Traitement du Signal
Jean-Yves Tourneret(1)
(1) Université of Toulouse, ENSEEIHT-IRIT-TéSA
Thème 1 : Analyse et Synthèse de l’Information
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 1/87
Bibliographie
J. Max et J.-L. Lacoume, Méthodes et techniques de
traitement du signal, Dunod, 5me édition, 2004.
Athanasios Papoulis and S. Unnikrishna Pillai, Probability,
Random Variable and Stochastic Processes, McGraw Hill
Higher Education, 4th edition, 2002.
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 2/87
Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Transformée de Fourier
Classes de signaux déterministes et aléatoires
Propriétés de Rx(τ ) et de sx(f )
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Chapitre 6 : Signaux des télécommunications
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 3/87
Transformée de Fourier
Définitions
Formule directe
X(f ) =
R
Z
x(t) exp (−j2πf t) dt
Formule inverse
x(t) =
R
Z
X(f ) exp (j2πf t) df
Hypothèses
TF sur L1 ou L2
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 4/87
Propriétés
Linéarité
TF [ax(t) + by(t)] = aX(f ) + bY (f )
Parité
x(t) réelle paire ⇒ X(f ) réelle paire
Translation et Modulation
TF [x(t − t0)] = exp(−j2πf t0)X(f )
TF [x(t) exp(j2πf0t)] = X(f − f0)
Similitude
TF [x(at)] =
1
|a|
X
f
a
(cid:18)
(cid:19)
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Propriétés
Produits de Convolution
TF [x(t) ∗ y(t)] = X(f )Y (f )
TF [x(t)y(t)] = X(f ) ∗ Y (f )
Égalite de Parseval
R
Z
Conjugaison
x(t)y∗(t)dt =
X(f )Y ∗(f )df
R
Z
TF [x∗(t)] = X ∗(−f )
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Distributions
Localisation
x(t)δ(t − t0) = x(t0)δ(t − t0)
Produit de Convolution
x(t) ∗ δ(t − t0) = x(t − t0)
Transformées de Fourier
TF [δ(t)] = 1, TF [1] = δ(f )
TF [δ(t − t0)] = exp(−j2πf t0), TF [exp(j2πf0t)] = δ(f − f0)
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 7/87
Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Transformée de Fourier
Classes de signaux déterministes et aléatoires
Propriétés de Rx(τ ) et de sx(f )
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Chapitre 6 : Signaux des télécommunications
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 8/87
Classes de signaux déterministes et aléatoires
Classe 1 : signaux déterministes à énergie finie
Classe 2 : signaux déterministes périodiques à
puissance finie
Classe 3 : signaux déterministes non périodiques à
puissance finie
Classe 4 : signaux aléatoires stationnaires
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 9/87
Signaux déterministes à énergie finie
Définition E =
R |x(t)|2dt =
R |X(f )|2df < ∞
Fonction d’autocorrélation
R
R
Rx(τ ) =
R
Z
x(t)x∗(t − τ )dt = hx(t), x(t − τ )i
Fonction d’intercorrélation
x(t)y∗(t − τ )dt = hx(t), y(t − τ )i
Rxy(τ ) =
R
Z
Produit scalaire
hx(t), y(t)i =
x(t)y∗(t)dt
R
Z
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 10/87
Densité spectrale d’énergie
Définition
Propriété
Preuve
sx(f ) =
sx(f ) = TF [Rx(τ )]
sx(f ) = |X(f )|2
x(t)x∗(t − τ )dt
exp(−j2πf τ )dτ
R
R (cid:20)Z
Z
=
R (cid:20)Z
R
Z
=
R (cid:20)Z
R
Z
= X ∗(f )X(f )
(cid:21)
x∗(t − τ ) exp(−j2πf τ )dτ
(cid:21)
x∗(u) exp [j2πf (u − t)] du
(cid:21)
x(t)dt
x(t)dt
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 11/87
Exemple
Fenêtre rectangulaire
x(t) = ΠT (t) =
1 si − T
0 sinon
2 < t < T
2
(
Fonction d’autocorrélation
Rx(τ ) = T ΛT (τ )
Densité spectrale d’énergie
sx(f ) = T 2sinc2(πT f ) = |X(f )|2
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 12/87
Signaux déterministes périodiques
Définition P = 1
T0
T0/2
−T0/2 |x(t)|2dt < ∞
Fonction d’autocorrélation
R
T0/2
Rx(τ ) =
1
T0 Z
Fonction d’intercorrélation
−T0/2
x(t)x∗(t − τ )dt = hx(t), x(t − τ )i
Rxy(τ ) =
1
T0 Z
Produit scalaire
T0/2
−T0/2
x(t)y∗(t − τ )dt = hx(t), y(t − τ )i
hx(t), y(t)i =
T0/2
−T0/2
1
T0 Z
x(t)y∗(t)dt
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 13/87
Densité spectrale de puissance
Définition
Propriété
avec x(t) =
sx(f ) = TF [Rx(τ )]
sx(f ) =
|ck|2δ(f − kf0)
Xk∈Z
k∈Z ck exp(j2πkf0t).
Preuve
P
Rx(τ ) =
ckc∗
l exp (j2πlf0τ )
1
T0 Z
"
T0/2
−T0/2
exp [j2π(k − l)f0t] dt
#
Xk,l
=
Xk
|ck|2 exp(j2πkf0τ )
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 14/87
Exemple
Sinusoïde
x(t) = A cos(2πf0t)
Fonction d’autocorrélation
Rx(τ ) =
A2
2
cos(2πf0τ )
Densité spectrale de puissance
sx(f ) =
A2
4
[δ(f − f0) + δ(f + f0)]
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 15/87
Signaux déterministes à puissance finie
Définition P = lim
T →∞
1
T
T /2
−T /2 |x(t)|2dt < ∞
Fonction d’autocorrélation
R
Rx(τ ) = lim
T →∞
1
T
T /2
−T /2
Z
x(t)x∗(t − τ )dt = hx(t), x(t − τ )i
Fonction d’intercorrélation
1
T
T /2
−T /2
Z
Rxy(τ ) = lim
T →∞
Produit scalaire
x(t)y∗(t − τ )dt = hx(t), y(t − τ )i
hx(t), y(t)i = lim
T →∞
1
T
T /2
x(t)y∗(t)dt
−T /2
Z
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 16/87
Densité spectrale de puissance
Définition
Propriété
avec
Exemple
sx(f ) = TF [Rx(τ )]
sx(f ) = lim
T →∞
1
T
|XT (f )|2
T /2
Advertisement
XT (f ) =
x(t) exp(−j2πf t)dt
−T /2
Z
x(t) = A1 cos(2πf1t) + A2 cos(2πf2t)
avec f1 et f2 non commensurables.
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 17/87
Signaux aléatoires stationnaires
Définition
Moyenne : E[x(t)] indépendant de t
Moment d’ordre 2 : E[x(t)x∗(t − τ )] indépendant de t
Fonction d’autocorrélation
Rx(τ ) = E[x(t)x∗(t − τ )] = hx(t), x(t − τ )i
Fonction d’intercorrélation
E[x(t)y∗(t − τ )] = hx(t), y(t − τ )i
Produit scalaire
hx(t), y(t)i = E[x(t)y∗(t)]
Remarques : stationnarité au sens strict, large, à l’ordre deux, tests de stationnarité.
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 18/87
Densité spectrale de puissance
Puissance moyenne
P = Rx(0) = E
|x(t)|2
=
Densité spectrale de puissance
(cid:2)
(cid:3)
sx(f )df
R
Z
Définition
Propriété
sx(f ) = TF [Rx(τ )]
sx(f ) = lim
T →∞
1
T
E
|XT (f )|2
h
i
mais en général X(f ) n’existe pas !
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 19/87
Exemples
Exemple 1 : Sinusoïde
x(t) = A cos(2πf0t + θ)
θ va uniforme sur [0, 2π].
Fonction d’autocorrélation
Rx(τ ) =
A2
2
cos(2πf0τ )
Densité spectrale de puissance
sx(f ) =
A2
4
[δ(f − f0) + δ(f + f0)]
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 20/87
Exemples
Exemple 2 : Bruit blanc
Fonction d’autocorrélation
Rx(τ ) =
N0
2
δ(τ )
Densité spectrale de puissance
sx(f ) =
N0
2
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 21/87
Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Transformée de Fourier
Classes de signaux déterministes et aléatoires
Propriétés de Rx(τ ) et de sx(f )
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Chapitre 6 : Signaux des télécommunications
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 22/87
Propriétés de Rx(τ )
Symétrie Hermitienne : R∗
Valeur maximale :
x(−τ ) = Rx(τ )
|Rx(τ )| ≤ Rx(0)
Distance entre x(t) et x(t − τ ) : si x(t) est un signal réel
d2 [x(t), x(t − τ )] = 2 [Rx(0) − Rx(τ )]
Donc Rx(τ ) mesure le lien entre x(t) et x(t − τ ).
Décomposition de Lebesgue : dans la quasi-totalité des
applications, on a
Rx(τ ) = R1(τ ) + R2(τ )
où R1(τ ) est une somme de fonctions périodiques et
R2(τ ) tend vers 0 lorsque τ → ∞.
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 23/87
Propriétés de sx(f )
DSP réelle
sx(f ) ∈ R
De plus, si x(t) signal réel, sx(f ) réelle paire
Positivité : sx(f ) ≥ 0
Lien entre DSP et puissance/énergie
P ou E = Rx(0) =
sx(f )df
R
Z
Décomposition de Lebesgue : dans la quasi-totalité des
applications, on a sx(f ) = s1(f ) + s2(f ), où s1(f ) est un
spectre de raies et s2(f ) un spectre continu (cas
général : partie singulière).
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 24/87
Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Introduction
Relations de Wiener-Lee
Formule des interférences
Exemples
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Chapitre 6 : Signaux des télécommunications
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 25/87
Introduction
On cherche une opération avec les propriétés suivantes
Linéarité : T [a1x1(t) + a2x2(t)] = a1T [x1(t)] + a2T [x2(t)]
Invariance dans le temps
Si y(t) = T [x(t)] alors T [x(t − t0)] = y(t − t0)
Stabilité BIBO
Si |x(t)| ≤ Mx alors il existe My tel que
|y(t)| = |T [x(t)] | ≤ My
“Limitation” du spectre d’un signal
☞ Convolution
y(t) = x(t) ∗ h(t) =
R
Z
x(u)h(t − u)du = h(t) ∗ x(t)
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 26/87
Commentaires
La linéarité ne suffit pas. Contre-exemple
y(t) = m(t)x(t)
CNS de Stabilité BIBO
|h(t)|dt < ∞, i.e., h ∈ L1
R
Z
Réponse impulsionnelle et Transmittance
H(f ) = TF [h(t)] =
h(t) exp(−j2πf t)dt
Z
Si x(t) = δ(t) alors y(t) = h(t). Ceci permet d’obtenir la
seule réponse impulsionnelle possible.
R
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 27/87
Réalisabilité d’un filtre
Domaine temporel
(1) h(t) réelle
(2) h(t) ∈ L1 (stabilité)
(3) h(t) causale (filtre sans mémoire)
Domaine spectral
(1) Symétrie hermitienne : H ∗(−f ) = H(f )
(2) ne peut se traduire
H(f ), où
(3) H(f ) = −j
transformée de Hilbert de H (preuve dans le cours
e
manuscrit).
H(f ) = H(f ) ∗ 1
πf est la
e
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 28/87
Écriture équivalente
En écrivant H(f ) = Hr(f ) + jHi(f ), on obtient
Hr(f ) =Hi(f ) ∗
1
πf
Hi(f ) = − Hr(f ) ∗
1
πf
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 29/87
Identifier une relation de filtrage linéaire
Signaux déterministes
y(t) = x(t) ∗ h(t) ⇔ Y (f ) = X(f )H(f )
Signaux aléatoires : Isométrie fondamentale
Si x(t)
I
↔ ej2πf t, alors y(t)
I
↔ ej2πf tH(f )
Exemples
y(t) =
y(t) = x′(t)
P
y(t) = x(t)m(t)
n
k=1 akx(t − tk)
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 30/87
Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Introduction
Relations de Wiener-Lee
Formule des interférences
Exemples
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Chapitre 6 : Signaux des télécommunications
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 31/87
Relations de Wiener Lee
Densité spectrale de puissance
sy(f ) = sx(f )|H(f )|2
Ryx(τ ) = Rx(τ ) ∗ h(τ )
Intercorrélation
Autocorrélation
Ry(τ ) = Rx(τ ) ∗ h(τ ) ∗ h∗(−τ )
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 32/87
Preuves (signaux à énergie finie)
Densité spectrale de puissance
sy(f ) = |Y (f )|2 = |X(f )H(f )|2 = sx(f )|H(f )|2
Intercorrélation
Ryx(τ ) =
=
=
=
R
Z
R
Z
R
Z
R
Z
y(u)x∗(u − τ )du
Y (f )
e−j2πf τ X(f )
∗
df
(cid:2)
X(f )H(f )
(cid:3)
ej2πf τ X ∗(f )
df
(cid:3)
sx(f )H(f )ej2πf τ df = TF−1[sx(f )H(f )] CQFD
(cid:2)
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 33/87
Preuve (signaux à puissance finie)
Intercorrélation
1
T0 Z
1
T0 Z
R
Z
R
Z
Ryx(τ ) =
=
=
=
etc ...
T0/2
y(t)x∗(t − τ )dt
−T0/2
T0/2
h(v)x(t − v)dv
x∗(t − τ )dt
(cid:21)
T0/2
x(t − v)x∗(t − τ )dt
dv
#
R
−T0/2 (cid:20)Z
1
T0 Z
"
h(v)
−T0/2
h(v)Rx(τ − v)dv CQFD
Advertisement
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 34/87
Preuves (signaux aléatoires)
Intercorrélation
Ryx(τ ) =E[y(t)x∗(t − τ )]
=hy(t), x(t − τ )i
=hej2πf tH(f ), ej2πf (t−τ )i
ej2πf tH(f )e−j2πf (t−τ )sX(f )df
R
Z
=
=
Z
H(f )ej2πf τ sX (f )df
R
= h(τ ) ∗ Rx(τ ) CQFD
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 35/87
Preuves (signaux aléatoires)
Autocorrélation
Ry(τ ) =E[y(t)y∗(t − τ )]
=hy(t), y(t − τ )i
=hej2πf tH(f ), ej2πf (t−τ )H(f )i
=
=
Z
ej2πf tH(f )e−j2πf (t−τ )H ∗(f )sx(f )df
R
Z
|H(f )|2sx(f )ej2πf τ df
R
=TF−1{sx(f )|H(f )|2}
= h(τ ) ∗ h∗(−τ ) ∗ Rx(τ ) CQFD
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 36/87
Preuves (signaux aléatoires)
Autocorrélation
Ry(τ ) = TF−1{sx(f )|H(f )|2}
Densité Spectrale de Puissance
sy(f ) = sx(f )|H(f )|2 CQFD
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 37/87
Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Introduction
Relations de Wiener-Lee
Formule des interférences
Exemples
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Chapitre 6 : Signaux des télécommunications
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 38/87
Formule des interférences
Hypothèses
y1(t) = x(t) ∗ h1(t) et y2(t) = x(t) ∗ h2(t)
Conclusion
Ry1y2(τ ) =
Preuve
R
Z
sx(f )H1(f )H ∗
2 (f )ej2πf τ df
Ry1y2(τ ) = E[y1(t)y∗
2(t − τ )]
ej2πf tH1(f )e−j2πf (t−τ )H ∗
2 (f )sx(f )df
H1(f )H ∗
2 (f )ej2πf τ sx(f )df CQFD
=
=
R
Z
R
Z
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 39/87
Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Introduction
Relations de Wiener-Lee
Formule des interférences
Exemples
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Chapitre 6 : Signaux des télécommunications
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 40/87
Exemples
Filtre Passe-bas
Transmittance
H(f ) = ΠF (f )
Réponse impulsionnelle
h(t) = F sinc (πF t)
non causale et /∈ L1 ⇒ troncature + décalage
Filtres liaisons montante et descendante d’une chaîne
de transmission
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 41/87
Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Échantillonnage idéal
Échantillonnage réel
Méthodes pratiques de restitution
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Chapitre 6 : Signaux des télécommunications
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 42/87
Échantillonnage idéal
Signaux à énergie finie
Domaine temporel
xe(t) =
x(kTe)δ(t − kTe) = x(t)
δ(t − kTe)
Xk∈Z
Domaine Fréquentiel
Xk∈Z
Xe(f ) = X(f ) ∗ Fe
δ(f − kFe) = Fe
X(f − kFe)
Xk∈Z
Xk∈Z
Périodisation du spectre
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 43/87
Commentaires
Théorème de Shannon
Restitution
Fe > 2fmax
Xr(f ) =
1
Fe
Xe(f )ΠFe(f )
Interpolateur de Shannon
xr(t) =
x(kTe)sinc [πFe(t − kTe)]
Xk∈Z
Généralisation
xr(t) =
x(kTe)h (t − kTe)
Xk∈Z
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 44/87
Commentaires
Fréquences normalisées
Fe > 2fmax ⇔
f =
f
Fe
≤
1
2
Repliement et filtre anti-repliement
e
Généralisation : signaux déterministes à puissance finie
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 45/87
Échantillonnage d’une sinusoïde
Signal et spectre
x(t) = A cos(2πf0t) ⇔ X(f ) =
A
2
[δ(f − f0) + δ(f + f0)]
Cas particulier
Repliement
Fe = 2f0
f0 = 5kHz et Fe = 100kHz
f0 = 5kHz et Fe = 8kHz
Filtre de restitution ΠFe(f )
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 46/87
Signaux aléatoires stationnaires
Theorème de Shannon
Si x(t) est un signal aléatoire stationnaire à bande
limitée, i.e.,
sx(f ) = 0
|f | > fmax
et que Fe > 2fmax alors
N
xN (t) =
x(kTe)sinc [πFe(t − kTe)]
Xk=−N
Preuve
voir livre de Papoulis page 378.
MQ
→
N →∞
x(t)
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 47/87
Signaux aléatoires stationnaires
Autocorrélation
Rx(τ ) =
Rx(kTe)sinc [πFe(τ − kTe)]
Xk∈Z
Interpolateur de Shannon pour Rx(τ ) = TF−1[sx(f )].
Densité spectrale de puissance
Si on pose y(n) = x(nTe) alors
sy
f
=
Ry(k)e−j2πk
e
f = Fe
sx
(cid:17)
Xk∈Z
Xk∈Z
f − k
Te !
e
(cid:16)
e
Périodisation de la densité spectrale de puissance
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 48/87
Preuve
sy
f
=
Ry(k)e−j2πk
e
f
(cid:16)
(cid:17)
e
=
=
Xk∈Z
Xk∈Z
Ry(k)
R
Z
e−j2π
e
f tδ(t − k)dt
e
f t
e−j2π
R
Z
"
Xk∈Z
Rx(kTe)δ(t − k)
dt
#
=T F
"
=
1
Te
sx
Rx(tTe)
δ(t − k)
Xk∈Z
#
f
Te !
e
∗
δ
f − k
CQFD
Xk∈Z
(cid:16)
(cid:17)
e
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 49/87
Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Échantillonnage idéal
Échantillonnage réel
Méthodes pratiques de restitution
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Chapitre 6 : Signaux des télécommunications
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 50/87
Échantillonnage bloqueur
Domaine temporel
xb(t) =
x(kTe)πτ
t −
Xk∈Z
Domaine spectral
(cid:16)
Advertisement
τ
2
− kTe
= xe(t) ∗ πτ
t −
(cid:17)
(cid:16)
τ
2
(cid:17)
Xb(f ) =
τ
Te
Spectre d’ordre 0
e−jπτ f sinc(πτ f )
X(f − kFe)
Xk∈Z
X0(f ) =
τ
Te
e−jπτ f sinc(πτ f )X(f )
Conditions de restitution
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 51/87
Échantillonnage réel
Échantillonnage moyenneur
voir TD
Échantillonnage à porte analogique
...
Exemples
Téléphone
Audio
fmax = 3400Hz et Fe = 8kHz
fmax = 15kHz et Fe = 44.1kHz
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 52/87
Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Échantillonnage idéal
Échantillonnage réel
Méthodes pratiques de restitution
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Chapitre 6 : Signaux des télécommunications
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 53/87
Restitution
Filtrage passe bas
Interpolation linéaire
Filtre non causal
H(f ) = ΠFe(f )
Bloqueur d’ordre 0
Utilisé dans la quasi-totalité des applications
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 54/87
Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Introduction
Quadrateur
Quantification
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Chapitre 6 : Signaux des télécommunications
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 55/87
Introduction
Transformation sans mémoire
Exemples
Quadrateur
Quantification
y(t) = g [x(t)]
y(t) = x2(t)
y(t) = xQ(t)
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 56/87
Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Introduction
Quadrateur
Quantification
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Chapitre 6 : Signaux des télécommunications
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 57/87
Quadrateur
Signaux déterministes
Y (f ) = X(f ) ∗ X(f )
Exemples
Sinusoïde : x(t) = A cos(2πf0t)
Y (f ) =
A2
2
δ(f ) +
A2
4
[δ(f − 2f0) + δ(f + 2f0)]
Disparition de la fréquence f0 et apparition de la
fréquence 2f0
Somme de sinusoïdes : Termes d’intermodulation
Sinus cardinal : doublement de la largeur de bande
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 58/87
Quadrateur pour signaux aléatoires
Théorème de Price
Hypothèses
(X1, X2) vecteur Gaussien de moyenne nulle
Y1 = g(X1) et Y2 = g(X2)
Conclusion
∂E(Y1Y2)
∂E(X1X2)
= E
∂Y1
∂X1
∂Y2
∂X2 (cid:19)
(cid:18)
Application au quadrateur
RY (τ ) = 2R2
X(τ ) + K
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 59/87
Remarques
Loi Gaussienne bivariée
p(x1, x2) =
1
2π
|Σ|
1
2
exp
−
(cid:18)
xT Σ−1x
(cid:19)
Stationnarité
p
E [Y (t)Y (t − τ )] =
g (x1) g (x2) p (x1, x2) dx1dx2
avec x1 = X(t), x2 = X(t − τ ) et
Z Z
Σ =
RX (0) RX (τ )
RX (τ ) RX (0) !
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 60/87
Détermination de K
Moments d’une loi Gaussienne centrée
E
X 2n+1
= 0, E
X 2n
= [(2n−1)×(2n−3)...×3×1]σ2n
(cid:0)
τ = 0
(cid:1)
(cid:0)
(cid:1)
E
Y 2(t)
= E
X 4(t)
(cid:3)
(cid:2)
Autocorrélation
(cid:2)
(cid:3)
= 3R2
X (0) = 2R2
X (0) + K
RY (τ ) = 2R2
X(τ ) + R2
X(0)
Densité spectrale de puissance
sY (f ) = 2sX (f ) ∗ sX (f ) + R2
X (0)δ(f )
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Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Introduction
Quadrateur
Quantification
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Chapitre 6 : Signaux des télécommunications
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 62/87
Quantification
Principe
xQ(t) = i∆qi = xi et xi −
∆qi
2
≤ x(t) ≤ xi +
∆qi
2
Définitions
Pas de quantification ∆qi
Quantification uniforme ∆qi = ∆q = 2Amax
Niveaux de quantification: xi
Nombre de bits de quantification N = 2n
N
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 63/87
Erreur de quantification
Hypothèse
ǫ(t) suit la loi uniforme sur
− ∆q
2 , ∆q
2
, i.e., N ≥ 28
Rapport signal sur bruit de quantification
h
i
SNRdB = 10 log10
σ2
x
σ2
ǫ (cid:19)
(cid:18)
Variance du bruit : σ2
ǫ = (∆q)2
12
Sinusoïde : σ2
x = A2
2
Conclusion
SNRdB = 6n + 1.76
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 64/87
Remarques
Généralisation à un signal Gaussien
2Sσ = N ∆q ⇒ SNRdB = 6n + ...
Quantification non uniforme
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 65/87
Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Définition
Signal des télégraphistes
Introduction aux files d’attente
Chapitre 6 : Signaux des télécommunications
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 66/87
Processus de Poisson homogène
Notations
Instants : {tj}j∈Z
Nombre d’instants dans [t, t + τ [ : N (t, τ )
Hypothèses
Stationnarité (régime établi) : Pn(τ ) = P [N (t, τ ) = n]
est indépendante de t.
Indépendance du passé et de l’avenir (non
embouteillage) : si [t, t + τ [ et [t′, t′ + τ ′[ sont des
intervalles disjoints, alors N (t, τ ) et N (t′, τ ′) sont des
va indépendantes.
Non accumulation (non simultanéité des instants ti) :
si φ(τ ) = P [N (t, τ ) ≥ 2], alors φ(τ )
0
τ →
τ →0
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 67/87
Conclusions
Loi de N (t, τ )
N (t, τ ) suit une loi de Poisson de paramètre λτ , où λ est
le nombre moyen d’instants dans un intervalle de
largeur τ = 1.
Loi des largeurs d’intervalles :
Si Ln = tn+1 − tn, alors {Ln}n∈Z est une suite de va
indépendantes de lois exponentielles de paramètre λ
(utile pour la simulation)
Loi des instants
Si l’intervalle [0, t[ contient n instants t1, ..., tn, alors
chaque instant ti suit une loi uniforme sur [0, t[.
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 68/87
Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Définition
Signal des télégraphistes
Introduction aux files d’attente
Advertisement
Chapitre 6 : Signaux des télécommunications
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 69/87
Signal des télégraphistes
Définition
A si t = 0
A si N (0, t) pair
−A si N (0, t) impair
X(t) =
où A est uniforme sur {−1, +1}.
Stationnarité
Moyenne
E [X(t)] = 2P [X(t) = 1] − 1 = 0
Fonction d’autocorrélation
E [X(t)X(t − τ )] = e−2λ|τ |,
τ ∈ R
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 70/87
Signal des télégraphistes
Densité spectrale de puissance
sX (f ) =
λ
λ2 + π2f 2
Application
Imagerie radar à synthèse d’ouverture (Imagerie SAR)
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 71/87
Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Définition
Signal des télégraphistes
Introduction aux Files d’attente
Chapitre 6 : Signaux des télécommunications
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 72/87
Introduction aux Files d’attente
Hypothèses
Un guichet
Une file d’attente
Arrivée des clients décrite par un processus de
Poisson de paramètre λ
Temps de service Ts ∼ E(µ) avec E(Ts) = 1/µ
Conclusion (admise)
Probabilité d’avoir n clients dans le système à l’instant t
P [X(t) = n] = (1 − Q)Qn, n ∈ N
avec Q = λ/µ < 1.
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 73/87
Nombres moyens de clients
Dans le système
L = E [X(t)] =
Q
1 − Q
Dans la file d’attente
Résultat utile
LQ = E
XQ(t)
=
(cid:2)
(cid:3)
Q2
1 − Q
nxn =
x
(1 − x)2 ,
|x| < 1
∞
n=1
X
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 74/87
Temps de séjour moyen d’un client C
Dans le système
W = E (T ) = E [E (T |An)] =
1
µ(1 − Q)
où An est l’événement “il y a n clients dans le système
lorsque C y rentre”.
Dans la file d’attente
WQ = E
TQ
= E (T ) −
1
µ
=
Q
µ(1 − Q)
(cid:0)
Formules de Little
(cid:1)
L
W
=
LQ
WQ
= λ
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 75/87
Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Chapitre 6 : Signaux des télécommunications
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Signaux des télécommunications
Chaîne de transmission
Échantillonnage et Quantification
Codage
Mise en forme
modulation
...
Le signal NRZ : soit {An}n∈Z une suite de va binaires
indépendantes avec P [An = 1] = 1 − P [An = 0] = p.
Modèle 1
Modèle 2
X(t) = At
Y (t) = X(t + φ) = At+φ
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 77/87
Signal NRZ (modèle 1)
Moyenne
E[X(t)] = E[At] = p
Fonction d’autocorrélation
E[X(t)X(t − τ )] dépend de t
Exemple : t = 1
4, τ = − 1
2 et t = 3
4, τ = − 1
2.
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 78/87
Signal NRZ (modèle 2)
Moyenne
Fonction d’autocorrélation
E[Y (t)] = p.
E[Y (t)Y (t − τ )] = p2 + (p − p2)Λ1(τ )
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 79/87
Moyenne
Preuves
E[Y (t)] = E[At+φ]
= E[φE[At+φ|φ]]
= E[p]
= p.
CQFD
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 80/87
Preuves
Fonction d’autocorrélation
E[Y (t)Y (t − τ )] = E[At+φAt−τ +φ]
= E[φE[At+φAt−τ +φ|φ]]
=
=
=
1
E[At+φAt−τ +φ]dφ
t+1
0
Z
E[AuAu−τ ]du
E[A0Au−τ ]du.
t
Z
1
0
Z
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 81/87
Preuves
τ ≤ −1
1
0
Z
1
E[A0Au−τ ]du =
0
Z
= p2.
E[A0]E[Au−τ ]du
−1 ≥ τ ≥ 0
1
0
Z
E[A0Au−τ ]du =
1+τ
1
pdu +
p2du
0
Z
Z
= p(1 + τ ) − p2τ.
1+τ
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 82/87
Signal NRZ (modèle 2)
Moyenne
Fonction d’autocorrélation
E[Y (t)] = p.
E[Y (t)Y (t − τ )] = p2 + (p − p2)Λ1(τ )
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 83/87
Généralisation
X(t) = At/T ,
Y (t) = X(t + φ)
Moyenne
E[Y (t)] = p.
Fonction d’autocorrélation
E[Y (t)Y (t − τ )] = p2 + (p − p2)ΛT (τ ).
Densité spectrale de puissance
sY (f ) = p2δ(f ) + (p − p2)T sinc2(πT f )
Bande passante : B = 2
T (si T ց, le débit ր et B ր)
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 84/87
Signal Biphase
Formes d’onde
m1(t) = 2ΠT /2
t −
(cid:18)
T
4
(cid:19)
Moyenne : E[X(t)] = 0
Fonction d’autocorrélation
− 1, m0(t) = −m1(t)
E[X(t)X(t − τ )] = R1(τ ) + R2(τ )
avec R1(τ ) =
support [−T, +T ], et
P
k∈Z m(τ − kT ) périodique, R2(τ ) de
m(t) = 2(2p − 1)2ΛT /2(τ ) − (2p − 1)2ΠT (τ )
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 85/87
Signal Biphase
Densité spectrale de puissance
sX (f ) = s1(f ) + s2(f )
avec s1(f ) spectre de raies
s1(f ) =
M
Xk∈Z
et s2(f ) spectre continu
k
T
(cid:18)
δ
f −
(cid:19)
(cid:18)
k
T
(cid:19)
s2(f ) = [1 − (2p − 1)2]
sin4
πT f
2
2
(cid:17)
(cid:16)
πT f
2
(cid:16)
(cid:17)
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 86/87
Remarques
Fonction M
M
2k
T
(cid:18)
2k + 1
T
= 0
(cid:19)
(cid:19)
=
4
π2
(2p − 1)2
(2k + 1)2
M
(cid:18)
pour k ∈ Z.
☞ récupération de l’horloge
Cours Traitement du Signal, 2013 – p. 87/87