Résumé du Cours de Statistique Descriptive

84

84

84

85

85

5 Calcul des probabilit´es et variables al´eatoires

´Ev´enement

5.2 Analyse combinatoire

87

87

5.1 Probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.1

87

. . . . . . . . . . . . . . .

5.1.2 Op´erations sur les ´ev´enements

88

5.1.3 Relations entre les ´ev´enements

. . . . . . . . . . . . . . .

89

5.1.4 Ensemble des parties d’un ensemble et syst`eme complet .

89

5.1.5 Axiomatique des Probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . .

92

5.1.6 Probabilit´es conditionnelles et ind´ependance

. . . . . . .

93

5.1.7 Th´eoreme des probabilit´es totales et th´eoreme de Bayes .

94

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.1

94

5.2.2 Permutations (sans r´ep´etition)

. . . . . . . . . . . . . . .

95

5.2.3 Permutations avec r´ep´etition . . . . . . . . . . . . . . . .

95

5.2.4 Arrangements (sans r´ep´etition) . . . . . . . . . . . . . . .

95

5.2.5 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

5.3 Variables al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

5.3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

5.4 Variables al´eatoires discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

5.4.1 D´efinition, esp´erance et variance . . . . . . . . . . . . . .

97

5.4.2 Variable indicatrice ou bernoullienne . . . . . . . . . . . .

5.4.3 Variable binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

5.4.4 Variable de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.5 Variable al´eatoire continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.5.1 D´efinition, esp´erance et variance . . . . . . . . . . . . . . 103

5.5.2 Variable uniforme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.5.3 Variable normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.5.4 Variable normale centr´ee r´eduite . . . . . . . . . . . . . . 108

5.5.5 Distribution exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.6 Distribution bivari´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.6.1 Cas continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.6.2 Cas discret

5.6.3 Remarques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Ind´ependance de deux variables al´eatoires . . . . . . . . . 113

5.6.4

5.7 Propri´et´es des esp´erances et des variances . . . . . . . . . . . . . 114

5.8 Autres variables al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.8.1 Variable khi-carr´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.8.2 Variable de Student

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.8.3 Variable de Fisher

8

TABLE DES MATI (cid:18)ERES

5.8.4 Loi normale bivari´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6 S´eries temporelles, filtres, moyennes mobiles et d´esaisonnalisation127

6.1 D´efinitions g´en´erales et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.1.1 D´efinitions

6.1.2 Traitement des s´eries temporelles . . . . . . . . . . . . . . 128

6.1.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.2 Description de la tendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.2.1 Les principaux mod`eles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.2.2 Tendance lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.2.3 Tendance quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.2.4 Tendance polynomiale d’ordre q

. . . . . . . . . . . . . . 134

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.2.5 Tendance logistique

6.3 Op´erateurs de d´ecalage et de diff´erence . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.3.1 Op´erateurs de d´ecalage

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.3.2 Op´erateur diff´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.3.3 Diff´erence saisonni`ere

6.4 Filtres lin´eaires et moyennes mobiles . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.4.1 Filtres lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.4.2 Moyennes mobiles : d´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . 140

. . . . . . . . 141

6.4.3 Moyenne mobile et composante saisonni`ere

6.5 Moyennes mobiles particuli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.5.1 Moyenne mobile de Van Hann . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.5.2 Moyenne mobile de Spencer . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.5.3 Moyenne mobile de Henderson . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.5.4 M´edianes mobiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.6 D´esaisonnalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.6.1 M´ethode additive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.6.2 M´ethode multiplicative

6.7 Lissage exponentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.7.1 Lissage exponentiel simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.7.2 Lissage exponentiel double . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

7 Tables statistiques

157

Chapitre 1

Variables, donn´ees

statistiques, tableaux,

effectifs

1.1 D´efinitions fondamentales

1.1.1 La science statistique

– M´ethode scientifique du traitement des donn´ees quantitatives.

– Etymologiquement : science de l’´etat.

– La statistique s’applique `a la plupart des disciplines : agronomie, biologie,

d´emographie, ´economie, sociologie, linguistique, psychologie, . . .

1.1.2 Mesure et variable

– On s’int´eresse `a des unit´es statistiques ou unit´es d’observation : par exemple

des individus, des entreprises, des m´enages. En sciences humaines, on

s’int´eresse dans la plupart des cas `a un nombre fini d’unit´es.

– Sur ces unit´es, on mesure un caract`ere ou une variable, le chiffre d’affaires

de l’entreprise, le revenu du m´enage, l’ˆage de la personne, la cat´egorie so-

cioprofessionnelle d’une personne. On suppose que la variable prend tou-

jours une seule valeur sur chaque unit´e. Les variables sont d´esign´ees par

simplicit´e par une lettre (X, Y, Z).

– Les valeurs possibles de la variable, sont appel´ees modalit´es.

– L’ensemble des valeurs possibles ou des modalit´es est appel´e le domaine

de la variable.

1.1.3 Typologie des variables

– Variable qualitative : La variable est dite qualitative quand les modalit´es

9

10CHAPITRE 1. VARIABLES, DONN (cid:19)EES STATISTIQUES, TABLEAUX, EFFECTIFS

sont des cat´egories.

– Variable qualitative nominale : La variable est dite qualitative nominale

quand les modalit´es ne peuvent pas ˆetre ordonn´ees.

– Variable qualitative ordinale : La variable est dite qualitative ordinale

quand les modalit´es peuvent ˆetre ordonn´ees. Le fait de pouvoir ou non

ordonner les modalit´es est parfois discutable. Par exemple : dans les

cat´egories socioprofessionnelles, on admet d’ordonner les modalit´es :

‘ouvriers’, ‘employ´es’, ‘cadres’. Si on ajoute les modalit´es ‘sans profes-

sion’, ‘enseignant’, ‘artisan’, l’ordre devient beaucoup plus discutable.

– Variable quantitative : Une variable est dite quantitative si toute ses va-

leurs possibles sont num´eriques.

– Variable quantitative discrete : Une variable est dite discrete, si l’en-

semble des valeurs possibles est d´enombrable.

– Variable quantitative continue : Une variable est dite continue, si l’en-

semble des valeurs possibles est continu.

Remarque 1.1 Ces d´efinitions sont `a relativiser, l’ˆage est th´eoriquement

une variable quantitative continue, mais en pratique, l’ˆage est mesur´e dans le

meilleur des cas au jour pr`es. Toute mesure est limit´ee en pr´ecision !

Exemple 1.1 Les modalit´es de la variable sexe sont masculin (cod´e M) et

f´eminin (cod´e F). Le domaine de la variable est {M, F }.

Exemple 1.2 Les modalit´es de la variable nombre d’enfants par famille sont

0,1,2,3,4,5,. . .C’est une variable quantitative discr`ete.

1.1.4 S´erie statistique

On appelle s´erie statistique la suite des valeurs prises par une variable X sur

les unit´es d’observation.

Le nombre d’unit´es d’observation est not´e n.

Les valeurs de la variable X sont not´ees

x1, . . . , xi, . . . , xn.

Exemple 1.3 On s’int´eresse a la variable ‘´etat-civil’ not´ee X et a la s´erie sta-

tistique des valeurs prises par X sur 20 personnes. La codification est

c´elibataire,

C :

M : mari´e(e),

veuf(ve),

V :

divorc´ee.

D :

1.2. VARIABLE QUALITATIVE NOMINALE

11

Le domaine de la variable X est {C, M, V, D}. Consid´erons la s´erie statistique

suivante :

M M D C C M C C C M

C M V M V D C C C M

Ici, n = 20,

x1 = M, x2 = M, x3 = D, x4 = C, x5 = C, . . . ., x20 = M.

1.2 Variable qualitative nominale

1.2.1 Effectifs, fr´equences et tableau statistique

Une variable qualitative nominale a des valeurs distinctes qui ne peuvent

pas ˆetre ordonn´ees. On note J le nombre de valeurs distinctes ou modalit´es.

Les valeurs distinctes sont not´ees x1, . . . , xj, . . . , xJ . On appelle effectif d’une

modalit´e ou d’une valeur distincte, le nombre de fois que cette modalit´e (ou

valeur distincte) apparaˆıt. On note nj l’effectif de la modalit´e xj. La fr´equence

d’une modalit´e est l’effectif divis´e par le nombre d’unit´es d’observation.

fj =

nj

n

, j = 1, . . . , J.

Exemple 1.4 Avec la s´erie de l’exemple pr´ec´edent, on obtient le tableau sta-

tistique :

xj

C

M

V

D

nj

9

7

2

2

n = 20

fj

0.45

0.35

0.10

0.10

1

12CHAPITRE 1. VARIABLES, DONN (cid:19)EES STATISTIQUES, TABLEAUX, EFFECTIFS

En langage R

>X=c(’Mari(cid:19)e(e)’,’Mari(cid:19)e(e)’,’Divorc(cid:19)e(e)’,’C(cid:19)elibataire’,’C(cid:19)elibataire’,’Mari(cid:19)e(e)’,’C(cid:19)elibataire’,

’C(cid:19)elibataire’,’C(cid:19)elibataire’,’Mari(cid:19)e(e)’,’C(cid:19)elibataire’,’Mari(cid:19)e(e)’,’Veuf(ve)’,’Mari(cid:19)e(e)’,

’Veuf(ve)’,’Divorc(cid:19)e(e)’,’C(cid:19)elibataire’,’C(cid:19)elibataire’,’C(cid:19)elibataire’,’Mari(cid:19)e(e)’)

> T1=table(X)

> V1=c(T1)

> data.frame(Eff=V1,Freq=V1/sum(V1))

C(cid:19)elibataire

Divorc(cid:19)e(e)

Mari(cid:19)e(e)

Veuf(ve)

Eff Freq

9 0.45

2 0.10

7 0.35

2 0.10

1.2.2 Diagramme en secteurs et diagramme en barres

Le tableau statistique d’une variable qualitative nominale peut ˆetre repr´esent´e

par deux types de graphique. Les effectifs sont repr´esent´es par un diagramme

en barres et les fr´equences par un diagramme en secteurs (ou camembert ou

piechart en anglais) (voir Figures 1.1 et 1.2).

Figure 1.1 – Diagramme en secteurs des fr´equences

En langage R

> pie(T1,radius=1.0)

CélibataireDivorcé(e)Marié(e)Veuf(ve)1.3. VARIABLE QUALITATIVE ORDINALE

13

Figure 1.2 – Diagramme en barres des effectifs

En langage R

>m=max(V1)

>barplot(T1, ylim=c(0,m+1))

1.3 Variable qualitative ordinale

1.3.1 Le tableau statistique

Les valeurs distinctes d’une variable ordinale peuvent ˆetre ordonn´ees, ce

qu’on ´ecrit

x1 ≺ x2 ≺ · · · ≺ xj−1 ≺ xj ≺ · · · ≺ xJ−1 ≺ xJ .

La notation x1 ≺ x2 se lit x1 pr´ec`ede x2.

Si la variable est ordinale, on peut calculer les effectifs cumul´es :

j∑

Nj =

nk, j = 1, . . . , J.

k=1

On a N1 = n1 et NJ = n. On peut ´egalement calculer les fr´equences cumul´ees

Fj =

Nj

n

j∑

=

fk, j = 1, . . . , J.

k=1

Exemple 1.5 On interroge 50 personnes sur leur dernier diplˆome obtenu (va-

riable Y ). La codification a ´et´e faite selon le Tableau 1.1. On a obtenu la s´erie

CélibataireDivorcé(e)Marié(e)Veuf(ve)024681014CHAPITRE 1. VARIABLES, DONN (cid:19)EES STATISTIQUES, TABLEAUX, EFFECTIFS

Table 1.1 – Codification de la variable Y

Dernier diplˆome obtenu

Sans diplˆome

Primaire

Secondaire

Sup´erieur non-universitaire

Universitaire

xj

Sd

P

Se

Su

U

Table 1.2 – S´erie statistique de la variable Y

Sd

Se

Su

Sd

Se

Su

Sd

Se

Su

P

P

Sd P

Se

Se

Se

Se

Su U U U U U U U U

P

Se

P

Se

P

Se

P

Se

P

Se

P

Su

U

P

Su

U

P

Su

U

Se

Su

U

Se

Su

Table 1.3 – Tableau statistique complet

xj

Sd

P

Se

Su

U

nj Nj

4

4

15

11

29

14

38

9

12

50

50

fj

0.08

0.22

0.28

0.18

0.24

1.00

Fj

0.08

0.30

0.58

0.76

1.00

statistique pr´esent´ee dans le tableau 1.2. Finalement, on obtient le tableau sta-

tistique complet pr´esent´e dans le Tableau 1.3.

En langage R

> YY=c("Sd","Sd","Sd","Sd","P","P","P","P","P","P","P","P","P","P","P",

"Se","Se","Se","Se","Se","Se","Se","Se","Se","Se","Se","Se","Se","Se",

"Su","Su","Su","Su","Su","Su","Su","Su","Su",

"U","U","U","U","U","U","U","U","U","U","U","U")

YF=factor(YY,levels=c("Sd","P","Se","Su","U"))

T2=table(YF)

V2=c(T2)

> data.frame(Eff=V2,EffCum=cumsum(V2),Freq=V2/sum(V2),FreqCum=cumsum(V2/sum(V2)))

Eff EffCum Freq FreqCum

0.08

4 0.08

4

Sd

1.3. VARIABLE QUALITATIVE ORDINALE

15

11

P

Se 14

9

Su

12

U

15 0.22

29 0.28

38 0.18

50 0.24

0.30

0.58

0.76

1.00

1.3.2 Diagramme en secteurs

Les fr´equences d’une variable qualitative ordinale sont repr´esent´ees au moyen

d’un diagramme en secteurs (voir Figure 1.3).

Figure 1.3 – Diagramme en secteurs des fr´equences

En langage R

> pie(T2,radius=1)

1.3.3 Diagramme en barres des effectifs

Les effectifs d’une variable qualitative ordinale sont repr´esent´es au moyen

d’un diagramme en barres (voir Figure 1.4).

En langage R

> barplot(T2)

SdPSeSuU16CHAPITRE 1. VARIABLES, DONN (cid:19)EES STATISTIQUES, TABLEAUX, EFFECTIFS

Figure 1.4 – Diagramme en barres des effectifs

1.3.4 Diagramme en barres des effectifs cumul´es

Les effectifs cumul´es d’une variable qualitative ordinale sont repr´esent´es au

moyen d’un diagramme en barres (voir Figure 1.5).

Figure 1.5 – Diagramme en barres des effectifs cumul´es

SdPSeSuU02468101214SdPSeSuU010203040501.4. VARIABLE QUANTITATIVE DISCR (cid:18)ETE

17

En langage R

> T3=cumsum(T2)

> barplot(T3)

1.4 Variable quantitative discr`ete

1.4.1 Le tableau statistique

Une variable discr`ete a un domaine d´enombrable.

Exemple 1.6 Un quartier est compos´e de 50 m´enages, et la variable Z repr´esente

le nombre de personnes par m´enage. Les valeurs de la variable sont

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

4 4 4 4

5 5 5 5

1

3

3

4

5

2

3

3

4

6

2

3

3

4

6

2

3

3

4

6

2

3

3

4

8

2

3

4

5

8

Comme pour les variables qualitatives ordinales, on peut calculer les effectifs,

les effectifs cumul´es, les fr´equences, les fr´equences cumul´ees. `A nouveau, on peut

construire le tableau statistique :

xj nj Nj

5

5

1

14

9

2

29

15

3

39

10

4

45

6

5

48

3

6

2

50

8

50

fj

0.10

0.18

0.30

0.20

0.12

0.06

0.04

1.0

Fj

0.10

0.28

0.58

0.78

0.90

0.96

1.00

En langage R

4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,6,6,6,8,8)

> Z=c(1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,

+

> T4=table(Z)

> T4c=c(T4)

> data.frame(Eff=T4c,EffCum=cumsum(T4c),Freq=T4c/sum(T4c),FreqCum=cumsum(T4c/sum(T4c)))

Eff EffCum Freq FreqCum

18CHAPITRE 1. VARIABLES, DONN (cid:19)EES STATISTIQUES, TABLEAUX, EFFECTIFS

5

1

2

9

3 15

4 10

6

5

3

6

2

8

5 0.10

14 0.18

29 0.30

39 0.20

45 0.12

48 0.06

50 0.04

0.10

0.28

0.58

0.78

0.90

0.96

1.00

1.4.2 Diagramme en bˆatonnets des effectifs

Quand la variable est discr`ete, les effectifs sont repr´esent´es par des bˆatonnets

(voir Figure 1.6).

Figure 1.6 – Diagramme en bˆatonnets des effectifs pour une variable quanti-

tative discr`ete

En langage R

> plot(T4,type="h",xlab="",ylab="",main="",frame=0,lwd=3)

05101512345681.5. VARIABLE QUANTITATIVE CONTINUE

19

1.4.3 Fonction de r´epartition

Les fr´equences cumul´ees sont repr´esent´ees au moyen de la fonction de r´epartition.

Cette fonction, pr´esent´ee en Figure 1.7,est d´efinie de R dans [0, 1] et vaut :







F (x) =

0

x < x1

Fj xj ≤ x < xj+1

xJ ≤ x.

1

Figure 1.7 – Fonction de r´epartition d’une variable quantitative discr`ete

En langage R

> plot(ecdf(Z),xlab="",ylab="",main="",frame=0)

1.5 Variable quantitative continue

1.5.1 Le tableau statistique

Une variable quantitative continue peut prendre une infinit´e de valeurs pos-

sibles. Le domaine de la variable est alors R ou un intervalle de R. En pratique,

une mesure est limit´ee en pr´ecision. La taille peut ˆetre mesur´ee en centim`etres,

voire en millim`etres. On peut alors traiter les variables continues comme des

variables discr`etes. Cependant, pour faire des repr´esentations graphiques et

024680.00.20.40.60.81.020CHAPITRE 1. VARIABLES, DONN (cid:19)EES STATISTIQUES, TABLEAUX, EFFECTIFS

construire le tableau statistique, il faut proc´eder `a des regroupements en classes.

Le tableau regroup´e en classe est souvent appel´e distribution group´ee. Si [c−

j ; c+

j [

designe la classe j, on note, de mani`ere g´en´erale :

la borne inf´erieure de la classe j,

la borne sup´erieure de la classe j,

– c−

j

– c+

j

j + c−

– cj = (c+

− c−

– aj = c+

j

j

– nj l’effectif de la classe j,

– Nj l’effectif cumul´e de la classe j,

– fj la fr´equence de la classe j,

– Fj la fr´equence cumul´ee de la classe j.

j )/2 le centre de la classe j,

l’amplitude de la classe j,

La r´epartition en classes des donn´ees n´ecessite de d´efinir a priori le nombre

de classes J et donc l’amplitude de chaque classe. En r`egle g´en´erale, on choisit

au moins cinq classes de mˆeme amplitude. Cependant, il existent des formules

qui nous permettent d’´etablir le nombre de classes et l’intervalle de classe (l’am-

plitude) pour une s´erie statistique de n observations.

– La r`egle de Sturge : J = 1 + (3.3 log10(n)).

√

– La r`egle de Yule : J = 2.5 4

n.

L’intervalle de classe est obtenue ensuite de la mani`ere suivante : longueur

de l’intervalle = (xmax − xmin)/J, o`u xmax (resp. xmin) d´esigne la plus grande

(resp. la plus petite) valeur observ´ee.

Remarque 1.2 Il faut arrondir le nombre de classe J `a l’entier le plus proche.

Par commodit´e, on peut aussi arrondir la valeur obtenue de l’intervalle de classe.

A partir de la plus petite valeur observ´ee, on obtient les bornes de classes

en additionnant successivement l’intervalle de classe (l’amplitude).

Exemple 1.7 On mesure la taille en centimetres de 50 ´el`eves d’une classe :

152 152

154 154

156 156

157 157

159 159

161 160

162 162

164 164

168 168

170 171

152

154

156

157

160

160

163

165

168

171

153

155

156

158

160

161

164

166

169

171

153

155

156

158

160

162

164

167

169

171

1.5. VARIABLE QUANTITATIVE CONTINUE

21

On a les classes de tailles d´efinies pr´eablement comme il suit :

[151, 5; 155, 5[

[155, 5; 159, 5[

[159, 5; 163, 5[

[163, 5; 167, 5[

[167, 5; 171, 5[

On construit le tableau statistique.

[c−

j , c+

j ]

[151, 5; 155, 5[

[155, 5; 159, 5[

[159, 5; 163, 5[

[163, 5; 167, 5[

[167, 5; 171, 5[

nj Nj

10

10

22

12

33

11

40

7

50

10

50

fj

Fj

0.20 0.20

0.24 0.44

0.22 0.66

0.14 0.80

0.20 1.00

1.00

En langage R

> S=c(152,152,152,153,153,154,154,154,155,155,156,156,156,156,156,

+ 157,157,157,158,158,159,159,160,160,160,161,160,160,161,162, +

162,162,163,164,164,164,164,165,166,167,168,168,168,169,169, +

170,171,171,171,171)

> T5=table(cut(S, breaks=c(151,155,159,163,167,171)))

> T5c=c(T5)

> data.frame(Eff=T5c,EffCum=cumsum(T5c),Freq=T5c/sum(T5c),FreqCum=cumsum(T5c/sum(T5c)))

(151,155] 10

(159,163] 11

(167,171] 10

Eff EffCum Freq FreqCum

10 0.20

33 0.22

50 0.20

0.20 (155,159]

0.66 (163,167]

1.00

12

7

22 0.24 0.44

40 0.14 0.80

1.5.2 Histogramme

L’histogramme consiste `a repr´esenter les effectifs (resp. les fr´equences) des

classes par des rectangles contigus dont la surface (et non la hauteur) repr´esente

l’effectif (resp. la fr´equence). Pour un histogramme des effectifs, la hauteur du

rectangle correspondant `a la classe j est donc donn´ee par :

hj =

nj

aj

– On appelle hj la densit´e d’effectif.

22CHAPITRE 1. VARIABLES, DONN (cid:19)EES STATISTIQUES, TABLEAUX, EFFECTIFS

– L’aire de l’histogramme est ´egale `a l’effectif total n, puisque l’aire de

chaque rectangle est ´egale `a l’effectif de la classe j : aj × hj = nj.

Pour un histogramme des fr´equences on a

dj =

fj

aj

– On appelle dj la densit´e de fr´equence.

– L’aire de l’histogramme est ´egale `a 1, puisque l’aire de chaque rectangle

est ´egale `a la fr´equence de la classe j : aj × dj = fj.

Figure 1.8 repr´esente l’histogramme des fr´equences de l’exemple pr´ecedent :

Figure 1.8 – Histogramme des fr´equences

En langage R

> hist(S,breaks=c(151.5,155.5,159.5,163.5,167.5,171.5), freq=FALSE,

xlab="",ylab="",main="",xaxt = "n")

> axis(1, c(151.5,155.5,159.5,163.5,167.5,171.5))

Si les deux derni`eres classes sont agr´eg´ees, comme dans la Figure 1.9, la

surface du dernier rectangle est ´egale `a la surface des deux derniers rectangles

de l’histogramme de la Figure 1.8.

En langage R

> hist(S,breaks=c(151.5,155.5,159.5,163.5,171.5),

xlab="",ylab="",main="",xaxt = "n")

> axis(1, c(151.5,155.5,159.5,163.5,171.5))

0.000.020.040.06151.5155.5159.5163.5167.5171.51.5. VARIABLE QUANTITATIVE CONTINUE

23

Figure 1.9 – Histogramme des fr´equences avec les deux derni`eres classes

agr´eg´ees

Remarque 1.3 Dans le cas de classes de mˆeme amplitude certains auteurs

et logiciels repr´esentent l’histogramme avec les effectifs (resp. les fr´equences)

report´es en ordonn´ee, l’aire de chaque rectangle ´etant proportionnelle `a l’effectif

(resp. la fr´equence) de la classe.

1.5.3 La fonction de r´epartition

La fonction de r´epartition F (x) est une fonction de R dans [0, 1], qui est

d´efinie par

F (x) =







0

Fj−1 + fj

−

−c

j

1

c+

j

(x − c−

j )

x < c−

1

c−

j

c+

J

≤ x < c+

j

≤ x

0.000.020.040.06151.5155.5159.5163.5171.524CHAPITRE 1. VARIABLES, DONN (cid:19)EES STATISTIQUES, TABLEAUX, EFFECTIFS

Figure 1.10 – Fonction de r´epartition d’une distribution group´ee

0.00.20.40.60.81.0151.5155.5159.5163.5167.5171.51.5. VARIABLE QUANTITATIVE CONTINUE

25

En langage R

> y=c(0,0,cumsum(T5c/sum(T5c)),1)

> x=c(148,151.5,155.5,159.5,163.5,167.5,171.5,175)

> plot(x,y,type="b",xlab="",ylab="",xaxt = "n")

> axis(1, c(151.5,155.5,159.5,163.5,167.5,171.5))

26CHAPITRE 1. VARIABLES, DONN (cid:19)EES STATISTIQUES, TABLEAUX, EFFECTIFS

Chapitre 2

Statistique descriptive

univari´ee

2.1 Param`etres de position

2.1.1 Le mode

Le mode est la valeur distincte correspondant `a l’effectif le plus ´elev´e ; il est

not´e xM .

Si on reprend la variable ‘Etat civil’ , dont le tableau statistique est le sui-

vant :

xj

C

M

V

D

nj

9

7

2

2

n = 20

fj

0.45

0.35

0.10

0.10

1

le mode est C : c´elibataire.

Remarque 2.1

– Le mode peut ˆetre calcul´e pour tous les types de variable, quantitative et

qualitative.

– Le mode n’est pas n´ecessairement unique.

– Quand une variable continue est d´ecoup´ee en classes, on peut d´efinir une

classe modale (classe correspondant `a l’effectif le plus ´elev´e).

2.1.2 La moyenne

La moyenne ne peut ˆetre d´efinie que sur une variable quantitative.

27

28

CHAPITRE 2. STATISTIQUE DESCRIPTIVE UNIVARI (cid:19)EE

La moyenne est la somme des valeurs observ´ees divis´ee par leur nombre, elle

est not´ee ¯x :

¯x =

x1 + x2 + · · · + xi + · · · + xn

n

=

1

n

n∑

i=1

xi.

La moyenne peut ˆetre calcul´ee `a partir des valeurs distinctes et des effectifs

¯x =

1

n

J∑

j=1

njxj.

Exemple 2.1 Les nombres d’enfants de 8 familles sont les suivants 0, 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4.

La moyenne est

¯x =

0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 4

8

=

12

8

= 1.5.

On peut aussi faire les calculs avec les valeurs distinctes et les effectifs. On

consid`ere le tableau :

xj nj

2

0

3

1

1

2

1

3

1

4

8

¯x =

2 × 0 + 3 × 1 + 1 × 2 + 1 × 3 + 1 × 4

8

=

3 + 2 + 3 + 4

8

= 1.5.

Remarque 2.2 La moyenne n’est pas n´ecessairement une valeur possible.

En langage R

E=c(0,0,1,1,1,2,3,4)

n=length(E)

xb=sum(E)/n

xb

xb=mean(E)

xb

2.1. PARAM (cid:18)ETRES DE POSITION

2.1.3 Remarques sur le signe de sommation

D´efinition 2.1

n∑

i=1

xi = x1 + x2 + · · · + xn.

29

∑

1. En statistique les xi sont souvent les valeurs observ´ees.

n∑

n∑

2. L’indice est muet :

xi =

xj.

i=1

j=1

3. Quand il n’y a pas de confusion possible, on peut ´ecrire

∑

i xi.

Exemple 2.2

4∑

xi = x1 + x2 + x3 + x4.

xi2 = x32 + x42 + x52.

i = 1 + 2 + 3 = 6.

1.

2.

3.

i=1

5∑

i=3

3∑

i=1

4. On peut utiliser plusieurs sommations emboˆıt´ees, mais il faut bien distin-

guer les indices :

3∑

2∑

i=1

j=1

xij = x11 + x12

(i = 1)

+ x21 + x22

+ x31 + x32

(i = 2)

(i = 3)

5. On peut exclure une valeur de l’indice.

5∑

i=1

i̸=3

xi = x1 + x2 + x4 + x5.

Propri´et´e 2.1

1. Somme d’une constante

n∑

i=1

a = a + a + · · · + a

}