Systèmes différentiels-Équations différentielles



.



.

Exercice 3 :

Soit la matrice A =





1

0

2

1 −1 −1

2

2

−1



.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.

2. En déduire la valeur de exp(tA), t ∈ R.

3. Résoudre le système différentiel







x(cid:48)

1(t) =

x(cid:48)

2(t) =

x(cid:48)

3(t) = −x1(t) + 2x2(t) + 2x3(t)

2x1(t) + x3(t)

x1(t) − x2(t) − x3(t)

.

Exercice 4 ;

On considère la matrice A =





1 −1

−1

1

1

2

3

3 −1



 ∈ M3(R).

1. Justifier que la matrice A est trigonalisable et non diagonalisable.

2. Déterminer un matrice P ∈ GL3(R) telle que A = P T P −1, avec T =







.

0 0 0

0 2 1

0 0 2

3. Résoudre le systéme différentiel X (cid:48) = AX.

Exercice 5 :

On considère l’equation différentielle d’Euler suivante : (E) : t2x(cid:48)(cid:48) + tx(cid:48) − x = t2.

1. Trouver les solutions de (H) : t2x(cid:48)(cid:48) + tx(cid:48) − x = 0 sous la forme t (cid:55)→ tr, r ∈ R.

2. Résoudre (E) sur ]−∞, 0[ et sur ]0, +∞[.

3. Existe-t-il des solutions de (E) définies sur R.

1

Exercice 6 :

On cherche à résoudre sur ]0, +∞[ l’équation différentielle : (E) : x2y(cid:48)(cid:48) − 3xy(cid:48) + 4y = 0.

1. Soit y une solution de (E) sur ]0, +∞[. Pour t ∈ R, on pose z(t) = y(et) .

(a) Calculer pour t ∈ R, z(cid:48)(t) et z(cid:48)(cid:48)(t).

(b) En déduire que z vérifie une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients

constants que l’on précisera (on pourra poser x = et dans (E)).

(c) Résoudre l’équation différentielle trouvée à la question précédente.

2. En déduire les solutions de l’équation (E).

Exercice 7 :

On considère l’équation différentielle (E) : (1 + t2)y(cid:48)(cid:48) + 4ty(cid:48) + 2y =

1

1 + t2 .

1. Résoudre sur R l’équation homogène associée à (E) en cherchant les solutions dévelop-

pables en séries entières.

2. Résoudre sur R l’équation (E).

Exercice 8 :

Soit ϕ une fonction paire, de classe C∞ sur R. On considère l’équation différentielle

(E) : y(cid:48)(cid:48)(x) + ϕ(x)y(x) = 0, x ∈ R

On note :

(cid:63) f0 l’unique solution de (E) sur R vérifiant :

(cid:63) f1 l’unique solution de (E) sur R vérifiant :

(cid:26) f0(0) = 1

f (cid:48)

0(0) = 0

(cid:26) f1(0) = 0

f (cid:48)

1(0) = 1

1.

(a) Montrer que si y est une solution de (E) sur R alors y est C∞ sur R.

(b) Montrer que si y est une solution de (E) sur R alors : x (cid:55)→ y(−x) est aussi solution

de (E) sur R.

(c) En déduire que f0 est une fonction paire et que f1 est une fonction impaire.

(d) Exprimer la solution générale de (E) sur R à l’aide de f0 et f1. En déduire parmi les

solutions de (E) celles qui sont paires et celles qui sont impaires.

2. On suppose que ϕ est 2π-périodique.

(a) Soit y une solution de (E) sur R. Montrer que x (cid:55)→ y(x + 2π) est une solution de

(E) sur R.

(b) En déduire qu’il existe des constantes α0, α1, β0 et β1 que l’on déterminera, telles

que pour tout x ∈ R, on ait

(cid:26) f0(x + 2π) = α0 f0(x) + α1 f1(x)

f1(x + 2π) = β0 f0(x) + β1 f1(x)

(c) Soit la matrice W =

(cid:18)α0 β0

α1 β1

(cid:19)

.

Montrer que (E) admette sur R des solutions non identiquement nulles 2π-périodiques,

si et seulement si 1 est une valeur propre de W .

2