Sciences Industrielles
TD - Enoncés
Calcul vectoriel
TD outils utiles en mécanique
EXERCICE 1:
Soit le repère vectoriel R x y z
→→→
WXV
,(
,
)
trois vecteurs non nuls.
Si on a l’égalité suivante
r r r et
( ,
)
,
→→→
∧ WXV
= ;
rechercher l’équation vectorielle donnant
→
X en fonction de
→
→
WV et
.
EXERCICE 2 :
Soit le repère vectoriel
rrr
,(
zyxR
),
et [
]
r
r
r
,
1 2 3
,
V V V
trois vecteurs quelconques non nuls, rechercher
l’égalité suivante en explicitant le résultats trouvés.
[
r
r
3
)
1
V
V
(
]
r
r
1
3
V V V V
.
= ?
3
.(
∧
∧
).
2
r
r
EXERCICE 3 :
Soit un torseur
=T
T
→
S
= →
M
(A)
=
A
,
S
x
,
S
S
y
z
MMM
,
(A)
x
rrr
,(
zyxR
),
,
(A)
y
z
(A)
−
3,21
−
1,3,3
=
rrr
,
,
zyxA
,
et R un repère vectoriel de
rrr
,
,
zyxA
,
base orthonormée directe
Soient les coordonnées de A et B dans R, A(0,0,0) et B(1,0,0) :
3-1- Montrer que le moment sur l’axe central de T1 est égal au vecteur nul.
3-2- Ecrire le torseur T1 en B
3-3- Rechercher un point I tel que le moment en I
3-4 donner l’équation paramétrée de l’axe central du torseur T1.
r
= 0 .
r
M I
EXERCICE 4 :
0
0
0
0
ω
Soit un torseur
T
=
0
rrr
zyxA
,
,
1
11
Advertisement
,
et R1 un repère vectoriel de base orthonormée directe
rrr
,
zyxR
),
1
11
(,1
Soient les coordonnées de A et B dans R, A(0,0,0) et B(r,0,0) où ω et r sont des réels.
4-1- Ecrire le torseur T2 en B
4-2 Donner l’axe central du torseur T2.
4-3 Donner une interprétation réel modélisée par le torseur T.
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Calcul vectoriel
TD Corrigé : outils utiles en mécanique
EXERCICE 1:
étant deux vecteurs connus non nuls , existe-t-il un vecteur
→
X tel que :
→
→
WV et
→→→
∧ WXV
=
on en conclut :
→
X doit être non nul,
→
→
WV et
Si il existe une solution
doivent être orthogonaux et
→
→
WX et
aussi par propriété du produit vectoriel..
→
X , alors tout vecteur de la forme
→→→
∧ WXV
→
V la relation
= , on obtient :
→→
VX λ+
sera aussi solution.
En multipliant vectoriellement par
→→→→→
WVXVV
→→→→→→→→
.(
= ).(- )
WVXVVVXV
∧∧
(
bien
ou
=)
∧
∧
→→
XV
.(
où
)
est réel ββββ
Si on cherche la solution particulière
→
0
→
-=
→→
→
∧
VWVX
λ+
2
V
→→
∧
-=
WVX
2
V
et
→
0X (ββββ = 0) orthogonale à
→
V , on obtient :
EXERCICE 2 :
le résultats est 0 réel. Puisque
r
r
r
∧VVV
=
1.(3
0)3
EXERCICE 3 :
→
.M =
(A)
→
S
0
3-1 : L’automoment du torseur T :
tous les points de l’axe d’un torseur Glisseur le moment est nul.
3-2 :
1
2
3
=MM
(B)
−
3
−
1
d’ou le calcul :
rrr ,
,
zyxA
→→
∧S
BA
(A)
et
T
+
=
3
,
→
→
→
−
3
−
1
+
3
∧
0
1
2
=
−
3
6
−
1
R
0
R
3
R
−
3
=M
(B)
Advertisement
R
donc le torseur T un torseur de type glisseur et sur
d’où le torseur en B :
−
3
−
3
1
2
3
rrr ,
,
zyxA
T
=
6
,
Remarque : l’automoment du torseur est toujours égal à 0. Normal, puisque l’automoment est un
invariant scalaire du champs antisymétrique représenté par le torseur T.
3-3 :
→
→
=MM
(A)
(I)
+
→→
∧SAI
d’ou le calcul :
−
3
=
3
0
0
+
x
y
∧
1
2
R
−
1
R
0
R
z
R
3
x,y,z sont les coordonnées de I dans le
repère
rrr
),
zyxAR
,
,(
.
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Calcul vectoriel
d’où le système d’équations
y
3
2
z
−=−
z
2
3
=−
x
3
3
−=−
yx
1
⇒
−=−
3
z
2
=
x
y
=
z
3
2
=
4
15
2
=
x
→
=⇒
AI
R
0
→
=⇒
=
1
AI
1
y
=
3
z
⇒
3
2
4
15
2
0
1
R
3
ou
3
y
2
−=−
1
yx
3-4 : soit l’équation vectorielle de l’axe du torseur T montrée dans le cours
→
S
→ ∧
=AJ
r
M
(A)
2
v
Advertisement
S
→
λ
S +
avec
∈λ
Réel
où J est un point de l’axe central de T.
−
11
−
3
1
r
2=S
14
et
→
S
∧
r
M
=
(A)
∧
2
=
3
−
8
R
−
1
R
9
λ
x
J
3
R
+−=
11
14
+−=
4
7
9
+=
14
285714
3
J
J
λ
2
λ
I = J
→
AJ
=
y
R
z
Pour
,2=λ
EXERCICE 4 :
4-1 :
0
ω
0
0
0
0
T
=
et
rrr
zyxA
,
,
11
1
,
→
→
=MM
(B)
(A)
+
→→
∧S
BA
d’ou le calcul :
→
0
M
(B)
=
+
0
R
1
0
R
1
−
r
0
0
0
0
∧
=
0
ω
r
.
ω
R
1
R
1
0
0
0
d’où le torseur en B :
ω
ω
rrr
zyxB
,
,
11
1
r
.
0
T
=
0
,
4-2 : L’automoment du torseur T :
→
.M =
(A)
→
S
0
donc le torseur T un torseur de type glisseur et sur
tous les points de l’axe d’un torseur Glisseur le moment est nul.
→
0M r=
(A)
donc le point A appartient à
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l’axe central de T. Donc comme l’axe central passe par A et est colinéaire à
→
S , l’axe central de T est
la droit affine
→
SA
,(
)
4-3 : En considérant que θ est un angle en radian défini comme
1xx rr=θ
)
,(
et posant
dθω=
dt
(constant
dans le temps) en radian par seconde, le torseur T modélise un mouvement de rotation d’un solide S1
autour de l’axe
La représentation graphique normalisée de cette cinématique (ou mouvement sans se préoccuper des
causes qui le provoque) est représenté ci-dessous.
fixe par rapport à un solide S0.
rr=
,(
)
1zzA
z1=z
A
S1
S0
La liaison entre les deux solides S0 et S1 définie par une telle cinématique est appelée LIAISON
PIVOT d’axe
.
rr=
1zzA
,(
)
Il est possible de paramétrer cette liaison par un angle
Pour ce faire on associe comme représenté ci-dessous :
Un repère affine
Un repère affine
rrr
),
zyxR
,(
r
rr
zyxR
)1,1,1(1
au solide S0
au solide S1
1xx rr=θ
)
,(
.
La géométrie est définie par le vecteur
→
AM r=
1.xr
y1
y
M
θθθθ
x1
x
A
z1
z
Pour modéliser vectoriellement la cinématique (rotation autour d’un axe) de cette liaison pivot d’axe
rr=
1zzA
,(
)
, le torseur T notée
T
=
SSV
0/1
=
0
ω
0
0
rrr
zyxA
,
,
1
11
,
0
0
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En transportant ce torseur en M, on obtient
SSV
0/1
=
0
ω
0
r
Calcul vectoriel
r
Ω=
rrr
,
,
zyxM
1
11
,
r
V
∈
SSM
0/1
SS
0/1
M
0
ω
0
.
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