Théorie des langages et
Compilation
Objectif. Ce cours présente la théorie des langages en traitant trois aspects :
Objectif. Ce cours présente la théorie des langages en traitant trois aspects :
L’aspect reconnaissance par les automates finis, les automates à pile et les
machines de turing, L’aspect génération par les grammaires régulières, non
contextuelles et contextuelles, et L’aspect représentation par propriétés
mesurables, définitions récursives et expressions régulières. L’objectif est
mesurables, définitions récursives et expressions régulières. L’objectif est
d’introduire des connaissances en théorie des langages et des automates afin
d’introduire des connaissances en théorie des langages et des automates afin
de pouvoir les étendre à la description des langages de programmation et leur
analyse syntaxique en vue de leur compilation.
Un mini compilateur fera l’objet d’un projet de ce module.
Références. A. Aho, R. Sethi et J. Ullman, Compilateurs Principes,
Techniques et Outils, InterEditions, Paris, 1991.
- P. Walper, Introduction à la Calculabilité, Dunod, Paris, 2001.
-G. Dowek et J. Lévy, Introduction à la théorie des langages de programmation,
Éditions de l'École polytechnique, Paris, 2006.
Théorie des langages et
Compilation
Processus
Réguliers
Hors contexte
Langages
Représentation
Représentation
Reconnaissance
Génération
Expressions Propriété
Propriété
Expressions
mesurable
régulières
+
Définition
Récursive
Automates
finis
Automates à
Pile
Grammaires
régulières
Grammaires
Non
contextuelles
Dépendants du
contexte
Propriété
Propriété
mesurable +
Définition
Récursive
Machines de
Turing
Grammaires
contextuelles
Compilation
Analyse lexicale
Analyse
syntaxique
Analyse
sémantique
Théorie des langages
Mots et langages
Les automates finis et les langages réguliers
Les grammaires
Les grammaires non contextuelles
Les grammaires non contextuelles
Les automates à piles
Les machines de Turing
I.
II.
III.
IV.
IV.
V.
VI.
VII. Décidabilité
C pour TLC (Compilation)
Mini projet TLC
I. Mots et langages
Plan
Langage
Langage
I.1. Vocabulaire et Mot
I.2.
I.2.
I.3. Opérations sur les langages
I.4. Propriétés des langages
I.5. Définition des langages
Le lemme d’Arden
I.6.
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I.1. Vocabulaire et mot Exercices
Définition 1. Alphabet: Un alphabet (ou vocabulaire) est
un ensemble fini, non vide de symboles. On le note
généralement X.
Définition 2. Fermeture: Soit X, un alphabet. On note par
Définition 2. Fermeture: Soit X, un alphabet. On note par
X*, l’ensemble de toutes les séquences finies de symboles
de X.
Rq le symbole * est une fonction qui, appliquée à un
ensemble non vide X, donne un autre ensemble infini X*.
On dit que X* est la fermeture de X.
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I.1. Vocabulaire et mot
Définition 3. Chaine vide: Une chaine vide est une chaine
qui ne contient aucun symbole du vocabulaire ( appelée
aussi mot vide). Une chaine vide est un élément de X*. On
la note : e
la note : e
Définition 4. Longueur d’une chaine: La longueur d’une
chaine finie w est le nombre de symboles qu’elle contient.
On la note |w |.
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I.1. Vocabulaire et mot
Définition 5. Mot : Un mot w est une application d’un
segment initial de longueur n vers le vocabulaire:
: [n] fi
X
i est l’image de i dans X; i est le rang de w
i est l’image de i dans X; i est le rang de w
i = a et a ˛ X alors w
;
;
i est une occurrence de a dans le
i dans w
i dans w
Où w
Où w
si w
mot w
.
Exercice :
Donner les w
1) abba sur le vocabulaire {a, b}
2)
i associés aux mots sivants :
(x1(x2+x1)) sur le vocabulaire {x1, x2, +, , (, )}
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w
w
˛
w
I.1. Vocabulaire et mot
Corrigé:
1) Si le vocabulaire X = {a, b} alors dans le mot abba,
1 = a
2 = b
3 = b
3 = b
4 = a
2) Si le vocabulaire est X = {x1, x2, +, , (, )} alors dans le mot (x1(x2+x1))
1 = (
4 = (
7 = x1
2 = x1
5 = x2
8 = )
3 = *
6 = +
9 = )
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w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
I.1. Vocabulaire et mot
Longueur d’un mot : La longueur d’un mot w est le
nombre de symboles qu’il contient , on le note
|w |.
Exercice :
Exercice :
Quelle est la longueur des mots abba et e
Vocabulaire {a,b}
Corrigé:
Le mot abba est de longueur 4, |abba| = 4
Le mot e est de longueur 0, | e | = 0
sur le
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I.1. Vocabulaire et mot
. On le note |w |x.
. On le note |w | .
x˛ X |w |x
Nombre d’occurrences d’un symbole dans un mot :
Le nombre d’occurrences d’un symbole x dans un mot
w est le nombre de fois où ce symbole apparaît dans
ce mot w
ce mot w
|w | = S
Exercice :
Quel est le nombre d’occurrences de b dans les mots
abba et e
Corrigé :
|abba|b=2
| e |b=0
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I.2. Langage
Définition 6. Langage :
On définit un langage sur un alphabet X comme un sous
ensemble de X*
Exemple:
Exemple:
• Si le vocabulaire est X = {0, 1, 2, 3, …9}
L = { représentations décimales des nombres entiers
naturels}
L = |N
• Si le vocabulaire est X = {x1, x2, +, *, (, )}
L = {expressions arithmétiques parenthésées}
manipulant x1, x2, + et *
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I.2. Langage
• Si X est la vocabulaire du langage de programmation C
X = {main, (, ), #, Include, <, >, ., ;, id, nb, …….}
L= {programmes C corrects syntaxiquement}
• Si X est le vocabulaire de la logique des propositions
X ={p, (, ), fi
L = {formules bien formées de la logique des
} où p désigne une proposition
, (cid:216)
, (cid:217)
propositions}
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I.3. Opérations sur les langages
Concaténation de deux mots:
Si u et v deux mots / |u| = n et |v| = m alors:
u.v = w
/
i ˛
i = ui
= v "
n+j = vj
[n] et
[m]
[m]
j ˛
j ˛
Le mot vide e est un élément neutre de la
concaténation
u. e = e .u = u
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w
"
w
w
"
I.3. Opérations sur les langages
Soient A et B deux langages alors on a les opérations suivantes:
Intersection
Union
Complémentation
Concaténation
A˙ B = {w / w
A+B = {w / w
A-B = {w / w
A et w
A ou w
Advertisement
A et w
B}
B}
B}
A.B = {w / $ u ˛ A et $ v ˛ B et w = u.v}
A.B = {w / $ u ˛ A et $ v ˛ B et w = u.v}
Propriétés
Soient A, B, C des langages, on a
A.(B+C) = A.B + A.C
(A+B).C = A.C+B.C
A ˝ B ⇒
AC ˝ BC
CA ˝
CB
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˛
˛
˛
˛
˛
ˇ
I.3. Opérations sur les langages
Notation:
ak = aaaaaaaaa……
<----------------->
k fois
k fois
a2 = aa
a0 = e
a* = {ai / i ‡ 0} = {a0, a1, a2, ….ai, …}
a+ = {ai / i >0} = {a1, a2, …., ai, …}
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I.3. Opérations sur les langages
L’opération *
A* = ¨ Ai avec A0 = {e }
i‡ 0
A1 = A
Ai+1 = A.Ai
Ai+1 = A.Ai
i‡ 0
i‡ 0
L’opération +
A+ = ¨ Ai
i‡ 1
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"
"
I.3. Opérations sur les langages
Exercice :
Calculer A* pour chacun des ensembles A suivants:
1) A = {a}
2)
Corrigé :
1) Si A = {a} alors A = {a} = a*
X* / |w | = 2k+1 / k ‡ 0}
A = {w
Car A* = A0 + A1 + A2 +… Ai +…
Car A* = A0 + A1 + A2 +… Ai +…
A0 = {e } = {a0}
A1 = AA0 = {a} {e } = {a} = {a1}
A2 = AA1 = {a}{a} = {aa} = {a2}
Ai = {ai}
Ai+1 = A Ai = {a}{ai} = {ai+1}
….
A = {e , a, aa, aaa, …} = {a0, a1, a2, a3, …} = a
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˛
I.3. Opérations sur les langages
X* / |w | = 2k+1 / k ‡ 0}
2) Si A = {w
A = X
Car A* = A0 + A1 + A2 +… Ai +…
A0 = {e }
A1 = AA0 = A{e } = {w
A2 = AA1
A2 = AA1
X* / |w | = 2k+1 / k ‡ 0}
X* / |w |= 2k+1/ k ‡ 0}
X* / |w |= 2k+1/ k ‡ 0}
X* / |w | = 2k+1/ k‡ 0} {w
X* / |w | = 2k+1/ k‡ 0} {w
X* / |w | = 2k+2/ k‡ 0}
X* / |w | = 2k / k>0}
X* / |w | = 2k / k>0} = {w
X* / |w | = 2k/
= {w
= {w
= {w
= {w
A0 + A2 = {e } + {w
k‡ 0}
A0 + A1 + A2 = X*
Donc A = X
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˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
I.4. Propriétés des langages
Exercice :
Calculer A.f et A.{e }
Montrer qu’on a A.(B+C) = A.B + A.C mais pas A.(B˙ C) = A.B ˙ A.C
Corrigé:
1- A.f = f
1- A.f = f
2- A.{e } = {e }.A= A
5- On n’a pas A.(B˙ C) = A.B ˙ A.C
.A = f
.A = f
Contre exemple : A = {e , x}, B = {xyzt}, C = {yzt}
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I.4. Propriétés des langages
Contre exemple : A = {e , x}, B = {xy}, C = {y}
Car A.(B˙ C) „ A.B ˙ A.C
En effet (B˙ C) = f donc A. (B˙ C) = f
Par contre A.B = {xy, xxy} et A.C = {y, xy} donc A.B ˙ A.C = {xy}
6- On n’a pas A+ = A - {e } par contre on A =A+ + {e }
6- On n’a pas A+ = A - {e } par contre on A =A+ + {e }
Pour A = {e , a}
A+ = A1 + A2 + … = {e , a} + {e , a, aa} + …
A* = A0 + A1 + A2 + … = {ai / i ‡ 0}
A* - {e } = {ai / i > 0} „ A+ car A ˚
A+ = A* - {e } est vraie lorsque A ne contient pas e
{e }
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I.5. Définition de langages (propriété
mesurable ou définition récursive)
• Définition par propriété mesurable
– L est l’ensemble des mots sur {a, b} de longueur paire
L = { w
{a, b}*/ |w | = 2k, K ‡ 0}
– L est l’ensemble des mots sur {a, b} ayant un nombre
– L est l’ensemble des mots sur {a, b} ayant un nombre
impaire de b
L = { w
{a, b}*/ |w |b = 2k+1, K ‡ 0}
– L est l’ensemble des mots sur {a, b} où tous les a précèdent
les b et sont de même nombre
L = { anbn, n ‡ 0}
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˛
˛
I.5. Définition de langages (propriétés
mesurables ou récursive)
• Définition récursive
– L est l’ensemble des mots sur {a, b} où tous les a précèdent
les b et sont de même nombre
La définition par propriété mesurable est la suivante :
La définition par propriété mesurable est la suivante :
L = { anbn, n ‡ 0}
La définition récursive du même langage est :
L = { w
{a, b}*/ w = e ou w = aw
1b et w
1
L}
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‡
˛
˛
I.5. Définition de langages (propriétés
mesurables ou récursive)
• Définition récursive
– L est l’ensemble des mots palindromes sur le
vocabulaire {a, b}, de longueur paire.
L = { w
w = bw
{a, b}*/ w = aa ou w = bb ou w = aw
1a ou
1b et w
1
L}
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˛
˛
I.5. Définition de langages (propriétés
mesurables ou récursive)
• Définition récursive
– L est l’ensemble des mots palindromes sur le
vocabulaire {a, b}, de longueur impaire.
L = { w
w = bw
{a, b}*/ w = a ou w = b ou w = aw
1a ou
1b et w
1
L}
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˛
˛
I.5. Définition de langages (propriétés
mesurables ou récursive)
• Définition récursive
– L est l’ensemble des mots palindromes sur le
vocabulaire {a, b}.
L = { w
{a, b}*/ w = a ou w = b ou w = aa ou w = bb
ou w = aw
1a ou w = bw
1b et w
1
L}
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˛
˛
I.6. Le lemme d’Arden
Pour deux langages A et B d’un vocabulaire X*,
Les équations L= AL+B et L = LA+B admettent
Les équations L= AL+B et L = LA+B admettent
respectivement comme solution minimale A*B
et BA*. Cette solution est unique si e
ˇ A.
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II. Les automates finis et les
langages réguliers
Plan
II.1. Les automates finis déterministes
II.1. Les automates finis déterministes
II.2. Langage accepté par un automate fini
II.3. Rendre déterministe un automate fini non
déterministe
II.4. Les langages réguliers LR
II.5. Minimisation d’un automate fini déterministe
II.6. Expressions régulières et automates finis
II.7. Limites des automates finis
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II.1. Les automates finis déterministes
Définition7. Automate fini
Un automate fini consiste en un quintuple de la
forme (Q, X, d , q0, F) avec
Q est un ensemble fini d’états
Q est un ensemble fini d’états
X est un alphabet
d est une fonction de transition
d : Q x X fi
q0 est l’état initial
F est l’ensemble des états finaux F ˝ Q
(Q) (l’ensemble de tous les sous ensembles de Q)
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R
II.1. Les automates finis déterministes
Exemple d’un automate fini
OFF
Presser
Presser
Q = {OFF, ON}
X = {presser}
q0 = OFF
Advertisement
F = {ON}
d (OFF, presser) = {ON}
d (ON, presser) = {OFF}
ON
Cet automate reconnaît les
séquences de presser qui
nous mènent toujours à
l’état final souhaité ON
(lampe allumée)
(lampe allumée)
En partant d’un état où la
lampe est éteinte (OFF)
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II.1. Les automates finis déterministes
Exemple d’un automate fini
OFF
Presser
Presser
Presser
ON
La séquence:
presser presser presser est acceptée
Par ce que
•en partant de l’état off, avec un presser on passe à l’état ON
•En lisant le deuxième presser à partir de l’état ON, on revient à l’état OFF
•Le dernier presser lu nous mène de l’état OFF à l’état ON
Donc à la fin de la lecture des trois presser, trois transitions sont effectuées et la
dernière nous mène à l’état ON donc la séquence est acceptée.
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II.1. Les automates finis déterministes
Exemple d’un automate fini
OFF
OFF
OFF
presser
presser
Presser
Presser
Presser
presser
presser
presser presser presser
presser
presser
presser
ONON
ONON
ON
Le mot est lu et l’état est final
donc le mot est accepté
donc le mot est accepté
La séquence:
presser presser presser est acceptée
Par ce que
•en partant de l’état off, avec un presser on passe à l’état ON
•En lisant le deuxième presser à partir de l’état ON, on revient à l’état OFF
•Le dernier presser lu nous mène de l’état OFF à l’état ON
Donc à la fin de la lecture des trois presser, trois transitions sont effectuées et la
dernière nous mène à l’état ON donc la séquence est acceptée.
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II.1. Les automates finis déterministes
Exemple d’un automate fini
OFF
Presser
Presser
ON
La séquence:
presser presser n’est pas acceptée par l’automate
Par ce que
•en partant de l’état off, avec un presser on passe à l’état ON
•En lisant le deuxième presser à partir de l’état ON, on revient à l’état OFF
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II.1. Les automates finis déterministes
Exemple d’un automate fini
A
OFF
Presser
Presser
ON
Le langage accepté par cet automate est l’ensemble des séquences de presser qui,
partant de l’état initial OFF, après la lecture de tous les symboles de la séquence,
on se trouve à l’état ON.
Ce langage (le langage accepté par l’automate A, L(A)) est l’ensemble des
séquences de presser de longueur impaire.
{presser}*/ | w | = 2k + 1, k ‡ 0}
L(A) = {w
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˛
II.1. Les automates finis déterministes
Exemple d’un automate fini qui accepte
{w
{a}*/ |w | = 2k, k ‡ 0}
(aa)*
A
P
P
a
a
I
I
L’état initial devient un état final puisque le mot e est accepté (pour k = 0).
En étant à l’état initial de l’automate, on peut ne rien lire (c-a-d lire 0 symboles
donc lire e ) et on est déjà à un état final.
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˛
II.1. Les automates finis déterministes
Exercices :
1) Construire un automate fini qui accepte le langage suivant:
{w
{a}*/ |w | = 2k, k > 0}
A
q0
a
q1
aa(aa)*
q2
a
a
Le plus petit mot accepté est aa (On atteint l’état final après la lecture de aa).
Après il faudra continuer à avoir un nombre paire de a. Donc quand on se trouve à
l’état d’acceptation ou l’état final, il faudra continuer à lire des séquences de 2a
pour revenir à l’état final.
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˛
II.1. Les automates finis déterministes
{w
A
{a}*/ |w | = 2k, k > 0} (autre solution)
q0
a
q1
a
q2
a
a
a
q3
Le plus petit mot accepté est aa (On atteint l’état final après la lecture de aa).
Après il faudra continuer à avoir un nombre paire de a. Donc quand on se trouve à
l’état d’acceptation ou l’état final, il faudra continuer à lire des séquences de 2a
pour revenir à l’état final.
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˛
II.1. Les automates finis déterministes
2) Construire un automate fini qui accepte le langage suivant:
{a,b}*/ |w |a = 3k+2, k ‡ 0}
A
b
q0
q0
a
b
a
q2
q2
q1
q1
a
b
babab(ababab)*
Le plus petit mot accepté est aa (On atteint l’état final après la lecture de aa).
Après il faudra continuer à avoir un nombre paire de a. Donc quand on se trouve à
l’état d’acceptation ou l’état final, il faudra continuer à lire des séquences de 2a
pour revenir à l’état final. Les b on peut les lire à n’importe quel état et on reste
au même état puisqu’ils n’engendrent pas une transitions contrairement à un a lu
qui nous fait passer de q0 à q1 ou de q1 à q2 ou de q2 à q0 par ce qu’il faut les
comptabiliser.
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II.1. Les automates finis déterministes
3) Construire un automate fini qui accepte le langage suivant:
{w
{a}*/ |w | = 3k+1, k ‡ 0}
a(aaa)*
A
q0
a
q1
a
q2
q3
a
a
a
Le plus petit mot accepté est a (On atteint l’état final après la lecture de a). Après il
faudra continuer à avoir un nombre multiple de 3a. Donc quand on se trouve à
l’état d’acceptation ou l’état final, il faudra continuer à lire des séquences de 3a
pour revenir à l’état final.
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˛
II.1. Les automates finis déterministes
{w
A
{a}*/ |w | = 3k+1, k ‡ 0} (autre solution)
a(aaa)*
q0
a
a
a
q1
a
q2
Le plus petit mot accepté est a (On atteint l’état final après la lecture de a). Après il
faudra continuer à avoir un nombre multiple de 3a. Donc quand on se trouve à
l’état d’acceptation ou l’état final, il faudra continuer à lire des séquences de 3a
pour revenir à l’état final.
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˛
II.1. Les automates finis déterministes
4) Construire un automate fini qui accepte le langage suivant:
{w
{a, b, c}*/ |w |a = 3k+1, k ‡ 0}
A
b, c
q0
a
a
a
b, c
a
q1
q2
b, c
(b+c)a(b+c)(a(b+c)a(b+c)a(b+c))
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˛
II.1. Les automates finis déterministes
5) Construire un automate fini qui accepte l’ensemble des mots
sur {a, b, c} ayant aba comme facteur (ou sous chaine)
b
q2
a
q3
a, b, c
b, c
q0
a
c
a
q1
b, c
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II.1. Les automates finis déterministes
6) Construire un automate fini qui accepte l’ensemble des
représentations décimales des nombres entiers ayant le chiffre 1
dans les dizaines (Exemple: 12316, 13, 210)
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
1
q0
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
q1
q2
c*1c
(0+1+2+…+9)*1(0+1+2+…9)
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II.1. Les automates finis déterministes
7) Construire un automate fini qui accepte l’ensemble des
représentations décimales des nombres entiers différents de
Advertisement
Zéro
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
0
q0
1,2,3,4,5,6,7,8,9
q1
0(1+2+…9)(0+1+2+…+9)
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II.1. Les automates finis déterministes
Définition 8. Automate fini complet
Définition 8. Automate fini complet
Un automate fini est dit complet sur un vocabulaire X ssi
pour chaque état q et chaque symbole s, il existe au moins
une transition qui quitte q avec le symbole s.
Définition 9. Automate fini non ambigu
Un automate fini est dit non ambigu sur un vocabulaire X
Un automate fini est dit non ambigu sur un vocabulaire X
ssi pour chaque état q et chaque symbole s, il existe au plus
une transition qui quitte q avec le symbole s.
Définition 10. Automate fini déterministe
Un automate fini est dit déterministe sur un vocabulaire X
ssi il est complet et non ambigu (pour chaque état q et
chaque symbole s, il existe une et une seule transition qui
quitte q avec le symbole s).
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II.1. Les automates finis déterministes
a
q0
a,b
q1
Non complet sur {a, b} car
d (q0, b) = f
d (q0, b) = f
L(A) = a(a+b)*
a,b
q0
a
b
a
q1
Ambigu sur {a, b} car
Ambigu sur {a, b} car
d (q0, a) = {q0, q1}
L(A) = ((a+b)*a+)+
b
q0
a
b
a
q1
L(A) = (b*a+)+
Automate fini déterministe sur {a, b} car il est complet et non ambigu:
d (q0, a) = {q1} d (q0, b) = {q0} d (q1, a) = {q1} d (q1, b) = {q0}
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II.2. Langage accepté par un automate
fini
Définition 11. Configuration
Une configuration est un couple
(q, w
)
où q est l’état courant et w est le reste du mot à lire.
Pour l’automate suivant, des configurations possibles sont:
Pour l’automate suivant, des configurations possibles sont:
A
b
q0
q0
a
b
a
b
q2
q2
q1
q1
a
(q0, aa) (q1, a) (q2, e )
(q0, bba) (q0, ba) (q0, a) (q1, e )
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II.2. Langage accepté par un automate
fini
Définition 12. Configuration successeur
Une configuration (p, y) est successeur d’une
configuration (q, x) qu’on note:
(q, x) |-- (p, y)
(q, x) |-- (p, y)
ssi
a
$ a / x = a y et d (q, a) = {p}
p
q
a
y
x
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II.2. Langage accepté par un automate
fini
Pour l’automate suivant, des configurations possibles
sont:
A
A
b
q0
q0
a
q1
q1
a
b
a
b
q2
q2
(q0, aa) |-- (q1, a) |-- (q2, e )
(q0, bba) |-- (q0, ba) |-- (q0, a) |-- (q1, e )
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II.2. Langage accepté par un automate
fini
Définition 13. Configuration kème successeur
Une configuration (p, y) est kème successeur d’une
configuration (q, x) qu’on note:
k
(q, x) |-- (p, y) ssi (q, x) |-- (q1, x1) |-- (q2, x2) |--…(qk, xk) = (p, y)
(q, x) |-- (p, y) ssi (q, x) |-- (q1, x1) |-- (q2, x2) |--…(qk, xk) = (p, y)
*
k
(q, x) |-- (p, y) ssi $ k ‡ 0 / (q, x) |-- (p, y)
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II.2. Langage accepté par un automate
fini
Pour l’automate suivant, nous avons :
b
A
q0
q0
a
q1
q1
a
a
b
a
b
q2
q2
*
k
(q0, aa) |-- (q2, e ) puisque: $ k ‡ 0 / (q0, aa) |-- (q2, e )
(q0, aa) |-- (q1, a) |-- (q2, e ) (k = 2)
3
(q0, bba) |-- (q1, e )
En effet, (q0, bba) |-- (q0, ba) |-- (q0, a) |-- (q1, e )
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II.2. Langage accepté par un automate
fini
Définition 14. Langage reconnu par un
automate fini
Soit A = (Q, X, d , q0, F) un automate fini.
Le langage accepté (ou reconnu par A)
Le langage accepté (ou reconnu par A)
est noté L(A) /
est noté L(A) /
L(A) = {w / (q0, w
*
) |-- (qf, e ) , qf ˛
w est accepté par A ssi w
L(A)
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F}
51
˛
II.2. Langage accepté par un automate
fini
Exercice : Soit l’automate fini A suivant :
b
A
q0
q0
a
q1
q1
a
a
b
a
b
q2
q2
Montrer que aa ˛
L(A) et que bba ˇ
L(A)
Corrigé:
aa ˛
L(A) par ce que : (q0, aa) |-- (q2, e ) puisque:
*
(q0, aa) |-- (q1, a) |-- (q2, e ) (k = 2)
bba ˇ
L(A) par ce que : (cid:216)
k / (q0, bba) |-- (q2, e )
k
En effet, (q0, bba) |-- (q0, ba) |-- (q0, a) |-- (q1, e )
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$
II.2. Langage accepté par un automate
fini
Exercice: Considérons l’automate A suivant :
1) Quel est le langage reconnu par A
b
b
A
a
q0
q0
q1
q1
a
a
a
q2
q2
b
Est-ce que le mot e est accepté par A
2)
Corrigé:
1) L(A) = {w
{a, b}*/ |w |a = 3k+2, k ‡ 0} + {w
{a, b}*/ |w |a = 3k, k ‡ 0}
2) e
L(A) par ce que : q0 ˛
F
(q0, e ) est une configuration initiale et finale.
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˛
˛
˛
II.2. Langage accepté par un automate
fini (Lemme d’Arden)
Soit A un automate fini sur un vocabulaire X
Avec x ˛ X
A
qi
x
qj
On dénote par Li, le langage reconnu par l’automate A en considérant que qi
est l’état initial. Ainsi, L0 est le langage reconnu par A
i = x w
j en conséquence Li = xLj
Li / w
Lj (cid:219)
j
i
Si qi est un état final alors Li = x Lj + {e } par ce que si qi est un état initial
et final alors le langage Li contient le mot e
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w
˛
$
w
˛
II.2. Langage accepté par un automate
fini (Lemme d’arden)
Exercice : Soit A un automate fini sur un vocabulaire X= {a,b}, Chercher le
langage L0 reconnu par l’automate A
A
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a
q0
a
q2
q1
a
Corrigé :
L0 = {a} L1(1)
L2 = {a} L0 + {e }
(1)
(4) + (3) ⇒ L0 = {aa} L2 = {aa}({a}L0 + {e }) ⇒ L0 = {aaa}L0 + {aa}
+ (2) ⇒ L0 = {a}{a}L2 = {aa}L2
L1 = {a} L2(2)
(3)
(4)
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⇒ L0 = {aaa}{aa} = (aaa)aa
D’après le lemme d’Arden
II.2. Langage accepté par un automate
fini (Lemme d’arden)
Exercice :
1) Construire un automate qui accepte le langage ab
2) Vérifier que l’automate construit reconnaît le langage ab
Corrigé :
1)
b
a
A
q0
b
b
q1
2) Calculons L0
L0 = {a} L0 + {b}L1 + {e }
L1 = {b} L1 + [e ]
(2) ⇒ L1 = {b}{e } d’après le lemme d’Arden ⇒ L1 = b
(1)
⇒ L0 = {a}L0 + {b} b* + {e }
(1)
(2)
+ (3)
(3)
⇒ L0 = {a}L0 + b+ + {e }
⇒ L0 = {a}L0 + b car b++{e } = b
⇒ L0 = {a}b = abd’après le lemme d’Arden
L(A) = L0 = ab donc l’automate A reconnaît le langage ab
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II.2. Langage accepté par un automate
fini (Lemme d’arden)
Exercice :
1)
2)
Construire une automate qui accepte le langage (a+b)*
Vérifier que l’automate construit reconnaît le langage (a+b)* (L0 est le langage
accepté par l’automate puisque c’est le langage où q0 est l’état initial)
Corrigé:
1)
A
A
a,b
q0
2)
L0 = {a} L0 + {b}L0 + {e }
(1) ⇒ L0 = {a,b} L0 + {e }
(1)
⇒ L0 = {a,b}*{e } d’après le lemme d’Arden
⇒ L0 = {a,b} = (a+b)
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II.3. Rendre déterministe un automate
fini non déterministe
II.3.1. Automate fini non complet
Si l’automate fini est non déterministe par ce qu’il est non complet, alors
pour le rendre déterministe, il suffit d’ajouter un état puit et ajouter
toutes les transitions manquantes vers cet état.
a,b
a,b
a
a
q0
q1
Non complet sur {a, b} car
d (q0, b) = f
L(A) = a(a+b)*
q0
b
a
a
p
q1
a,b
Complet sur {a, b}
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II.3. Rendre déterministe un automate
fini non déterministe
II.3.2. Automate fini ambigu
Si l’automate fini est non déterministe par ce qu’il est
ambigu alors on doit construire un automate en groupant
les états visités par un même symbole à partir d’un état,
ces états groupés forment les nouveaux états de l’automate
déterministe. La construction de l’automate déterministe
déterministe. La construction de l’automate déterministe
suit les étapes suivantes:
Etape 1. Définir les nouveaux groupes d’états
Etape 2. Renommer les nouveaux groupes et définir les états
finaux. Un nouvel état (Groupe d’état) est un état final ssi il
contient un ancien état final
Etape 3. Construire l’automate déterministe
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II.3. Rendre déterministe un automate
fini non déterministe
Exemple1
Etape 1. Définir les nouveaux groupes d’états
a
q0
a,b
a,b
a,b
q1
L(A) = a*(a+b)+
a
a
{q0}
{q0, q1}
{q0, q1}
{q0, q1}
{q1}
{q1}
b
b
{q1}
{q1}
{q1}
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II.3. Rendre déterministe un automate
fini non déterministe
Exemple1
Etape 2. Renommer les états et définir les états finaux
a
q0
a,b
a,b
a,b
q1
a
a
b
b
{q0} A
{q0, q1} B
{q1} C
{q0, q1} B
{q0, q1} B
{q1} C
{q1} C
{q1} C
{q1} C
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II.3. Rendre déterministe un automate
fini non déterministe
Exemple1
Etape 3. Construire l’automate déterministe
A
a
B
b
a
a
b
a,b
C
a
a
b
b
{q0} A
{q0, q1} B
{q1} C
{q0, q1} B
{q0, q1} B
{q1} C
{q1} C
{q1} C
{q1} C
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II.3. Rendre déterministe un automate
fini non déterministe
Exercice : Soit l’automate A suivant, construire un automate fini déterministe
qui reconnaît le même langage
a
q0
a
a,b
q1
Corrigé :
Etape1. Définir les nouveaux groupes d’états
L(A) = a+(a+b)*
a
b
{q0}
{q0, q1}
{q0, q1}
{q0, q1}
{q1}
{q1}
{q1}
{q1}
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f
II.3. Rendre déterministe un automate
fini non déterministe
Etape 2. Renommer les états et définir les états finaux
a
q0
q0
a
a,b
q1
q1
a
b
{q0} A
{q0} A
{q0, q1} B
{q0, q1} B
P
P
{q0, q1} B
{q0, q1} B
{q1} C
{q1} C
{q1} C
{q1} C
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f
f
II.3. Rendre déterministe un automate
fini non déterministe
Etape 3. Construire l’automate déterministe
a
A
A
a
B
B
a
b
a,b
{q0} A
{q0} A
{q0, q1} B
{q0, q1} B
P
P
b
a,b
b
{q0, q1} B
{q0, q1} B
{q1} C
P
C
{q1} C
{q1} C
{q1} C
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