Transformée de Fourier discrète et structures musicales

croches ternaires. . .

On sera amen utiliser la repr sentation circulaire, o un objet musical appara t

alors comme une sous-gure du polygone r gulier c c t s, i.e. un polygone convexe

inscrit dans le cercle et dont les sommets sont des sommets du polygone r gulier (voir

gure 1.1).

Ces mod les ont leurs limites, et ne pr tendent pas pouvoir d crire exhaustivement

les gammes, accords et rythmes consid r s. Ainsi, il est impossible de tenir compte des

3

Les Fourier Properties de David Lewin

Figure 1.1 Repr sentations circulaires dobjets musicaux

renversements dun accord, de la dur e ou de lintensit des l ments constitutifs dun

rythme (contrairement aux time-spans de David Lewin, voir [19]). Enn, ces objets

sont uni-dimensionnels, on peut mod liser des hauteurs ou des dur es, mais pas les

deux en m me temps (il faudrait pour cela consid rer des produits cart siens de tels

sous-ensembles, une piste que nous navons pas suivie dans le cadre de ce stage). Ils

fournissent n anmoins un cadre permettant d tudier un large spectre dobjets musicaux

et dexpliciter des r sultats int ressants.

1.2 Les Fourier Properties de David Lewin

David Lewin, th oricien de la musique am ricain, a publi en 1959 le premier article

faisant usage de la transform e de Fourier discr te des ns danalyse musicale autres

que l tude du signal sonore ([17]). Lauteur sint resse aux intervalles existant entre les

notes de deux accords que lon mod lise par des sous-ensembles A et B de Z12. Pour

k Z12, il d nit la fonction intervallique comme

IF U N CA,B(k) = card {(x, y) A B | x = y + k}

Par exemple pour A = {0, 4, 7} (do majeur) et B = {2, 5, 9} (r mineur), on trouve

IF U N CA,B(0) = 0 car il ny a aucune note commune entre A et B, IF U N CA,B(1) = 1

car on a un unique intervalle de demi-ton entre les notes de A et de B (de mi (4)

fa (5)). . . La question soulev e par Lewin est alors la suivante : est-on capable, si lon

conna t lensemble A et les valeurs de IF U N CA,B, de retrouver lensemble B ?

Pour y r pondre, il remarque que la fonction IF U N C peut s crire comme un produit

de convolution : IF U N CA,B(k) = 1A 1B(k). En eet

1A 1B(k) =

(cid:88)

xZc

1A(x).1B(k x) =

1A(x).1B(x k) =

(cid:88)

xZc

(cid:88)

1

(x,y)A B

y=xk

4

D nition et propri t s l mentaires de la transform e de Fourier discr te

Figure 1.2 La balance de Fourier 4 (source : [23])

La propri t bien connue de la transform e de Fourier de changer un produit de

convolution en produit usuel invite naturellement lappliquer ici. En d nissant FP

comme la transform e de Fourier de la fonction indicatrice de lensemble P Zc, on

a F(IF U N CA,B) = FA.FB. Puisque les valeurs de la transform e de Fourier dune

fonction caract risent enti rement cette fonction, il sut maintenant de conna tre les

valeurs de FB pour r pondre la question. Le calcul de ces valeurs est trivial d s lors

que FA ne sannule jamais. Lewin expose donc les cinq formes particuli res daccords

pour lesquelles les coecients de Fourier sannulent (les F ourierP roperties 1, 2, 3, 4, 6,

le chire indiquant quel coecient sannule), et qui r pondent n gativement la question.

Cet article a trouv peu d chos sa parution, certainement du fait que le Journal of

Music Theory sadresse (ou du moins sadressait) plus un public de musicologues que

de math maticiens. David Lewin a repris en 2001 ces r sultats dans [18], paru dans le

m me journal, puis Ian Quinn, dans sa th se [23] a g n ralis ces propri t s dautres

valeurs de c (et donc la micro-tonalit ), et a propos limage plus intuitive des balances

de Fourier (voir gure 1.2) : une fois chaque note de A plac e sur le plateau qui lui

correspond, si la balance i est quilibr e, alors A poss de la Fourier Property i.

1.3 D nition et propri t s l mentaires de la transform e

de Fourier discr te

Apr s ce point historique, nous allons maintenant donner la d nition et les premi res

propri t s de la transform e de Fourier discr te.

La transform e de Fourier discr te (TFD) est lop ration d nie, pour f : Zc C,

par :

t Zc, F(f ) : t (cid:55)

f (k)e2i kt/c

(cid:88)

kZc

5

D nition et propri t s l mentaires de la transform e de Fourier discr te

Les c valeurs complexes de F(f ) sont les coecients de Fourier de f . On parle parfois

despace de Fourier pour d signer lespace darriv e de F(f ).

Elle r alise une bijection entre lespace des fonctions de Zc dans C et lespace de

Fourier, par lop ration de transform e de Fourier inverse :

t Zc, f (t) =

1

c

c

(cid:88)

k=1

F(f )(k)e2i kt/c

Ainsi la donn e des coecients de Fourier de f est quivalente la donn e des valeurs

de la fonction f elle-m me.

La transform e de Fourier discr te est une op ration lin aire. Elle transforme un

produit de convolution en produit usuel : F(f g) = F(f ).F(g) (la d monstration de ce

r sultat est bien connue, voir par exemple [2]).

Dans le cas qui nous int resse, celui de sous-ensembles du groupe cyclique Zc, on

d nit, la mani re de Lewin, la transform e de Fourier de A Zc comme la transform e

de Fourier de sa fonction indicatrice :

FA(t) = F(1A)(t) =

(cid:88)

kZc

1A(k)e2i kt/c =

e2i kt/c

(cid:88)

kA

On se place en fait dans un cas tr s particulier de la d nition : les fonctions consid -

r es ne sont plus valeurs dans C mais dans {0, 1}. Ceci implique de fortes contraintes

quant aux valeurs des coecients de Fourier, comme nous allons le voir.

Dapr s la d nition, on a directement FA(t) = FA(t), cest- -dire que les coe-

cients sont r els ou conjugu s deux deux. Le premier coecient de Fourier FA(0) est

gal au cardinal de A. Par simple in galit triangulaire, on a galement la relation, pour

tout t Zc, |FA(t)| d card(A).

Si A = Zc, on a FZc = c1{0} :

FA(t) =

(cid:88)

kZc

e2i kt/c =

(cid:26) c

si t = 0

0 sinon

(1.1)

Si A est un sous-groupe de Zc, cest- -dire si A est de la forme m{0, . . . , d 1} (que

lon repr sentera donc par un polygone r gulier inscrit dans le cercle) o d est un diviseur

de c et m = c/d, alors FmZd = d1dZm :

FA(t) =

(cid:88)

kmZd

e2i kt/c =

(cid:88)

kZd

e2i kt/d =

(cid:26) d si t = nd, n N

0 sinon

Cest dans ce cas seulement ( translation pr s) quon peut avoir |FA(t)| = card(A)

avec t (cid:54)= 0.

6

Th or me de lhexacorde

Enn si A poss de une p riodicit interne, i.e. sil existe 1 < d < c tel que A + d = A,

alors pour m = c/d, si t (cid:54) mZc, FA(t) = 0. En eet, dans ce cas on a pour tout t

donc si t nest pas un multiple de m, FA(t) est n cessairement nul.

FA(t) = e 2i t

m .FA(t)

La TFD est enn un outil de choix pour l tude des pavages (voir par exemple [14],

[13]). On dit quune partie A de Zc pave Zc sil existe une partie B de Zc telle que

Zc = A B, cest- -dire telle que tout entier k s crive de mani re unique sous la forme

a + b (modulo c), avec (a, b) A B. Cette condition est quivalente 1A 1B = 1Zc,

donc par transform e de Fourier FA.FB = FZc = c1{0}. Les ensembles A et B pavent

Zc si et seulement si

(cid:26) |A|.|B| = c

Z(FA) * Z(FB) = Zc\{0}

o Z(f ) = {x : f (x) = 0} est lensemble des z ros de la fonction f .

Par exemple on peut voir ci-dessous un canon rythmique sur Z16, o A = {0, 4, 5, 9},

et B = {0, 2, 8, 10}, repr sent gauche de la gure, et les valeurs de |FA| et |FB|

droite : on voit qu chaque t (cid:54)= 0, lun des deux modules sannule.

Figure 1.3 Coecients de Fourier dun canon rythmique

1.4 Th or me de lhexacorde

Un r sultat bien connu de la set-theory est le th or me de lhexacorde, d couvert par

Milton Babbitt en 1955 ([5]), puis d montr de di rentes fa ons par Chemillier, Lewin,

Wilcox, Mazzola. . . Ce r sultat fait intervenir le contenu intervallique dun accord, qui

est simplement la fonction intervallique dun accord avec lui-m me, ce que lon peut

crire formellement

ICA : k Zc (cid:55) card{(x, y) A A, y x = k}

7

Invariance du module

Le th or me nonce que tout hexacorde (ensemble de 6 notes) poss de le m me

contenu intervallique que son compl mentaire. Emmanuel Amiot a publi dans [1] une

preuve tr s concise de ce r sultat utilisant la transform e de Fourier, et que nous allons

reprendre ici.

ICA peut s crire comme le produit de convolution 1A 1A. Donc, par transform e

de Fourier, F(ICA) = FA.FA. Par d nition, on a imm diatement FA = FA, donc

F(ICA) = |FA|2

(1.2)

Soit A un hexacorde et B son compl mentaire, alors :

FA(t) + FB(t) = FZ12(t)

(lin arit de F)

= 0 si t (cid:54)= 0 (dapr s (1.1))

Donc pour t (cid:54)= 0, FA(t) = FB(t), et FA(0) = FB(0) = 6. Alors |FA| = |FB|, do

F(ICA) = F(ICB) et comme la transform e de Fourier caract rise compl tement une

(cid:3)

fonction, ICA = ICB.

Ce r sultat s tend videmment toute cardinalit paire n autre que 12, un hexa-

corde d signant alors un ensemble de n/2 notes. John Mandereau a tendu dans [20]

ce th or me au cas continu, en se pla ant sur un groupe topologique.

1.5

Invariance du module

Le module des coecients de Fourier poss de des propri t s dinvariance par certaines

relations math matiques aptes mod liser des op rations musicales pertinentes. On va

retrouver les op rations de la set-theory musicale am ricaine (voir [11]).

1.5.1 Actions de groupes

Dans notre mod le, la modulation dun accord ou dune gamme, qui est un translation

dans le domaine des hauteurs, est une translation de lensemble A. La transform e de

Fourier de lensemble translat A + p est

FA+p(t) = e2i t/cFA(t)

Lop ration dinversion (A (cid:55) A) laisse elle aussi le module inchang :

FA(t) = FA(t)

Le module des coecients de Fourier est invariant par laction du groupe di dral

D2c. Signalons au passage laction du groupe ane, utilis en musique notamment par

Estrada : pour d premier avec c,

FdA(t) = FA(dt)

(1.3)

8

Invariance du module

Contrairement aux op rations du groupe di dral, la multiplication ane permute les

coecients de Fourier, elle ne pr serve donc pas la fonction |F(t)|.

Cette pr servation des modules par laction du groupe di dral invite travailler sur

lensemble des parties de Zc quotient par D2c, en consid rant des classes d quivalence

de sous-ensembles du groupe cyclique. Les actions du groupe di dral correspondent aux

op rations T /I (transposition/inversion) de la set-theory, les espaces quotients d coulant

de celles-ci ont t largement tudi s par Quinn, Callender et Tymoczko dans [7]. Mais

la relation d quivalence A < B |FA| = |FB| donne des classes d quivalence plus

grandes, comme nous avons le voir maintenant.

1.5.2 Z-relation, homom trie

La Z-relation a t introduite par Allen Forte dans [11]. On la d nit comme suit :

A et B sont en Z-relation ICA = ICB

Dapr s l quation (1.2), cette relation quivaut |FA| = |FB|. On voit directement

que le cas de deux hexacordes compl mentaires est un cas particulier de cette relation,

et que lappartenance la m me orbite pour laction de D2c implique la Z-relation. Dans

ce dernier cas, o A et B sont li s par transposition/inversion, on parle de Z-relation

triviale. La d nition originelle de cette relation exclut ce cas trivial, ce qui peut sem-

bler l gitime, mais pose probl me math matiquement : la relation d nie alors, n tant

pas r exive, nest pas une relation d quivalence. Nous consid rons dans la suite la Z-

relation au sens large, cas triviaux compris, ce qui nous autorise crire A

La question de savoir, connaissant un ensemble, sil en existe qui soient en Z-relation

non triviale avec lui, est encore ouverte. Le th or me de lhexacorde permet, pour un

cardinal bien pr cis, et d s lors que les classes d quivalence sous laction de D2c de

lensemble et de son compl mentaire sont disjointes, dexpliciter de tels couples. Le plus

simple appara t sur Z8, voir gure 1.4.

Figure 1.4 Plus petite Z-relation non triviale

9

Extensions possibles du mod le

Par les propri t s dinvariance du module sous laction de D2c, les classes d quiva-

lence de la Z-relation contiennent les orbites de laction du groupe di dral, elles sont

strictement plus grandes sil existe une relation non triviale. Mandereau, dans [20], a

d montr que la Z-relation nest pas une action de groupe : il nexiste pas de groupe

H tel que P(Zc)/H = P(Zc)/

ment l quation de Burnside-Frobenius) ne peuvent malheureusement pas sappliquer

(du moins pas directement) ce probl me.

Le fait que les orbites de P(Zc) sous laction de D2c soient incluses dans les classes

d quivalence de la Z-relation permet de consid rer celle-ci non plus entre des l ments

de P(Zc) mais entre des orbites de ceux-ci par translation/inversion. En eet dapr s ce

quon a vu, si A

Dautre part, puisque pour t (cid:54)= 0, FAc(t) = FA(t) (dapr s 1.1), donc |FAc(t)| =

|FA(t)|, on a

De m me, dapr s (1.3), pour d premier avec c

A

A

La Z-relation est en fait un cas particulier de lhomom trie, notion originaire du

domaine de la cristallographie, o la question est de retrouver la structure dun cristal

partir de sa gure de diraction. Musicalement, le but est de reconstruire un accord

partir de son contenu intervallique, ou, de mani re quivalente, des modules de ses

coecients de Fourier. Notons que cette question est proche de celle pos e par Lewin

dans [17]. Cette probl matique de la reconstruction de la phase est toujours ouverte, et

fait lobjet de nombreux travaux de recherche actuels ([16], [21]), o la transform e de

Fourier appara t comme un outil indispensable.

1.6 Extensions possibles du mod le

Il est possible denvisager des mod les plus riches que le n tre et qui se pr tent encore

bien lanalyse par la TFD. Tout dabord, il est possible de passer ais ment des sous-

ensembles aux distributions sur Zc, cest- dire de consid rer non plus des fonctions f

de Zc valeurs dans {0, 1}, mais dans [0, 1], voire dans R. La fonction de d part tant

toujours valeurs r elles, les coecients restent conjugu s deux deux dans lespace de

Fourier. En eet :

f est valeurs r elles f (k) = f (k) pour k Zc

(cid:88)

(cid:88)

f (k)e2i kt/c =

f (k)e2i kt/c pour t Zc

kZc

(cid:88)

kZc

f (k)e2i kt/c =

kZc

(cid:88)

kZc

f (k)e2i kt/c

F(f )(t) = F(f )(t)

10

Extensions possibles du mod le

Dans ce cas, le premier coecient F(0) vaut (cid:80)

tion du cardinal dun ensemble aux distributions.

kZc

f (k), ce qui tend bien la d ni-

Ce mod le permet par exemple de tenir compte de nuances au sein dun rythme ou

dun accord. La pr sentation de ce travail faite le 18 juin au Palais de la D couverte dans

le cadre du festival Agora utilisait ce mod le : il sagissait dun dispositif o lutilisateur

module lintensit de 8 attaques de percussion, jou es en boucle, et peut ainsi cr er un

rythme puis le modier en jouant sur les nuances. l cran est repr sent lespace de

Fourier, o apparaissent les huit coecients de la distribution f valeurs dans [0, 1]

ainsi d nie. Il est ensuite possible de passer au rythme inverse, en prenant les conjugu s

des coecients (sym trie par rapport laxe r el), ou au compl mentaire (op ration

tendue par x (cid:55) 1 x), en prenant les oppos s des coecients F(t), t (cid:54)= 0 (sym trie par

rapport lorigine), et donnant F(0) la valeur 8 (cid:80)

f (k).

kZ8

Thomas Noll et Martin Carl ont propos lapproche du Fourier scratching (voir [4],

[22]), impliquant un troisi me mod le. Le principe est dagir directement dans lespace

de Fourier en d pla ant les coecients librement sur le plan complexe, an dobtenir

de nouveaux motifs musicaux par transform e de Fourier inverse. La gure 1.5 montre

linterface du dispositif, gauche est repr sent le motif musical, droite les coecients

de Fourier, tous deux sur une sph re de Riemann.

On a vu que pour quune fonction soit r elle, il faut que ses coecients soient conju-

gu s deux deux, ce qui impliquerait de d placer simultan ment deux points. Le choix

fait ici est, linverse, d tendre le domaine de la fonction mod lisant le motif musical

tout C. Les valeurs prises par f ne param trent donc plus de la m me fa on le motif

musical jou . Lintensit sonore est donn e par le module de f (bien videmment ajus-

t e par une fonction born e), et la couleur sonore (concr tement des param tres de

synth se FM) est donn e par la phase.

Ce dernier mod le, bi-dimensionnel, est bien plus sophistiqu que les pr c dents. Sil

permet un rendu sonore musicalement plus int ressant, moins aust re, sa complexit

rend plus d licate la mise en vidence de propri t s remarquables, et nous navons pas

cherch lexploiter sur le plan th orique. Ce dispositif a dailleurs t con u dans un

but de performance musicale et non danalyse.

Figure 1.5 Interface du Fourier scratching (source : [22])

11

Pistes concernant lhomom trie

1.7 Pistes concernant lhomom trie

d faut dapporter de r els l ments de r ponse au probl me de la reconstruction

de la phase, nous pr sentons ici deux pistes novatrices, qui, nous lesp rons, pourront

tre reprises avec prot lavenir.

1.7.1 Espace de d nition des phases

La premi re approche, propos e par Emmanuel Amiot, est topologique. On a constat

que la donn e des modules des coecients de Fourier caract risait des classes d quiva-

lence pour la relation Z, qui sont des r unions dorbites ( ventuellement une seule) pour

laction de D2c sur lensemble des parties de Zc, elles-m mes de cardinal variable se-

lon lexistence ou non de sym trie ou p riode internes. Cela signie quen changeant les

phases des coecients, il est possible de parcourir lensemble des l ments de cette classe

d quivalence. La phase tant p riodique, cest- -dire param trable par le cercle S1, lid e

est alors de param trer lensemble des phases par un point dun tore.

La phase dun nombre complexe nul n tant pas d nie, il est n cessaire de faire

attention aux coecients de Fourier nuls (ou encore : aux F ourierP roperties) pour

bien d nir lespace auquel on va sint resser. Pour un ensemble A Zc, notons nA

le nombre de coecients de Fourier nuls : seules c nA phases sont donc d nies. Si

lon veut rester dans le cadre des distributions r elles sur Zc, il est n cessaire dune part

davoir F(0) r el, et dautre part de conserver la relation F(t) = F(t), ce qui va diviser

le nombre de degr s de libert par deux (changer la phase de F(t) dun angle implique

de changer la phase de F(t) de ). Enn, dans le cas o c est pair, F(c/2) doit tre

r el. Soit FA(c/2) est nul, auquel cas la phase, n tant pas d nie, ne pourra pas varier,

soit FA(c/2) est non nul, et sa phase peut valoir 0 ou .

Pour r sumer : si c est impair, ou bien si c est pair et FA(c/2) = 0, alors on

peut param trer lensemble des phases des coecients de Fourier par un point du tore

Td = (cid:81)

S1, o d = cnA1

. Si c est pair, et FA(c/2) non nul, on doit se placer sur

lespace Td {0, }, avec cette fois d = cnA2

, ce qui correspond topologiquement la

r union de deux tores.

k=1...d

2

2

Pour un ensemble A, lespace ainsi d ni contient les points param trant chacun des

l ments de la classe d quivalence de A par la relation Z. On peut alors se poser la

question de savoir si les di rences de cardinal de cette classe (dans le cas o A poss de

un axe de sym trie, i.e. A = A + k, ou une p riode interne, i.e. A = A + k, avec k (cid:54)= c,

ce qui correspond aux modes transpositions limit es dOlivier Messiaen), et lexistence

de relation Z non triviale, correspondent des cas de gure particuliers de cet espace

topologique. De plus cet espace permet de faire varier contin ment les phases, et donc de

passer dun sous-ensemble, cest- -dire dune fonction valeurs dans {0, 1}, un autre

par linterm diaire de distributions valeurs dans R.

12

Pistes concernant lhomom trie

1.7.2 Quasi-recouvrement du cercle

Cette derni re remarque concerne la structure des Z-familles, cest- -dire les en-

sembles densembles en relation Z non triviale (ou encore : les classes d quivalence

de la Z-relation quotient es par le groupe di dral). Cela revient consid rer la relation

Z non plus entre des ensembles A et B mais entre leurs orbites par laction de D2c.

Une structure remarquable de Z-familles est celle des hexacordes compl mentaires,

pour lesquels, avec les bons repr sentants des deux ensembles, A * B = Zc. Nous avons

observ une structure int ressante, mais non g n rale, pour dautres familles.

Sur Z12, les ensembles {0, 1, 3, 7} et {0, 1, 7, 9} sont en Z-relation ; on peut choisir des

transpositions/inversions particuli res A et B de ces deux ensembles telles que (A*B)c =

{0, 3, 6, 9} = 3Z4. Pour les ensembles de cardinal 5, on a trois Z-familles, dont deux ont

cette m me propri t (i.e. on peut recouvrir Z12 moins un sous-groupe, dans ce cas 6Z2).

Les ensembles de cardinal 5 sur Z15 permettent de m me davoir (A * B)c = 3Z5 (voir

gure 1.6).

Pour c = 18 un ph nom ne semblable mais plus complexe appara t : les ensembles

A = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 13} et B = {1, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 17} sont en Z-relation, et

ont la structure remarquable

(cid:26) (A ) B) = 6Z3 + 1

(A * B)c = 6Z3 2

Si cette observation ne se g n ralise pas toutes les Z-familles (sur Z12 il existe une

paire densembles de cardinal 5 qui na pas cette structure), elle semble tre susamment

fr quente pour m riter d tre tudi e plus en profondeur. Du fait de ses propri t s et

valeurs remarquables pour des sous-groupes, la transform e de Fourier peut tre un outil

adapt pour cela.

Figure 1.6 Z-familles de cardinal 5 dans Z15

13

Chapitre 2

Gammes et structures bien r parties

La notion de gamme bien r partie, ou GBR, a t introduite en musique par John

Clough et Jack Douthett, th oriciens de la musique appartenant la tradition diatonique

am ricaine, dans [9]. En plus d tre pertinente sur le plan musical, de part la quantit

de structures rythmiques et harmoniques quelle permet de caract riser, elle trouve des

applications dans dautres domaines, notamment en physique (voir [10]). Apr s avoir d -

ni ces objets, nous verrons que les tudier via la TFD donne des r sultats int ressants.

Lessentiel de cette partie est inspir de [2].

2.1 D nition originelle

Avant darriver un formalisme math matique clair, nous allons partir de lapproche

g om trique, donnant bien lintuition de ce quest une GBR. Une gamme bien r partie

d l ments sur Zc, not e GBRc,d, d signe la r partition de d points parmi c la plus

homog ne possible. Avec la repr sentation circulaire, cela revient trouver la meilleure

approximation du polygone r gulier d c t s par une sous-gure du polygone c c t s.

Dans le cas o d divise c, la gamme bien r partie est le polygone r gulier, ou cest- -dire

le sous-groupe mZd, avec m = c/d.

Une premi re construction possible pour arriver cette approximation consiste

superposer deux cercles discr tis s lun en d parties gales, lautre en c d partie gales,

de fa on ce quaucun point nen recouvre un autre. Ce proc d est illustr gure 2.1 :

la r partition des points noirs sur le dernier cercle donne lensemble {0, 3, 5} = GBR7,3.

La rotation appliqu e au second cercle peut sembler arbitraire, et cest bien le cas : un

autre choix aurait pu donner un r sultat di rent pour GBR7,3, mais celui-ci aurait t

un translat de {0, 3, 5}. Lhomog n it de la r partition des points blancs et noirs sur

le cercle nest pas aect e par une rotation de celui-ci, il est donc souhaitable darriver

la d nition dune classe d quivalence par translation plut t qu un unique ensemble.

Lapproche g om trique expos e ici, si elle est la plus intuitive, manque dun forma-

lisme permettant des d nitions et des raisonnements math matiques rigoureux. Il est

n cessaire de poser une d nition plus formelle des gammes bien r parties.

15

D nition originelle

Figure 2.1 Construction g om trique dune GBR7,3 (source : [10])

La d nition propos e dans [9] reprend lid e de lapproximation dun polygone r -

gulier avec une approche arithm tique. La gamme bien r partie est d nie non comme

un ensemble mais comme une suite ordonn e (ak)kZd, o pour Zc,

ak = J

c,d(k) =

(cid:23)

(cid:22) kc +

d

(cid:98)x(cid:99) d signant la partie enti re de x. Le param tre permet de consid rer les di rentes

rotations du cercle. Notons une propri t remarquable (d montr e plus loin) des gammes

bien r parties : le compl mentaire dune GBR est encore une GBR. Intuitivement, si lon

revient au mod le purement g om trique expos gure 2.1, on voit que le compl men-

taire de la GBR7,3 (points noirs) sobtient en consid rant les points blancs, cest- -dire

en construisant GBR7,4 avec la m me m thode.

Pour c = 12, d = 7, = 1, les valeurs de ak d crivent la gamme diatonique, i.e.

les touches blanches du piano ; pour d = 5, = 6, elles correspondent aux touches

noires, cest- -dire la gamme pentatonique, compl mentaire de la pr c dente. De nom-

breux rythmes courants dans di rentes musiques peuvent galement tre vus comme

des gammes bien r parties (voir ce sujet [25]). La clave Bemb par exemple, fr quente

en musique africaine ou cubaine, d crit le m me polygone que la gamme diatonique :

la GBR12,7 mod lise aussi bien un motif rythmique quune chelle harmonique courants

dans la musique traditionnelle . Pour cette raison, on parlera d sormais de structure

bien r partie, ou SBR, an dinsister sur la g n ralit de cet objet.

Figure 2.2 Clave Bemb , gamme diatonique, repr sentation circulaire

16

Typologie des structures bien r parties

2.2 Typologie des structures bien r parties

Nous allons reprendre la classication de [2], inspir e de [23], sans donner les d mons-

trations de tous les r sultats (dont certaines d coulent plus simplement de la d nition

quivalente des SBR que nous donnerons la n de cette partie). Il existe trois types

de structure bien r partie selon la valeur de m = pgcd(c, d) :

on a une SBR de type I lorsque m = 1. Dans ce cas lensemble des valeurs prises

par (ak) est gal, translation pr s, d1{0, . . . , d 1}, o d1 d signe linverse

de d pour la multiplication sur Zc,

on a une SBR de type IIa dans le cas o m = d, cest- -dire si d divise c. Alors

SBRc,d est la division r guli re du cercle en d parties,

si 1 < m = c d < d, on a une structure bien r partie de type IIb. Il sagit alors

du compl mentaire dune structure de type IIa,

on a une SBR de type III dans le cas restant, i.e. si 1 < m < d et m (cid:54)= c d.

Figure 2.3 Structures bien r parties de type I, IIa, IIb et III

Les types II et III regroupent toutes les structures bien r parties poss dant une

p riode interne. On peut en fait toujours se ramener des SBR de type I en obser-

vant que toutes les autres sont constitu es de r unions de translat es de SBRc(cid:48),d(cid:48), avec

c(cid:48) = c/m, d(cid:48) = d/m par le sous-groupe c(cid:48)Zm. Ainsi, dans les exemples de SBR gure

2.3, SBR12,4 est bien gal SBR3,1 3Z4, SBR3,1 valant simplement {0}. De m me,

SBR12,8 = SBR3,2 3Z4, et SBR14,6 = SBR7,3 7Z2. On peut donc dire que les SBR

de type I sont fondamentales.

Seules les SBR de type I existent pour toute valeur de c. Celles de type II existent

d s lors que c est compos , et celles de type III si c est compos et c > 12 (voir [2]).

2.3 Coecients de Fourier dune SBR

Avant de donner une d nition quivalente des structures bien r parties utilisant les

modules des coecients de Fourier, nous donnons un r sultat in dit, concernant la valeur

des coecients de Fourier dun tel objet. Pour cela, on ne consid re plus une SBR comme

une suite ordonn e (ak)k, mais comme lensemble {ak} de ses valeurs.

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Coecients de Fourier dune SBR

Th or me. Soit d premier avec c, l = d1 linverse multiplicatif de d sur Zc. Soit A

la structure bien r partie d l ments, et Bl le cluster chromatique l l ments, i.e.

{0, . . . , l 1}. Pour tout t (cid:54)= 0,

FBl(t) =

1

FA(t)

D monstration. A est une structure bien r partie de type I que lon peut exprimer par

A = dBl. On note Bd le cluster chromatique d l ments {0, . . . , k 1}. Consid rons

alors, dans Z, lensemble Bd + dBl :

Bd + dBl = {0, . . . , d 1} d{0, . . . , l 1}

= {0, . . . , d 1, d, d + 1, . . . , d 1 + d(l 1)}

=

0, dl 1

(cid:75)

(cid:74)

Notons a = (dl 1)/c (calcul dans Z). Si on quotiente cet ensemble modulo c,

puisque dl 1 = 0, on obtient le multi-ensemble ({0, . . . , c 1}, m), o la multiplicit

m(t) = a pour t (cid:54)= 0, et m(0) = a + 1.

On peut crire le produit de convolution

1Bd 1dBl(t) =

(cid:88)

xZc

1Bd(x)1dBl(t x) = m(t)

En appliquant la transform e de Fourier cette expression, on obtient

FBd.FdBl = F(m)

Or, m = a1Zc + 10, et on sait que pour tout t (cid:54)= 0, FZc(t) = 0, donc par lin arit de

F, on a, po...