S rie de r vision Logique Math matique
Question 1: (Op rations sur les formules)
Montrer que les deux formules suivantes sont quivalentes en utilisant les lois alg bre des
propositions:
(5C ( 5D) 5E a (5C 5E) ' (5D 5E)
(5C ( 5D) 5E a (5C ( 5D) ( 5E
Commutativit
Morgan
a ( 5C ' 5D) ( 5E
a5E ( ( 5C ' 5D)
a (5E ( 5C) ' (5E ( 5D)
a ( 5C ( 5E) ' ( 5D ( 5E)
a (5C 5E) ' (5D 5E)
Distributivit
Commutativit
Question 2 : (Table de Beth)
Montrer que lassertion ( la formule) suivante est une tautologie (Th or me) en utilisant le
raisonnement par labsurde:
5C (5D 5E) (5C ' 5D) 5E
5C (5D 5E) (5C ' 5D) 5E 5R5`5a 5^5b5V5c5N5Y5R5[5a5R (5C (5D 5E)) ((5C ' 5D) 5E) : 5S(5C, 5D, 5E)
(5C (5D 5E)) ((5C ' 5D) 5E)
contradiction.
est une tautologie ssi sa r futation conduit une
(5C (5D 5E)) ((5C ' 5D) 5E)
*
5C (5D 5E)
*
(5C ' 5D) 5E
*
5C ' 5D
5E
5C
5D
5C
5D 5E
*
5D 5E
Toutes les branches de larbre de Beth sont closes donc la r futation de la formule 5S(5C, 5D, 5E)
est une contradiction et par suite la formule
tautologie.
(5C (5D 5E)) ((5C ' 5D) 5E)
est une
Question 3 (d monstration)
Prouver que la formule suivante est un th or me en utilisant une d duction naturelle (th orie
de la d monstration)
(
(5C ( 5D
) 5E) (5E 5F) 5F 5C
Il sagit dune d monstration dimplication donc le cas de figure d'application du th or me
de la d duction:
{
(
(5C ( 5D
(
(5C ( 5D
) 5E); 5E 5F; 5F
Advertisement
) 5E) (5E 5F) 5F 5C
en appliquant 3 fois le TDD
est quivalente
} 5C
) 5E; 5E 5F; 5F
}
) 5E
D duction sous hypoth ses
(
{
5C ( 5D
1- 5f5] 5C ( 5D
(
2- 5f5] 5E 5F
3- R gle de la transitivit de limplication sur 1&2:
(remarque r gle de la transitivit de limplication 54 55; 55 56
{
4-5f5] 5F
5- mtt sur 3&4:
(remarque mtt 54 55; 55
6- 54
: ( 5C ' 5D) 5C
4
{
(
5C ( 5D
{
) 5F; 5F
{
(
5C ( 5D
} 54)
*
} (5C ( 5D) (5C ( 5D) a 5C ' 5D
or
) 5E; 5E 5F
} 5C ( 5D
(
*
) 5F
} 54 56)
7- 5Z5]5] 5`5b5_ 5&6: 5C ' 5D; ( 5C ' 5D) 5C
Conclusion : 5C
{
} 5C
Question 4 :( Argumentation)
Largument suivant est-il valide? Justifier.
Si carlo a remport la comp tition, Mario est arriv second ou Sergio est arriv troisi me.
Sergio nest pas arriv troisi me. Ainsi, si Mario nest pas arriv deuxi me, Carlo na pas
gagn la comp tition.
a- D finir des propositions:
C Carlo remporte la comp tition
M mario est arriv second
S sergio est arriv troisi me
b- formalisme:
56 (5@ ( 5F)
5F
5@ 56
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;
56 (5@ ( 5F) 5F 5@ 56
56 (5@ ( 5F) 5F
c- Condition de validit de largument:
Largument
fois que les pr misses
et
(Remarque la condition de validit dun argument (th or me): largument
5@ 56
une tautologie )
d- Table de v rit
est valide ssi le r sultat
sont vraies. (d finition)
est valide ssi la formule
5@ 56
5S(56, 5@, 5F): ((56 (5@ ( 5F)) ' ( 5F)) ( 5@ 56)
est vrai chaque
;
56 (5@ ( 5F) 5F
est
largument s crit en fonction de trois atomes C, S et M donc la table de v rit contient 8
lignes. b
56 5@ 5F 56 5@ 5F 5@ ( 5F 56 (5@ ( 5F) 5@ 56 (56 (5@ ( 5F)) ' 5F
5S( 56, 5@, 5F)
f
f
f
f
v
v
v
v
f
f
v
v
f
f
v
v
f
v
v v
f
v
v v
f
f
v f
f
f
v f
v
v
f
f
v
v
f
Advertisement
f
v
f
v
f
v
f
v
f
f
v
v
v
f
v
v
v
v
v
v
v
f
v
v
v
v
v
v
v
f
f
v
v
v
f
v
f
f
f
v
f
v
v
v
v
v
v
v
v
e- conclusion
les deux pr misses sont vraies sur les lignes 1, 3 et 7;le r sultat est aussi vrai sur ces lignes
donc largument est valide.
NB : on remarquera que la formule
une tautologie.
5S( 56, 5@, 5F): ((56 (5@ ( 5F)) ' ( 5F)) ( 5@ 56)
est
Question 5 (Formalisme )
Formaliser les nonc s suivants:
Un logicien a t champion du monde de cyclisme
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tout le monde a menti quelquun dans sa vie.
Un logicien a t champion de monde du cyclisme:
5e ( 5Y5\5T5V5P5V5R5[(5e) ' 5P5N5Z5]5V5\5[(5e))
Tout le monde a menti quelquun dans sa vie:
5e5f 5Z5R5[5a5V5_ (5e, 5f)
Question 6 ( Interpr tation de formule)
Soit la proposition
dinterpr tation de x et de y est :
lensemble des r el IR
lensemble des entiers naturels IN
5e 5f(5e e 5f ).
Quelle est sa valeur de v rit lorsque le domaine
Soit le domaine dinterpr tation 57 = 5<5E:
5<(5e 5f(5e e 5f )) = 5c 5`5`5V 5]5\5b5_ 5a5\5b5a 5Q 5<5E, 5\5[ 5<
(5f(5e e 5f )) = 5c.
5e=5Q
5B5_ 5<
(5f(5e e 5f )) = 5c 5`5`5V 5V5Y 5R5e5V5`5a5R 5Q' 5<5E 5a5R5Y5Y5R 5^5b5R:
5e=5Q
(5e e 5f ) = 5c
5<
5e=5Q, 5f=5Q'
( 5P5R 5^5b5V 5R5`5a 5^5b5V5c5N5Y5R5[5a 5Q5V5_5R 5]5\5b5_ 5['5V5Z5]5\5_5a5R 5^5b5R5Y 5Q 5<5E , 5\5[ 5]5R5b5a 5a5_5\5b5c5R5_ 5Q' / 5Q e 5Q'
Pour :
5Q' = 1 5Q 5\5[ 5N5b5_5N 5e e 5f 5Q e (1 5Q) 5Q e 1 25Q + 5Q 1 + 25Q e 0 5`5`5V 5Q e 1/2
Donc
5<
5e=5Q, 5f=5Q'
(5e e 5f ) = 5c
5<(5e 5f(5e e 5f )) = 5S5N5b5e.
ssi
5Q e 1/2
donc ce nest pas pour tout d donc
(Remarque ; on aurait pu faire le m me raisonnement avec
5Q' = 5Q + 1 5\5[ 5N5b5_5N 5e e 5f 5Q e (5Q + 1) 5Q e 1 + 25Q + 5Q 1 + 25Q d 0 5`5`5V 5Q d 1/2
Donc
donc ce nest pas pour tout d donc
(5e e 5f ) = 5c
5Q d 1/2
ssi
5<
5e=5Q, 5f=5Q'
5<(5e 5f(5e e 5f )) = 5S.
)
Si le domain tait 57 = 5<5A
5<(5e 5f(5e e 5f )) = 5c 5`5`5V 5]5\5b5_ 5a5\5b5a 5Q 5<5A, 5\5[ 5<
5`5`5V 5V5Y 5R5e5V5`5a5R 5Q' 5<5A 5a5R5Y5Y5R 5^5b5R 5<
5e=5Q, 5f=5Q'
5e=5Q
(5e e 5f ) = 5c
(5f(5e e 5f )) = 5c. 5B5_ 5<
(5f(5e e 5f )) = 5c
5e=5Q
( 5P5R 5^5b5V 5R5`5a 5^5b5V5c5N5Y5R5[5a 5Q5V5_5R 5]5\5b5_ 5['5V5Z5]5\5_5a5R 5^5b5R5Y 5Q 5<5E , 5\5[ 5]5R5b5a 5a5_5\5b5c5R5_ 5Q' / 5Q e 5Q'
la condition est sur 5Q e 1/2 5^5b5V 5['5R5`5a 5]5N5` 5b5[ 5R5[5a5V5R5_ 5[5N5a5b5_5R5Y 5Q5\5[5P
.
5<(5e 5f(5e e 5f )) = 5c