TP de Maple : Approximation, séries de Fourier

f (x) sin(nx)dx

Ainsi que les sommes partielles de Fourier Sn(f ) par

n

Sn(f )(x) = a0(f ) + 2

[ak(f ) cos(k.x) + bk(f ) sin(k.x)]

Xk=1

Nous allons chercher `a ´etudier avec Maple certaines propri´et´es de ces sommes partielles.

1 Quelques routines

1. Construisez une fonction coefcos(f,n) qui ´etant donn´e une fonction f et un entier n

calcule le coefficient en cosinus an(f ) de f. Faites de mˆeme une fonction coefsin(f,x)

calculant le coefficient en sinus bn(f ).

2. ´Ecrivez une fonction seriefourier(f,n) qui `a une fonction f et un entier n associe

la fonction Sn(f ) qui est la somme partielle de la s´erie de Fourier de f .

Tester rapidement votre proc´edure en calculant les coefficients de Fourier de la fonc-

tion sin et cos. Quel est le 25 ieme coefficient en cosinus et en sinus de la fonction

x → x8 + 6x2 + 1 ? Donnez en fonction de n les nieme coefficients de Fourier en sinus et

cosinus de la fonction x → x. sin(x).

3. Cr´eez une liste des 10 graphiques obtenus en tra¸cant le graphe des fonctions Sn(exp) et

exp sur [−π, π] pour n = 1..10. Creez alors une animation permettant de voir l’´evolution

des graphes lorsque n augmente 1.

2. Calculez le nieme coefficient de Fourier de ϕ. D´eduisez-en la somme partielle Sn(ϕ)(x)de

la s´erie de fourier de ϕ (faites le formellement) puis calculez la d´eriv´ee de cette somme

partielle Sn(ϕ)0(x).

3. Cherchez le premier point xn ∈ [0, π] o`u Sn(ϕ) admet un extremum local. Quelle est la

valeur de yn = Sn(ϕ) en ce point ?

4. d´eterminez la limite de yn lorsque n → ∞. En quoi ce r´esultat est-il surprenant ?

5. A l’aide de la proc´edure evolution(f,n) visualisez le comportement de la suite des

sommes partielles sur cet exemple. Dans quels exemples de l’exercice pr´ec´edent un com-

portement similaire ´etait-il visible ?

3 Approximations de fonctions par des polynˆomes

Le th´eor`eme de Stone-Weierstrass nous assure que toute fonction continue sur un compact

de R est uniform´ement approchable par des fonctions polynomiales sur ce compact. Dans la

pratique, il n’est pas ´evident de trouver des polynˆomes approximants. Nous nous baserons

sur l’exemple suivant

f (x) =

1

x2 + 1

(1)

3.1 D´eveloppement de Taylor

1. D´efinir la fonction f et tracer son graphe sur [−5, 5].

4. ´Ecrivez une proc´edure evolution(f,n) automatisant le proc´ed´e, c’est-`a-dire ´etant

donn´e une fonction f et un entier n cr´ee l’animation associ´ee. Testez votre proc´edure

sur plusieurs exemples.

2. A l’aide de la commande taylor, trouvez la partie r´eguli`ere T du d´eveloppement limit´e

de f au voisinage de 0 `a l’ordre 10. Tracer sur un mˆeme graphique le graphe de f et de

T sur l’intervalle [−1, 1] puis sur [−5, 5].

1Vous pouvez utiliser l’option insequence=true de la fonction display.

3.2 Interpolation

3.3 Variante : les points de Tchebychev

1. ´Ecrire une proc´edure lagrange(f,n,minimum,maximum) qui ´etant donn´e la fonction f ,

l’entier n et les bornes r´eelles min et max renvoit l’unique polynˆome P de degr´e ≤ n

tel que :

Cette m´ethode s’inspire de la pr´ec´edente, mais les points d’interpolation ne sont plus les

mˆemes. ´Ecrire une proc´edure tchebychev(f,n,minumum,maximum) renvoyant l’unique po-

lynˆome ˜P de degr´e inf´erieur `a n tel que

∀k ∈ J0, nK P

min +

(cid:18)

k

n

(max − min)

(cid:19)

= f

min +

(cid:18)

k

n

(max − min)

(cid:19)

o`u pour tout k ∈ J0, nK le r´eel zk est d´efini par

∀k ∈ J0, nK

˜P (zk) = f (zk)

(Question subsidiaire : ce polynˆome existe t-il ? Pourquoi ?) On pourra utiliser la fonc-

tion interp de Maple.

zk =

1

2 (cid:20)

(min + max) + (max − min) cos

(2k + 1)

2n + 2 (cid:19)(cid:21)

π

(cid:18)

2. Tracer alors sur [−5, 5] la fonction f d´efinie par (1) et les polynˆomes obtenus par la

proc´edure pr´ec´edente pour n =4, 10, 20, 50.

Visualisez les r´esultats obtenus pour n =4, 10, 20, 50, et comparez aux r´esultats obtenus dans

la section pr´ec´edente.