SIGNAUX AL ATOIRES
J.-F. BERCHER
cole Sup rieure dIng nieurs en lectrotechnique et lectronique
Novembre 2001 version 0.8
CHAPITRE I
I Table des mati res
I Signaux al atoires
Table des mati res
1
2
3
4
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
Description compl te .
Description partielle .
1.2.1
1.2.2
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . . . .
Description dun signal al atoire . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . .
1.1
. . . . .
. . . . .
. . . . . .
1.2
. . . . .
Description un instant
. . . . .
. . . . .
Description deux instants . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . .
Propri t s fondamentales . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . .
Stationnarit
2.1
. . . . .
. . . . .
Ergodisme
2.2
. . . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . . . .
Le syndrome gaussien . . . . . .
2.3
2.4
. . . . .
. . . . .
Signaux al atoires temps discret
Propri t s nerg tiques des signaux al atoires stationnaires de puissance moyenne nie . . .
. . . . .
3.1
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
Contexte
. . . . .
Maximisation du rapport signal- -bruit
Approche probabiliste . . . . . .
. . . . .
Notes sur le choix du signal test, signaux pseudo-al atoires . . .
. . . . .
. . . . . .
Analyse dans le domaine temporel . . . . .
. . . . . .
D nitions et propri t s . . . . .
3.1.1
3.1.2
. . . . . .
. . . . .
Notion de bruit blanc .
Transformation des fonctions al atoires par ltrage . .
. . . . . .
3.2.1
. . . . . .
3.2.2
3.2.3
. .
. . . . . .
Analyse dans le domaine fr quentiel . . . .
3.3
. . . . . .
. . . . .
La repr sentation de Cram r . . .
3.4
. . . . . .
3.5
. . . . .
Bruit blanc temps discret . . . .
. . . . . .
Un exemple dapplication : le ltrage adapt . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . . . . .
4.1
. . . . . .
4.2
. .
4.3
. . . . . .
. . . . .
4.4
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . .
Rappel
Transformation de la moyenne .
Th or me, ou formule des interf rences
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . .
3.2
.
Exercices et probl mes .
3
5
5
5
6
6
6
7
7
8
9
11
11
11
11
13
14
14
14
15
17
20
21
21
21
21
23
24
26
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
CHAPITRE I
SIGNAUX AL ATOIRES
DE LA M ME MANI RE quune variable al atoire est un ensemble de valeurs caract ris par une loi de
probabilit , on appellera signal al atoire, ou processus al atoire un ensemble de fonctions auquel on
adjoint une loi de probabilit .
Existe-il des signaux naturels qui soient intrins quement al atoires ? La plupart des ph nom nes non-
Advertisement
quantiques peuvent tre d crits laide d quations de la physique : le jeu de pile ou face, si lon conna t
les caract ristiques physiques de la pi ce, limpulsion donn e, la densit et la composition de lair, la temp -
rature, la pression atmosph rique, la gravit locale, est un jeu dont le r sultat est parfaitement pr visible. De
m me pour le tirage du loto. Simplement le syst me d pendant dun trop grand nombre de variables et de
param tres devient trop compliqu d crire. Dautres exemples sont le signal de parole, l lectromyogramme
ou la mesure de lactivit c r brale, dont on peut esp rer quils ne r sultent pas de tirages au hasard , sont
caract ris s comme des signaux al atoires. Dautres signaux sont impossibles caract riser a priori . Il
sagit en particulier dun message transmis sur une ligne t l phonique (ou autre) : du point de vue du r cepteur,
ce signal est al atoire jusqu sa r ception. En effet si ce signal tait d j connu du r cepteur, son contenu
informationnel serait nul et il serait inutile de le transmettre. Ainsi, on pourra mod liser comme des signaux
al atoires les signaux dont le processus de production est trop compliqu d crire, ou m connu, ou des signaux
pour lesquels lal a provient de la propre incertitude de lobservateur. partir dun mod lisation probabiliste,
il faut alors esp rer que lon pourra aboutir une caract risation int ressante et des outils de traitement qui
pourront permettre dextraire de linformation des signaux al atoires.
Notation :
On notera X(t, ) un signal al atoire X. Il sagit dun ensemble de fonctions de la variable t, cet ensemble
tant index par la variable . Un signal al atoire est une quantit bivari e, d pendant la fois du temps t
et de l preuve . Lorsque l preuve est x e, par exemple =
i, on obtient une r alisation du processus
al atoire que lon notera X(t,
(t). Lorsque la variable t est x e, le processus al atoire
i
se r duit alors une simple variable al atoire. En consid rant le processus pour t = ti, on obtient ainsi une
( ), ou Xi. Enn, on notera xi les valeurs prises par la variable
variable al atoire X(ti
al atoire Xi.
, ), que lon notera Xi
) ou plus simplement xi
1 Description dun signal al atoire
Les signaux al atoires pourront tre caract ris s par le biais de deux types de description : une description
compl te qui permet de caract riser compl tement le processus, mais qui n cessite une connaissance norme,
et une caract risation partielle, partir des moments du processus al atoire.
1.1 Description compl te
X(t, ) est connu si t1
,t2
, . . . ,tk, et k, on conna t la loi conjointe
pX1
,X2
,...,Xk
(x1
, x2
, . . . , xk
),
, X2
, ). En fait,
o X1
ceci est quivalent dire que lon conna t X(t, ) si lon conna t les lois de toutes les variables al atoires
, . . . , Xk sont les variables al atoires associ es aux k instants : X(t1
, ), . . . , X(tk
, ), X(t2
Page 6
ChapitreI. Signaux al atoires
, ), ainsi que toutes les interactions entre ces variables, et ceci i. . . La connaissance avoir est donc
X(ti
gigantesque, et le plus souvent inaccessible, et lon devra se contenter dune description partielle.
1.2 Description partielle
1.2.1 Description un instant
On dit que X(t, ) est connu un instant, si, t1, on conna t la loi de la variable al atoire X(t1
, ). Celle-ci
est simplement une variable al atoire au sens habituel, que lon peut en g n ral (si ceux-ci existent et hors
quelques cas de gures exceptionnels) caract riser laide des moments.
Moments : on notera
mX
(t1
) = E
(cid:1)
X(t1
(cid:2)
, )
m
(n)
X
(t1
) = E
(cid:1)
X(t1
, )n
(cid:2)
(cid:3)
(cid:3)
=
...
=
x1 pX1
(x1
)dx1
xn
1 pX1
(x1
)dx1
(I.1)
(I.2)
Rappelons avec force que E {} d signe lesp rance math matique, que lint grale est prise sur le domaine
de variation de l amplitude de X1, cest- -dire de X(t, ) consid r linstant x t1. L criture
(cid:3)
E {X(t, )} =
X(t)p(X(t, )dt,
(trop) souvent rencontr e dans des copies, indique une incompr hension attristante et constitue une erreur
impardonnable.
1.2.2 Description deux instants
On dit que X(t, ) est connu deux instants, si, t1
, ) et X(t2
, ) :
X(t1
,t2, on conna t la loi conjointe des variables al atoires
(x1
,X2
La connaissance deux instants n cessite donc de conna tre le lien statistique entre X(t1
est connue t1
, x2
pX1
,t2
)
.
, ) et X(t2
, ).
Notion de covariance :
On appelle
CX
(t1
,t2
) = E
(cid:1)
X(t1
)X(t2
)
(cid:3) (cid:3)
(cid:2)
=
x1x
2 pX1
,X2
(x1
, x2
)dx1dx2
fonction de covariance. 1 Il sagit dans le cas g n ral dune fonction bivari e qui permet de quantier un certain
lien statistique entre les variables al atoires X1 et X2. Dans la mesure o largument de lesp rance math -
matique fait intervenir le produit de deux variables al atoires, et est donc homog ne un carr , on parlera
de caract risation lordre 2.
Remarque : En g n ral, on ne peut pas exprimer la distribution conjointe pX1
butions pX1
), sauf dans le cas o les variables sont ind pendantes. On a alors
) et pX2
(x1
(x2
,X2
(x1
, x2
) en fonction des distri-
,X2
pX1
, x2
) = pX1
(x1
)pX2
(x2
),
(x1
et la fonction de covariance s crit simplement
X(t1
) = mX
,t2
(t1
CX
soit CX
) = E
,t2
(t1
Lorsquun tel signal est centr , cest- -dire de valeur moyenne nulle, alors C(t1
de signal al atoire est appel bruit blanc (au sens strict).
= E
).
(t2
)X(t2
(t1
)
)mX
X(t2
X(t1
(cid:2)
)
)
E
(cid:2)
(cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
(cid:2)
,
,t2
) = 0, pour t1
(cid:3)= t2. Ce type
1En toute rigueur, il faudrait r server le terme de covariance la formule pr c dente appliqu e des signaux centr s, pour lesquels
on a alors simplement une extension de la notion de variance dune variable deux variables al atoires. Il sagit ici dune fonction
puisque ces deux variables d pendent respectivement de t1 et t2. Lorsque les signaux ne sont pas centr s, on pourrait parler de moment
dordre 2 crois .
2. Propri t s fondamentales
Page7
2 Propri t s fondamentales
2.1 Stationnarit
La stationnarit est une propri t particuli rement importante pour lanalyse des signaux al atoires.
D nition 1 On dit quun signal al atoire est stationnaire si ses propri t s statistiques sont invariantes par
translation dans le temps.
En ce qui concerne la description compl te, ceci se traduit par
pX(t1
),X(t2
),...,X(tk
) = pX(t1
),X(t2
),...,X(tk
),
et si = tk,
pX(t1
) = pX(t1
La distribution conjointe ne d pend plus alors que de k 1 param tres, au lieu des k param tres initiaux. Ceci
va se prolonger la description partielle : les moments, qui d pendent dans le cas g n ral de linstant consid r ,
)
deviennent des quantit s ind pendantes du temps dans le cas stationnaire. La fonction de covariance CX
devient quant- -elle une quantit d pendant uniquement de l cart entre t1 et t2.
),...,X(0).
),...,X(tk
),X(t2
),X(t2
,t2
(t1
tk
tk
Pour la description partielle un instant, on a ainsi
pX(t1
) = pX(t1
) = . . . = pX(0).
Toutes les variables X(ti
, ) poss dent ainsi la m me loi un instant. Par suite,
(cid:1)
(cid:2)
(cid:2)
(cid:1)
E
X(t1
)n
= E
X(t1
)n
= . . . = m(n)
X
.
On en d duit donc que tous les moments sont ind pendants du temps.
deux instants, la distribution conjointe ne d pend que de l cart entre les deux instants et non des instants
eux-m mes :
pX(t1
),X(t2
) = pX(t1
t2
),X(0).
On en d duit donc que
Advertisement
(cid:1)
CX
(t1
,t2
) = E
X(t1
)X(t2
)
(cid:2)
(cid:1)
= E
X(t1
t2
)X(0)
(cid:2)
(cid:1)
= E
X(0)X(t2
t1
(cid:2)
)
= E {X(t)X(t )} ,
avec t quelconque et = t1
de temps. On pose
t2. La covariance devient une fonction de corr lation, qui ne d pend que de l cart
( ) = E {X(t)X(t )} .
RX
On peut v rier la stationnarit en calculant tous les moments, tous les ordres. Ceci nest pas forc ment
utilisable, et on se contentera souvent d tudier une stationnarit au sens faible (par opposition la stationnarit
stricte), en d nissant une stationnarit lordre 1 le moment dordre 1 est ind pendant du temps, et une
stationnarit lordre 2 moment dordre 1 et fonction de covariance invariants par translation dans le temps.
Exercice 1 : Si
X(t, ) = A( ) cos(2 f0t),
o A( ) est une variable gaussienne centr e et de variance 2, v riez que X(t, ) est stationnaire
lordre 1 mais pas lordre 2.
Page 8
2.2 Ergodisme
ChapitreI. Signaux al atoires
Lergodisme est une propri t tr s souvent employ e, mais non v riable, lexception de quelques do-
maines de la physique. En traitement du signal, lergodisme sera le plus souvent un postulat, n cessaire pour
travailler.
On consid re un signal al atoire X(t, ). On note xi
(t) les diff rentes r alisations de ce signal. On d nit
(cid:3)
(cid:4)xn
i
(cid:5) = lim
T +
1
T
(t)ndt,
xi
la moyenne temporelle prise sur la r alisation i, durant toute son histoire. De la m me mani re, on d nit les
moyennes temporelles du signal al atoire X(t, ) par
(cid:4)X(t, )n(cid:5) = lim
T +
(cid:3)
1
T
X(t, )ndt.
Dans le cas g n ral, cette moyenne est une variable al atoire, (n)( ) dont les r alisations sont les (cid:4)xn
i
m me fa on, on d nit des moyennes temporelles crois es, comme
(cid:5). De la
(cid:4)X(t, )X(t , )(cid:5) = lim
T +
(cid:3)
1
T
X(t, )X(t , )dt.
D nition 2 Le signal X(t, ) est dit ergodique si les moyennes temporelles sont des nombres certains.
Cette propri t entra ne donc, puisque (cid:4).(cid:5) est une variable certaine, que toutes les r alisations prennent la
m me valeur. En ce qui concerne les moments, on a ainsi (cid:4)X(t, )n(cid:5) qui est un nombre certain, ce qui entra ne
(cid:4)xn
1
(cid:5). On notera (n) ce nombre.
(cid:5) = . . . = (cid:4)xn
k
(cid:5) = (cid:4)xn
2
Il est dune grande importance pratique davoir la fois stationnarit et ergodisme. En effet, dans ce cas de
gure, les moyennes densemble (les esp rances math matique) et les moyennes temporelles sont gales.
Exemple (moments).
On a
(cid:4)X(t, )n(cid:5) = lim
T +
(cid:3)
1
T
X(t, )ndt.
Si le signal al atoire est ergodique, alors (cid:4)X(t, )n(cid:5) est un nombre certain et
E {(cid:4)X(t, )n(cid:5)} = (cid:4)X(t, )n(cid:5) = (n).
Par cons quent,
(n) = (cid:4)X(t, )n(cid:5) = lim
T +
(cid:3)
(cid:3)
1
T
1
T
= E {X(t, )n} = m
= lim
T +
E {X(t, )n} dt,
E {X(t, )n} dt,
,
(n)
X
o la derni re ligne a t crite en utilisant le fait que E {X(t, )n} ne d pend pas du temps si X(t, ) est
stationnaire.
Dans le cas stationnaire et ergodique, on a donc
E {X(t, )n} = lim
T +
(cid:3)
1
T
X(t, )ndt,
ce qui signie que lon peut calculer les esp rances math matiques en effectuant des moyennes temporelles
sur des r alisations quelconques du signal. Ceci est dune grande importance pratique, car il est rare que lon
dispose de plusieurs r alisations du processus (et encore moins dune innit ), et de sa distribution de proba-
bilit . Notons cependant quil est au moins aussi rare que lon dispose de r alisations du signal de + ;
2. Propri t s fondamentales
Page9
on ne pourra donc pas calculer exactement la valeur des moyennes par la formule pr c dente. On se contentera
dapprocher le r sultat par des moyennes temporelles sur la dur e o est connu une r alisation du processus.
On parle alors destimation.
Exemple (covariance).
On a
(cid:4)X(t, )X(t , )(cid:5) = lim
T +
Si le signal est ergodique, il vient
(cid:4)X(t, )X(t , )(cid:5) = lim
T +
1
T
X(t, )X(t , )dt.
(cid:3)
1
T
(cid:3)
E {X(t, )X(t , )} dt,
et par stationnarit ,
E {X(t, )X(t , )} = RX
( )
est ind pendant du temps t. Dans ce cas, on obtient
(cid:4)X(t, )X(t , )(cid:5) = E {X(t, )X(t , )} = RX
( ),
soit nalement
RX
( ) = E {X(t, )X(t , )} = lim
T +
(cid:3)
1
T
X(t, )X(t , )dt.
2.3 Le syndrome gaussien
Le signal al atoire gaussien est d duit de la variable al atoire gaussienne. Le signal al atoire gaussien est
tr s important en traitement du signal en raison de sa facilit demploi, de loptimalit des m thodes du second
ordre pour les signaux gaussiens, et par son omnipr sence li e au(x) th or me(s) central limite.
),X(t2
pX(t1
(cid:4)
x1
conjointe
On rappelle que X(t, ) est connu, au sens de la description compl te, si lon conna t la distribution
(cid:5)
, . . . , xk
, x2
, ) sont des variables al atoires gaussiennes. Or on sait
Le signal est un processus gaussien si tous les X(ti
quune variable al atoires gaussienne est enti rement caract ris e par ses deux premiers moments. La des-
(t) t, tandis que la description deux instants impose
cription un instant n cessitera donc de conna tre mX
,t2. dans le cas dun processus stationnaire, ceci se r duit la connaissance de la
) t1
de conna tre CX
moyenne mX et de la fonction dautocorr lation RX
En introduisant le vecteur X( ) de dimension k
, . . . ,tk et k.
),...,X(tk
( ).
t1
(t1
,t2
,t2
)
la distribution du vecteur gaussien X( ) est
X( )t = ,
(x) =
pX
1(cid:6)
(2 )k det R
exp
(cid:7)
1
2
(x mX
)tR1(x mX
(cid:8)
)
,
o
et
mX
= E {X( )} = t dans le cas stationnaire,
), . . . , mX
(tk
)]t ,
R = E {X c( )X
c
( )} =
(cid:1)
Xc(t1
(cid:1)
Xc(t2
(cid:1)
Xc(tk
E
E
E
, )Xc(t1
, )Xc(t1
...
, )Xc(t1
(cid:2)
(cid:2)
(cid:2)
, )
, )
, )
E
E
E
(cid:1)
(cid:1)
Xc(t1
Xc(t2
(cid:1)
Advertisement
Xc(tk
(cid:2)
(cid:2)
(cid:2)
, )Xc(t2
, )Xc(t2
, )
, )
, )Xc(t2
, )
. . . E
. . . E
. . .
. . . E
(cid:1)
(cid:1)
Xc(t1
Xc(t2
(cid:1)
Xc(tk
,
(cid:2)
(cid:2)
(cid:2)
, )Xc(tk
, )Xc(tk
...
, )Xc(tk
, )
, )
, )
Page 10
ChapitreI. Signaux al atoires
o X c d signe le signal centr : Xc = X mX . On obtient nalement
(0)
t2
)
RX
)
(t2
RX
t1
(0)
R =
RX
RX
(t1
...
(t1
)
)
. . . RX
. . . RX
. . .
. . .
t1
t2
(tk
(tk
...
(0)
)
RX
tk
tk
) RX
(t2
dans le cas stationnaire. Le terme mX est la moyenne du vecteur gaussien X( ), et R est la matrice de corr la-
tion. La distribution p(X( )) nest autre que la distribution conjointe des k variables al atoires X(t1
), ou la moyenne mX et
Par cons quent, si lon conna t la moyenne mX
( ) du processus (dans le cas stationnaire), on est capable d crire la distribution
la fonction de corr lation RX
conjointe, et ceci quelque soient les ti et pour nimporte quelle dimension k. Ainsi, dans le cas gaussien, la
connaissance de la moyenne et de la fonction de covariance suft caract riser enti rement le processus.
(t) et la fonction de covariance CX
, ), X(t2
,t2
(t1
RX
, ), . . . , X(tk
, )
Une autre d nition du processus gaussien est
D nition 3 Le processus X(t, ) est un processus gaussien si, quelque soit la fonction g(t),
(cid:3)
Z( ) =
g(t)X(t, )dt
est une variable gaussienne.
On peut d duire de cette d nition une propri t fondamentale des processus gaussiens : le caract re gaussien
se conserve par transformation lin aire. En dautres termes, si lentr e dun ltre lin aire est gaussienne, alors
la sortie du ltre est galement gaussienne.
Supposons donc que Y (t, ) est la sortie dun ltre de r ponse impulsionnelle h(t) et dentr e X(t, ). Cette
sortie sexprime donc sous la forme du produit de convolution
Y (t, ) = (X h)(t, ) =
(cid:3) +
h(t )X( , )d .
partir de la sortie Y (t, ), on forme la variable al atoire Z selon
(cid:3)
Z =
g(t)Y (t, )dt.
En crivant Y (t, ) en fonction de X(t, ) et h(t), il vient alors
Z =
(cid:3) (cid:3) +
g(t)h(t )X( , )dtd ,
et en int grant par rapport t et en posant alors
il reste simplement
w( ) =
(cid:3) +
(cid:3)
g(t)h(t )dt,
Z =
w( )X( , )d .
Si X( , ) est, par hypoth se, un signal al atoire gaussien, alors Z est une variable gaussienne, par d nition et
dapr s la relation pr c dente. Z ayant t introduit comme une transformation de Y (t, ), avec g quelconque,
on en d duit que Y (t, ) est un processus al atoire gaussien.
Ainsi, puisque le ltrage dun processus gaussien conserve le caract re gaussien, il nous restera examiner
comment se transforment la moyenne et la fonction de corr lation, ces deux quantit s sufsant d crire un
processus gaussien stationnaire. Nous examinerons ces points dans quelques paragraphes.
Limportance des signaux al atoires gaussiens, outre leur facilit dutilisation li e la manipulation de
seulement deux moments, provient galement de limportance quantitative des signaux gaussiens, li e au(x)
th or mes(s) central limite. Il existe en effet un certain nombre de th or mes qui indiquent quun m lange de
variables al atoires, tend, lorsque le nombre de variables dans le m lange augmente, vers une distribution gaus-
sienne. Ces th or mes se distinguent par les hypoth ses faites sur les lois des variables, leurs liens statistiques
ou des hypoth ses sur les conditions de m lange. Une formulation simple est la suivante :
3. Propri t s nerg tiques dessignaux al atoires stationnaires depuissance moyenne nie
Page11
Thor me 1 Soit
YN
= 1
N
N
i=1
,
Xi
o Xi sont des variables al atoires ind pendantes et de m me loi. Alors, lorsque N +, la variable YN tend
vers une variable al atoire gaussienne de moyenne m et de variance 2/N, si m et 2 sont les moyenne et
variance commune des variables Xi.
Ceci indique, que comme cest souvent le cas en pratique, lorsquun signal al atoire est compos par la super-
position dun grand nombre de signaux l mentaires , alors le signal r sultant est bien approxim par une
distribution gaussienne. Rappelons quil existe dautres th or mes limite qui prennent en compte des combinai-
sons lin aires quelconques de variables, qui peuvent tre li s, et dont les distributions peuvent tre diff rentes.
2.4 Signaux al atoires temps discret
partir des signaux al atoires pr c demment d nis temps continu , cest- -dire que la variable
d volution t prend ses valeurs dans IR, on d nit des signaux al atoires temps discret , ou la variable
d volution n prend ses valeurs dans un ensemble discret, NN, par exemple. Rappelons que sil est commode
dappeler t et n des variables temporelles, celles-ci ne sont pas n cessairement homog nes un temps : t et n
peuvent repr senter une distance, un volution dune intensit de stimulation ou autre.
On note X(n, ) un signal al atoire X, un ensemble de fonctions de la variable n, cet ensemble tant index
)
par la variable . On notera x(n) une r alisation du processus al atoire et on d signera par xi
(n) ou X(n,
i
une r alisation particuli re, obtenue pour =
i. Lorsque n est x , le processus al atoire se r duit alors une
simple variable al atoire. Le processus al atoire temps discret ne se r duit pas une collection de variables
al atoires ind pendantes ; ces variables al atoires peuvent tre li es les unes aux autres, par le biais dune
fonction de la variable d volution n.
Un signal al atoire temps discret peut tre construit directement temps discret, ou tre intrins quement
de nature discr te, ou peut r sulter de l chantillonnage dun signal al atoire temps continu.
Les notions de description compl te et partielles, les d nitions des moments et covariance, les propri t s
de stationnarit , dergodisme se transposent directement partir du cas continu, un tr s faible am nagement
de notation pr s. Nous poursuivrons donc la pr sentation en donnant les r sultats pour ces deux classes de
signaux al atoires, et en donnant les argumentations et exemples en se pla ant tant t dans un cas, tant t dans
lautre.
3 Propri t s nerg tiques des signaux al atoires stationnaires de puissance
moyenne nie
Les propri t s nerg tiques des signaux al atoires stationnaires sont d crites laide des moments dordre
deux, cest- -dire des fonctions dauto et dintercorr lation, dans le domaine temporel, et laide des densit s
spectrales de puissance, dans le domaine de Fourier.
3.1 Analyse dans le domaine temporel
Les notions importantes sont ici les notions de fonctions de corr lation et leurs propri t s.
3.1.1 D nitions et propri t s
D nition 4 Si X(t, ) et Y (t, ) sont deux processus al atoires conjointement stationnaires, les fonctions
dintercorr lation et dautocorr lation sont d nies par
RXY
RXX
( ) (cid:7)= E {X(t, )Y
(t , )} =
erg
( ) (cid:7)= E {X(t, )X (t , )} =
lim
T +
lim
T +
erg
(cid:3)
(cid:3)
1
T
1
T
X(t, )Y
(t , )dt,
X(t, )X (t , )dt,
Page 12
ChapitreI. Signaux al atoires
et, temps discret, par
RXY
RXX
(k) (cid:7)= E {X(n, )Y (n k, )} =
erg
lim
N +
(k) (cid:7)= E {X(n, )X
(n k, )} =
erg
lim
N +
1
N
1
N
N
n=0
N
n=0
X(n, )Y (n k, ),
X(n, )X
(n k, ).
Notons que si on note Ech lop rateur d chantillonnage et Corr lop rateur de corr lation, alors on a
Corr ] = Ech ];
et cest bien heureux, car les corr lateurs analogiques ne courent pas les rues.
Les fonctions de corr lation jouissent dun certain nombre de propri t s que nous rappelons ci-dessous.
1. (Sym trie hermitienne)
RY X
( ) = E {Y (t, )X
(t , )} = E {Y (t + , )X
(t, )} = E {X(t, )Y
(t + , )} = R
XY
( ).
Advertisement
On dit que lintercorr lation est sym trie hermitienne.
2. (Parit ). En appliquant la propri t de sym trie hermitienne lautocorr lation, on obtient
RXX
( ) = R
XX
( ).
3. (Centrage). Si mX est la moyenne de X(t, ), en d nissant par Xc(t, ) = X(t, ) mX le signal centr ,
on a
4. (Autocorr lation et puissance). Pour un retard nul, on a
RXX
( ) = RXcXc
( ) + m2
X
.
RXX
(0) = E
(cid:1)
|X(t, )|2
(cid:2)
=
erg
lim
T +
1
T
(cid:3)
|X(t, )|2dt = PX
.
La fonction dautocorr lation prise pour le retard nul, RXX
en d duit dailleurs que RXX
(0) > 0.
5. (Maximum). partir de lin galit de Schwartz,
(0), est simplement la puissance du signal. On
| < x, y > |2 d< x, x >< y, y >,
et en utilisant < x1
(a) |RY X
(b) |RXX
, x2
( )|2 d RXX
( )| d RXX
>= E
(0)RYY
(0), ,
(cid:2)
(t)
(cid:1)
(t)X
X1
2
(0), ,
comme produit scalaire, on d duit que
(cid:1)
Exercice 2 : Au sens du produit scalaire d ni ci-dessus, d montrez lin galit de Schwartz en d velop-
en un polyn me en et en notant que ce polyn me est toujours positif. partir de
pant E
cette in galit , retrouvez les deux propri t s de maximum.
|X + Y |2
(cid:2)
6. La fonction dautocorr lation est d nie non n gative :
i
j
iRXX
(
i
j
)
j
e 0, i, j.
Ceci s tablit en d veloppant E
En reprenant cette d marche, on peut tudier
i
iX(
i
|
)|2
(cid:1)
(cid:2)
, qui est une quantit positive.
(cid:3)
(cid:7)
|
E
X(t, ) exp ( j2 f t)dt|2
,
(cid:8)
3. Propri t s nerg tiques dessignaux al atoires stationnaires depuissance moyenne nie
Page13
expression qui n cessiterait quelques pr cautions d criture (la transform e de Fourier dun processus
al atoire stationnaire na pas de sens). En d veloppant tout de m me, on a
(cid:7)(cid:3)
(cid:3) (cid:3)
(cid:3) (cid:3)
E
=
=
X(t, ) exp ( j2 f t)dt
X (t(cid:10), ) exp ( j2 f t(cid:10))dt(cid:10)
(cid:3)
(cid:8)
(cid:1)
(cid:2)
X(t, )X(t(cid:10), )
E
RXX
(t t
(cid:10)) exp ( j2 f (t t
exp ( j2 f (t t(cid:10)))dtdt(cid:10)
(cid:10)))dtdt
(cid:10),
soit, en posant t t(cid:10) = ,
(cid:3)
( f ) (cid:7)=
SXX
RXX
( ) exp ( j2 f )d e 0.
On en d duit donc que la transform e de Fourier de la fonction dautocorr lation est toujours posi-
tive. On dit aussi que le caract re d ni non n gatif se conserve par transform e de Fourier. Ce r sultat
constitue le th or me de Bochner.
7. (M moire). On a vu que |RXX
( )| d RXX
( )
(0)
c( ) (cid:7)= RXX
RXX
(0). On appelle
=
(cid:6)
E {X(t, )X (t , )}
E {|X(t, )|2} E {|X (t , )|2}
le coefcient de corr lation, dont on v rie ais ment quil est compris entre -1 et 1. Il sagit en fait de
la fonction dautocorr lation normalis e par rapport son maximum. Lorsquau bout dun temps tc le
coefcient de corr lation devient nul, le processus est dit m moire nie.
3.1.2 Notion de bruit blanc
Un bruit blanc est un mod le de signal al atoire limite que lon rencontrera tr s souvent. Le bruit blanc
est un bruit corr lation microscopique, cest- -dire quentre deux instants, si proches soient-ils, c( ) = 0.
On pose, par d nition,
RXX
( ) (cid:7)= N0
2
( ),
o ( ) est la distribution de Dirac. On peut noter d s pr sent que la transform e de Fourier de cette fonction
dautocorr lation, que lon a d j not e SXX
/2.
( f ), est une constante, damplitude N0
( )] = N0
2
( f ) = T F ; et
on sint resse au signal p riodique
X(t, ) = RepT
=
k
U(t kT, ).
1. Montrez que RUU
2. Montrez que RXX
( ).
RUU
( ) = 0 pour / .
( ) est une fonction p riodique de p riode T et exprimez RXX
( ) en fonction de
Page 14
ChapitreI. Signaux al atoires
Exercice 5 : On consid re le signal al atoire temps discret X(n, ), dautocorr lation RXX
d nit
(k), et on
Calculez la fonction dautocorr lation de Z(n, ).
Z(n, ) = X(n, ) + aX(n n0
, ).
3.2 Transformation des fonctions al atoires par ltrage
On tudie ici comment sont transform s les signaux al atoires, ou plus exactement leurs caract ristiques,
lors dun ltrage lin aire. On sint ressera dabord la repr sentation temporelle, transformation de la moyenne
et des fonctions de corr lation, et tablirons la formule des interf rences et ses cons quences, puis nous exami-
nerons la transformation des caract ristiques du signal dans le domaine fr quentiel.
3.2.1 Rappel
On rappelle quun ltre est un syst me lin aire invariant dans le temps (stationnaire), que lon peut d crire
par une quation diff rentielle coefcients constants ou par une int grale de convolution. temps continu, si
X(t, ) est lentr e du ltre de r ponse impulsionnelle h(t), on a
Y (t, ) = (X h)(t, ) =
X(u, )h(t u)du =
h(u)X(t u, )du.
(cid:3)
(cid:3)
temps discret, si X(n, ) est lentr e du ltre de r ponse impulsionnelle h(n), on a
Y (n, ) = (X h)(n, ) =
m
X(m, )h(n m) =
m
h(m)X(n m, ).
3.2.2 Transformation de la moyenne
On note mY la moyenne de la sortie du ltre, et on effectue le calcul temps discret.
(cid:7)
(cid:8)
mY
= E {Y (n, )} = E
h(m)X(n m, )
m
=
m
h(m)E {X(n m, )} = mX
m
h(m).
La moyenne de la sortie est donc simplement la moyenne du signal dentr e affect e du facteurm h(m). Or si
lon consid re la transform e de Fourier H( f ) de h(m),
H( f ) =
m
h(m) exp { j2 f m}
(transform e de Fourier fr quence continue), on note que pour la fr quence nulle, on retrouve
Ainsi, la moyenne en sortie s crit
H(0) =
m
h(m).
mY
= mX H(0) = mX
m
h(m).
La moyenne de la sortie du ltre est la moyenne de lentr e, multipli e par le gain complexe (la fonction de
transfert) pour la fr quence nulle.
Exercice 6 : Montrez que pour un signal al atoire temps continu, on a les formules analogues :
(cid:3)
mY
= mX H(0) = mX
h(u)du.
3. Propri t s nerg tiques dessignaux al atoires stationnaires depuissance moyenne nie
Page15
3.2.3 Th or me, ou formule des interf rences
La tr s importante formule des interf rences permet de relier lintercorr lation entre les sorties de deux
ltres, aux intercorr lations des entr es de ces ltres. La gureI.1 d crit le dispositif exp rimental.
(cid:7)
Y1
Y2
(n, ) = (X1
(n, ) = (X2
h1
h2
)(n, ),
)(n, ),
(n)
X1
(cid:1)
(n)
h1
(n)
Y1
(cid:1)
(n)
...