binomiale , (n=5, p=P(1)=

probabilit dobtenir 3 fois le chiffre 1 (ou 3 succ s) se pr sente comme suit :

). Ainsi, la

1

6

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[]353323355151530.03226666PXCC == = = Lois de probabilit discr tes usuelles

Loi de Poisson

Si une variable al atoire X repr sente le nombre de succ s dans un intervalle de

temps consid r , alors X suit une loi de Poisson de param tre , quon note X

~5 ( ). Le param tre d signe le nombre moyen de succ s dans lintervalle de

temps consid r .

Lorsque X ~ 5 ( ), la probabilit que X est gale k succ s (k = 0, 1, 2, &)

pendant lintervalle de temps consid r est d termin e comme suit :

O = x t, repr sente lintensit du processus, cest- -dire le nombre

moyen de succ s pendant une unit de temps ; t d signe le nombre dunit s de

temps contenues dans lintervalle de temps consid r .

Lorsque X ~ 5 ( ) alors :

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Sim on Denis Poisson

(1881-1940)

[]()EXVarXl==[],!kePXkkkll== Lois de probabilit discr tes usuelles

Exemple : Le responsable du comit de s curit de lentreprise CelCom a effectu

une compilation du nombre daccidents de travail qui se sont produits depuis deux

ans dans lusine. Ceci a permis d tablir que le nombre moyen daccidents de travail

a t de 1.6 accidents par jour.

1. Quelle est la probabilit dobserver moins de 2 accidents par jour ?

2. Quelle est la probabilit dobserver plus de 2 accidents en deux jours ?

3. Quelle est la probabilit dobserver moins dun accident en 12 heures ?

R ponse :

1.

Soit X la v.a. mesurant le nombre daccidents de travail par jour. La v.a. X ~ 5 ( = 1.6). Ainsi,

on veut calculer la probabilit suivante :

2.

Soit Y la v.a. mesurant le nombre daccidents de travail en deux jours. La v.a. Y ~ 5 ( = 3.2).

Ainsi, on veut calculer la probabilit suivante :

3.

Soit W la v.a. mesurant le nombre daccidents de travail en 12 heures. La v.a. W ~ 5 ( = 0.8).

Ainsi, on veut calculer la probabilit suivante :

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1.601.611.61.6(2)(1)(0)(1)0.520!1!eePXPXPXPX<= ==+==+=0.800.8(1)(0)0.450!ePWPW<====()3.203.213.223.23.23.2(2)1(2)1(0)(1)(2)10.6190!1!2!eeePYPYPYPYPY >= ==+=+==++= Variables al atoire continues

Fonction de densit dune variable al atoire continue

Rappelons quune variable al atoire X est dite continue si elle peut prendre

comme valeurs tous les nombres r els dun certain intervalle I de .

D finition 1 : Soit f une fonction de dans . On dit que f est une fonction de

densit de probabilit si et seulement si :

1. 5S 5e e 0, 5e

2.

f est continue sur sauf peut- tre en un nombre fini de points.

+

3.

5S 5e 5Q5e = 1

D finition 2 : On dit quune variable al atoire X est densit sil existe une

densit de probabilit fX telle que, pour tout intervalle non vide I de , la

probabilit que X appartienne I soit gale lint grale de fX sur I :

On dit alors que X admet fX pour densit ou que fX est une densit de X.

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[]()XIPXIfxdx = Variables al atoire continues

Fonction de r partition dune variable al atoire continue

D finition : Soit X une variable al atoire ayant fX comme fonction densit de

probabilit . On appelle fonction de r partition de X, quon note FX , la fonction

de dans [0, 1], d finie pour tout x par :

Remarque : Si X une variable al atoire continue (ou densit ), la probabilit

que X prenne une valeur particuli re a est toujours nulle, soit :

En effet, dans chaque intervalle I il y a une infinit de valeurs, et au regard

de toutes ces valeurs pr cises, le poids dune valeur particuli re est tellement

insignifiant quil en est nul. Par exemple, Si X d signe la taille dun individu (en

m tres) alors P(X = 1,8952357)=0. Ainsi, il nest pas possible de d finir la loi de

X par les probabilit s des v nements l mentaires. Par contre, il est possible de

d duire les probabilit s que X prenne ses valeurs dans un intervalle I et ce

en utilisant la fonction de r partition de X.

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[]()()xXFxPXxftdt = = []()0XPXafa===Variables al atoire continues

Variable al atoire continue : Propri t s

lissue de la remarque pr c dente, si X est une variable al atoire qui admet fX

comme densit de probabilit , alors :

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[][][][][][][][]1.,2.,3.,,aPXaPXaaPXaPXaabPaXbPaXbPaXbPaXb"Σ=<"γ=>"Σ =< = <=<

Fonction de r partition dune variable al atoire continue : Propri t s

Une fonction de r partition FX dune v.a. continue X poss de les trois

principales propri t s suivantes :

1.

2.

3.

(FX est non d croissante)

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0()1XFx [][][]()()()XXPaXbPaXbPaXbPaXbFbFa =< = <=<<=()()SiabalorsFaFb Variables al atoire continues

Calcul des probabilit s pour une variable al atoire continue

Soient X une variable al atoire qui admet fX comme densit de probabilit et

FX comme fonction de r partition. Soient a et b deux r els avec a < b. Alors :

Graphiquement, P 5N d 5K d 5O (avec a et/ou b peuvent tre ) est laire

situ e entre la courbe de la densit fX et laxe des abscisses lorsque les valeurs

de la variable al atoire X varient entre a et b.

fX

P 5N d 5K d 5O

a

b

X

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[][][]1.()()2.1()()3.()()()aXXXXabXXXaPXaFafxdxPXaFafxdxPaXbFbFafxdx + == == == Variables al atoire continues

D terminer une fonction de densit partir dune fonction de r partition

Si X une variable al atoire densit et FX sa fonction de r partition, alors toute

fonction fX valeurs positives qui v rifie :

(Sauf ventuellement en un nombre fini de points)

est une fonction de densit de X.

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'()()()XXXdFxfxFxdx==Variables al atoire continues

Esp rance dune variable al atoire continue

Si X une variable al atoire densit fX alors lesp rance math matique de X,

quon note E ou X, est d termin e comme suit :

Variance et cart-type dune variable al atoire continue

Si X une variable al atoire densit fX alors la variance, quon note Var(X) ou

2, est d termin e comme suit :

55K

L cart type dune variable al atoire X, quon note 5(X) ou 55K, est calcul

comme suit :

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[]()XEXxfxdx+ = []()()[]22222()()()()XXVarXEXEXEXEXVarXxfxxfx+ + == = []XVarXs=Lois de probabilit discr tes usuelles

Exemple : La vie utile dune certaine composante dune pi ce lectronique, quon la note

par la variable al atoire X, est d crite par la fonction suivante:

1. Montrer que fX est une fonction de densit pour la variable al atoire X.

2. D terminer la fonction de r partition FX .

3. Calculer les deux probabilit s suivantes : P 0.5 d 5K d 1.5 et P 5K e 1.5 .

4. Calculer E et Var .

R ponse :

1. Pour que fX soit une fonction de densit de probabilit pour X, il faut quelle

v rifie les trois conditions suivantes :

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si 01()2 si 120 ailleursXxxfxxx = .est continue sur (sauf peut tre en certains points) est continue sur tout .()0,0 puisque le graphique de se trouve soit confondu soit au-dessus de l'axe des abscisses XXXXXiffiifxxIRffi޳" ޳12122201011113.()1()(2)2212222XXiifxdxfxdxxdxxdxxxx+ + = =+=+=+= Lois de probabilit discr tes usuelles

R ponse (suite &) :

2. La fonction de r partition de X se pr sente comme suit :

3. Calculons les deux probabilit s suivantes :

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[]0101102201()()0(2)11222xxxFxftdtdttdttdtctettt ==++ =++ 0001()21202XsixxsixSifxxsixsix  = 22001012()12112212XsixxsixFxxxsixsix  = + 1331713()()2222884XXPXFF === 3337111()122288XPXPXF =<=== Lois de probabilit discr tes usuelles

R ponse (suite &) :

4. Calculons E et Var .

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[]12011212223230101()(2)11(2)3312133EXxfxdxxxdxxxdxxdxxxdxxxx+ = = + = =+=+ =+= []()[]()22221()1niiiVarXEXEXxPXx= == = 1222220112123234340101()(2)121(2)43411174126EXxfxdxxxdxxxdxxdxxxdxxxx+ = = + = =+=+ =+= []()()22271Donc ()166VarXEXEX === Lois de probabilit continues usuelles

Lois de probabilit continues usuelles

Dans le cadre de ce cours, nous allons tudier trois lois de probabilit continues

usuelles :

1. Loi Normale N

2. Loi de Student t

3. Loi du Khi-deux 2

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Lois de probabilit continues usuelles

Loi Normale : Un peu dhistoire &

(1777-1855)

con oit une loi

Le c l bre math maticien allemand, Carl Friedrich

statistique

Gauss

continue, appel e loi normale ou loi de Laplace-

Gauss, dont la r partition est repr sent e par la

fameuse courbe en cloche. Ladjectif normale

sexplique par le fait que cette loi d crit et mod lise

des situations statistiques al atoires concr tes et

naturelles. Prenons par exemple une population de

1000 personnes dont la taille moyenne est de 170

cm. En tra ant lhistogramme des tailles, on obtient

une courbe en cloche dont

la population se

concentre essentiellement autour de la moyenne.

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Lois de probabilit continues usuelles

Loi Normale : D finition de la fonction de densit

Une variable al atoire X pouvant prendre toutes les valeurs r elles ( ) et

ayant la fonction de densit suivante (o X IR et 55K IR*,+) :

sappelle une variable al atoire normale de param tres X et 55K

5A( X, 55K

2).

2 et on crit X ~

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21212XXx XXf(x) e =Lois de probabilit continues usuelles

Loi Normale : Propri t s

2,

Si X est une variable al atoire qui suit une loi normale de param tres X et 55K

cest- -dire X ~ 5A( X, 55K

2), alors :

o (P1) :

o (P2) :

o (P3) : fX est sym trique autour de laxe d quation X = X et par cons quent

fX( X + a) = fX( X a) avec a IR.

o (P4) : fX poss de un maximum unique lorsque X = X qui est gal

1

55K 25

.

o (P5) : fX poss de deux points dinflexion en X = X + X et X = X - X.

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[][]2 et XXEXVarXms==,()0et()1XXxfxfxdx+ "γ= Lois de probabilit continues usuelles

Explication graphique des diff rentes propri t

(P2) :

(P3) : fX est sym trique autour de laxe d quation X = X et par cons quent fX( X + a) = fX( X a)

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,()0et()1XXxfxfxdx+ "γ= Lois de probabilit continues usuelles

Explication graphique des diff rentes propri t (suite &)

(P4) : fX poss de un maximum unique lorsque X = X qui est gal

1

55K 25

(P5) : fX poss de deux points dinflexion en X = X + X et X = X - X

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Lois de probabilit continues usuelles

E = X indique la position de la courbe de la fonction de densit fX sur laxe des

diff rentes valeurs possibles de X, soit :

X

Plus l cart-type 55K = 5I5N5_(5K) est grand, plus la courbe de la fonction de densit fX

est aplatie, soit :

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Lois de probabilit continues usuelles

Loi Normale : Propri t de reproduction

Soient X1, X2, &, Xn, n variables al atoires ind pendantes et identiquement

2) et c1, c2, &, cn, n constantes r elles non

distribu es (i.i.d) o chaque Xi ~ 5A( i, 55V

toutes nulles, alors :

Exemple dapplication : Soient X1 ~ 5A(20, 4) et X2 ~ 5A(30, 6) et on veut pr ciser la forme

de la distribution des deux variables al atoires suivantes :

1.

2.

R ponse :

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222111La variable al atoire , innniiYiiYiiiiYcXNccmmss=== = = = 1252YXX=++2132XXW=12121212()(52)5()2()85(85,28)()(52)()4()28EYEXXEXEXYNVarYVarXXVarXVarX=++=++= =++=+= ()121221212()(23)2()3()50(50,70)()(23)4()3()70EWEXXEXEXWNVarWVarXXVarXVarX=== ==+= Lois de probabilit continues usuelles

Loi Normale : Cons quences de la propri t de reproduction

Cons quence 1 : On peut transformer une variable al atoire X ~ 5A( X, 55K

2) en une

variable al atoire tr s particuli re Z ~ 5A(0, 1). La loi 5A(0, 1) sappelle loi normale

centr e r duite. La relation entre X et Z se pr sente comme suit :

Cons quence 2 : partir dune variable al atoire Z ~ 5A(0, 1), on peut construire

une variable al atoire X~ 5A( X, 55K

2), soit :

Preuve de la cons quence 1 :

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2(,)(0,1)XXXXXXNZNmmss =2(0,1)(,)XXXXZNXZNsmms =+2Selon la propri t de reproduction, on sait que Z suit une loi normaleRappelons que () et () 1()()0()XXXXXXXXXXXXXXXXEXVarXXXEZEEEEXXXVarZVarVarmsmmmmmsssssssms== === == == 2(()0,()1)1()01XXXXZNEZVarZVarVarXmsss == += += Lois de probabilit continues usuelles

Loi Normale : Calcul des probabilit s

Malheureusement,

il nexiste pas de primitive lint grale de la

fonction de densit de la loi normale. Ce qui implique que nous navons

pas dexpression analytique pour la fonction de r partition dune

variable al atoire qui suit la loi normale. Il est cependant possible

dint grer num riquement et cest pourquoi nous utilisons des tables

afin de d terminer les probabilit s associ es aux v nements qui nous

int ressent. Ces tables sont toutes quivalentes et elles sont propos es

uniquement pour la loi normale centr e r duite N(0, 1).

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Lois de probabilit continues usuelles

Loi Normale : Calcul pratique des probabilit s

Il existe trois types de probabilit qui peuvent tre calcul es pour une variable

2) (a et b sont deux constantes r elles) :

al atoire X qui suit une loi normale 5A( X, 55K

On pose

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XXXZms=()2(),()1.()2.()3.()XXXNEXVarXPXaPXaPaXbms ==  ()2(),()1.()2.()3.()XXXXXXXXXXXXXXXXXNEXVarXXaPXaPaXbPmsmmssmmssmmmsss == ()()0,()11.()2.()3.()XXXXXXXXZNEZVarZaPZaPZabPZmsmsmmss == ()2(),()1.()2.()3.()XXXXXXXXXXNEXVarXPXaPXaPaXbmsmmmmmmm == Lois de probabilit continues usuelles

Lecture des probabilit s dans la Table

de la loi Normale Centr e R duite

Cette table fournie des probabilit s de la forme

P(Z > a) avec Z ~ N(0, 1) et a +.

Dans cette table le nombre a est une somme de

deux composantes C1 et C2 :

1. C1 comporte la partie enti re et le dixi me

de la partie d cimale de a. Les valeurs de

cette premi re composante figurent dans la

premi re colonne de la table ;

2. C2 comporte le centi me de la partie

d cimale de a. Les valeurs de cette

deuxi me composante figurent dans la

premi re ligne de la table.

Par exemple, si a = 1.27 alors C1 = 1.20 et C2=

0.07. Maintenant pour calculer, par exemple,

P(Z e 1.27), il suffit didentifier la valeur qui se

trouve lintersection de la ligne de C1 et de la

colonne de C2, soit :

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(1.27)(1.200.07)0.10204PZPZ = +=Lois de probabilit continues usuelles

Lecture des probabilit s dans une

Table Normale Centr e R duite

Calculer P(Z d 0.4) ?

Tout dabord il faut transformer P(Z d 0.4) en

une probabilit de la forme P(Z > a) avec a e 0.

Pour ce faire, il suffit de constater que :

P(Z d 0.4) = 1 - P(Z e 0.4) = 1 0.34458 = 0.65542

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Lois de probabilit continues usuelles

Calculer P(1.11 d Z d 1.48) ?

P(1.11 d Z d 1.48) = P(Z e 1.11) P(Z e 1.48)

P(1.11 d Z d 1.48) = 0.13350 0.06944 =0.06406

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Lois de probabilit continues usuelles

Calculer P(Z d -1.72) ?

Gr ce la sym trie de la loi normale centr e r duite

autours de laxe des ordonn es (E(Z) = 0) on a : P(Z d -

1.72) = P(Z e 1.72) = 0.04272 (d termin e directement

partir de la table)

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Lois de probabilit continues usuelles

Calculer P(Z e -2) ?

P(Z e -2) = 1 - P(Z d -2) or gr ce la

sym trie de la loi normale centr e

r duite on a vu que P(Z d -2) = P(Z e 2).

Donc, P(Z e -2) = 1 - P(Z e 2) = 1

0.02275 = 0.97725

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Lois de probabilit continues usuelles

Loi Normale : R gles de calcul des probabilit s

Bien que la table de la loi normale centr e r duite fournit uniquement des

probabilit s de la forme P(Z e a) avec a e 0, il est possible de calculer

nimporte quelle autre forme de probabilit en utilisant certaines r gles :

o (R1) :

o (R2) :

o (R3) :

o (R4) :

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()1() = " PZaPZaa()() = " PZaPZaa()()(), = " PaZbPZaPZbab()1() = " PZaPZaaLois de probabilit discr tes usuelles

Loi Normale : D termination du signe de a (inconnu) pour des probabilit s

connues de type P(Z e a) ou P(Z d a)

Soit Z une variable al atoire qui suit une loi normale centr e r duite, cest- -dire Z

~ N(0, 1). Ces propri t s servent conna tre le signe de a (quon suppose inconnu)

en se basant sur les valeurs des probabilit s de type P(Z e a) ou P(Z d a) (quon

suppose connue), soit :

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()0.50(1):()0.50()0.50SiPZaaPSiPZaaSiPZaa = = > < < > ()0.50(2):()0.50()0.50SiPZaaPSiPZaaSiPZaa = = > > < < Lois de probabilit discr tes usuelles

Explication graphique de

la propri t (P1)

P(Z e a) = 0.5

a = 0

P(Z e a) > 0.5

a < 0

P(Z e a) < 0.5

a > 0

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()0.50(1):()0.50()0.50SiPZaaPSiPZaaSiPZaa = = > < < > Lois de probabilit discr tes usuelles

Explication graphique de

la propri t (P2)

P(Z d a) = 0.5

a = 0

P(Z d a) > 0.5

a > 0

P(Z d a) < 0.5

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a < 0

()0.50(2):()0.50()0.50SiPZaaPSiPZaaSiPZaa = = > > < < Lois de probabilit discr tes usuelles

Exemple : Une machine fabrique des rondelles de m tal dont le diam tre est

distribu normalement avec une moyenne de 2,4 cm et un cart type de 0,05 cm.

1. Des rondelles produites par cette machine, trouvons la proportion de celles dont

le diam tre :

exc de 2,5 cm;

a.

b. nexc de pas 2,32 cm;

c.

est compris entre 2,35 cm et 2,46 cm.

2. Trouvons la valeur de x telle que 5 % des rondelles pr sentent un diam tre qui

lui est sup rieur.

R ponse :

(R2)

(R3)

(R4)

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()2.52.41..(2.5)20.022750.05aPXPZPZ = = = ()()2.322.41..(2.32)1.61.60.054800.05bPXPZPZPZ = = = = ()()()()2.352.42.462.41..(2.352.46)11.20.050.0511.21(1)1.210.158660.115070.72627cPXPZPZPZPZPZPZ = = = => ==Lois de probabilit discr tes usuelles

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Lois de probabilit discr tes usuelles

R ponse (suite &) :

Pour pouvoir utiliser la table de la loi normale centr e r duite il faut sassurer que ((x-

2.4)/0.05) e 0. Ici on va utiliser la propri t (P1) pour conna tre de signe de ((x-2.4)/0.05). En

effet, cette probabilit (= 0.05) est nettement inf rieure 0.5 et on a une probabilit de

type P(Z e a) ((x-2.4)/0.05) > 0 maintenant on peut utiliser la table.

Pour trouver le 1.64, on doit chercher la valeur de la probabili...