Résumé de cours : Variables aléatoires discrète.
Définition :
Soit un espace probabilisé (Ω, (cid:65) , (cid:80)).
Une variable aléatoire discrètesur (Ω, (cid:65) , (cid:80)) à valeurs dans un ensemble E est une application X : Ω −→ E
vérifiant :
1. L’ensemble X (Ω) est au plus dénombrable.
2. Pour tout x ∈ X (Ω), l’ensemble X
−1({x}) = {ω ∈ Ω : X (ω) = x} ∈ (cid:65) c-à-d X
−1({x}) est un événement de
Ω.
Dans le cas où E = (cid:82), X est dite variable aléatoire discrète réelle.
Remarques :
1) Dans la cas où (cid:65) = (cid:80) (Ω), c’est le cas où Ω est au plus dénombrable, la 2ème condition de la définition est
automatiquement vérifiée.
2) Soit (Ω, (cid:65) , (cid:80)) et X une variable aléatoire discrète avec X (Ω) = {xi, i ∈ I} et I ⊂ (cid:78).
En général I =
ou I = (cid:78).
(cid:185)1; n(cid:186), I = (cid:78)∗
Notation :
• ∀a ∈ (cid:82), (X = a) = {ω ∈ Ω/X (ω) = a} ;(cid:80)(X = a) = (cid:80)(X
• ∀a ∈ (cid:82), (X (cid:182) a) = {ω ∈ Ω/X (ω) (cid:182) a} ; (cid:80)(X (cid:182) a) = (cid:80)(X
• ∀a < b ∈ (cid:82), (a (cid:182) X (cid:182) b) = {ω ∈ Ω/a (cid:182) X (ω) (cid:182) b} ; (cid:80)(a (cid:182) X (cid:182) b) = (cid:80)(X
• (a (cid:182) X < b) = {ω ∈ Ω/a (cid:182) X (ω) < b} = (X ∈ [a, b[), òù a et b sont des réels donné ;
−1([a, b[]).
(cid:80)(a (cid:182) x < b) = (cid:80)(X
• Si A est un sous-ensemble non vide de (cid:82), on notera
−1(A)).
(X ∈ A) = {ω ∈ Ω/X (ω) ∈ A} ; (cid:80)(X ∈ A) = (cid:80)(X
−{a})
−1(] − ∞, a])
−1[a, b])
Définition :
On appelle loi de probabilité de X la donnée {(xi, (cid:80)(X = xi
est donc la donnée des couples des valeurs prises par X et des probabilités correspondantes.
)), i ∈ I}
Propriétés : Propriétés d’une loi de probabilité d’une variable aléatoire réelle dénombrable
∈ X (Ω), (cid:80)(X = xi
) (cid:190) 0.
• ∀xi
• {(X = xi
), i ∈ I} est un système complet d’événements. Donc
(cid:80)(X = xi
) = 1.
(cid:88)
i∈I
Définition :
Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes sur (Ω, (cid:65) , (cid:80)) prenant les mêmes valeurs c-à-d X (Ω) = Y (Ω). Si
(cid:80)
Y , on dit que X et Y suivent la même loi et l’on note X ∼ Y Si la variable Y suit une loi usuellement
notée (cid:76) , on écrit X ∼ Y
= (cid:80)
X
Lois discrètes classiques
On supposera donné espace probabilisé (Ω, (cid:65) , (cid:80)).
Variable certaine
Définition :
X est une variable certaine si l’ application X (Ω) est consistante, donc s’il existe a ∈ (cid:82) tel que ∀ω ∈ Ω, X (ω) = a ;
ce qui veut dire que X (Ω) = {a}, avec (cid:80)(X = a) = 1.
Variable uniforme
Définition :
X est une variable uniforme discrète s’ il existe n ∈ (cid:78)∗
∀k ∈
(cid:185)1; n(cid:186), on a : (cid:80)(X = xk
tel que : X (Ω) = {x1, x2, . . . , xn
.
) = 1
n
} et si,
Terminologie : Si X (Ω) =
X (cid:44)→ (cid:85)
n. La loi uniforme c’est choisir un élément au hasard de Ω de n éléments.
(cid:185)1; n(cid:186), on dira que X suit la loi uniforme discrète sur (cid:185)1; n(cid:186) : X (cid:44)→ (cid:85)
(cid:185)1;n(cid:186)
Résumé de cours
1/6
ou
AP2
La loi de Bernoulli
Définition :
X est une variable de Bernoulli si X (Ω) = {0, 1} et s’ il existe un nombre réel p ∈]0, 1[ tel que
(cid:80)(X = 1) = p, alors (cid:80)(X = 0) = 1 − p, car (X = 1) = (X = 0).
Cas général On appelle épreuve de Bernoulli une expérience aléatoire à 2 issues : succès, échec ; la probabilité
du succès étant p ∈]0, 1[.
La loi de Binomiale
Définition :
X est une variable binomiale s’ il existe un nombre réel p ∈]0, 1[ et un entier n ∈ (cid:78)∗
npk(1 − p)n−k.
(cid:185)0; n(cid:186), (cid:80)(X = k) = Ck
(cid:185)0; n(cid:186) et∀k ∈
X (Ω) =
tels que :
On effectue, de manìère indépendante les unes des autres, n épreuves de Bernoulli identiques et on note X la
v.a.d égale au nombre de succès. Alors X (cid:44)→ (cid:66)(n, p).
Remarque : des tirages avec remise peuvent être considérés comme la répétition, de manìère indépendante,
d’une même épreuve de Bernoulli.
La loi géométrique
Définition :
On dit que la variable aléatoire X suit une loi géométrique de probabilité p, si X est égale au nombre de tirages
à effectuer pour avoir un succès dans une série d’épreuves de Bernoulli de probabilité p. La variable aléatoire
X peut donc prendre toutes les valeurs entières non nulles :
X (Ω) = (cid:78)∗
, ∀k ∈ (cid:78)∗
, (cid:80)(X = k) = pqk−1.
La loi de Poisson
Définition :
La variable aléatoire X suit une loi de Poisson (cid:80) (λ) de paramètre λ (cid:54)= 0 si :
X (Ω) = (cid:78), ∀k ∈ (cid:78), (cid:80)(X = k) = e
−λ λk
k!
.
Définition :
Advertisement
Soit X une variable aléatoire réelle discrète définie sur (Ω, (cid:65) , (cid:80)) à valeurs dans un ensemble E.
Si f est une application définie au moins sur X (Ω) ⊂ E à valeurs dans un ensemble E
aléatoire Y = f ◦ X Y : Ω −→ E
c-à-d Y = f ◦ X .
(cid:48)
(cid:48)
, on note f (X ) la variable
ω (cid:55)−→ f (ω)
Théorème :
Si Y = f (X ) alors la loi de Y est entièrement déterminée par celle de X :
∀B ∈ Y (Ω),(cid:80)
(B) = (cid:80)
( f
X
Y
−1(B).
Remarque :
En pratique, connaître la loi de X suffira pour déterminer les lois des variables aléatoires composées déduites
de X .
Définition :
Plus généralement, si X 1, X 2, ⊂, X m sont des variables aléatoires discrètes sur (Ω, (cid:65) , (cid:80)), on peut donner un
sens à la variable aléatoire discrète Y = f (X 1,X 2, . . . ,X m
) pour que f soit définie sur les valeurs prises par
ω (cid:55)−→ (X 1
(ω), . . . ,X m
(ω),X 2
(ω)).
Résumé de cours
2/6
AP2
Remarque :
Pour connaître la loi de Y = f (X 1,X 2, . . . ,X m
leurs comportements conjoints
), connaître les lois des X k ne suffit pas, il faut aussi connaître
Définition :
Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes définies sur le même espace probabilisé (Ω, (cid:65) , (cid:80)) et à valeurs
dans des ensembles E et F respectivement. On appelle couple défini par les variables aléatoires X et Y la
variable aléatoire Z = (X ,Y ) : déterminée par
∀ω ∈ Ω,Z(w) = (X (ω),Y (ω))
Définition :
On appelle loi conjointe de deux variables aléatoires X et Y la loi du couple Z = (X ,Y ).
Remarque :
Celle-ci est entièrement déterminée à partir de la connaissance de (cid:80)(X = xi,Y = y j
Y (Ω)
On pourra exploiter un tableau pour visualiser cette loi conjointe.
) avec xi2X (Ω)) et y j
∈
Définition :
Les lois des deux variables aléatoires X et Y sont appelées les lois marginales de la variable Z = (X , Y ).
Proposition:
La loi de Z = (X , Y ) détermine entièrement ses lois marginales.
Définition :
Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes sur un espace probabilisé
On appelle loi conditionnelle de Y sachant X = x la loi de la variable aléatoire Y pour la probabilité condi-
tionnelle (cid:80)(. | X = x). Autrement dit, pour toute partie B ⊂ Y (Ω)
(cid:168) (cid:80)(Y ∈ B, X = x
(cid:80)(Y ∈ B | X = x) =
(cid:80)(X = x)
0
si non
si (cid:80)(X = x) (cid:54)= 0
+∞
(cid:88)
+∞
(cid:88)
Couple de variables aléatoires Étant donnée un couple de variables aléatoires discrètes (X , Y ) à valeurs dans
(cid:78) ((X , Y )(Ω) ⊂ (cid:78)),
∀(i, j) ∈ (cid:78)2 on note pi, j
= (cid:80) (X = i, Y = j) , avec pi, j
(cid:190) 0 et
pi, j
= 1.
Evénément
(X = i)
(Y = j)
(X = Y )
(X + Y = k)
(X − Y = k), avec
X (cid:190) Y
(X = i) ∩ (Y = j)
Décomposition en réunion disjointe
+∞
(cid:83)
j=0
+∞
(cid:83)
i=0
+∞
(cid:83)
i=0
(X = i) ∩ (Y = j)
(X = i) ∩ (Y = i)
k
(cid:83)
i=0
+∞
(cid:83)
j=0
(X = i) ∩ (Y = k − i)
(X = j + k) ∩ (Y = j)
(max(X , Y ) = k)
((X = k) ∩ (Y (cid:182) k)) ∪ ((X (cid:182) k − 1) ∩ (Y = k))
(min(X , Y ) = k)
((X = k) ∩ (Y (cid:190) k)) ∪ ((X (cid:190) k + 1) ∩ (Y = k))
(X Y = k)
(X = i) ∩ (Y = j)
(cid:83)
i j=k
Résumé de cours
3/6
i=1
Advertisement
j=1
Probabilité
(cid:80)(X = i) =
(cid:80)(Y = j) =
+∞
(cid:88)
j=0
+∞
(cid:88)
(cid:80)((X = i) ∩ (Y = j)) =
(cid:80)((X = i) ∩ (Y = j)) =
(cid:80)(X = Y ) =
i=0
+∞
(cid:88)
i=0
(cid:80)((X = i) ∩ (Y = i)) =
+∞
(cid:80)
j=0
+∞
(cid:80)
i=0
+∞
(cid:80)
i=0
pi, j
pi, j
pi,i
(cid:80)(X + Y = k) =
k
(cid:88)
(cid:80)((X = i) ∩ (Y = k − i)) =
k
(cid:80)
i=0
pi,k−i
(cid:80)((X = k + j) ∩ (Y = j)) = (cid:80)+∞
j=0 pk+ j, j
(cid:80)(X − Y = k) =
i=0
+∞
(cid:83)
j=0
(cid:80)(max(X , Y ) = k) =
(cid:80)(min(X , Y ) = k) =
(cid:80)(X Y = k) = (cid:88)
i j=k
+
pi,k
pk, j
k
(cid:80)
j=0
+∞
(cid:80)
j=k
k−1
(cid:80)
i=0
+∞
(cid:80)
i=k+1
(cid:80)((X = i) ∩ (Y = j)) = (cid:80)
i j=k
pk, j
pi,k
+
pi, j
AP2
Définition :
Soit X une variable aléatoire réelle discrète infinie sur (Ω, (cid:65) , (cid:80)).
On pose : X (Ω) = {xk, k ∈ I et I ⊂ (cid:78)}
X possède une espérance si la série de terme général xk
(cid:80)(X = xk
L’espérance de X est le réel
xn
(cid:80)(X = xn
)), on la note E(X )
+∞
(cid:88)
n=n0
On écrit encore E(X ) = (cid:88)
x∈X (Ω)
x(cid:80)(X = x).
) est absolument convergente.
Définition :
Soit X une variable aléatoire réelle discrète infinie sur (Ω, (cid:65) , (cid:80)).
On pose : X (Ω) = {xk, k ∈ I et I ⊂ (cid:78)} Soit r un élément de (cid:78)
X possède un moment d’ordre r si la série de terme général (xk
+∞
(cid:88)
En cas d’existence, le moment d’ordre r de X est alors le réel
)r (cid:80)(X = xk
) est absolument convergente.
(xk
)r (cid:80)(X = xk
)), on la note mr
(X )
n=n0
Théorème :
Soit X une variable aléatoire réelle discrète infinie sur (Ω, (cid:65) , (cid:80)) tels que X (Ω) ⊂ (cid:78)
Si X possédant un moment d’ordre r.
Pour tout élément r
de {0, 1, . . . r}, X possède un moment d’ordre r
.
(cid:48)
(cid:48)
Théorème : Formule de transfert
Soit X une variable aléatoire réelle discrète infinie sur (Ω, (cid:65) , (cid:80)) et ϕ une application de Ω vers (cid:82)
(cid:69)(ϕ(X )) = (cid:88)
Advertisement
x∈X (Ω)
ϕ(x)(cid:80)(X = x).
Définition :
Si X (Ω) ⊂ (cid:78), on appelle :
• l’espérance de X s’il existe par :
• Le moment d’ordre r le réel s’il existe
• on appelle variance de X s’il existe
(cid:69)(X ) =
(cid:69)(X r ) =
+∞
(cid:88)
n=0
+∞
(cid:88)
n=0
n (cid:80)(X = n).
nr (cid:80)(X = n).
• on appelle écart type de X le réel σ s’il existe définie par σ = (cid:198)
• si f est une application réelle de X (Ω) vers (cid:78), on pose
V (X ).
V (X ) = (cid:69)((X − (cid:69)(X ))2) = (cid:69)(X 2) − ((cid:69)(X ))2.
+∞
(cid:88)
(cid:69)( f (X )) =
f (n)(cid:80)(X = n).
n=0
Définition :
Si les variables X et Y admettent des moments d’ordre 2, on introduit leur covariance
Cov(X , Y ) = E((X − E(X )) E(Y − E(Y ))).
Proposition:
La covariance définit une application bilinéaire symétrique sur l’espace des variables admettant un moment
d’ordre 2
Résumé de cours
4/6
AP2
Théorème :
Si X et Y sont deux variables aléatoires réelles sur l’espace probabilisé (Ω, (cid:65) , (cid:80)) alors
Cov(X , Y ) = E(X Y ) − E(X ) E(Y ).
Corollaire :
Si les variables X et Y sont indépendantes Cov(X , Y ) = 0. La réciproque est fausse.
Proposition:
Si X et Y admettent un moment d’ordre 2 alors
V(X + Y ) = V(X ) + 2 Cov(X , Y ) + V(Y ).
Remarque :
1. Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a |Cov(X , Y )| (cid:182) V(X ) V(Y )|.
2. Si V(X ) > 0 et V(Y ) > 0 on peut introduire cor(X , Y ) = Cov(X , Y )
V(X ) V(Y )
appelé coefficient de corrélation de X et Y.
Si les variables X et Y sont indépendantes, ce coefficient est nul.
Si les variables X et Y ont des « comportements analogues », ce coefficient est proche de 1.
Si les variables X et Y ont des « comportements opposés », ce coefficient est proche de −1.
∈ [−1, 1]
Fonction génératrice
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans (cid:78). On appelle fonction génératrice de X la série entière suivante :
GX
(t) = (cid:69)(t X ) =
(cid:80)(X = n)t n.
+∞
(cid:88)
n=0
• Le rayon de convergence de la série entière précédente est supérieur ou égal à 1.
• Cette série entière converge normalement sur [−1, 1]. Elle est en fait continue sur l’intervalle fermé [−1, 1].
• GX définit donc une fonction de classe (cid:67) ∞ sur ] − 1, 1[.
Théorème :
Si X et Y sont deux variables aléatoires à valeurs dans (cid:78) telles que, pour tout t ∈] − 1, 1[,
GX
La fonction génératrice caractérise la loi d’une variable aléatoire
La fonction génératrice permet également de retrouver la loi de la somme de deux variables aléatoires indépen-
dantes :
Théorème :
Si X et Y sont deux variables aléatoires à valeurs dans (cid:78) indépendantes, alors, pour tout t ∈] − 1, 1[,
(t), alors X et Y ont la même loi.
(t) = GY
La fonction génératrice permet de retrouver les moments d’une variable aléatoire :
Théorème : Soit X une variable aléatoire à valeurs dans (cid:78). Alors
X admet une espérance si et seulement si GX est dérivable en 1. Dans ce cas,
GX +Y
(t) = GX
(t)GY
(t).
G
(cid:48)
X
(1) = (cid:69)(X ) ;
X admet une variance si et seulement si GX est deux fois dérivable en 1. Dans ce cas,
V (X ) = G
(1) − (cid:0)G
(1) + G
(1)(cid:1)2
.
(cid:48)(cid:48)
X
(cid:48)
X
(cid:48)
X
Estimation
Inégalité de Markov : Soit X une variable aléatoire discrète réelle admettant une espérance et soit t > 0. Alors
Conséquences
• Si X possède un moment d’ordre 2 : (cid:34) > 0,
(cid:80)(|X | (cid:190) t) (cid:182)
· • Si X possède un moment d’ordre r : (cid:34) > 0,
(cid:80)({|X | (cid:190) (cid:34)}) (cid:182)
(cid:80)({|X | (cid:190) (cid:34)}) (cid:182)
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
(cid:69)(|X |)
t
.
(cid:69)(X 2)
(cid:34)2
(cid:69)(X r )
Advertisement
(cid:34) r
Résumé de cours
5/6
AP2
Soit X une variable aléatoire discrète réelle telle que X 2 soit d’espérance finie. Alors, ∀(cid:34) > 0,
(cid:80)(|X − (cid:69)(X )| (cid:190) (cid:34)) (cid:182) V (X )
(cid:34)2
.
n(cid:190)1 une suite de variables aléatoires discrètes réelles deux à deux indépendantes, de même loi, et ad-
)
Loi faible des grands nombres :
Soit (X n
mettant un moment d’ordre 2. Alors, si m = (cid:69)(X 1
Sn
n
(cid:18)(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:80)
), on a
(cid:12)
(cid:12)
− m
(cid:12)
(cid:12)
(cid:190) (cid:34)
(cid:19)
−−−−→
n→+∞
0.
Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson :
Soit (X n
Si la suite (npn
) converge vers λ > 0, alors, pour tout k ∈ (cid:78),
) une suite de variables aléatoires telle que, pour tout n, X n suit une loi binomiale de paramètres (n, pn
).
Variables aléatoires réelles discrètes
Nous les résumons dans le tableau suivant.
(cid:80)(X n
= k) −−−−→
n→+∞
e−λλk
k!
.
Nom
Uniforme
Bernoulli
Binomiale
Géométrique
Poisson
Notation
(cid:85) (n)
(cid:66)(p)
(cid:66)(n, p)
(cid:71)(p)
(cid:80) (λ)
Condition
n ∈ (cid:78)∗
p ∈]0, 1[
p ∈]0, 1[
p ∈]0, 1[
λ ∈ (cid:82)∗
+
X (Ω)
[[1, n]]
{0, 1}
{0, . . . , n}
(cid:78)∗
(cid:78)
P(X = k)
1
n
(cid:80)(X = 1) = p
n p k (1 − p)n−k
Ck
p(1 − p)k−1
−λ λk
k!
e
E(X )
n+1
2
p
np
1
p
λ
V(X )
n2−1
12
p(1 − p)
np(1 − p)
1−p
p 2
λ
G(t )
t (1−t n )
n(1−t )
1 − p + p t
(1 − p + p t )n
p t
1−(1−p)t
λ(t −1)
e
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AP2