Sciences Indusrielles
Energ tique
M canique - Energ tique
MECANIQUE
ENERGETIQUE
Lexpression de l nergie cin tique ayant t vue lors du cours de cin tique - dynamique, nous nen
redonnons pas ici lexpression. On se contentera ici den donner des applications
1 Puissance
D finition : Soient deux ensembles mat riels (S1) et (S2). Si linstant t, (S1) exerce sur (S2) une
r
(
M
f
1
2
)
densit de force
; la puissance d velopp e, linstant t, par laction
m canique de (S1) sur (S2), dans le mouvement de (S2) par rapport un r f rentiel
d tude (R) s crit et se note :
ur
)
r
/
PSSRfM VM SRdm
/.
en W (Watt) = Nms-1
(
)
(
)
(
=
1212
2
M S
2
Dapr s le champs des vecteurs vitesse dun solide, on peut crire :
ururuuurur
)
= +
VM S RV A SRMAS R
/
//
)
(
(
)
(
. En introduisant cette relation dans la d finition
22
ci-dessus, on a alors :
uruuurur
(
PSSRfM V ASRdmfMMAS Rdm
/./.
(
)
)
r
= +
1212212
(
/
2
2
MSM S
ururuuur
(
.
PSSRV A SRfMdmSRfMMAdm
= +W
1221221 2//./
)
)
(
2
r
(
urururuuuur
(
.
PSSRV A S RRSSSRAMfMdm
=
1221221 2//./
+W
(
)
)
(
MSM S
2
(
urururuuur
)
PSSRV A S RRSSSRMS
.
2
r
)
=
+W
=
1221221
ur
(
RSSfMdm
12121
avec :
//./
(
2
M S
2
et
uuuruuuur
)
(
=
MSSAMfMdm
12121
A
2
M S
2
)
(
(
S
)
r
(
)
)
)
)
)
(
(
)
r
(
(
)
)
M S
2
(
A
2
2
)
)
(
)
)
(
(
r
r
)
r sultante des actions m caniques qu'exerce S sur S
,
moment r sultant en A des actions m caniques de S sur S
On voit donc appara tre dans lexpression de la puissance les deux torseurs :
cin matique de S2/R:
{
(
VS R
/
2
}
)
=
A
ur
(
)
S R
/
2
ur
)
V A S R
(
/
2
des actions m caniques de S1 sur S2 :
{
(
TS S
/
1
}
)
2
=
A
et
ur
(
RS
uuur
MS
A
(
1
S
)
2
S
1
)
2
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W
"
"
W
"
"
"
"
"
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On a donc :
(
==
PSSRVSRTS
/./
1221
2
)
S
.
urur
(
uruuur
)
(
V A SRMS
SRRS
/
21
)
/
21
2
(
(
S
A
S
2
)
)
{
A
(
}
)
{
A
(
}
)
La puissance d velopp e par les efforts de 1 sur 2 dans le mouvement de 2/1 est donc le
produit des torseurs cin matiques du mouvement de 2 par rapport 1 et du torseur des
actions m caniques quexerce 1 sur 2. On entend ici par produit de torseur, la somme des
deux produits scalaires R sultante dun torseur scalaire Moment de lautre. Cette puissance
peut se calculer partir des torseurs r duits en un m me point qui par contre peut tre
quelconque.
La notion de puissance d pend du rep re d tude :
Soient deux rep re R0 et R3 et deux solides S1 et S2:
Dapr s la composition des vecteurs vitesse, on peut crire :
ururur
(
)
VM SRVM SRVM R R
/
= +
)
(
)
(
/
/
20233
0
par les efforts quexerce S1 sur S2 dans son mouvement par rapport R0
rapport R3
/
r
)
PSSRfM VM S RdmfMVM SRVM RRdm
ururur
(
= = +
120122012233
/././
(
PSS R
)
)
:
(
)
/
(
12
3
0
r
(
)
(
= +
1201223123
PSSRfM VM SRdmfM VM R Rdm
MSM S
/./.
0
2
)
urur
(
)
2
MSM S
r
/
(
(
(
PSSRPSSRV RRTS
= +
120123301
///
)
.
2
S
)
)
r
2
)
(
(
2
(
}
}
{
)
)
1444442444443
A
A
0
{
(
, donc si on calcul la puissance d velopp e
(
PSS R
, puis par
)
/
12
0
)
(
)
(
)
D finition : Puissance d velopp e par les actions mutuelles entre deux ensembles mat riels S1 et
S2 : On la note
= +
1212021
(
PS
)
0
SPSSRPSS R
(
PS
(
S
1
2
)
/
et cette quantit vaut :
)
(
)
/
Remarque : Cette puissance ne d pend pas du rep re R0 choisi pour la calculer : Soit un second
rep re d tude not R1 :
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"
"
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(
PS
= +
1212021
SPSSRPSS R
)
0
= +
=+
A
= +
.
/
1
A
(
)
)
(
S
AAA
{
(
+
/./
2012102
(
(
/
}
{
}
(
)
)
VSRTSSV SRTS
{
}
{
}
)
)
VSRV RRTS
//
.
21101
2
A
}
}
{
{
)
(
)
+
V SRV RRTS
.
1
A
}
}
}
{
{
)
)
)
+
VSRTSSVSRTS
/./
2112112
1
14444424444431444442444443
AAA
A
}
)
}
)
}
)
{
{
{
{
//
11102
}
)
(
S
{
{
S
S
(
(
(
(
(
(
(
(
.
A
A
A
}
)
{
V R R
1
0
(
/
A
(
PS
}
)
.
SRPSS R
/
1
12121
)
{
(
+
TSSTS
211
A
}
}
)
)
S
2
144444424444443
r
0
r
0
{
(
=
A
(
)
/
= +
PSSRPSS R
12121
)
(
)
/
(
(
PS
=
/
1
)
S
2
1
Liaisons parfaites entre solides :
Si S1 et S2 sont en liaison parfaites, cela signifie que lon a :
(
PS
S
1
)
=
2
0
On peut alors crire :
(
PS
= +
1212221
)
SPSSSPSS S
(
.
2
= +
0/./
/
)
(
{
}
{
)
VSSTSSV SSTS
2212122
1
1442443
AAA
A
torseur nul
}
{
)
V SSTS
.
122
{
S
A
(
A
1
=
0/
)
{
(
(
(
(
S
/
}
)
}
)
}
)
{
(
}
)
Les deux torseurs (cin matique et des actions m caniques transmissibles) sont donc
compl mentaires : les z ros de la r sultante de lun correspondent aux composantes non nuls du
moment de lautre :
= =
0/.
(
(
PSSVSSTSSvY M
=
.
12122
)
1
{
O
}
)
{
O
(
=
+
XvYvZvL
++
0
y
Exemple sur la liaison Pivot glissante daxe (
Nw
+
yzx
+
w
M
w
x
z
= =
0/.0
=
PSSV SSTSSv
. 0
12122
O
1
)
(
{
(
Y
}
)
{
O
(
}
)
r
)Ox
}
)
w
w
w
x
y
z
vX
x
L
y
vZ N
z
O
O
ente les deux solides S1 et S2:
w
x
0
O
0
y
z
v
0
L
Z
0
O
2 Travail
D finition : Le travail entre deux instants t1 et t2 de laction m canique quexerce un solide (S2)
sur un solide (S1) dans le mouvement de (S1) par rapport un r f rentiel R vaut :
WSSRPSSRdt
t
2
1212
1
t
=
(
)
/
(
t
2
t
1
)
/
en J (Joule)
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Cette relation entre travail et puissance peut s crire sous forme de d rivation :
(
PSS R
2
)
=
/
1
3 Energie potentielle
Advertisement
(
(
d WSS R
2
/
1
)
)
dt
D finition : Un ensemble mat riel (S1) poss de une nergie potentielle associ e laction
m canique quexerce un ensemble mat riel (S2) dans le mouvement de (S1) par
rapport un r f rentiel R si il existe une fonction scalaire not e
(
PESS R
1 /
2
)
telle que lon puisse crire :
(
= -
PSS R
2
/
1
)
(
dESS R
2
P
dt
)
/
1
EP est alors l nergie potentielle de S2 due laction de S1 dans son mouvement par rapport R.
Remarque : Entre deux instants t1 et t2,
(
2
t
WSSR
tP
12
=
1
P
E
)
E
/
1
2
Energie potentielle de pesanteur :
Laction m canique de la pesanteur sur un corps S1 est fr quemment not e (
La puissance d velopp e par la pesanteur sur un corps S1 en mouvement par rapport un r f rentiel
r r r
R O x y z
,
;
,
)
vaut, par d finition :
(
. Avec lhypoth se que le champ de pesanteur est constant
r
g
(
(
S
1
ur
=
.
)
)
)
r
r
/
1
PgSgVM SRdm
1
M S
1
.
sur tout le corps S1 pendant son mouvement par rapport au r f rentiel R (ce qui exclut par exemple
la face de lancement dune fus e : le champ de pesanteur n tant pas identique au sol et en orbite).
En prenant le param trage classique : ggz= -
:
r
r
r
(
)
=-
=-
r
./.
PgSgzVM SRdmmgzVG S R
M S
14444244443
1
)
11
/
1
urur
(
ur
r
(
)
urur
(
VG SRV G R
1 /
=
)
Or:
(
=
1
(
)
mVG S R
/
uuur
dOG
dt
)
/
car G est bien sur un point mat riel du solide S1 dont il
R
est le centre dinertie. On peut donc r crire la puissance sous la forme :
r
(
=-=-
PgSmgzmgOG
)
1
r
.
uuur
dOGdz
dtdtdt
R
uuur r
(
.
dOG z
)
uuur
.
r
R
. En notant
uuur r
.
OGz
z=
, on
G
obtient :
r
(
=-= -
PgSmg
)
1
(
dmgz
)
G
dz
G
dtdt
On obtient donc ais ment lexpression de l nergie potentielle de pesanteur :
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M canique - Energ tique
r
avec z
r
verticale ascendante et Gz , coordonn es cart sienne du centre dinertie de S1 sur z
Emgz
P
pesanteur
=
G
Energie potentielle d lasticit : Cas dun ressort longitudinal :
.
r
x
O
B ti
On consid re un ressort de longueur
vide 0l et de longueur x un instant t.
Soit k sa raideur (en N/m).
Leffort quexerce ce ressort sur le
solide (non repr sent ) qui le d forme,
vaut donc :
ur
Rklx x
ressortsolide
=
)
(
r
0
La puissance d velopp e par laction m canique du ressort sur le solide qui le compresse (ou l tire)
est gal :
)
=
==
/0 0.0
Pressortsolidebatiklxxkl
(
x
0
0
&
xkl
000
O
O
x
0
(
0
)
0
(
0
)
&
(
0
)
dx
dt
Donc le travail entre deux instants t1 et t2 de laction m canique du ressort sur le solide dans son
d placement par rapport au b ti, vaut :
2
=-=-=-
dx
(
WklxdtklxdxklxE
dt
)
-=
0
1
2
E
1
(
001
)
2
(
1
2
2
)
2
1
potpot
On en d duit donc l nergie potentielle d lasticit dun ressort de raideur k et de longueur vide
(ou au repos) :
Ekl
x
potentielle ressort
=
1
2
(
0
)2
4 Th or me de l nergie cin tique
4.1 Appliqu un solide
On part du principe fondamental de la dynamique appliqu un solide (S) dans son mouvement
par rapport un rep re R en un point A quelconque :
{
. Multiplions ce principe par le torseur cin matique en A du
}
)
D SRTS
/
{
S=
}
)
(
(
A
A
mouvement de S/R :
{
}
)
D SRTS
/.
(
A
A
urur
(
/
{
(
urur
S
(
V A SRV A S R
)
SRS R
)
=
/
A
}
)
.
(
A
(
/
)
)
/
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W
W
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Energ tique
ur
dm
P
P S
uuurur
APdm
P
ur
dm
P
P S
uuurur
APdm
P
A
P S
A
P S
.
.
A
A
urur
(
ur
(
)
RS
SRS R
urur
uur
(
)
V A SRV A S RMS
Advertisement
A
=
/
/
(
(
/
)
. Do :
)
144444424444443
A
S
/
A
urur
(
ur
(
)
RS
SRS R
urur
uur
(
)
V A SRV A S RMS
A
=
/
/
(
(
/
)
)
144444424444443
A
S
/
A
)
S
.
.
)
)
(
PSS R
)
S
(
PSS R
(
)
(
)
/
/
)
(
PSSRV A SRdmSRAPdm
ururuuur
(
.
= +W
//./
)
Or
(
= +
ururuuurur
)
)
V A SRV P SRAPS R
/
//
ururuuurur
(
+
=
V
VAPS R
(
A
P
l criture :
urur
dVdV
P
dtdt
PSP S
crite ci-dessus :
(
PSSR
=+
W+
)
VdmAPSRdmAPSRdm
/./..
ururur
uruuururuuurur
dVdVdV
PP
dtdtdt
/
PSPSP S
P
(
)
(
)
P
, ce qui donne sous forme simplifi e au niveau de
)
/
. On obtient donc une nouvelle expression pour la puissance
(
P
)
(
)
14444444r
444444244444444444443
0 les deux termes tant oppos s
=
(produit mixte avec deux term
es permut s)
On a donc trouv :
(
PSSR
==
/
urur
.
P
)
VdmdmVdm
PSPSP S
ur
dV
P
=
dtdtdt
ur
(
d V
P
2
)
d
1
2
.
2
P
1
2
1442443
(
T S R
/
)
On a donc le th or me de l nergie cin tique :
La d riv e par rapport au temps de l nergie cin tique Galil enne dun solide S en
mouvement par rapport un rep re R Galil en est gale la puissance Galil enne d velopp e
par les actions m caniques ext rieures S.
(
d T S R
)
/
=
(
PSS R
)
/
dt
Remarque :
Ce th or me ne donne pas d quations suppl mentaires par rapport au principe
fondamental de la dynamique puisquil en est directement issu !!!
4.2 Appliqu un ensemble de solides
Th or me de l nergie cin tique appliqu un ensemble de plusieurs solides en mouvement dans un
rep re Galil en R :
Soit
E
= U , on a
S
i
i
i
:
)
(
dTS R
/
i
dt
=
(
PSS R
i
/
i
)
. Or
T ERTS R=
/
(
)
(
/i
)
i
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"
G
W
W
G
"
"
G
W
W
G
"
"
W
W
"
"
"
W
"
"
"
"
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M canique - Energ tique
Energ tique
(
)
dT E R
dt
/
Donc :
Dautre part :
=
(
PSS R
i
/
i
)
avec
S
i
i
)
(
PEERPES R
=
/
(
/i
j
S
= U
E
)
j
i
. On trouve donc :
i
/
(
dT E R
dt
)
= +
(
PEERPS
/
)
S
(
i
)
j
i
j
On remarque quil faut tenir compte des puissances des actions m caniques mutuelles entre
chaque solides composant E
4.3 Int r t de ce th or me
Int grale premi re du mouvement
Si les efforts ext rieurs au solide S tudi d rivent tous dune nergie potentielle
(
= -
PSS R
)
/
(
PdES R
/
dt
)
.
PE on a :
En appliquant le th or me de l nergie cin tique au solide S dans son mouvement par rapport R :
(
d T S R
)
/
=
Advertisement
(
PSS R
)
/
dt
On obtient donc, en combinant les deux relations :
d
dt
T SRES R
//
)
+
(
(
0P
)
=
Soit en int grant : on obtient une quation que lon appelle int grale premi re du mouvement :
T SRES R+
=
(
)
(
//constanteP
)
5
Inertie ramen e sur un axe
Moteur
r
Axe Oz
r
Axe Az
Arbre moteur li au
pignon 1 : inertie par
r
rapport laxe Oz
:
I1
Arbre r cepteur
li au pignon 2 +
roue dinertie:
inertie par
rapport laxe
r
Az
: I2
On calcul l nergie cin tique de ce syst me compos de deux sous ensemble fonctionnels :
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Energ tique
M canique - Energ tique
Lensemble 1 compos de : larbre moteur + pignon 1 (nombre de dents Z1) tournant autour
1w par rapport au b ti 0. Le tout dinertie I1 par
r
de laxe fixe Oz
la vitesse de rotation
r
rapport laxe Oz
Son nergie cin tique vaut :
T
(
1 / 0
)
=
1
2
2
I w
1
1
r
autour de laxe fixe Az
r
Le tout dinertie I2 par rapport laxe Az
1
2
Son nergie cin tique vaut :
2 / 0
T
=
(
)
I w
2
2
2
Lensemble 2 compos de : larbre r cepteur + pignon 2 (nombre de dents Z2) tournant
la vitesse de rotation
2w par rapport au b ti 0 + la roue dinertie.
L nergie cin tique de lensemble {
}
1 2+
vaut donc :
(
{
}
+
1 2/ 0
I
TI
)
=
1
2
w
112
2
+
2
1
2
2
w
Lorsque lon cherche linertie quivalente ramen sur larbre moteur (que nous noterons
eqI
)
du syst me, cela revient chercher mettre l nergie cin tique de cet ensemble sous la
forme :
T
(
{
}
+
1 2/ 0
)
=
1
2 eq
2
I w
1
Le r ducteur entre 1 et 2 nous donne la relation suivante entre les vitesses de rotation :
= -
w
2
w
1
Z
Z
1
2
.
L nergie cin tique de lensemble {
11
=+=
22
(
{
}
+
1 2/ 0
I
TIII
22
ww
11
Z
Z
2112
+
)
2
1
1
2
2
2
}
1 2+
peut donc s crire :
2
w
1
Z
Z
2
1
2
2
. En comparant les deux expressions, on
en d duit lexpression de linertie quivalente ramen e sur larbre moteur :
II
eq
=
I
+
1
2
Z
Z
2
1
2
2
Si on appelle r le rapport de r duction du r ducteur compos des deux roues dent es :
r
linertie quivalente vaut alors :
eqIIr I=
(
+
1
2
)
2
6 Cas particuliers
=
Z
Z
1
2
,
6.1 Puissance d velopp e par une action m canique de type
couple
r
Si le solide S1 exerce sur le solide S2 un couple C (en Nm) suivant Oz
m canique de S1 sur S2 est de la forme :
0 0
alors le torseur daction
{
T
}
)
(
=
120 0
. Le mouvement de S2 par rapport un rep re d tude R tant
0O
C
quelconque, le torseur cin matique de 2/R na aucune forme particuli re :
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autre que la consultation individuelle et priv e sont interdites.
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Sciences Indusrielles
Energ tique
{
(
VR
2/
}
)
=
O
w
x
v
w
y
w
z
v
x
y
v
z
.
M canique - Energ tique
La puissance d velopp e par ce couple dans le mouvement de 2/R vaut donc :
(
C
12/0 0.
PRv
=
)
0 0
0
C
O
O
w
x
=
w
w
z
yy
v
x
v
z
w
.
z
La puissance d velopp e par un couple est de la forme :
6.2 Puissance d velopp e par une action m canique de type
force
ur
FF x=
r
en un point A, alors le torseur daction
Si le solide S1 exerce sur le solide S2 une force
m canique de S1 sur S2 est de la forme :
F
0
{
T
}
)
(
=
120 0
. Le mouvement de S2 par rapport un rep re d tude R tant
0 0
A
quelconque, le torseur cin matique de 2/R na aucune forme particuli re :
{
(
VR
2/
}
)
=
O
w
x
v
w
y
w
z
v
x
y
v
z
.
La puissance d velopp e par cette force dans le mouvement de 2/R vaut donc :
(
=
PRvFv
12/0 0.
)
F
0
0 0
O
O
w
=
w
w
x
yy
z
v
x
v
z
.
x
La puissance d velopp e par une force est de la forme :
Fv
(
N.ms
)-1
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